第六节-正弦定理和余弦定理(经典讲义)

eq\a\vs4\al(第六节正弦定理和余弦定理)【考纲下载】掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R(R是△ABC外接圆半径)a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accos_B，c2＝a2＋b2－2abcos_C变形形式①a＝2RsinA，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；②sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)；③a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C；④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)，cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)解决三角形的问题已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角2．在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinA＜a＜ba≥ba＞ba≤b解的个数一解两解一解一解无解3.三角形中常用的面积公式(1)S＝eq\f(1,2)ah(h表示边a上的高)；(2)S＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)absinC；(3)S＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)(r为△ABC内切圆半径)．1．在三角形ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的什么条件？“A＞B”是“cosA＜cosB”的什么条件？提示：“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要条件，“A＞B”是“cosA＜cosB”的充要条件．2．在三角形中，“a2＋b2＜c2”是“△ABC为钝角三角形”的什么条件？“a2＋b2＞c2”是“△ABC为锐角三角形”的什么条件？提示：“a2＋b2＜c2”是“△ABC为钝角三角形”的充分不必要条件；“a2＋b2＞c2”是“△ABC为锐角三角形”的必要不充分条件．1．(2013·北京高考)在△ABC中，a＝3，b＝5，sinA＝eq\f(1,3)，则sinB＝()A.eq\f(1,5)B.eq\f(5,9)C.eq\f(\r(5),3)D．12．在△ABC中，若a＝2，c＝4，B＝60°，则b等于()A．2eq\r(3)B．12C．2eq\r(7)D．283．(2013·湖南高考)在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asinB＝eq\r(3)b，则角A等于()A.eq\f(π,3)B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,6)D.eq\f(π,12)4．在△ABC中，a＝3eq\r(2)，b＝2eq\r(3)，cosC＝eq\f(1,3)，则△ABC的面积为________．5．在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cosB＝－eq\f(1,4)，则b＝________.考点一利用正、余弦定理解三角形[例1](1)(2013·天津高考)在△ABC中，∠ABC＝eq\f(π,4)，AB＝eq\r(2)，BC＝3，则sin∠BAC＝()A.eq\f(\r(10),10)B.eq\f(\r(10),5)C.eq\f(3\r(10),10)D.eq\f(\r(5),5)(2)(2013·安徽高考)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋c＝2a,3sinA＝5sinB，则角C＝________.(3)(2013·浙江高考)在△ABC中，∠C＝90°，M是BC的中点，若sin∠BAM＝eq\f(1,3)，则sin∠BAC＝________.A．2eq\r(3)B．2C.eq\r(2)D．13．(2014·沈阳模拟)在△ABC中，AC＝eq\r(7)，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于()A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(3\r(3),2)C.eq\f(\r(3)＋\r(6),2)D.eq\f(\r(3)＋\r(39),4)4．在△ABC中，若lgsinA－lgcosB－lgsinC＝lg2，则△ABC的形状是()A．直角三角形B．等腰直角三角形C．等边三角形D．等腰三角形5．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若三边的长为连续的三个正整数，且A＞B＞C,3b＝20acosA，则sinA∶sinB∶sinC为()A．4∶3∶2B．5∶6∶7C．5∶4∶3D．6∶5∶46．在△ABC中，AB＝eq\r(3)，AC＝1，B＝30°，则△ABC的面积等于()A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(\r(3),4)C.eq\f(\r(3),2)或eq\r(3)D.eq\f(\r(3),2)或eq\f(\r(3),4)7．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asinAsinB＋bcos2A＝eq\r(2)a，则eq\f(b,a)＝________.8．(2014·深圳模拟)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosA＝eq\f(3,5)，cosB＝eq\f(5,13)，b＝3，则c＝________.9．在△ABC中，B＝60°，AC＝eq\r(3)，则△ABC的周长的最大值为________．10．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＝b2＋c2＋eq\r(3)bc.(1)求A；(2)设a＝eq\r(3)，S为△ABC的面积，求S＋3cosBcosC的最大值，并指出此时B的值．11．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋c＝6，b＝2，cosB＝eq\f(7,9).(1)求a，c的值；(2)求sin(A－B)的值．12．(2013·重庆高考)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2＋b2＋eq\r(2)ab＝c2.(1)求C；(2)设cosAcosB＝eq\f(3\r(2),5)，eq\f(cosα＋Acosα＋B,cos2α)＝eq\f(\r(2),5)，求tanα的值．[冲击名校]1．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)＝6cosC，则eq\f(tanC,tanA)＋eq\f(tanC,tanB)＝________.2.(2013·福建高考)如图，在等腰直角△OPQ中，∠POQ＝90°，OP＝2eq\r(2)，点M在线段PQ上．(1)若OM＝eq\r(5)，求PM的长；(2)若点N在线段MQ上，且∠MON＝30°，问：当∠POM取何值时，△OMN的面积最小？并求出面积的最小值．[高频滚动]1．已知sinx－siny＝－eq\f(2,3)，cosx－cosy＝eq\f(2,3)，且x，y为锐角，则tan(x－y)＝()A.eq\f(2\r(14),5)B．－eq\f(2\r(14),5)