反函数求解及性质

第5讲：反函数【复习要求】理解反函数的意义，会求一些函数的反函数。经历探索互为反函数的两个函数图像之间关系的过程，掌握利用与的性质解决一些问题．【教学重点】反函数的求法，反函数与原函数的关系．【知识要点】1、反函数的概念：对于函数，设它的定义域为，值域为，对应法则为，如果对于每一个值，都有唯一的，满足，这样得到的关于的函数叫做的反函数，记作，〔〕。2、求反函数的一般步骤：〔1〕解出；〔2〕互换、；〔3〕写出反函数的定义域〔即原函数的值域〕。注：求分段函数的反函数可以分别求出各段函数的反函数再合成。反函数的性质：〔1〕．互为反函数的两个函数的图象关于直线y=*对称；即：两个互为反函数的图像如果有交点，它们的交点不一定都在直线y＝*上〔2〕．具有单调性的函数必有反函数，且他们的单调性一样。但反之不一定成立。〔3〕．互为反函数的两个函数在它们各自的定义域具有一样的单调性．〔4〕．一般的偶函数一定不存在反函数(但一种特殊的偶函数存在反函数,例f(*)=a(*=0)它的反函数是f(*)=0(*=a)这是一种极特殊的函数)，奇函数不一定存在反函数。假设一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数。〔5〕．函数y=f(*)的定义域是它的反函数的值域；函数y＝f(*)的值域是它的反函数的定义域．〔6〕．假设y=f(*)(*∈A)，与(*∈C)互为反函数，则有()()〔7〕．*=f(y)与是同一函数，因为它们的定义域、值域对应一样(都分别是原来函数的值域和定义物)，对应法则一样；〔8〕．的反函数；的反函数为：；【典型例题】类型1：判断一个函数是否存在反函数例1、“函数在定义域上是单调函数〞是“函数有反函数〞的充分不必要条件。例2、判断以下说法是否正确，并说明理由。〔1〕奇函数一定有反函数。〔错，反例：三角函数〕〔2〕偶函数一定没有反函数。〔错，反例：f(*)=0〕〔3〕原函数与其反函数交点必在直线上。〔错反例：〕例3、判断以下函数是否存在反函数：〔1〕〔无〕〔2〕〔有〕〔无〕例4、函数〔定义域为，值域为〕有反函数，则方程有解，且的充要条件是满足。类型2：怎样求简单函数的反函数例5、求以下函数的反函数：〔1〕〔2〕〔3〕类型3：互为反函数的两个函数的图像的对称性的应用例6、解决以下有关反函数性质的相关问题：〔1〕、假设函数互为反函数，则，3。〔2〕、函数的反函数的图象关于点〔-2，-3〕对称。〔3〕、函数的值。〔〕〔4〕、函数的图像与的图像关于直线对称，假设的图像过点，则的值为__________；答案：例7、函数的图象关于对称，求的值．解：由得，∴，由题知：，，∴例8、假设既在的图象上，又在它反函数图象上，求的值．解：∵既在的图象上，又在它反函数图象上，∴，∴，∴类型4：怎样求复合函数的反函数例9、，求【解】例10、设，函数的图像与函数的图像关于直线对称，求的值。【答案】〔-10〕例11、〔1〕函数，求；函数的图像经过点，函数的图像经过点，试求函数的表达式；【解】〔1〕先求，再求，最后求得，；〔2〕类型10：有关反函数的综合问题例12、，〔1〕求的反函数；〔2〕假设不等式，对一切恒成立，求的取值围。解：〔1〕〔2〕依题意得：对恒成立即：对恒成立令，则对恒成立设当时，，舍；当时，得：*例13、，是上的奇函数．求的值；求的反函数；对任意的解不等式．解〔1〕由题知，得，此时，即为奇函数．〔2〕∵，得，∴．〔3〕∵，∴，∴，①当时，原不等式的解集，②当时，原不等式的解集【课后练习】A组1．函数的反函数是(D)A．B．C．D．2．函数的反函数是(B)A．B．C．D．3．函数在区间[1,2]上存在反函数的充分必要条件是(D)A．a∈(-∞,1]B．a∈[2,+∞)C．a∈[1,2]D．a∈(-∞,1]∪[2,+∞]4．函数的反函数图像是(C)AA．D．C．B．5．假设函数是函数的反函数，且，则(A)A．B．C．D．26．函数,假设则实数a的取值围是(C)A．B．CD7．设函数f(*)的图象关于点(1,2)对称,且存在反函数,f(4)=0,则=-28．假设f(*)为一次函数,且,则f(*)=or9．假设的反函数为自身,则a=-210．=(*<-1)，则=-211．函数的反函数是(*∈R,*≠2)，求a,b,c的值．a=2,b=1,c=-3．12．函数的图象与的图象关于直线y=*对称,求的值．提示：法2:由题设知的反函数g(*)，又的反函数为f(*)-1∴g(*)=f(*)-1∴B组知函数，是的反函数，假设，则________；【答案】-22．假设〔其中〕，则函数与的图像关于对称．【答案】轴3．设函数的反函数为，且的图像经过点，则的反函数的图像必过点〔〕A、 B、 C、 D、【答案】C4．函数存在反函数，假设过点，则函数恒过点〔〕A、 B、 C、 D、【答案】C5．函数是否存在反函数，假设存在，请求出来；假设不存在，请说明理由．【答案】略求与函数的图象关于直线对称的图象所对应的函数．【答案】由可得，即，即 所求函数7．函数是的反函数，定义：假设对给定的