新教材2023-2024学年高中数学第二章平面解析几何2.5椭圆及其方程2.5.1椭圆的标准方程分层作业新人教B版选择性必修第一册

第二章2.5椭圆及其方程2.5.1椭圆的标准方程A级必备知识基础练1.[探究点二(角度1)]若椭圆C:x25+y2m=1的一个焦点坐标为(-1,0),A.9 B.6 C.4 D.12.[探究点一](多选题)已知在平面直角坐标系中,点A(-3,0),B(3,0),点P为一动点,且|PA|+|PB|=2a(a≥0),下列说法中正确的是()A.当a=2时,点P的轨迹不存在B.当a=4时,点P的轨迹是椭圆,且焦距为3C.当a=4时,点P的轨迹是椭圆,且焦距为6D.当a=3时,点P的轨迹是以AB为直径的圆3.[探究点二(角度1)]已知命题p:方程x25-m+y2m-1=1A.3<m<5 B.4<m<5C.1<m<5 D.m>14.[探究点三]椭圆x2m2+1+y2m2=1(m>0)的焦点为F1,F2,与y轴的一个交点为A,若∠F1AFA.1 B.2 C.3 D.25.[探究点二(角度1)]已知P为椭圆C上一点,F1,F2为椭圆的焦点,且|F1F2|=23,若2|F1F2|=|PF1|+|PF2|,则椭圆C的标准方程为()A.x212B.x212+y29C.x29D.x248+y2456.[探究点二(角度2)]已知椭圆的焦点为(-1,0)和(1,0),点P(2,0)在椭圆上,则椭圆的方程为()A.x24+y23=1 BC.y24+x23=1 D7.[探究点三]已知F1,F2为椭圆C:x24+y2=1的左、右焦点,点P在椭圆C上,∠F1PF2=60°,则|PF1||PF28.[探究点一]若△ABC的三边长a,b,c满足2b=a+c,A(-1,0),C(1,0),则顶点B的轨迹方程是.

9.[探究点二(角度1)]求满足下列条件的椭圆的标准方程.(1)焦点在y轴上,焦距是4,且经过点M(3,2);(2)c∶a=5∶13,且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.B级关键能力提升练10.如图,已知F1,F2是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,A为椭圆的上顶点,B在x轴上,△ABF2是直角三角形,且|BF1|=|F1F2|,O为坐标原点,若点O到直线AB的距离为A.x216+y29=C.x24+y2=1 D.x11.椭圆x2100+y264=1的焦点为F1,F2,椭圆上的点P满足∠F1PF2=60°,则点PA.6433 B.9133 C.12.(多选题)已知P是椭圆E:x28+y24=1上一点,F1,F2为其左、右焦点,且△F1PF2A.P点纵坐标为3B.∠F1PF2>πC.△F1PF2的周长为4(2+1)D.△F1PF2的内切圆半径为32(13.已知P是椭圆x225+y29=1上的点,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,若PF1·PF14.已知定点A(0,-2),点B在圆C:x2+y2-4y-32=0上运动,C为圆心,线段AB的垂直平分线交BC于点P,则动点P的轨迹E的方程为.

15.已知椭圆C:x225+y216=1内有一点M(2,3),F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,P(1)|PM|-|PF1|的最大值与最小值;(2)|PM|+|PF1|的最大值与最小值.16.已知x轴上一定点A(1,0),Q为椭圆x24+y2=1上任意一点,求AQ的中点MC级学科素养创新练17.(多选题)已知椭圆C:x225+y29=1,F1,F2分别为它的左、右焦点,A,B分别为它的左、右顶点,点PA.存在点P使得∠F1PF2=πB.cos∠F1PF2的最小值为-7C.若PF1⊥PF2,则△F1PF2的面积为9D.直线PA与直线PB斜率的乘积为定值9

2.5.1椭圆的标准方程1.C因为椭圆的焦点(-1,0)在x轴上,所以a2=5,b2=m,所以c2=a2-b2=5-m,即5-m=1,解得m=4.2.AC当a=2时,2a=4<|AB|,故点P的轨迹不存在,A正确;当a=4时,2a=8>|AB|,故点P的轨迹是椭圆,且焦距为|AB|=6,B错误,C正确;当a=3时,2a=6=|AB|,故点P的轨迹为线段AB,D错误.3.B若方程x25-m+y则m-1>5-m>0,解得3<m<5,所以p成立的充要条件是3<m<5.结合四个选项可知,p成立的充分不必要条件是4<m<5.故选B.4.C在椭圆x2m2+1+y2m2=1(m>0)中,a=m2+1,b=m又∠F1AF2=π3,所以△F1AF2为等边三角形,即|AF1|=|F1F2|,所以m2+1=2,即m=3.5.B由已知2c=|F1F2|=23,所以c=3.因为2a=|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=43,所以a=23,所以b2=a2-c2=9.故椭圆C的标准方程是x212+y29=6.A由题可知c=1.由点P(2,0)在椭圆上,可得a=2,∴椭圆的方程为x24+7.43由椭圆定义可得|PF1|+|PF2|=4,利用余弦定理可得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos60°=|F1F2|2所以(|PF1|+|PF2|)2-3|PF1||PF2|=|F1F2|2=12,解得3|PF1||PF2|=4,即|PF1||PF2|=438.x24+y23=1(y≠0)设点B的坐标为∵2b=a+c,即|BC|+|BA|=2|AC|,又A(-1,0),C(1,0),∴|BC|+|BA|=4>2,根据椭圆的定义可知,点B的轨迹是以A(-1,0),C(1,0)为焦点,以4为长轴长的椭圆,故顶点B的轨迹方程为x24+又B为三角形的顶点,故所求的轨迹方程为x24+y239.解(1)由焦距是4可得c=2,且焦点坐标为(0,-2),(0,2).由椭圆的定义知,2a=32+所以a=4,所以b2=a2-c2=16-4=12.又焦点在y轴上,所以椭圆的标准方程为y216+(2)由题意知,2a=26,即a=13,又c∶a=5∶13,所以c=5,所以b2=a2-c2=132-52=144,因为焦点所在的坐标轴不确定,所以椭圆的标准方程为x2169+y2144=10.B因为△ABF2是直角三角形,且|BF1|=|F1F2|,所以△AF1F2是等边三角形,设|F1F2|=2c,则a=2c,①所以直线AB的方程为x-3即bx-3cy+3bc=0,所以点O到直线AB的距离为3bcb2又因为a2=b2+c2,③所以联立①②③,解得a2=4,b2=3,所以椭圆C的方程为x24+11.C易得c=a2-b2=6.设|PF1|=r1,|PF2|=r2,则r1+r在△PF1F2中,由余弦定理得(2c)2=r12+r22-即144=r12+r22-r1r2=(r1+r2)2-3r1r2=400-则r1r2=2563所以S△PF1F2=1设点P到x轴的距离为d,则S△PF1F2=12×|F1F2|×d=6d,故6d=12.CD由已知a=22,b=2,c=2,不妨设P(m,n),m>0,n>0,则S△F1PF2=12×2c×n=∵n=32∴m28+(32)

24=∴|PF1|2=(142+2)2+94=394+214,|PF2|2=(142-2)2∴|PF1|2+|PF2|2-(2c)2=394×2-16=72∴cos∠F1PF2=|PF∴∠F1PF2<π2,故B错误由椭圆的定义,△F1PF2的周长=2a+2c=42+4,故C正确;设△F1PF2的内切圆半径为r,12r·(42+4)=∴r=32(2-1),故D正确.13.33因为PF1·PF2|PF1||PF2|=|PF1||PF2|cos∠F又c=a2-b2=4,记|PF1|=m,则m②2-①整理得mn=12,所以S△F1PF2=12mnsin14.y29+x25=1∴|PA|+|PC|=|PB|+|PC|=6>|AC|=4,∴点P的轨迹E是以A,C为焦点的椭圆,其中c=2,a=3,∴b=5,∴椭圆方程为y29+15.解(1)由椭圆C:x225+y216=1可知则F1(-3,0),F2(3,0),则||PM|-|PF1||≤|MF1|=34,当且仅当P,M,F1三点共线时成立,所以-34≤|PM|-|PF1|≤34,所以|PM|-|PF1|的最大值与最小值分别为34和-34.(2)2a=10,F2(3,0),|MF2|=10.设P是椭圆上任一点,由|PF1|+|PF2|=2a=10,|PM|≥|PF2|-|MF2|,所以|PM|+|PF1|≥|PF2|-|MF2|+|PF1|=2a-|MF2|=10-10,等号仅当|PM|=|PF2|-|MF2|时成立,此时P,M,F2共线.由|PM|≤|PF2|+|MF2|,所以|PM|+|PF1|≤|PF2|+|MF2|+|PF1|=2a+|MF2|=10+10,等号仅当|PM|=|PF2|+|MF2|时成立,此时P,M,F2共线,故|PM|+|PF1|的最大值与最小值分别为10+10和10-10.16.解设中点M的坐标为(x,y),点Q的坐标为(x0,y0),利用中点公式,得x=x因为Q(x0,y0)在椭圆x24+y2=1上,所以x0将x0=2x-1,y0=2y代入上式,得(2x-1)24+故所求AQ的中点M的轨迹方程是x-122+4y17.ABC设椭圆C短轴顶点为D,E,由题知椭圆C:x225+y29=1中,a=5,b=3,c=4,所以F1(-4,0),F2(4,0),A(-5,0),B(5,0),D对于A选项,由于DF1=(-4,-3),DF2=(4,-3),DF1·DF2=-16+9=-7<0,所以∠F1PF2的最大角为钝角