新教材2023-2024学年高中数学第一章空间向量与立体几何本章总结提升课件新人教B版选择性必修第一册

第一章本章总结提升知识网络·整合构建专题突破·素养提升目录索引

知识网络·整合构建专题突破·素养提升专题一空间向量的运算1.空间向量的运算主要包括空间向量的加减数乘运算以及坐标运算,一般与共线向量定理、共面向量定理以及空间向量基本定理综合考查.2.掌握基本的运算及共面、共线定理以及空间向量基本定理,重点提升数学运算和直观想象素养.规律方法

1.空间向量的概念及运算是由平面向量延伸而来的,要用类比的思想去掌握,在空间向量的加、减、数乘等线性运算中,要选择适当的向量为基底,用基向量表示出相关向量后再进行向量的运算,同时还要以相应的图形为指导.2.在求一个向量由其他几个向量来表示的时候,通常是利用向量的三角形法则、平行四边形法则和共线向量的特点,把所求的向量逐步分解最终归结为基底下的表示.变式训练1如图,在四面体OABC中,G是△ABC的重心,D是OG的中点,则(

)B专题二空间向量与线面位置关系1.主要考查利用直线的方向向量与平面的法向量,判定、证明空间中的直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行与垂直.2.掌握直线的方向向量与平面的法向量,理解并记忆判定平行与垂直的公式,提升逻辑推理和直观想象素养.【例2】

已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC为等腰直角三角形,∠BAC=90°,且AB=AA1,D,E,F分别为B1A,C1C,BC的中点.(1)求证:DE∥平面ABC;(2)求证:B1F⊥平面AEF.证明

如图,建立空间直角坐标系Axyz.令AB=AA1=4,则A(0,0,0),E(0,4,2),F(2,2,0),A1(0,0,4),B1(4,0,4),D(2,0,2).∵AF∩FE=F,AF,FE⊂平面AEF,∴B1F⊥平面AEF.规律方法

证明线面平行和垂直问题,可以用几何法,也可以用向量法.用向量法的关键在于构造向量,再用共线向量定理或共面向量定理及向量垂直的判定定理.若能建立空间直角坐标系,其证法将更为灵活方便,但要注意向量可平移这一特性,例如证明线面平行时需要强调直线上有一点不在平面内.变式训练2在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,CD的中点.(1)求证:平面AED⊥平面A1FD1;(2)在直线AE上求一点M,使得A1M⊥平面AED.(1)证明

以D为坐标原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.设正方体的棱长为2,则D(0,0,0),A(2,0,0),E(2,2,1),F(0,1,0),A1(2,0,2),D1(0,0,2),同理,平面A1FD1的一个法向量为n2=(0,2,1),∴n1·n2=(0,1,-2)·(0,2,1)=0,∴n1⊥n2,∴平面AED⊥平面A1FD1.专题三空间向量与角1.主要考查利用直线的方向向量与平面的法向量,求直线与直线所成的角、直线与平面的夹角和平面与平面所成的角.2.掌握并理解利用直线的方向向量与平面的法向量求角的公式,提升逻辑推理和直观想象素养.【例3】

[人教A版教材习题]如图,△ABC和△DBC所在平面垂直,且AB=BC=BD,∠CBA=∠DBC=120°.求:(1)直线AD与直线BC所成角的大小;(2)直线AD与平面BCD所成角的大小;(3)平面ABD和平面BDC的夹角的余弦值.解

在平面ABC内过B点作z轴垂直于BC,在平面BCD内过B点作x轴垂直于BC.∵平面ABC⊥平面DBC,∴∠xBz=90°.建立空间直角坐标系Bxyz如图所示,过A点向z轴作垂线可求得纵、竖坐标.设AB=a,∴直线AD与直线BC所成角的大小为90°.(2)设直线AD与平面BCD所成角为θ1,∵n=(0,0,1)是平面BCD的一个法向量,∴θ1=45°,即直线AD与平面BCD所成角的大小为45°.(3)设m=(x,y,z)是平面ABD的法向量.规律方法

1.线线角(1)用“平移法”作出异面直线所成角(或其补角),解三角形求角.(2)用“向量法”求两直线的方向向量所成的角.2.线面角(1)按定义作出线面角(即找到斜线在平面内的射影),解三角形.(2)求平面的法向量,利用直线的方向向量与平面的法向量所成的角和直线与平面所成角的关系求线面角.(3)利用等体积法求点到面的距离,由距离与斜线段长的比值等于线面角的正弦值求线面角.3.二面角(1)可以用定义法作出二面角的平面角解决.(2)向量法是计算二面角大小的常用方法,只要合理建系,将所求归结为向量运算就可以较容易地解决问题.这三种空间角的求解方法很多,学习中应以向量法为主,侧重渗透向量坐标法这一特色.变式训练3如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,B1C和C1D与底面所成的角分别为60°和45°,则异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为

.

变式训练4正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a,侧棱长为

a,求AC1与侧面ABB1A1所成的角.解

建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,变式训练5如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,BC=CD=2,AC=4,∠ACB=∠ACD=,F为PC的中点,AF⊥PB.(1)求PA的长;(2)求二面角B-AF-D的正弦值.解

(1)如图,连接BD交AC于O.因为BC=CD,所以△BCD为等腰三角形.专题四利用空间向量计算距离1.空间距离的计算思路

(2)设平面α的法向量为n,A是平面α内的定点,P是平面α外一点,则点P到2.通过利用向量计算空间的角,可以培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力.【例4】

在三棱锥B-ACD中,平面ABD⊥平面ACD,若棱长AC=CD=AD=AB=1,且∠BAD=30°,求点D到平面ABC的距离.解

如图所示,以AD的中点O为原点,以OD,OC所在直线为x轴、y轴,过O作OM⊥平面ACD交AB于M,以直线OM为z轴建立空间直角坐标系,变式训练6[人教A版教材习题]如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中