2021年呼市一模（文科）解析

2021年内蒙古呼和浩特市高三年级第一次质量普查调研考试

文科数学

参考答案及评分标准

【选择题&填空题答案速查】

题号12345678910111213141516

173万4

答案BADCCDDDADBA见解析

T5

选择题选项分布3个A2个B2个C5个D

a

15.sin2(a-60°)+sin2a+sin2(a+60°)=—.(；i：其他写法，只要规律正确即可得分)

2

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.已知集合A={1,2,3,4},B=(x|l<x<3},则4口8=()

A.0B.{2}C.{1,2}D.{1,2,3)

【解析】•.•集合A={1,2,3,4},B=(x|l<x<3),=.故选：B.

【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力等基础知识，

是基础题.

2.设复数z=a,则其共轨复数为()

A.1-zB.-1-iC.-1+zD.1+Z

『初/s』2i2/(1-i)2i+2_.

【解析】z=---=----------=-----=l+i,/.z=1t—z.故选：A.

1+z(1+0(1-/)2

【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题.

23

3.已知。£(0,乃)，若sin(7——r+«)=—,则sin2a=()

25

［解析】因为a£(0,乃),若sin(—+a)=-cosa=-,可得cosa=-。,sina=y/\-cos2a=—,

2555

4324

所以sin2a=2sinacosa=2x—x(—二)=---.故选：D.

5525

【点评】本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦公式在三角函

数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题.

4.向量寸=(1,2),6=(—2,k),若a上则|3"+5|=()

A.V5B.2A/5C.5>/2D.5

【解析】・.•向量M=(l,2),5=(—2,A),a±b9a-b=-2+2k=0,:.k=\,^=(-2,1),

则13商+51=y］（3a+b）2=y/9a2+6a-b+b2=79x5+0+5=50,故选：C.

【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，求向量的模的方法，属于基础题.

5.如果执行如图的程序框图，输入〃=6,机=3,那么输出的0等于（）

A.360B.240C.120D.60

【解析】第一次循环，k=1,w=6,m=3,p=4;

第二次循环，k=1,〃=6,m=3,p=20;

第三次循环，k=3,n=6,m=3,/?=120;结束循环.

输出的p等于120.故选：C.

【点评】本题考查解决程序框图中的循环结构的输出结果问题时，常采用写出几次的结果找

规律，属于基础题.

6.2020年全球经济都受到了新冠疫情影响，但我国在中国共产党的正确领导下防控及时，

措施得当，很多企业的生产所受影响甚微.我国某电子公司于2020年6月底推出了一款领

先于世界的5G电子产品.现调查得到该5G产品上市时间x和市场占有率y（单位：％）的

几组相关对应数据.如图所示的折线图中，横轴1代表2020年8月.2代表2020年9月……,

5代表2020年12月.根据数据得出y关于x的线性回归方程为S=0.（M2x+G.若用此方程

分析并预测该产品市场占有率的变化趋势，则该产品市场占有率最早何时能超过0.5%（精

确到月）（）

A.2021年5月B.2021年6月C.2021年7月D.2021年8月

【解析】根据表中数据，计算了=1x(l+2+3+4+5)=3,

y=-x(0.02+0.05+0.1+0.15+0.18)=0.1,代入回归方程得0.1=0.042x3+6,解得

a=-0.026,所以线性回归方程为？=0.042x-0.026,由0.042%一0.026>0.5,解得X..13,

预计上市13个月时，即最早在2021年8月，市场占有率能超过0.5%.故选：D.

【点评】本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，是基础题.

7.函数/。)=/〃(3/-6》-24)的单调递增区间为()

A.(―l,+oo)B.(1,-H3o)C.(2,+oo)D.(4,+oo)

[解析】函数/(x)=ln(3x2-61一24)的单调递增区间，

即函数f=3x2-6x-24=3(x-4)(x+2)在满足空0的条件下，/的增区间.

利用二次函数的性质可得在满足f>0的条件下，/的增区间为(4,+8),故选：D.

【点评】本题主要考查复合函数的单调性，对数函数、二次函数的性质，属于中档题.

8.设“，。是两条不同的直线，a,/?是两个不同的平面，则a//月的一个充分条件是(

)

A.存在一条直线a,alia,al/0

B.存在一条直线a,aua，a11/3

C.存在两条平行直线a、h,aua,bu。，a///3,blla

D.存在两条异面直线a、b,aua,bu(3,a//〃，blla

【解析】对于A,一条直线与两个平面都平行，两个平面不一定平行.故A不对；

对于8,一个平面中的一条直线平行于另一个平面，两个平面不一定平行，故3不对；

对于C,两个平面中的两条直线平行，不能保证两个平面平行，故C不对；

对于。，两个平面中的两条互相异面的直线分别平行于另一个平面，可以保证两个平面平

行，故。正确.故选：D.

【点评】考查面面平行的判定定理，依据条件由定理直接判断，属于中档题.

9.已知边长为a的等边三角形的一个顶点位于抛物线丁=2*(夕>0)的焦点，另外两个顶

点在抛物线上，若a>2p,则该抛物线的准线方程为()

.2-V32-上「、丛.73

A.x=-------aBR.x--------aC.x=-l----aDn.x=-l+——a

4222

【解析】由抛物线的性质可得到焦点的距离等于到准线的距离，因为三闲形是等边三角形,

所以另两个顶点关于X轴对称，因为a>2p,所以可得抛物线上的点的坐标曲+且a」〃)，

222

将点的坐标代入抛物线的方程可得：(Jap=2p(^+母a),整理可得：4/r+4x/3«p-a2=0,

八p—4\/3a+148。2+]6a"2—>/32必>>、»—

/?>0,解付p=-------------------=------a,所以抛物线的准线方程为：

82

%=—―a,故选：A.

24

【点评】本题考查抛物线的对称性及等边三角形的对称性，属于中档题.

10.已知定义域为/?的连续函数f(x)的导函数为r(x),且满足广⑺<0,当机<0时，，

zn(x-3)

下列关系中一定成立的是()

A.,/(1)+/(3)=2/(2)B./(0)-/(3)=0

C./(4)+/(3)<2/(2)D./⑵+/(4)>2〃3)

【解析】0,.•."z(x-3)f'(x)<0,当机<0时，(x-3)/'(x)>0,

m(x-3)

故XG(YO,3)时，fr(x)<0,XG(3,+8)时，f\x)>0,故/(x)在(-co,3)递减，在(3,+co)递

增，.•./(2)>/(3),/(4)>/(3),/(2)+/(4)>2/(3),故选：D.

【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是中档题.

11.在棱长为2的正方体ABC。-ABgR中，E为BC的中点，则过3、D、E三点的平

面截正方体ABCO-ABCIR所得的截面面积为()

A.B.-C.3x/2D.25/10

22

【解析】由题意，作出图形如图所示，取QG的中点F,连结EF,DF,则平面DBEF即

为过B、D、E三点的截面，因为E,F分别为qG，AG的中点，故EF//BQ//B。,

因为正方形的棱长为2,所以。8=2&,8后=石，。尸=石,£尸=夜，所以四边形Z)跳户是

等腰梯形，过点尸作旗的平行线交08于点M,作DB的垂线燹DB于点、N,

由勾股定理可得

形DBEF的面积为

B.

【点评】本题考查了几何体截面面积的求解，解题的关键是确定截面是什么形状，考查了空

间想象能力与逻辑推理能力，属于中档题.

12.已知函数/(x)的周期为4%且/(夕)=1,若f(a)x-(p)-2sin(2x+—)，3＞0,0＜夕＜乃)，

6

则关于函数/(幻，下面判断正确的是()

A.函数/(x)是偶函数B.x=q是函数/(x)的一条对称轴

C.函数/(x)是奇函数D.(-2,0)是函数f(x)的一个对称中心

【解析】由题意，^cox-(p=t,可得X=t2,则/⑺=2sin(2土竺+2),可得f(x)的解

CD(O6

析式为f(x)=2sin(止且+生)，•.•函数/(X)的周期为4万，.[0=4,又/(夕)=1,可得

co6

g=sin"+令,「.。=半，则/(x)=2sin(；x+(+《)=cosgx,

对于A:可知/(x)=cosgx是偶函数；那么A正确，

对于B:x=^-不是函数/(%)的一条对称轴，则3错误；

对于C：函数/(%)不是奇函数；则C错误；

对于。：当工=一段时，即f(_^|)=cos盘工0,所以(一★，0)不是函数/(x)的一个对称

中心.故选：A.

【点评】本题主要考查了正弦函数的有关性质，由=可得x=则

69

f(f)=2sin(竺心+马换元法求解出解析式解题的关键，属于中档题.

CD6

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

x+2y„1

13.若x,y满足约束条件・2x-y...-l,则2=刀+丫的最小值为_.

5-L

卜…-5

【解析】由约束条件作出可行域如图，

v=——75

联立V，2，解得A(——,——)，由z=x+y,得y=—x+z,由图可知，当直线y=—x+z

2x-y=-l42

过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为=故答案为：

【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题.

2122

14.已知AABC中，内角A、B、。的对边分别为a、b、c,且巴士——--cs\nB=a,

2a

q万

则3=—(或135。).

-4-------

【解析】AABC中，由巴型—c--csinB=a,由余弦定理得bcosC-csin3=a,

2a

由正弦定理得sin3cosc-sinCsin3=sinA,

即sin8cosc-sinCsinB=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,所以一sinCsin3=cosAsinC;

又。£(0,乃)，所以sinCwO,所以一sinb=8s3,所以tanB=—1;又3£(0,万)，

所以8=红(或135。).故答案为：—(或135。).

44

【点评】本题考查了解三角形的应用问题，也考查了三角函数求值问题，是基础题.

15.sin230°+sin290°+sin2150°=-；sin28°+sin268°+sin2128°=一通过观察上述两等式的

22

共同规律，请你写出一般性的命题_sin2(a-60°)+sin2a+sin2(a+60°)=

33

【解析】由已知中sin230°+sin290°+sin2150°=-,sin28°+sin268°+sin2128°=-.

22

3

归纳推理的一般性的命题为：sin2(a-60°)+sin2a+sin2(a+60°)=—.

证明如下：

左边_1_8s(2a-120°)+1-cos2a+1一cos(2a+120°)

―22~

313

=---[cos(2a-120°)+cos2a+cos(2a+120°)]=万=右边.二.结论正确.

3

故答案为：sin2(a-60°)+sin2a+sin2(a+60°)=.

(注：其他写法，只要规律正确即可得分)

【点评】归纳推理的一般步骤是：(1)通过观察个别情况发现某些相同性质；(2)从已知的

相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想)，(3)论证.

16.古希腊的几何学家用平面去截一个圆锥面，将所截得的不同的截线称为圆锥曲线.某同

学用过母线心的中点且与底面圆的直径垂直的平面截圆锥，得到了如图所示的一支双

曲线.已知圆锥的高PO=2,底面圆的半径为4,则此双曲线的两条渐近线的夹角的正弦值

为-.

-5一

p

【解析】在与截面PAB的平面垂直且过点M的平面内建立直角坐标系xO'y,

1轴与底面交于点石，双曲线与底面交于点C,D,

v-~y21

不妨设双曲线的方程为—-4=1,PO_L底面AO8,所以ME//PO,\ME\=-\PO\=1,

a2b22

所以|O'M|=1,则M(l,0),即a=l,E点、为OB的中点、,所以|OE|=」|O8|=Lx4=2,

22

又|0£)|=4,所以|EC|=|ED\=JoDf=>/42-22=26,所以EQ,0),C(2,2石)，

0(2,-26)，代入双曲线的方程，得马一处里=1,解得6=2,所以双曲线渐近线为)，=±2x

1b~

7x74

设双曲线的两渐近线的夹角为26，tan，=2,所以tan2〃=/；=-?

1-223

所以,in29T黑会44

4=-.故答案为：-

(3+155

3

【点评】本题考查双曲线的方程，渐近线，三角函数，解题中需要理清思路，属于中档题.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题，

每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

(-)必考题：共60分.

17.(12分)如图，四边形为正方形，P£)_L平面PD=&D,A£_LPC于

点E,EF//CD,交PD于点F.

(1)证明：PC_L平面4)E；

(2)已知45=1,求四面体Z)—A£P的体积.

K

濡沁>c

AB

【解答】（1）证明：因为P£>_L平面ABCD,ADu平面ABCD,所以尸£>_1.4）,•••（1分）

又因为四边形458是正方体，所以AQ_LC。，又80也>=。，CD,PDu平面PCD,

所以仞1.平面PDC,....................................................................................................（3分）

又PCu平面PDC，所以49_LPC,又AEJ.PC,且AEnAD=A，AE,ADu平面ADE,

所以PC_L平面ADE:....................................................................................................（6分）

（2）解：由题意可知，AB=AD=\,PD=y/3,PC=2,由（1）可知，PC_L,且NDCE=60°,

所以8C=1，且E为线段PC靠近C的四等分点，............................（8分）

2

所以DF=更,EF=h,................................................................................................（9分）

44

故%A杼=匕陋.=-S&ADl..-EF=-x-x^-xlx^=—.........................................（12分）

LJ~~r\hrc.~AlJr3QJxlJr32432

【点评】本题考查了线面垂直的判定以及棱锥体积的求解，涉及了等体积法的应用差，其中

等体积法是求解三棱锥体积的一种常用方法，考查了逻辑推理能力与空间想象能力.

18.（12分）从条件①S“+%=8,②数列伍“｝为等比数列，的=1，%+2%=&%中任选一

个，补充在下面的问题中：

已知｛《,｝为正项数列，S”为｛4｝的前〃项和，.

（1）求数列｛可｝的通项公式；

（2）设〃=%,，记T"为｛4｝的前〃项和，证明：7；,<|.

【解析】（1）选①S"+4=8:

当〃=1时，4+S[=24=8,解得4=4,

当儿.2时，Su—,又S“+a〃=8,

两式相减可得4,1，即2=',..........................................................................（3分）

2«„-12

可得｛4｝是首项为4,公比为g的等比数列，则%=4・（g）"।=23-"（〃..2）,当〃=1时，％=4,

满足上式，故=23-"（"CND;..........................................................................................（6分）

选②数列｛〃〃｝为等比数列，生=1,。4+2々5=846：

设等比数列｛（｝的公比为q,q>0,

则q+2q?=8",解得q=；或（q=一:舍去），................................（3分）

又名=1,所以4=4,所以4=4・（；）"T=23-”;.............................................................（6分）

（2）证明：由（I）可得"=%,,=23口，g“｝是首项为2,公比为,的等比数列，（8分）

4

2（1---）R1

所以<=-=...............................................（1。分）

1----

4

T=----^-2n<-,.............................................................（12分）

‘333

【点评】本题考查数列的递推式，以及等比数列的定义和通项公式、求和公式的运用，考查

方程思想和转化思想、运算能力，属于中档题.

19.（12分）根据国家深化医药卫生体制改革的总体部署和要求，某地区自2015年起，开

始逐步推行“基层首诊，逐级转诊”的医疗制度，从而全面推行家庭医生签约服务.已知该

地区居民约为2000万，从1岁到101岁的居民年龄结构的频率分布直方图如图1所示.

（1）已知该地区91〜101高龄段的男女比例为2:3,在该地区1000名居民组成的样本中，

从91〜101高龄段随机抽取2人，求抽到的两人恰好都是女性的概率：

（2）为了解各年龄段居民签约家庭医生的情况，现调查了1000名年满18周岁的居民，各

年龄段被访者签约率如图2所示，根据图I和图2的信息，估计该地区签约率超过35%低

于60%的人群的总人数.

【解析】（1）由题意可得，91〜101岁居民的人数为0.0005xl0xl（XX）=5人，.....（1分）

又该地区91〜101高龄段的男女比例为2:3,.•.这5人中有男性2人，女性3人，…(3分)

记两名男性为a,b,三名女性为A,B,C,

现从5人中随机抽取2人，可能的结果有：aA,aB,aC,bB,bC,ab,AB,AC,BC

共10种可能，..................................................................(6分)

其中满足2人恰好都有女性的有AB,AC,BC共3种可能，=........(7分)

10

(2)由图2可知，

年龄段31〜40,41~50,签约率37.1%,年龄段51〜60,签约率55.7%,...............(8分)

由图1可知,所求频率尸=(0.021+0.016+0.015)x10=0.52,...................................(10分)

.•.估计该地区签约率超过35%低于60%的人群的总人数大约为0.52x2000=1040万.(12分)

【点评】本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了古典概型的概率公式，是基础题.

20.(12分)已知三次函数，*)=加+6/+cx(a,b,ce/?),

(1)若函数f(x)过点(2,2)且在点(1,/(1))处的切线方程是丫+2=0,求函数/(x)的解析式;

(2)在(1)的条件下，若对于区间［-2,3］上任意两个自变量的值％,x2,都有

|/(x,)-/(x2)|„m,求出实数m的取值范围.

【解析】(1)因为函数f(x)=公？+笈2+ex,所以/'(x)=Bar。+2fec+c,...............(1分)

/(2)=8a+4b+2c=2a-1

由题意得-/<l)=3a+2b+c=0,解得"=0,...........................................................(4分)

/(I)=a+b+c=-2c=-3

所以/(x)=/-3x...............................................................................................................(5分)

(2)由(1)知r(x)=3W-3=3(x+l)(x-l),令尸(x)=0,得》=±1,

当X€(-OO,-l)U(l,+°°)时，,f'M>0,f(x)在(-00,-1)和(l,+x>)上分别单调递增，

当xe(-1,1)时,f'(x)<0,/(尤)在上单调递减,...........................(7分)

因为/(-2)=-2,/(-1)=2,/⑴=一2,〃3)=18,

所以在区间［-2,3］上，/(%)„„,=-2,/(x),u=18,.......................................................(9分)

对于区间［-2,3］上任意两个自变量的值为，叫，都有

1/(%.)-/U,)I,，/⑶皿-/«„„„=18-(-2)=20)...........................................................(11分)

所以也.20,故实数，”的取值范围为［20,+oo)................................................................(12分)

【点评】本题考查了用导数求过曲线上某点切线方程问题，考查了用导数求函数最值问题,

属于中档题.

22

21.(12分)已知椭圆C：A+[=l(“>0>0)的一个焦点为(-6,0),且过点(1,

crb-

（1）求椭圆。的方程;

（2）设例是椭圆C上一点，且不与顶点重合，A与4分别是椭圆C的左、右顶点，点3为

上顶点.若直线48与直线交于点P，直线与直线交于点Q.求证：ABPQ

是等腰三角形.

e=£=G

a

【解析】（1）由题意得：,......................................（2分）

13

滔+正句

解得a2=4,b1=1,...................................................................................................................（3分）

所以椭圆的方程为工+V=i...............................................................................................（4分）

4

（2）证明：法一：由已知得A（一2,0），4（2,0）,8（0,1）,设例（九九），则加2+4"=4,

又直线4M的直线方程为y=--—（x—2）,直线A3的方程为y=L九+1,

771-22

2m+4〃一4

y=-^-(x-2)x=

tn-2解得，2n-m+2

114〃

y=—x+ly=

22n-/714-2

所以点尸的坐标为(2'"+4”4,———),..................................(6分)

2n-m+22n—m+2

又直线的直线方程为y=—-—（X+2）,直线A28的方程为y=——x+1,

m+22

n/八、2m-4〃+4

y=—^(x+2)x=

〃〃

所以＜m+2解得，2+?+2

114〃

y=——x+ly=

22n+m+2

所以点P的坐标为(2???-4—4,———),..................................(8分)

2〃+帆+22〃+〃2+2

所以|8P|2=£+(l_%)2=%'|52「=%+(1—%>=：6，

所以IBPI2-IBQI2—4a%+2〃-2)2(2〃+m+2>-4(2/-/%+2『(m-2〃+2『

(2n一m+2)2(2〃+机+2)2

=64'〃〃-4)=o,...........................................................................................(U分)

Qn-m+2)〜(2〃+加+2>

所以所以|8尸|=|8。|,所以ABPQ为等腰三角形.................（12分）

（注：其他证明方法依据情况酌情给分，如理科参考答案（法二）中给出的方法）

法二：易知4(一2,0),4(2,0),8(0,1),

直线4B的方程为y=gx+l,.................................................................................................（5分）

直线的方程为y=-（x+l,..............................................................................................（6分）

设直线A^M的方程为y=%（%+2）（2/0且％±—）,

y=k(x+2)

联立<得(4k2+1)炉+16储x+16/—4=0,

——+y2=1

4-

所以x-2-_-——则x-~~*k+2v-必

加以%2-4&2+1，川%-4公+1'%"+1（7分）

4k

加4^+1

&A,A/—,所以直线的方程为y=---（x-2）,……（8分）

xM-2-8K+24k4k

----o--------乙

4k2+1

y=k(x+2)

短旗〜2-4攵4k、

联立＜1「解仔。(k~T，：^一；)，（9分）

y=——x+\2k+12攵+1

2

1/小

y=~~(x-2)

4k，解得/>(生生，二_),

联立，（10分）

1।2A+12k+V

y=—x+1

2

于是4=%,所以尸Q_Lx轴，且PQ的中点为N（1上,1）,所以8V//X轴，所以BN为

2k+1

的AB尸Q中线且PQ_L3N,..................................................................................................（11分）

所以尸。为等腰三角形...........................（12分）

法三：设直线的方程为y=Mx—2）（A：wO且Zw±g）,

直线AB的方程为y=4x+l,联立1，解得P(竺出.........(6分)

2y=—x+12k2k-I

I2

y=k(x-2)

联立”=1得(1+&2)--16公》+16公-4=0,

16/-48廿-2-4k8公-2-4k

所以2X则X”,即例（)(8分)

M-4席+14/+1'>w~4k2+\4矛+1'4芥+1

-4k

所以以“=W，于是直线AM的方程为y=—£*+2）,

4Ar2+l+2

直线的方程为y=-』x+l,联立，4k,解得Q（竺士Z,±）,…（io分）

21{2k—12k1

y=——x+i

U2

4k-2