2024届新高考数学一轮复习配套练习专题11.5 离散型随机变量的分布列 （新教材新高考）（练）含答案

2024届新高考数学一轮复习配套练习专题11.5离散型随机变量的分布列练基础练基础1．（2021·全国·高二课时练习）某商店购进一批西瓜，预计晴天西瓜畅销，可获利1000元；阴天销路一般，可获利500元；下雨天西瓜滞销，会亏损500元，根据天气预报，未来数日晴天的概率为0.4，阴天的概率为0.2，下雨的概率为0.4，试写出销售这批西瓜获利的分布列．2．（2021·全国·高二课时练习）已知离散型随机变量X的分布列如下表所示，求a的值．X123P0.3a0.53．（2021·全国·高二课时练习）抛一枚均匀的硬币，设写出X的分布列．4．（2021·全国·高二课时练习）若随机变量ξ只能取两个值0，1，又知ξ取0的概率是取1的概率的3倍，写出ξ的分布列.5．（2021·全国·高二课时练习）已知离散型随机变量ξ的分布列如下，求k的值．ξ12…nPk2k…2n－1·k6．（2021·全国·高二课时练习）某射击运动员射击一次所得环数的分布列如下表所示．45678910P0.030.050.070.080.26a0.23（1）求常数a的值；（2）求．7．（2021·全国·高二课时练习）从装有6个白球和4个红球的口袋中任取1个球，用X表示取得的白球数，求X的分布列．8．（2021·全国·高二课时练习）已知X服从参数为0.3的两点分布．（1）求；（2）若，写出Y的分布列．9．（2021·全国·高二课时练习）分别判断下列表格是否可能是随机变量X的分布列，并说明理由：（1）X0123P0.20.20.20.20.3（2）X012345P0.10.30.40.20.210．（2021·全国·高二单元测试）设离散型随机变量X的分布列为X01234P0.20.10.10.3m求：（1）的分布列；（2）的值．练提升TIDHNEG练提升TIDHNEG1．（2022·江苏·高三专题练习）设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1，则随机变量ξ的取值对应的概率正确的是（）．A．P(ξ＝0)＝ B．P(ξ＝)＝C．P(ξ＝1)＝ D．P(ξ＝)＝2．（2021·全国·高二课时练习）若随机变量X的分布列如下表所示：X0123Pab则a2＋b2的最小值为________．3．（2021·全国·高二课时练习）将3个小球任意地放入4个大玻璃杯中，一个杯子中球的最多个数记为X，则X的分布列是________.4.（2017课标3，理18选）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温[10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；5.（2021·全国·高二课时练习）抛一枚均匀的硬币2次，设正面朝上的次数为X．（1）说明表示的是什么事件，并求出；（2）求X的分布列．6．（2021·全国·高二课时练习）某射击运动员在一次射击训练中，共有5发子弹，如果命中就停止射击，否则一直到子弹用尽．若已知每次射击命中的概率均为0.9，求该运动员这次训练耗用的子弹数X的分布列．7.（2021·全国·高二课时练习）某商店试销某种商品20天，获得如下数据：日销售量(件)0123频数1595试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率.（1）求当天商店不进货的概率；（2）记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列.8．（2021·全国·高二课时练习）从集合的所有非空子集中，随机地取出一个.（1）求所取出的非空子集中所有元素之和为10的概率；（2）记所取出的非空子集中的元素个数为，求的分布列.9．（2021·全国·高二课时练习）同时掷两个均匀的骰子，设所得点数之和为X．（1）写出X的分布列；（2）求；（3）求“点数和大于9”的概率．10.（2021·全国·高二单元测试）某市高考模拟考试数学试卷解答题的网上评卷采用“双评+仲裁”的方式：两名老师独立评分，称为一评和二评，当两者所评分数之差的绝对值小于或等于1分时，取两者平均分为该题得分；当两者所评分数之差的绝对值大于1分时，再由第三位老师评分，称之为仲裁，取仲裁分数和一、二评中与之接近的分数的平均分为该题得分；当一、二评分数和仲裁分数差值的绝对值相同时，取仲裁分数和一、二评中较高的分数的平均分为该题得分．有的学生考试中会做的题目答完后却得不了满分，原因多为答题不规范，比如：语言不规范、缺少必要文字说明、卷面字迹不清、得分要点缺失等等，把这样的解答称为“缺憾解答”．该市教育研训部门通过大数据统计发现，满分为12分的题目，这样的“缺憾解答”，阅卷老师所评分数及各分数所占比例如表：老师评分11109分数所占比例将这个表中的分数所占比例视为老师对满分为12分题目的“缺憾解答”所评分数的概率，且一、二评与仲裁三位老师评分互不影响．已知一个同学的某道满分为12分题目的解答属于“缺憾解答”．（1）求该同学这个题目需要仲裁的概率；（2）求该同学这个题目得分X的分布列．练真题TIDHNEG练真题TIDHNEG1．（2021·湖南·高考真题）端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有6个粽子，其中肉粽1个，蛋黄粽2个，豆沙粽3个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取2个.（1）用表示取到的豆沙粽的个数，求的分布列；（2）求选取的2个中至少有1个豆沙粽的概率.2.（2019年高考北京卷理选）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：支付金额（元）支付方式（0，1000]（1000，2000]大于2000仅使用A18人9人3人仅使用B10人14人1人（1）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率；（2）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X的分布列；（3）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．3.（2018年理数天津卷选）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.（I）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列；（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率.4.（2017山东，理18选）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示.（I）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含的频率.（II）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列.5．（2017北京，理17选）为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药.一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者.（Ⅰ）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；（Ⅱ）从图中A，B，C，D四人中随机选出两人，记为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求的分布列.6．（2017·天津高考真题（理））从甲地到乙地要经过个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，．（）设表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量的分布列和均值．（）若有辆车独立地从甲地到乙地，求这辆车共遇到个红灯的概率．专题11.5离散型随机变量的分布列练基础练基础1．（2021·全国·高二课时练习）某商店购进一批西瓜，预计晴天西瓜畅销，可获利1000元；阴天销路一般，可获利500元；下雨天西瓜滞销，会亏损500元，根据天气预报，未来数日晴天的概率为0.4，阴天的概率为0.2，下雨的概率为0.4，试写出销售这批西瓜获利的分布列．【答案】答案见解析．【分析】根据已知数据列表格．【详解】用表示获利，则的取值分别是1000，500，－500，分布列如下表：1000500－5000.40.20.42．（2021·全国·高二课时练习）已知离散型随机变量X的分布列如下表所示，求a的值．X123P0.3a0.5【答案】0.2【分析】由分布列中所有概率和为1计算．【详解】由题意，解得3．（2021·全国·高二课时练习）抛一枚均匀的硬币，设写出X的分布列．【答案】答案见解析．【分析】的值分别为，1，求出概率后得分布列．【详解】抛一枚均匀的硬币，有两种可能，正面向上或反面向上，两种情况的可能性相同，或，，分布列如下：014．（2021·全国·高二课时练习）若随机变量ξ只能取两个值0，1，又知ξ取0的概率是取1的概率的3倍，写出ξ的分布列.【答案】答案见解析【分析】根据概率之和为1可求出.【详解】由题意及分布列满足的条件知P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＝3P(ξ＝1)＋P(ξ＝1)＝1，所以，故.所以ξ的分布列为ξ01P5．（2021·全国·高二课时练习）已知离散型随机变量ξ的分布列如下，求k的值．ξ12…nPk2k…2n－1·k【答案】【分析】根据离散型随机变量ξ的概率性质即可求解参数．【详解】因为1＝k＋2k＋…＋2n－1k＝k(1＋2＋…＋2n－1)＝k·＝(2n－1)k，所以．6．（2021·全国·高二课时练习）某射击运动员射击一次所得环数的分布列如下表所示．45678910P0.030.050.070.080.26a0.23（1）求常数a的值；（2）求．【答案】（1）0.28（2）0.85【分析】（1）由分布列中所有概率和为1计算；（2）计算即可．（1）由题意，解得；（2）＝．7．（2021·全国·高二课时练习）从装有6个白球和4个红球的口袋中任取1个球，用X表示取得的白球数，求X的分布列．【答案】答案见解析．【分析】确定的可能值，计算出概率后得分布列．【详解】的所有可能值是0，1．，，所以的分布列如下：018．（2021·全国·高二课时练习）已知X服从参数为0.3的两点分布．（1）求；（2）若，写出Y的分布列．【答案】（1）0.7（2）答案见解析．【分析】（1）根据二项分布的概念求解；（2）求出的可能值，写出分布列即可．（1）．（2）时，，时，，所以的分布列为：130.70.39．（2021·全国·高二课时练习）分别判断下列表格是否可能是随机变量X的分布列，并说明理由：（1）X0123P0.20.20.20.20.3（2）X012345P0.10.30.40.20.2【答案】（1）不是，理由见解析．（2）不是，理由见解析．【分析】（1）根据分布列中所有概率和为1说明；（2）由概率的范围说明．（1）由于，因此此表格不是随机变量的分布列（2）表格中事件的概率是，这是不可能的，概率在范围内．因此此表格不是随机变量的分布列．10．（2021·全国·高二单元测试）设离散型随机变量X的分布列为X01234P0.20.10.10.3m求：（1）的分布列；（2）的值．【答案】（1）分布列见解析；（2）0.7.【分析】(1)先由分布列的性质解出，然后按步骤写出分布列即可；（2）根据（1）中的分布列可计算出答案.【详解】由分布列的性质知，，解得．（1）由题意可知，，，，，，所以的分布列为：13579P0.20.10.10.30.3（2）.练提升TIDHNEG练提升TIDHNEG1．（2022·江苏·高三专题练习）设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1，则随机变量ξ的取值对应的概率正确的是（）．A．P(ξ＝0)＝ B．P(ξ＝)＝C．P(ξ＝1)＝ D．P(ξ＝)＝【答案】ABC【分析】根据题设，结合正方体的性质求两条棱相交、平行、异面的可能情况数，再写出对应ξ＝0、ξ＝1、ξ＝的情况数，应用古典概型的概率求法求它们的概率值即可.【详解】由题设，ξ的可能取值为0，1，．若两条棱相交，交点必在正方体的顶点处，过任意一个顶点的棱有3条，则P(ξ＝0)＝＝，若两条棱平行，它们的距离为1或，而距离为的共有6对，∴P(ξ＝)＝＝，故P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝)＝1－－＝，ξ分布列如下：ξ01P故选：ABC2．（2021·全国·高二课时练习）若随机变量X的分布列如下表所示：X0123Pab则a2＋b2的最小值为________．【答案】【分析】首先根据分布列的性质得到，再利用基本不等式的性质求解即可.【详解】由分布列的性质，知，即.因为，当且仅当时取等号.所以的最小值为.故答案为：3．（2021·全国·高二课时练习）将3个小球任意地放入4个大玻璃杯中，一个杯子中球的最多个数记为X，则X的分布列是________.【答案】X123P【分析】将3个小球任意地放入4个玻璃杯中，杯子中球的个数最多为3个，那么对于各种情况下的概率值进行计算得到分布列．【详解】由题意知X的可能取值为1，2，3；；故答案为：X123P4.（2017课标3，理18选）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温[10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；【答案】(1)见解析.【解析】（1）由题意知，所有的可能取值为200,300,500，由表格数据知，，.因此的分布列为0.20.40.45.（2021·全国·高二课时练习）抛一枚均匀的硬币2次，设正面朝上的次数为X．（1）说明表示的是什么事件，并求出；（2）求X的分布列．【答案】（1）事件见解析，；（2）分布列见解析．【分析】（1）根据表示的意义确定事件，并计算概率．（2）的可能值为0，1，2，求出各概率后得分布列．（1）表示正面向上的次数为1的事件，．（2）的可能值为0，1，2，则，，的分布列如下：0126．（2021·全国·高二课时练习）某射击运动员在一次射击训练中，共有5发子弹，如果命中就停止射击，否则一直到子弹用尽．若已知每次射击命中的概率均为0.9，求该运动员这次训练耗用的子弹数X的分布列．【答案】答案见详解.【分析】X的可能取值为，分别求出相应的概率，由此能求出耗用的子弹数X的分布列.【详解】根据题意，，，，，.X的分布列为：7.（2021·全国·高二课时练习）某商店试销某种商品20天，获得如下数据：日销售量(件)0123频数1595试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率.（1）求当天商店不进货的概率；（2）记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列.【答案】（1）；（2）答案见解析.【分析】（1）由古典概型概率公式与互斥事件的概率公式求解即可；（2）求出X的可能取值，再用古典概型概率公式与互斥事件的概率公式求出概率，即可求解【详解】（1）记“当天商品销售量为0件”为事件A，“当天商品销售量为1件”为事件B，“当天商店不进货”为事件C，则；（2）由题意知，X的可能取值为2，3.P(X＝2)＝P(当天商品销售量为1件)＝；P(X＝3)＝P(当天商品销售量为0件)＋P(当天商品销售量为2件)＋P(当天商品销售量为3件)＝，故X的分布列为：X23P8．（2021·全国·高二课时练习）从集合的所有非空子集中，随机地取出一个.（1）求所取出的非空子集中所有元素之和为10的概率；（2）记所取出的非空子集中的元素个数为，求的分布列.【答案】（1）；（2）答案见解析.【分析】（1）计算基本事件总数和满足条件的基本事件数，利用古典概型的概率公式即得解；（2）的所有可能取值为1，2，3，4，5，计算对应的概率，列出分布列即可.【详解】（1）记“所取出的非空子集中所有元素之和为10”为事件.基本事件总数，事件包含的基本事件有，，，共3个，故.（2）依题意，的所有可能取值为1，2，3，4，5.，，，，.故的分布列为123459．（2021·全国·高二课时练习）同时掷两个均匀的骰子，设所得点数之和为X．（1）写出X的分布列；（2）求；（3）求“点数和大于9”的概率．【答案】（1）答案见解析（2）（3）．【分析】（1）的可能值为，分别计算出概率后可得分布列；（2）由可得；（3）由可得．（1）由题意的可能值依次为，两枚骰子的点数和列表如下（第一行是一个骰子的点数，第一列是另一个骰子的点数，其他格子中为两个骰子点数和，共36个：123456123456723456783456789456789105678910116789101112由表可得，，，，，，的分布列如下：23456789101112（2）；（3）．10.（2021·全国·高二单元测试）某市高考模拟考试数学试卷解答题的网上评卷采用“双评+仲裁”的方式：两名老师独立评分，称为一评和二评，当两者所评分数之差的绝对值小于或等于1分时，取两者平均分为该题得分；当两者所评分数之差的绝对值大于1分时，再由第三位老师评分，称之为仲裁，取仲裁分数和一、二评中与之接近的分数的平均分为该题得分；当一、二评分数和仲裁分数差值的绝对值相同时，取仲裁分数和一、二评中较高的分数的平均分为该题得分．有的学生考试中会做的题目答完后却得不了满分，原因多为答题不规范，比如：语言不规范、缺少必要文字说明、卷面字迹不清、得分要点缺失等等，把这样的解答称为“缺憾解答”．该市教育研训部门通过大数据统计发现，满分为12分的题目，这样的“缺憾解答”，阅卷老师所评分数及各分数所占比例如表：老师评分11109分数所占比例将这个表中的分数所占比例视为老师对满分为12分题目的“缺憾解答”所评分数的概率，且一、二评与仲裁三位老师评分互不影响．已知一个同学的某道满分为12分题目的解答属于“缺憾解答”．（1）求该同学这个题目需要仲裁的概率；（2）求该同学这个题目得分X的分布列．【答案】（1）；（2）分布列见解析.【分析】（1）记表示事件："该同学这个解答题需要仲裁"，设—评、二评所打分数分别为由题设知事件的所有可能情况有：或由此能求出该同学这个题目需要仲裁的概率；（2）随机事件的可能取值为分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列.【详解】（1）设事件A表示“该同学这个题目需要仲裁”，一评、二评所打分数分别为x，y，由题意知事件A的所有可能情况有或，∴．（2）随机事件X的取值范围为，设仲裁所打分数为z，则，，，，，∴X的分布列为：X99.51010.511P练真题TIDHNEG练真题TIDHNEG1．（2021·湖南·高考真题）端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有6个粽子，其中肉粽1个，蛋黄粽2个，豆沙粽3个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取2个.（1）用表示取到的豆沙粽的个数，求的分布列；（2）求选取的2个中至少有1个豆沙粽的概率.【答案】（1）分布列见解析；（2）.【分析】（1）首先求随机变量，再利用古典概型求概率；（2）根据（1）的结果求概率.【详解】（1）由条件可知，，，，所以的分布列，如下表，（2）选取的2个中至少有1个豆沙粽的对立事件是一个都没有，则选取的2个中至少有1个豆沙粽的概率.2.（2019年高考北京卷理选）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：支付金额（元）支付方式（0，1000]（1000，2000]大于2000仅使用A18人9人3人仅使用B10人14人1人（1）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率；（2）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X的分布列；（3）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．【答案】（1）0.4；（2）分布列见解析，E（X）=1；（3）见解析．【解析】（1）由题意知，样本中仅使用A的学生有18+9+3=30人，仅使用B的学生有10+14+1=25人，A，B两种支付方式都不使用的学生有5人．故样本中A，B两种支付方式都使用的学生有100−30−25−5=40人．所以从全校学生中随机抽取1人，该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率估计为．（2）X的所有可能值为0，1，2．记事件C为“从样本仅使用A的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1000元”，事件D为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1000元”．由题设知，事件C，D相互独立，且．所以，，．所以X的分布列为X012P0.240.520.24（3）记事件E为“从样本仅使用A的学生中随机抽查3人，他们本月的支付金额都大于2000元”．假设样本仅使用A的学生中，本月支付金额大于2000元的人数没有变化，则由上个月的样本数据得．答案示例1：可以认为有变化．理由如下：P（E）比较小，概率比较小的事件一般不容易发生．一旦发生，就有理由认为本月的支付金额大于2000元的人数发生了变化，所以可以认为有变化．答案示例2：无法确定有没有变化．理由如下：事件E是随机事件，P（E）比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的，所以无法确定有没有变化．3.（2018年理数天津卷选）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.（I）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列；（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率.【答案】（Ⅰ）从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）答案见解析；（ii）67【解析】（Ⅰ）由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3．P（X=k）=C4k⋅C33−kC73（所以，随机变量X的分布列为X0123P112184（ii）设事件B为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；事件C为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则A=B∪C，且B与C互斥，由（i）知，P(B)=P(X=2)，P(C)=P(X=1)，故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=67．所以，事件A发生的概率为64.（2017山东，理18选）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示.（I）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含的频率.（II）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列.【答案】（I）(II)X的分布列为X01234P【解析】因此X的分布列为X01234P5．（2017北京，理17选）为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药.一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者.（Ⅰ）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；（Ⅱ）从图中A，B，C，D四人中随机选出两人，记为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求的分布列.【答案】（Ⅰ）0.3.（Ⅱ）见解析.【解析】（Ⅰ）由图知，在服药的50名患者中，指标y的值小于60的有15人，所以从服药的50名患者中随机选出一人，指标y的值小于60的有15人，所以从概率为.（Ⅱ）由图知，A,B,C,D四人中，指标的值大于1.7的有2人：A和C.所以的所有可能取值为0,1,2..所以的分布列为0126．（2017·天津高考真题（理））从甲地到乙地要经过个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，．（）设表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量的分布列和均值．（）若有辆车独立地从甲地到乙地，求这辆车共遇到个红灯的概率．【答案】(1)见解析；（2）.【解析】（Ⅰ）解：随机变量的所有可能取值为0,1,2,3.，，，.所以，随机变量的分布列为0123随机变量的数学期望.（Ⅱ）解：设表示第一辆车遇到红灯的个数，表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为.所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为.专题11.6离散型随机变量的均值与方差练基础练基础1．（2021·全国·高二课时练习）一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为，已知他投篮一次得分的均值为2（不计其他得分情况），则ab的最大值为（）A． B． C． D．2．（2021·浙江·模拟预测）已知随机变量的分布列如下：X123Pab2b—a则的最大值为（）A． B．3C．6 D．53．（2021·云南·峨山彝族自治县第一中学高三月考（理））设，随机变量的分布列如表所示，随机变量满足，则当在上增大时，关于的表述，下列正确的是（）-2-10A．增大 B．减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大4．（2021·浙江·高三期中）将2名科学家和3名航天员从左到右排成一排合影留念，用表示两名科学家之间的航天员人数，则_______，_______．5．（2021·全国·高二课时练习）已知随机变量X服从参数为p的两点分布，求．6.（2021·全国·高二学业考试）阳澄湖大闸蟹又名金爪蟹，产于江苏省苏州市，蟹身青壳白肚，肉质膏腻，营养丰富，深受消费者喜爱.某水产品超市购进一批重量为100千克的阳澄湖大闸蟹，随机抽取了50只统计其重量，得到的结果如下表所示：规格中蟹大蟹特大蟹重量/克[160，180）[180，200）[200，220）[220，240）[240，260）[260，280]数量/只32152073（1）估计该批大闸蟹有______只；（结果保留整数）；（2）某顾客从抽取的10只特大蟹中随机购买了4只，记重量在区间[260，280]内的大闸蟹数量为X，则______.7．（2021·全国·高二课时练习）医学上发现，某种病毒侵入人体后，人的体温会升高．记病毒侵入后人体的平均体温为（摄氏度）．医学统计发现，X的分布列如下．X37383940P0.10.50.30.1（1）求出，；（2）已知人体体温为时，相当于，求，．8．（2021·全国·高二课时练习）一台机器生产某种产品，如果生产一件甲等品可获利50元，生产一件乙等品可获利30元，生产一件次品会亏损20元，已知这台机器生产甲等品、乙等品和次品的概率分别为0.6，0.3和0.1，求这台机器每生产一件产品的平均预期收入．9．（2021·全国·高一课时练习）甲、乙两台半自动车床加工同一型号的产品，各生产1000只产品中次品数分别用x和y表示.经过一段时间的观察，发现x和y的频率分布如下表，问：哪一台车床的产品质量较好？x0123P0.70.10.10.1y0123P0.50.30.2010．（2021·全国·高二课时练习）若离散型随机变量X的概率分布是，其中，求证：．练提升TIDHNEG练提升TIDHNEG1．【多选题】（2022·全国·高三专题练习）甲盒中装有3个红球、1个黄球、乙盒中装有1个红球、3个黄球，同时从甲、乙两盒中取出（）个球交换，分别记交换后甲、乙两个盒子中红球个数的数学期望为，，则下列结论正确的是（）A． B．C． D．2．（2021·广东·高三月考）已知某闯关游戏，第一关在两个情境中寻宝．每位参赛选手先在两个情境中选择一个开始第一关，若寻宝失败则比赛结束；若寻宝成功则进入另一个情境，无论寻宝成功与否，第一关比赛结束．情境寻宝成功获得经验值分，否则得分；情境寻宝成功获得经验值分，否则得分．已知某玩家在情境中寻宝成功的概率为，在情境中寻宝成功的概率为，且每个情境中寻宝成功的概率与选择初始情境的次序无关．（1）若该玩家选择从情境开始第一关，记为经验值累计得分，求的分布列；（2）为使经验值累计得分的期望最大，该玩家应选择从哪个情境开始第一关？并说明理由．3．（2021·全国·高二课时练习）已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过血液化验来确定患病的动物，血液化验结果呈阳性的为患病动物．下面是两种化验方案：方案甲：将各动物的血液逐个化验，直到查出患病动物为止．方案乙：先取3只动物的血液进行混合，然后检查，若呈阳性，对这3只动物的血液再逐个化验，直到查出患病动物；若不呈阳性，则检查剩下的2只动物中1只动物的血液．分析哪种化验方案更好．4．（2021·全国·模拟预测）2021年7月24日，中国选手杨倩在东京奥运会女子10米气步枪决赛中，为中国代表团揽入本界奥运会第一枚金牌.受奥运精神的鼓舞，某射击俱乐部组织200名射击爱好者进行一系列的测试，并记录他们的射击技能分数（单位：分），将所得数据分成7组：，，…，，整理得到如图所示的频率分布直方图.（1）求这200名射击爱好者中射击技能分数低于60分的人数；（2）从样本中射击技能分数在的射击爱好者中采用分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽取3人进一步进行射击训练，记抽取的3人中射击技能分数不低于70分的人数为X，求X的分布列与数学期望.5．（2021·福建省福州外国语学校高三月考）某单位组织外出参加公差的12位职工在返回岗位前先让他们进行体检普查某病毒，费用全部由单位承担，假定这12名职工的血液中每个人都不含有病毒（结果呈阴性）的概率都为p，若对每一个人的血样都进行检查，则每一个人都要耗费比较高的一份化验费，经过合理的分析后，提出一份改进方案：先将每一个人的血样各取出一部分，k个人为一组混合后再化验，如果结果都呈阴性，则k个人同时通过，每个人平均化验了次，如果呈阳性再将k个人的血样分别化验，以找出血样中含病毒者，这样每个人化验（1+）次.（1）当p=时且采用改进方案时取k=2，求此时每位职工化验次数X的分布列（2）当k=3时，求采用改进方案能达到节约化验费目的，且此时满足条件的p的取值范围6.（2020·山西应县一中高二期中（理））甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司的底薪80元，每单抽成4元；乙公司无底薪，40单以内（含40单）的部分每单抽成6元，超出40单的部分每单抽成7元，假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其50天的送餐单数，得到如下频数表：甲公司送餐员送餐单数频数表送餐单数3839404142天数101510105乙公司送餐员送餐单数频数表送餐单数3839404142天数51010205（1）现从甲公司记录的50天中随机抽取3天，求这3天送餐单数都不小于40的概率；（2）若将频率视为概率，回答下列两个问题：①记乙公司送餐员日工资为（单位：元），求的分布列和数学期望；②小王打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由．7．（2021·湖南·高三月考）某单位有员工50000人，一保险公司针对该单位推出一款意外险产品，每年每位职工只需要交少量保费，发生意外后可一次性获得若干赔偿金.保险公司把该单位的所有岗位分为，，三类工种，从事三类工种的人数分布比例如饼图所示，且这三类工种每年的赔付概率如下表所示：工种类别赔付概率对于，，三类工种，职工每人每年保费分别为元､元､元，出险后的赔偿金额分别为100万元､100万元､50万元，保险公司在开展此项业务过程中的固定支出为每年20万元.（1）若保险公司要求每年收益的期望不低于保费的，证明：.（2）现有如下两个方案供单位选择：方案一：单位不与保险公司合作，职工不交保险，出意外后单位自行拿出与保险公司提供的等额赔偿金赔付给出意外的职工，单位开展这项工作的固定支出为每年35万元；方案二：单位与保险公司合作，，，单位负责职工保费的，职工个人负责，出险后赔偿金由保险公司赔付，单位无额外专项开支.根据该单位总支出的差异给出选择合适方案的建议.8．（2021·四川·成都七中高三期中（理））某企业有甲、乙两条生产线，其产量之比为.现从两条生产线上按分层抽样的方法得到一个样本，其部分统计数据如表（单位：件），且每件产品都有各自生产线的标记.产品件数一等品二等品总计甲生产线乙生产线总计（1）请将列联表补充完整，并根据独立性检验估计；大约有多大把握认为产品的等级差异与生产线有关?（2）为进一步了解产品出现等级差异的原因，现将样本中所有二等品逐个进行技术检验（随机抽取且不放回）.设甲生产线的两个二等品恰好检验完毕时，已检验乙生产线二等品的件数为，求随机变量的分布列及数学期望.参考公式：.9．（2021·全国·高二课时练习）假设在A军与B军的某次战役中，A军有8位将领，善用骑兵的将领有5人；B军有8位将领，善用骑兵的将领有4人.（1）现从A军将领中随机选取4名将领，求至多有3名是善用骑兵的将领的概率；（2）在A军和B军的将领中各随机选取2人，X为善用骑兵的将领的人数，写出X的分布列，并求.10．（2021·北京通州·高三期中）某蔬菜批发商分别在甲、乙两个市场销售某种蔬菜（两个市场的销售互不影响），已知该蔬菜每售出1吨获利500元，未售出的蔬菜降价处理，每吨亏损100元．现分别统计该蔬菜在甲、乙两个市场以往100个周期的市场需求量，制成频数分布条形图如下：以市场需求量的频率代替需求量的概率．设批发商在下个销售周期购进吨该蔬菜，在甲、乙两个市场同时销售，以（单位：吨）表示下个销售周期两个市场的总需求量，（单位：元）表示下个销售周期两个市场的销售总利润．（1）求变量概率分布列；（2）当时，求与的函数解析式，并估计销售利润不少于8900元的概率；（3）以销售利润的期望作为决策的依据，判断与应选用哪一个．练真题TIDHNEG练真题TIDHNEG1．（2020·全国高考真题（文））设一组样本数据x1，x2，…，xn的方差为0.01，则数据10x1，10x2，…，10xn的方差为（）A．0.01 B．0.1 C．1 D．102．（2020·全国高考真题（理））在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为，且，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（）A． B．C． D．3.（2020·浙江省高考真题）盒子里有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球，从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止.设此过程中取到黄球的个数为，则_______；______．4.（2021·全国·高考真题）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，己知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.（1）若小明先回答A类问题，记为小明的累计得分，求的分布列；（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.5.（2021·北京·高考真题）在核酸检测中,“k合1”混采核酸检测是指：先将k个人的样本混合在一起进行1次检测,如果这k个人都没有感染新冠病毒，则检测结果为阴性，得到每人的检测结果都为阴性，检测结束:如果这k个人中有人感染新冠病毒，则检测结果为阳性，此时需对每人再进行1次检测,得到每人的检测结果，检测结束.现对100人进行核酸检测，假设其中只有2人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确.（I）将这100人随机分成10组，每组10人，且对每组都采用“10合1”混采核酸检测.(i)如果感染新冠病毒的2人在同一组，求检测的总次数;(ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一组的概率为.设X是检测的总次数，求X的分布列与数学期望E(X).(II）将这100人随机分成20组，每组5人，且对每组都采用“5合1”混采核酸检测.设Y是检测的总次数，试判断数学期望E(Y)与(I)中E(X)的大小.(结论不要求证明)6．（2020·江苏省高考真题）甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为Xn，恰有2个黑球的概率为pn，恰有1个黑球的概率为qn．（1）求p1·q1和p2·q2；（2）求2pn+qn与2pn-1+qn-1的递推关系式和Xn的数学期望E(Xn)(用n表示)．专题11.6离散型随机变量的均值与方差练基础练基础1．（2021·全国·高二课时练习）一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为，已知他投篮一次得分的均值为2（不计其他得分情况），则ab的最大值为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题设可得，结合基本不等式即可求ab的最大值，注意等号成立条件.【详解】由题意，得，即，∴，则，当且仅当时取得等号，∴ab的最大值为.故选：D2．（2021·浙江·模拟预测）已知随机变量的分布列如下：X123Pab2b—a则的最大值为（）A． B．3C．6 D．5【答案】C【分析】根据概率和为1得到，再计算，得到，，计算最值得到答案.【详解】，只需求的最大值即可，根据题意：，，，所以，当时，其最大值为，故的最大值为．故选：C.3．（2021·云南·峨山彝族自治县第一中学高三月考（理））设，随机变量的分布列如表所示，随机变量满足，则当在上增大时，关于的表述，下列正确的是（）-2-10A．增大 B．减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大【答案】A【分析】由分布列的性质求得，再求、关于的表达式，由及得到关于的二次函数，即可判断的单调性.【详解】由分布列的性质：，可得，∴，，∴，又，∴在上增大时，增大.故选：A4．（2021·浙江·高三期中）将2名科学家和3名航天员从左到右排成一排合影留念，用表示两名科学家之间的航天员人数，则_______，_______．【答案】11【分析】根据题意可得的所有可能取值为0，1，2，3，求出对应的概率，进而求出和，根据计算即可.【详解】解：的所有可能取值为0，1，2，3．；；；．得，所以，所以．故答案为：1；15．（2021·全国·高二课时练习）已知随机变量X服从参数为p的两点分布，求．【答案】【分析】利用离散型随机变量期望及方差公式即得.【详解】∵随机变量X服从参数为p的两点分布，∴，所以．6.（2021·全国·高二学业考试）阳澄湖大闸蟹又名金爪蟹，产于江苏省苏州市，蟹身青壳白肚，肉质膏腻，营养丰富，深受消费者喜爱.某水产品超市购进一批重量为100千克的阳澄湖大闸蟹，随机抽取了50只统计其重量，得到的结果如下表所示：规格中蟹大蟹特大蟹重量/克[160，180）[180，200）[200，220）[220，240）[240，260）[260，280]数量/只32152073（1）估计该批大闸蟹有______只；（结果保留整数）；（2）某顾客从抽取的10只特大蟹中随机购买了4只，记重量在区间[260，280]内的大闸蟹数量为X，则______.【答案】446【分析】（1）由频率直方表求大闸蟹的平均重量，进而求100千克的阳澄湖大闸蟹大概数量.（2）由题设有X的范围是{0，1，2，3}，进而求其分布列，根据分布列求期望即可.【详解】7．（2021·全国·高二课时练习）医学上发现，某种病毒侵入人体后，人的体温会升高．记病毒侵入后人体的平均体温为（摄氏度）．医学统计发现，X的分布列如下．X37383940P0.10.50.30.1（1）求出，；（2）已知人体体温为时，相当于，求，．【答案】（1）38.4，0.64.（2）101.12，2.0736.【分析】（1）利用期望及方差公式即求；（2）由可得,即求.（1）由题可得，.（2）由可知，，.8．（2021·全国·高二课时练习）一台机器生产某种产品，如果生产一件甲等品可获利50元，生产一件乙等品可获利30元，生产一件次品会亏损20元，已知这台机器生产甲等品、乙等品和次品的概率分别为0.6，0.3和0.1，求这台机器每生产一件产品的平均预期收入．【答案】37元.【分析】根据已知条件，可设这台机器每生产一件产品可获利，且得出的可能值和对应的概率，根据离散型随机变量直接求出数学期望，即可得出这台机器每生产一件产品的平均预期收入.【详解】解：由题可知，一台机器生产甲等品、乙等品和次品分别获利50元，30元和-20元，这台机器生产甲等品、乙等品和次品的概率分别为0.6，0.3和0.1，可设这台机器每生产一件产品可获利，则的可能值为50，30，-20，则，，，所以台机器每生产一件产品的平均预期收入为：（元）.9．（2021·全国·高一课时练习）甲、乙两台半自动车床加工同一型号的产品，各生产1000只产品中次品数分别用x和y表示.经过一段时间的观察，发现x和y的频率分布如下表，问：哪一台车床的产品质量较好？x0123P0.70.10.10.1y0123P0.50.30.20【答案】乙比甲质量好【分析】利用数学期望计算公式可得比较其大小即可得得出结论.【详解】由表格可得：，即乙比甲质量好.10．（2021·全国·高二课时练习）若离散型随机变量X的概率分布是，其中，求证：．【答案】详见解析.【分析】利用离散型随机变量X的概率分布的性质及期望公式即得.【详解】练提升TIDHNEG练提升TIDHNEG1．【多选题】（2022·全国·高三专题练习）甲盒中装有3个红球、1个黄球、乙盒中装有1个红球、3个黄球，同时从甲、乙两盒中取出（）个球交换，分别记交换后甲、乙两个盒子中红球个数的数学期望为，，则下列结论正确的是（）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】分别就，2，3计算概率得出数学期望，憨厚逐一分析各选项即可得出结论．【详解】解：X表示交换后甲盒子中的红球数，Y表示交换后乙盒子中的红球数，当时，则，，，∴，，故A正确，C正确；当时，，，，∴，，故B正确；当时，，，，∴，∴，故D错误.故选：ABC.2．（2021·广东·高三月考）已知某闯关游戏，第一关在两个情境中寻宝．每位参赛选手先在两个情境中选择一个开始第一关，若寻宝失败则比赛结束；若寻宝成功则进入另一个情境，无论寻宝成功与否，第一关比赛结束．情境寻宝成功获得经验值分，否则得分；情境寻宝成功获得经验值分，否则得分．已知某玩家在情境中寻宝成功的概率为，在情境中寻宝成功的概率为，且每个情境中寻宝成功的概率与选择初始情境的次序无关．（1）若该玩家选择从情境开始第一关，记为经验值累计得分，求的分布列；（2）为使经验值累计得分的期望最大，该玩家应选择从哪个情境开始第一关？并说明理由．【答案】（1）分布列见解析；（2）应从情境开始第一关，理由见解析.【分析】（1）确定所有可能的取值，并求出对应的概率，从而得到分布列；（2）分别求得从两个情境开始的得分期望值，根据大小关系可得结论.（1）由题意知：所有可能的取值为，，，；；，的分布列为：（2）由（1）得：从情境开始第一关，则；若从情境开始第一关，记为经验值累计得分，则所有可能的取值为，，，；；，；，应从情境开始第一关.3．（2021·全国·高二课时练习）已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过血液化验来确定患病的动物，血液化验结果呈阳性的为患病动物．下面是两种化验方案：方案甲：将各动物的血液逐个化验，直到查出患病动物为止．方案乙：先取3只动物的血液进行混合，然后检查，若呈阳性，对这3只动物的血液再逐个化验，直到查出患病动物；若不呈阳性，则检查剩下的2只动物中1只动物的血液．分析哪种化验方案更好．【答案】方案乙更好.【分析】用，分别表示两个方案所需化验的次数，通过比较的大小即得.【详解】用表示方案甲所需化验的次数，则可取1,2,3,4，∴；用表示方案乙所需化验的次数，则可取2,3若，有两种可能：先化验3只结果为阳性，再从中逐个化验时，恰好一次验中的概率为，先化验3只结果为阴性，再从其余2只中取1只化验的概率为，故，若，只有一种可能：先化验3只结果为阳性，再从中逐个化验时，恰好两次验出时的概率为，∴，∴，故方案乙更好.4．（2021·全国·模拟预测）2021年7月24日，中国选手杨倩在东京奥运会女子10米气步枪决赛中，为中国代表团揽入本界奥运会第一枚金牌.受奥运精神的鼓舞，某射击俱乐部组织200名射击爱好者进行一系列的测试，并记录他们的射击技能分数（单位：分），将所得数据分成7组：，，…，，整理得到如图所示的频率分布直方图.（1）求这200名射击爱好者中射击技能分数低于60分的人数；（2）从样本中射击技能分数在的射击爱好者中采用分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽取3人进一步进行射击训练，记抽取的3人中射击技能分数不低于70分的人数为X，求X的分布列与数学期望.【答案】（1）（2）分布列答案见解析，数学期望：【分析】（1）先根据频率分布直方图得到射击技能分数低于60分的频率，然后可得射击技能分数低于60分的人数；（2）根据频率分布直方图及分层抽样的知识得到抽取的8人中射击技能分数不低于70分的人数和射击技能分数低于70分的人数，然后写出X的所有可能取值，根据超几何分布的概率公式分别求出各个取值对应的概率，最后可得分布列和数学期望.（1）由频率分布直方图可知，射击技能分数低于60分的频率为，所以这200名射击爱好者中射击技能分数低于60分的人数为.（2）由频率分布直方图可知，射击技能分数在，，的频率分别为0.2，0.4，0.2，由分层抽样的知识知抽取的8名射击爱好者中，射击技能分数不低于70分的人数为，则射击技能分数低于70分的人数为.所以X的所有可能取值为1，2，3，；；；X的分布列为X123P所以.5．（2021·福建省福州外国语学校高三月考）某单位组织外出参加公差的12位职工在返回岗位前先让他们进行体检普查某病毒，费用全部由单位承担，假定这12名职工的血液中每个人都不含有病毒（结果呈阴性）的概率都为p，若对每一个人的血样都进行检查，则每一个人都要耗费比较高的一份化验费，经过合理的分析后，提出一份改进方案：先将每一个人的血样各取出一部分，k个人为一组混合后再化验，如果结果都呈阴性，则k个人同时通过，每个人平均化验了次，如果呈阳性再将k个人的血样分别化验，以找出血样中含病毒者，这样每个人化验（1+）次.（1）当p=时且采用改进方案时取k=2，求此时每位职工化验次数X的分布列（2）当k=3时，求采用改进方案能达到节约化验费目的，且此时满足条件的p的取值范围【答案】（1）详见解析（2）【分析】（1）由题意可知X的可能取值为,，分别求出对应的概率，即得；（2）当k=3时，设采用改进方案检验次数为Y，则Y可取1,4，可取其期望，列不等式即可解.（1）由题意可得，X的可能取值为,，则，故X的分布列为：XP（2）当k=3时，采用改进方案进行检验，设检验的次数为Y,则Y的可能取值为1,4，，，采用改进方案能达到节约化验费目的，则，解得，故p的取值范围为.6.（2020·山西应县一中高二期中（理））甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司的底薪80元，每单抽成4元；乙公司无底薪，40单以内（含40单）的部分每单抽成6元，超出40单的部分每单抽成7元，假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其50天的送餐单数，得到如下频数表：甲公司送餐员送餐单数频数表送餐单数3839404142天数101510105乙公司送餐员送餐单数频数表送餐单数3839404142天数51010205（1）现从甲公司记录的50天中随机抽取3天，求这3天送餐单数都不小于40的概率；（2）若将频率视为概率，回答下列两个问题：①记乙公司送餐员日工资为（单位：元），求的分布列和数学期望；②小王打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由．【答案】（1）.（2）见解析【解析】（1）记抽取的天送餐单数都不小于40为事件，则.（2）①设乙公司送餐员送餐单数为，则当时，，当时，，当时，，当时，，当时，.所以的所有可能取值为228，234，240，247，254.故的分布列为：228234240247254所以②依题意，甲公司送餐员日平均送餐单数为所以甲公司送餐员日平均工资为元.由①得乙公司送餐员日平均工资为241.8元.因为，故推荐小王去乙公司应聘.7．（2021·湖南·高三月考）某单位有员工50000人，一保险公司针对该单位推出一款意外险产品，每年每位职工只需要交少量保费，发生意外后可一次性获得若干赔偿金.保险公司把该单位的所有岗位分为，，三类工种，从事三类工种的人数分布比例如饼图所示，且这三类工种每年的赔付概率如下表所示：工种类别赔付概率对于，，三类工种，职工每人每年保费分别为元､元､元，出险后的赔偿金额分别为100万元､100万元､50万元，保险公司在开展此项业务过程中的固定支出为每年20万元.（1）若保险公司要求每年收益的期望不低于保费的，证明：.（2）现有如下两个方案供单位选择：方案一：单位不与保险公司合作，职工不交保险，出意外后单位自行拿出与保险公司提供的等额赔偿金赔付给出意外的职工，单位开展这项工作的固定支出为每年35万元；方案二：单位与保险公司合作，，，单位负责职工保费的，职工个人负责，出险后赔偿金由保险公司赔付，单位无额外专项开支.根据该单位总支出的差异给出选择合适方案的建议.【答案】（1）证明见解析（2）建议单位选择方案二【分析】（1）求得个工种对应职工的每份保单保险公司的收益的期望值，然后结合职工类别的频率以及“每年收益的期望不低于保费的”列不等式，由此证得.（2）分别求得两种方案单位总支出的期望值，由此作出选择.（1）设工种，，对应职工的每份保单保险公司的收益分别为随机变量，，（单位：元），则，，的分布列分别为，，.所以，整理得.（2）方案一：单位不与保险公司合作，则单位每年赔偿金支出的期望与固定开支共为（元）.方案二：单位与保险公司合作，则单位支出金额为（元）.因为，所以建议单位选择方案二.8．（2021·四川·成都七中高三期中（理））某企业有甲、乙两条生产线，其产量之比为.现从两条生产线上按分层抽样的方法得到一个样本，其部分统计数据如表（单位：件），且每件产品都有各自生产线的标记.产品件数一等品二等品总计甲生产线乙生产线总计（1）请将列联表补充完整，并根据独立性检验估计；大约有多大把握认为产品的等级差异与生产线有关?（2）为进一步了解产品出现等级差异的原因，现将样本中所有二等品逐个进行技术检验（随机抽取且不放回）.设甲生产线的两个二等品恰好检验完毕时，已检验乙生产线二等品的件数为，求随机变量的分布列及数学期望.参考公式：.【答案】（1）答案见解析；（2）分布列见解析，数学期望为2.【分析】（1）分析题意完成2×2列联表,直接套公式求出，对照参数下结论；（2）直接求出概率，写出分布列，套公式求出数学期望.（1）由题意可得，一共抽样50个，产量之比为，按分层抽样抽取，故甲生产线抽取，乙生产线抽取，故甲生产线抽取一等品40-2=38，乙生产线抽取二等品10-7=3，填表如下：产品件数一等品二等品总计甲生产线3840乙生产线310总计455所以，故有97.5％把握认为产品的等级差异与生产线有关（2）依题意得，检验顺序的所有可能为甲甲乙乙乙，甲乙甲乙乙，乙甲甲乙乙，甲乙乙甲乙，乙甲乙甲乙，乙乙甲甲乙，甲乙乙乙甲，乙甲乙乙甲，乙乙甲乙甲，乙乙乙甲甲，共10种可能.的所有可能取值为：0，1，2，3.故，，，，则的分布列为：0123P所以9．（2021·全国·高二课时练习）假设在A军与B军的某次战役中，A军有8位将领，善用骑兵的将领有5人；B军有8位将领，善用骑兵的将领有4人.（1）现从A军将领中随机选取4名将领，求至多有3名是善用骑兵的将领的概率；（2）在A军和B军的将领中各随机选取2人，X为善用骑兵的将领的人数，写出X的分布列，并求.【答案】（1）（2）分布列见解析，【分析】（1）利用对立事件来求得“至多有3名是善用骑兵的将领的概率”.（2）结合古典概型概率计算公式，计算出分布列并求得.（1）若从A军将领中随机选取4名将领，则有4名是善用骑兵的将领的概率为，故从A军将领中随机选取4名将领，至多有3名是善用骑兵的将领的概率为.（2）由题意知，则：，，，，，所