新教材2023-2024学年高中数学第一章空间向量与立体几何1.2空间向量在立体几何中的应用1.2.4二面角课件新人教B版选择性必修第一册

第一章1.2.4二面角课程标准1.掌握二面角的概念;2.理解二面角的平面角的含义;3.能用向量法解决二面角的计算问题.基础落实·必备知识全过关重难探究·能力素养全提升目录索引

成果验收·课堂达标检测基础落实·必备知识全过关知识点1二面角及其度量半平面

二面角棱面二面角的平面角过关自诊1.

如图,AB是圆的直径,PA⊥AC,PA⊥BC,C是圆上一点(不同于A,B),且PA=AC,则二面角P-BC-A的平面角为(

)A.∠PAC B.∠CPAC.∠PCA D.∠CABC解析

∵C是圆上一点(不同于A,B),AB是圆的直径,∴AC⊥BC.又PA⊥BC,AC∩PA=A,AC,PA⊂平面PAC,∴BC⊥平面PAC.又PC⊂平面PAC,∴BC⊥PC.又平面ABC∩平面PBC=BC,PC∩AC=C,∴由二面角的定义知∠PCA为二面角P-BC-A的平面角.故选C.2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面B1C1DA与平面BCDA所形成的平面角大小为

.

45°知识点2用空间向量求二面角的大小(1)如果n1,n2分别是平面α1,α2的一个法向量,设α1与α2所成角的大小为θ,则有θ=<n1,n2>或θ=π-<n1,n2>,特别地,sinθ=

.

(2)设二面角α-l-β为θ,平面α,β的法向量分别为n1,n2,有|cosθ|=|cos<n1,n2>|=

成立.

sin<n1,n2>名师点睛利用公式cos<n1,n2>=

(n1,n2分别为两平面的法向量)进行求解,注意<n1,n2>与二面角大小的关系,是相等还是互补,需结合图形进行判断.如图②④中<n1,n2>就是二面角α

-l-β的平面角的补角;如图①③中<n1,n2>就是二面角α

-l-β的平面角.过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)二面角的大小就是该二面角两个半平面的法向量的夹角.(

)(2)若二面角两个半平面的法向量的夹角为120°,则该二面角的大小等于60°或120°.(

)×√2.已知两平面的法向量分别为m=(0,1,0),n=(0,1,1),则两平面所成的二面角的大小为(

)A.45°

B.135°C.45°或135° D.90°C重难探究·能力素养全提升探究点一二面角的平面角问题【例1】如图所示,在三棱锥P-ABC中,PC⊥平面ABC,AB=BC=CA=PC,求二面角B-PA-C的平面角的正切值.解

∵PC⊥平面ABC,PC⊂平面PAC,∴平面PAC⊥平面ABC,交线为AC.作BD⊥AC于点D(图略),可得BD⊥平面PAC.作DE⊥PA于点E,连接BE(图略),据三垂线定理,则BE⊥PA,从而∠BED是二面角B-PA-C的平面角.设PC=a,依题意知△ABC是边长为a的正三角形,规律方法

1.本题解法使用了三垂线定理来作出二面角的平面角后,再用解三角形的方法来求解.2.二面角的求法变式训练1已知△ABC和△BCD均为边长为a的等边三角形,且AD=a,则二面角A-BC-D的大小为(

)A.30°

B.45°

C.60°

D.90°C探究点二利用空间向量求二面角【例2】如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等,AC∩BD=O,A1C1∩B1D1=O1,四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形.(1)证明:O1O⊥底面ABCD;(2)若∠CBA=60°,求二面角C1-OB1-D的余弦值.(1)证明

因为四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形,所以CC1⊥AC,DD1⊥BD.又CC1∥DD1∥OO1,所以OO1⊥AC,OO1⊥BD.因为AC∩BD=O,所以O1O⊥底面ABCD.(2)解

因为四棱柱的所有棱长都相等,所以四边形ABCD为菱形,AC⊥BD.又O1O⊥底面ABCD,所以OB,OC,OO1两两垂直.如图,以O为原点,OB,OC,OO1所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系.设棱长为2.因为∠CBA=60°,设平面OC1B1的法向量为m=(x,y,z),变式探究如果本例条件不变,求二面角B-A1C-D的余弦值.规律方法

利用向量方法求二面角的大小时,多采用法向量法,即求出两个面的法向量,然后通过法向量的夹角来得到二面角的大小,但利用这种方法求解时,要注意结合图形观察分析,不能将两个法向量的夹角与二面角的大小完全等同起来.变式训练2[北师大版教材例题]如图,在空间直角坐标系中有单位正方体ABCD-A'B'C'D',求二面角A'-DC-A的平面角.解

由AA'⊥平面ABCD,可知n1=(0,0,1)是平面ABCD的一个法向量.成果验收·课堂达标检测12341.已知平面α内有一个以AB为直径的圆,PA⊥α,点C在圆周上(异于点A,B),点D,E分别是点A在PC,PB上的射影,则(

)A.∠ADE是二面角A-PC-B的平面角B.∠AED是二面角A-PB-C的平面角C.∠DAE是二面角B-PA-C的平面角D.∠ACB是二面角A-PC-B的平面角B12342.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,二面角D1-AC-D的正切值为(

)D解析

建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,易求得平面ACD1的一个法向量为n1=(1,-1,1),平面ACD的一个法向量为n2=(0,0,1),所12343.

如图所示,点A,B,C分别在空间直角坐标系Oxyz的三条坐标轴上,

=(0,0,2),平面ABC的一个法向量为n=(2,1,2).设二面角C-AB-O的大小为θ,则cosθ=

.

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