2022-2023学年河北省秦皇岛市双庙中学高三数学理下学期期末试卷含解析

2022-2023学年河北省秦皇岛市双庙中学高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数y=，那么(

)A．函数的单调递减区间为（﹣∞，1），（1，+∞）B．函数的单调递减区间为（﹣∞，1]∪（1，+∞）C．函数的单调递增区间为（﹣∞，1），（1，+∞）D．函数的单调递增区间为（﹣∞，1]∪（1，+∞）参考答案：A【考点】函数单调性的判断与证明．【专题】数形结合；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】函数y=可看作y=向右平移1个单位得到，由y=的单调性可得．【解答】解：函数y=可看作y=向右平移1个单位得到，∵y=在（﹣∞，0）和（0，+∞）单调递减，∴y=在（﹣∞，1）和（1，+∞）单调递减，故选：A【点评】本题考查函数的单调性，利用已知函数的单调性和图象平移是解决问题的关键，属基础题．2.已知集合，则B中所含元素的个数为

A．3

B．6

C．8

D．10参考答案：C当时，；当时，；当时，；当时，．共有8个元素3.若，且，则等于（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A4.函数在区间上的最大值是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C5.下列函数中，周期为π的奇函数是（）A．y=sin2x B．y=tan2xC．y=sin2x+cos2x D．y=sinxcosx参考答案：D【考点】三角函数的周期性及其求法；函数奇偶性的判断；函数的周期性．【分析】根据题意，依次分析选项，求出函数的周期与奇偶性，分析即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A、y=sin2x=，为偶函数，周期为=π，不符合题意；对于B、y=tan2x，为奇函数，其周期为，不符合题意；对于C、y=sin2x+cos2x=sin（2x+），为非奇非偶函数，不符合题意；对于D、y=sinxcosx=sin2x，为奇函数，且其周期为=π，符合题意；故选：D．6.（5分）设x、y是两个实数，命题“x、y中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是（

）

A．x+y=2B．x+y＞2C．x2+y2＞2D．xy＞1参考答案：B【考点】：充要条件．【分析】：先求出的必要不充分条件；利用逆否命题的真假一致，求出命题“x、y中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件．解：若时有x+y≤2但反之不成立，例如当x=3，y=﹣10满足x+y≤2当不满足所以是x+y≤2的充分不必要条件．所以x+y＞2是x、y中至少有一个数大于1成立的充分不必要条件．故选B【点评】：本题考查逆否命题的真假是相同的，注意要说明一个命题不成立，常通过举反例．7.已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边经过点，则（

）A. B. C. D.参考答案：B【分析】先由角的终边过点，求出，再由二倍角公式，即可得出结果.【详解】因为角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边经过点，所以，因此.故选B【点睛】本题主要考查三角函数的定义，以及二倍角公式，熟记三角函数的定义与二倍角公式即可，属于常考题型.8.若直线经过抛物线的焦点，则的最小值为（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：C

圆心为（-1,2），代入直线方程得：

故：9.已知函数,则下列结论正确的是(

)

A．是偶函数

B.是增函数

C．的值域为[－1，＋∞)

D.是周期函数参考答案：D略10.如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为（）A．2 B． C． D．4参考答案：C【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；数形结合；空间位置关系与距离；立体几何．【分析】结合题意及图形，可知几何体为一个底面边长为2的正方形且有一条长为2的侧棱垂直于底面的四棱锥，还原几何体，求解即可．【解答】解：由三视图可知，此多面体是一个底面边长为2的正方形，且有一条长为2的侧棱垂直于底面的四棱锥，所以最长棱长为=2．故选：C【点评】本题考查了三视图视角下多面体棱长的最值问题，考查了同学们的识图能力以及由三视图还原物体的能力．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设f（x）是定义在R上的奇函数，其图象关于直线x=1对称，且当0＜x≤1时，f（x）=log3x．记f（x）在[﹣10，10]上零点的个数为m，方程f（x）=﹣1在[﹣10，10]上的实数根和为n，则有（）A．m=20，n=10 B．m=10，n=20 C．m=21，n=10 D．m=11，n=21参考答案：C【考点】函数与方程的综合运用．【分析】利用函数的对称性，函数的奇偶性求解函数的周期，画出函数的图象，然后求解函数的零点个数．【解答】解：∵函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，∴f（2﹣x）=f（x），又y=f（x）为奇函数，∴f（x+2）=f（﹣x）=﹣f（x），∴f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），即f（x）的周期为4，又定义在R上的奇函数，故f（0）=0，当0＜x≤1时，f（x）=log3x．可得x=1，f（1）=0，f（x）在[﹣10，10]上图象如图：可得m=21，方程f（x）=﹣1在[﹣10，10]上的实数根分别关于x=﹣7；﹣3，1，5，9对称，实数根的和为n，n=﹣14﹣6+2+10+18=10．故选：C．【点评】本题考查函数与方程的综合应用，函数的图象与零点的个数问题，考查数形结合思想以及转化思想的应用．12.给出如图所示的伪代码，根据该算法，可求得=

参考答案：－313.设x，y满足约束条件，则z=﹣2x+y的最小值为．参考答案：﹣5【考点】简单线性规划．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=﹣2x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最小值即可．【解答】解：设x，y满足约束条件：，在直角坐标系中画出可行域△ABC，由，可得A（2，﹣1），所以z=﹣2x+y的最小值为﹣5．故答案为：﹣514.的值为

.参考答案：15.已知且，设函数的最大值为1，则实数a的取值范围是________参考答案：.【分析】由函数在上单调递增，且结合题中条件得出函数在上单调递减，且，于此列出不等式组求出实数的取值范围.【详解】由题意知，函数在上单调递增，且，由于函数的最大值为，则函数在上单调递减且，则有，即，解得，因此，实数的取值范围是，故答案为：.【点睛】本题考查分段函数的最值，解题时要考查分段函数每支的单调性，还需要考查分段函数在分界点出函数值的大小关系，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.16.设若是的最小值，的取值范围为__________.

参考答案：

17.设方程x3﹣3x=k有3个不等的实根，则常数k的取值范围是

．参考答案：（﹣2，2）考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：利用导数，判断出函数的极值点，用极值解决根的存在与个数问题．解答： 解：设f（x）=x3﹣3x，对函数求导，f′（x）=3x2﹣3=0，x=﹣1，1．x＜﹣1时，f（x）单调增，﹣1＜x＜1时，单调减，x＞1时，单调增，f（﹣1）=2，f（1）=﹣2，要有三个不等实根，则直线y=k与f（x）的图象有三个交点，∴﹣2＜k＜2故答案为：（﹣2，2）．点评：学会用导数及单调性处理根的存在与个数问题，极值的正负是解决此问题的关键．是中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）当时，，求的取值范围.参考答案：（1），当时，，∴在上单调递减.当时，令，得；令，得.∴的单调递减区间为，单调递增区间为.当时，令，得；令，得.∴的单调递减区间为，单调递增区间为.（2）当时，在上单调递减，∴，不合题意.当时，，不合题意.当时，，在上单调递增，∴，故满足题意.当时，在上单调递减，在单调递增，∴，故不满足题意.综上，的取值范围为.19.已知函数.（Ⅰ）讨论的单调性;（Ⅱ）当函数有两个不相等的零点时,证明:

.参考答案：（Ⅰ）当时，在单调递增；当时，在单调递减；在单调递增；（Ⅱ）不妨设，由题意得相加，相减得：，要证，只需证==，只需证只需证，设，只需证设，则，，所以原命题成立20.（本小题满分14分）已知函数.（I）若函数上是减函数，求实数a的取值范围；（II）令，是否存在实数（e是自然常数）时，函数的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存，说明理由；（III）当时，证明：.参考答案：

21.已知函数

<1>若不等式的解集为，求的表达式；

<2>在<1>的条件下，当是单调函数，求实数k的取值范围；<3>设为偶函数，判断能否大于零？

参考答案：<1>由已知不等式的解集为，

故，且方程的两根为-3,1，由韦达定理，得

得

因此，

5分<2>则

=

当时，

即时，是单调函数。

10分<3>是偶函数，，

则

又

能大于零。

15分略22.（14分）已知函数f（x）=lnx﹣+a（其中a∈R，无理数e=2.71828…）．当x=e时，函数f（x）有极大值．（1）求实数a的值；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）任取x1，x2∈[e，e2]，证明：|f（x1）﹣f（x2）|＜3．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】导数的综合应用．【分析】（1）将x=e代入函数的表达式求出a的值即可；（2）先求出函数的导数，从而求出函数的单调区间；（3）问题转化为证明|f（x）max﹣f（x）min|＜3即可．【解答】解：（1）由题知f（e）=lne﹣+a=，解得a=0；（2）由题可知函数f（x）的定义域为（0，+∞），又f′（x）=﹣==，由＞0得0＜x＜e；＜0得x＞e；故函数f（x）单调增区间为（0，e），单调减区间为（e，+∞）；（3）因为f（x）=lnx﹣，由（1）知函数f（x）的单调减区间为（e，+∞），故