2024届新高考数学一轮复习配套练习专题9.6 直线与圆锥曲线 （新教材新高考）（练）含答案

2024届新高考数学一轮复习配套练习专题9.6直线与圆锥曲线练基础练基础1．（2021·四川成都市·成都七中高三月考（文））已知点是抛物线的焦点，点为抛物线的对称轴与其准线的交点，过作抛物线的切线，切点为，若点恰在以、为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（）A． B．C． D．2．（2022·全国高三专题练习）直线4kx－4y－k＝0与拋物线y2＝x交于A、B两点，若|AB|＝4，则弦AB的中点到直线x＋＝0的距离等于（）A． B． C． D．3.（2020·浙江高三月考）如图，已知抛物线和圆，直线经过的焦点，自上而下依次交和于A，B，C，D四点，则的值为A． B． C．1 D．24.（2019·天津高考真题（理））已知抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l.若l与双曲线x2a2−y2bA.2 B.3 C.2 D.55.【多选题】（2021·河北沧州市·高三月考）已知直线与抛物线交于两点，若线段的中点是，则（）A． B．C． D．点在以为直径的圆内6．（2021·江苏扬州·高三月考）直线过抛物线的焦点F，且与C交于A，B两点，则___________.7．（2022·全国高三专题练习）在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线y2＝4x的焦点F，且与该抛物线相交于A、B两点，其中点A在x轴上方．若直线l的倾斜角为60°，则△OAF的面积为________．8．（2022·全国高三专题练习）抛物线的焦点F是圆x2＋y2－4x＝0的圆心．（1）求该抛物线的标准方程；（2）直线l的斜率为2，且过抛物线的焦点，若l与抛物线、圆依次交于A、B、C、D，求|AB|＋|CD|．9.（2020·广西钦州·高二期末（文））已知抛物线的顶点为，焦点坐标为．（1）求抛物线方程；（2）过点且斜率为1的直线与抛物线交于，两点，求线段的值．10.（2021·江苏扬州·高三月考）在平面直角坐标系中，已知椭圆（）的右焦点为，离心率为.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若过点F的直线l交C于A，B两点，线段的中点为M，分别过A，B作C的切线，，且与交于点P，证明：O，P，M三点共线.练提升TIDHNEG练提升TIDHNEG1.【多选题】（2021·山东济南·高三月考）已知直线过抛物线的焦点，且直线与抛物线交于两点，过两点分别作抛物线的切线，两切线交于点，设，，.则下列选项正确的是（）A．B．以线段为直径的圆与直线相离C．当时，D．面积的取值范围为2.（2019·全国高三月考（文））已知抛物线的焦点为F，直线与抛物线交于M，N两点，且以线段MN为直径的圆过点F，则p=（）A.1 B.2 C.4 D.63．（2020·山西运城·高三月考（理））已知抛物线的焦点为，为坐标原点，点在抛物线上，且，点是抛物线的准线上的一动点，则的最小值为（）.A． B． C． D．4．（2021·重庆北碚区·西南大学附中高三月考）已知分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于两点，记的内切圆的半径为，的内切圆的半径为，圆、的面积为、，则的取值范围是__________．5．（2020·山东青岛·高三开学考试）已知直线：与抛物线：在第一象限的交点为，过的焦点，，则抛物线的准线方程为_______；_______.6．（2020·江苏如皋·高二月考）已知是抛物线的焦点，，为抛物线上任意一点，的最小值为，则________；若过的直线交抛物线于、两点，有，则________.7．（2021·天津南开区·南开中学高三月考）设椭圆：的左焦点为，离心率为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为．（1）求椭圆的方程；（2）设，分别为椭圆的左、右顶点，过点且斜率为的直线与椭圆交于点，两点，且，求的值．8．（2021·北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的焦点在y轴上，且抛物线上的点P(x0,4)到焦点F的距离为5.斜率为2的直线l与抛物线C交于A，B两点.（1）求抛物线C的标准方程，及抛物线在P点处的切线方程；（2）若AB的垂直平分线分别交y轴和抛物线于M，N两点（M，N位于直线l两侧），当四边形AMBN为菱形时，求直线l的方程.9.（2019·天津高考真题（文））设椭圆的左焦点为，左顶点为，上顶点为B.已知（为原点）.（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设经过点且斜率为的直线与椭圆在轴上方的交点为，圆同时与轴和直线相切，圆心在直线上，且，求椭圆的方程.10．（2019·全国高三月考（理））如图，己知抛物线，直线交抛物线于两点，是抛物线外一点，连接分别交地物线于点，且.（1）若，求点的轨迹方程.（2）若，且平行x轴，求面积.练真题TIDHNEG练真题TIDHNEG1.（2021·天津高考真题）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（）A． B． C．2 D．32.（2020·全国高考真题（理））已知F为双曲线的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3，则C的离心率为______________.3.（2019·浙江高考真题）已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是_______.4.（2020·全国高考真题（文））已知椭圆的离心率为，，分别为的左、右顶点．（1）求的方程；（2）若点在上，点在直线上，且，，求的面积．5．（2019·江苏高考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:的焦点为F1（–1、0），F2（1，0）．过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，l与圆F2:交于点A，与椭圆C交于点D.连结AF1并延长交圆F2于点B，连结BF2交椭圆C于点E，连结DF1．已知DF1=．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求点E的坐标．6．（2021·山东高考真题）已知抛物线的顶点是坐标原点，焦点在轴的正半轴上，是抛物线上的点，点到焦点的距离为1，且到轴的距离是．（1）求抛物线的标准方程；（2）假设直线通过点，与抛物线相交于，两点，且，求直线的方程．专题9.6直线与圆锥曲线练基础练基础1．（2021·四川成都市·成都七中高三月考（文））已知点是抛物线的焦点，点为抛物线的对称轴与其准线的交点，过作抛物线的切线，切点为，若点恰在以、为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（）A． B．C． D．【答案】B【分析】设切线方程为，将该直线的方程与抛物线的方程联立，由可求得的值，设点，利用韦达定理求出的值，利用双曲线的定义求出的值，进而可求得该双曲线的离心率.【详解】抛物线的焦点为，易知点，设切线方程为，联立，即，则，解得，设点，由韦达定理可得，以、为焦点的双曲线的实轴长为，则，则，因此，该双曲线的离心率为，故选：B.2．（2022·全国高三专题练习）直线4kx－4y－k＝0与拋物线y2＝x交于A、B两点，若|AB|＝4，则弦AB的中点到直线x＋＝0的距离等于（）A． B． C． D．【答案】D【分析】分析可得直线恒过抛物线的焦点，根据抛物线焦点弦的性质|AB|＝x1＋x2，可得弦AB的中点的横坐标是，即得解【详解】直线4kx－4y－k＝0，即y＝k，即直线4kx－4y－k＝0过拋物线y2＝x的焦点．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2，故x1＋x2＝，则弦AB的中点的横坐标是，所以弦AB的中点到直线x＋＝0的距离是．故选：D3.（2020·浙江高三月考）如图，已知抛物线和圆，直线经过的焦点，自上而下依次交和于A，B，C，D四点，则的值为A． B． C．1 D．2【答案】C【解析】因为抛物线的焦点为，又直线经过的焦点，设直线，由得，设，则由题意可得：，同理，所以.故选C4.（2019·天津高考真题（理））已知抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l.若l与双曲线x2a2−y2bA.2 B.3 C.2 D.5【答案】D【解析】抛物线y2=4x的准线l的方程为双曲线的渐近线方程为y=±b则有A(−1,∴AB=2ba，2b∴e=c故选D.5.【多选题】（2021·河北沧州市·高三月考）已知直线与抛物线交于两点，若线段的中点是，则（）A． B．C． D．点在以为直径的圆内【答案】AB【分析】直线与抛物线方程联立，利用韦达定理和中点坐标可构造方程求得，知A正确；将中点坐标代入直线方程即可求得，知B正确；根据直线过抛物线焦点，根据抛物线焦点弦长公式可知C错误；根据长度关系可确定，由此可确定D错误.【详解】对于A，设，，由得：，，又线段的中点为，，解得：，A正确；对于B，在直线上，，B正确；对于C，过点，为抛物线的焦点，，C错误；对于D，设，则，又，，，在以为直径的圆上，D错误.故选：AB.6．（2021·江苏扬州·高三月考）直线过抛物线的焦点F，且与C交于A，B两点，则___________.【答案】8【分析】由题意，求出，然后联立直线与抛物线方程，由韦达定理及即可求解.【详解】解：因为抛物线的焦点坐标为，又直线过抛物线的焦点F，所以，抛物线的方程为，由，得，所以，所以.故答案为：8.7．（2022·全国高三专题练习）在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线y2＝4x的焦点F，且与该抛物线相交于A、B两点，其中点A在x轴上方．若直线l的倾斜角为60°，则△OAF的面积为________．【答案】【分析】根据焦点坐标和直线的倾斜角得出直线的点斜式方程，然后利用直线和抛物线相交可得出A点坐标.继而可求出.【详解】解：由题意得：抛物线交点，直线l的倾斜角为60°，直线l的方程为，即代入抛物线方程，得解得（舍去）所以，于是可得故答案为：8．（2022·全国高三专题练习）抛物线的焦点F是圆x2＋y2－4x＝0的圆心．（1）求该抛物线的标准方程；（2）直线l的斜率为2，且过抛物线的焦点，若l与抛物线、圆依次交于A、B、C、D，求|AB|＋|CD|．【答案】（1）y2＝8x；（2）6.【分析】（1）由圆的方程写出圆心坐标，进而可得抛物线方程.（2）由题意知|AB|＋|CD|＝|AD|－|BC|，写出直线l的方程，设A(x1,y1)、D(x2,y2)，联立抛物线求x1＋x2、x1x2，即可求|AD|，进而求|AB|＋|CD|．【详解】（1）由圆的方程知：圆心坐标为(2,0)．故所求的抛物线焦点为(2,0)，∴抛物线的标准方程为y2＝8x．（2）如图，|AB|＋|CD|＝|AD|－|BC|，又|BC|＝4，只需求出|AD|即可．由题意，AD所在直线方程为y＝2(x－2)，与抛物线方程y2＝8x联立得：x2－6x＋4＝0，设A(x1,y1)，D(x2,y2)，则x1＋x2＝6，x1x2＝4，∴|AD|＝|AF|＋|DF|＝(x1＋2)＋(x2＋2)＝x1＋x2＋4＝6＋4＝10，∴|AB|＋|CD|＝|AD|－|BC|＝6．9.（2020·广西钦州·高二期末（文））已知抛物线的顶点为，焦点坐标为．（1）求抛物线方程；（2）过点且斜率为1的直线与抛物线交于，两点，求线段的值．【答案】（1）．（2）【解析】（1）∵焦点坐标为∴，，∴抛物线的方程为．（2）设直线方程为，设，，联立消元得，∴，，，∴．∴线段的值为．10.（2021·江苏扬州·高三月考）在平面直角坐标系中，已知椭圆（）的右焦点为，离心率为.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若过点F的直线l交C于A，B两点，线段的中点为M，分别过A，B作C的切线，，且与交于点P，证明：O，P，M三点共线.【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）根据离心率及焦点求出即可得椭圆标准方程；（2）设直线l的方程为：，联立方程后结合根与系数的关系计算即可证明三点共线.【详解】（1），椭圆方程为.（2）由题意知斜率不为0，设直线l的方程为：，，，，，由，即.，，.直线的方程为：①，直线的方程为②，，，，，即O，P，M三点共线.练提升TIDHNEG练提升TIDHNEG1.【多选题】（2021·山东济南·高三月考）已知直线过抛物线的焦点，且直线与抛物线交于两点，过两点分别作抛物线的切线，两切线交于点，设，，.则下列选项正确的是（）A．B．以线段为直径的圆与直线相离C．当时，D．面积的取值范围为【答案】BCD【分析】求出抛物线的焦点及准线，设直线l的方程为，与抛物线方程联立，利用韦达定理，计算可判断A；利用定义及直线与圆的位置可判断B；由向量共线求出弦长判断C；求出点G的坐标及面积的函数式即可判断作答.【详解】抛物线的焦点，准线方程为，设直线l的方程为，由消去y得：，于是得，，A不正确；以线段AB为直线的圆的圆心，则，点到直线距离，由抛物线定义得，显然，即以线段为直径的圆与直线相离，B正确；当时，有，即，而，于是得，，C正确；由求导得，于是得抛物线C在A处切线方程为：，即，同理，抛物线C在B处切线方程为：，联立两切线方程解得，，点到直线l：的距离，于是得面积，当且仅当时取“=”，面积的取值范围为，D正确.故选：BCD2.（2019·全国高三月考（文））已知抛物线的焦点为F，直线与抛物线交于M，N两点，且以线段MN为直径的圆过点F，则p=（）A.1 B.2 C.4 D.6【答案】B【解析】设，联立，消去x得，由韦达定理可得：，，以线段MN为直径的圆的方程为，又其过点F，，，，，故选：B3．（2020·山西运城·高三月考（理））已知抛物线的焦点为，为坐标原点，点在抛物线上，且，点是抛物线的准线上的一动点，则的最小值为（）.A． B． C． D．【答案】A【解析】抛物线的准线方程为，，到准线的距离为2，故点纵坐标为1，把代入抛物线方程可得．不妨设在第一象限，则，点关于准线的对称点为，连接，则，于是故的最小值为．故选：A．4．（2021·重庆北碚区·西南大学附中高三月考）已知分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于两点，记的内切圆的半径为，的内切圆的半径为，圆、的面积为、，则的取值范围是__________．【答案】【分析】首先根据双曲线以及切线性质证明轴，然后根据三角形相似关系求出与之间的关系，再根据已知条件求出的取值范围，进而求出的取值范围，最后利用函数思想求出的取值范围即可求解.【详解】由双曲线的方程可知，实半轴长，虚半轴长，且，设圆与分别切于，，，连接，如下图所示：由圆的切线性质可知，，，，有双曲线定义可知，，即，设，故，解得，，由切线性质可知，与点坐标都为，同理可知，圆也与轴也切于点，故轴，且、、三点共线，又由三角形内切圆的性质可知，、分别为和的角平分线，易得，，从而可得，，故，因为，所以，，因为双曲线的渐近线：，所以其倾斜角分别为和，又因为直线与双曲线的右支交于，两点，所以直线的倾斜角范围为，易得所以，由，不妨令，，易知，在上单调递减，在上单调递增，故的最小值为，又因为，从而在上的值域为，所以的取值范围为，又因为，所以的取值范围为.故答案为：.5．（2020·山东青岛·高三开学考试）已知直线：与抛物线：在第一象限的交点为，过的焦点，，则抛物线的准线方程为_______；_______.【答案】【解析】易知直线与轴的交点为，即抛物线的焦点为，∴准线方程为，设，则，，作轴于点，如图，则，，∴，∴直线的斜率为．故答案为：；．6．（2020·江苏如皋·高二月考）已知是抛物线的焦点，，为抛物线上任意一点，的最小值为，则________；若过的直线交抛物线于、两点，有，则________.【答案】【解析】过点作垂直于抛物线的准线，垂足为点，由抛物线的定义可得，，则，则点在抛物线内，如下图所示：，当点、、共线时，取得最小值，解得，所以，抛物线的标准方程为，该抛物线的焦点为，设点、，可知直线不与轴重合，设直线的方程为，联立，可得，恒成立，由韦达定理得，，，则，，所以，，可得，，可得，因此，.故答案为：；.7．（2021·天津南开区·南开中学高三月考）设椭圆：的左焦点为，离心率为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为．（1）求椭圆的方程；（2）设，分别为椭圆的左、右顶点，过点且斜率为的直线与椭圆交于点，两点，且，求的值．【答案】（1）；（2）.【分析】(1)利用椭圆的离心率，和过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为，列出方程求解，可得椭圆的方程；(2)联立直线CD和椭圆方程，利用韦达定理和向量数量积的坐标公式代入解出k的值．【详解】（1）设F(－c，0)，由，知．过点F且与x轴垂直的直线为x＝－c，代入椭圆方程有，解得，于是，解得，又，从而，c＝1，所以椭圆的方程为．（2）设点C(x1，y1)，D(x2，y2)，由F(－1，0)得直线CD的方程为y＝k(x＋1)，由方程组消去y，整理得(2＋3k2)x2＋6k2x＋3k2－6＝0．求解可得x1＋x2＝，x1x2＝．因为A(，0)，B(，0)，所以·＋·＝(x1＋，y1)·(－x2，－y2)＋(x2＋，y2)·(－x1，－y1)＝6－2x1x2－2y1y2＝6－2x1x2－2k2(x1＋1)(x2＋1)＝6－(2＋2k2)x1x2－2k2(x1＋x2)－2k2＝．由已知得，解得k＝．8．（2021·北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的焦点在y轴上，且抛物线上的点P(x0,4)到焦点F的距离为5.斜率为2的直线l与抛物线C交于A，B两点.（1）求抛物线C的标准方程，及抛物线在P点处的切线方程；（2）若AB的垂直平分线分别交y轴和抛物线于M，N两点（M，N位于直线l两侧），当四边形AMBN为菱形时，求直线l的方程.【答案】（1）；切线方程为或；（2）.【分析】（1）利用抛物线定义，结合已知即可求参数，写出抛物线标准方程，即可得P点坐标，利用导数的几何意义求P点处切线的斜率，即可写出切线方程.（2）设直线为，，，联立抛物线并整理，应用韦达定理求，，再根据中点公式求的中点，并写出的垂直平分线方程，利用菱形的对称性求N点坐标，由点在直线上求参数m，即可得直线l的方程.【详解】（1）依题意,设抛物线C：，由P到焦点F的距离为5，∴P到准线的距离为5，又P(x0,4)，∴由抛物线准线方程得：，即，则抛物线的标准方程为.∴，则，点P(±4,4)，∴，.∴(4,4)处抛物线切线方程为，即；(4,4)处抛物线切线方程为，即.综上，点处抛物线切线方程为或.（2）设直线的方程为，，，联立抛物线得：，消y得，.∴，，则，，即的中点为.∴的垂直平分线方程为.∵四边形AMBN为菱形，∴，，关于对称，则，又在抛物线上，∴，即，故直线的方程为.9.（2019·天津高考真题（文））设椭圆的左焦点为，左顶点为，上顶点为B.已知（为原点）.（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设经过点且斜率为的直线与椭圆在轴上方的交点为，圆同时与轴和直线相切，圆心在直线上，且，求椭圆的方程.【答案】（I）；（II）.【解析】（I）解：设椭圆的半焦距为，由已知有，又由，消去得，解得，所以，椭圆的离心率为.（II）解：由（I）知，，故椭圆方程为，由题意，，则直线的方程为，点的坐标满足，消去并化简，得到，解得，代入到的方程，解得，因为点在轴的上方，所以，由圆心在直线上，可设，因为，且由（I）知，故，解得，因为圆与轴相切，所以圆的半径为2，又由圆与相切，得，解得，所以椭圆的方程为：.10．（2019·全国高三月考（理））如图，己知抛物线，直线交抛物线于两点，是抛物线外一点，连接分别交地物线于点，且.（1）若，求点的轨迹方程.（2）若，且平行x轴，求面积.【答案】（1）（2）【解析】（1）解法1：，设，则，由可得，故，同理，故，代入抛物线得：，化简得：，同理得：，所以为方程的两根，又由，将代入且①，将代入①，得，故.故点P的轨迹方程为.解法2：同解法1知，设线段的中点分别为，易知三点共线，（为实数），所以.以下同解法1.（2）由为方程的两根，可得：.由（1）得，因为，所以，故.轴且在抛物线上，∴关于轴对称.，及，且.∵在抛物线上,，解得.设的中点为，则，所以，而.练真题TIDHNEG练真题TIDHNEG1.（2021·天津高考真题）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（）A． B． C．2 D．3【答案】A【分析】设公共焦点为，进而可得准线为，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得，再由双曲线离心率公式即可得解.【详解】设双曲线与抛物线的公共焦点为，则抛物线的准线为，令，则，解得，所以,又因为双曲线的渐近线方程为，所以，所以，即，所以，所以双曲线的离心率.故选：A.2.（2020·全国高考真题（理））已知F为双曲线的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3，则C的离心率为______________.【答案】2【解析】联立，解得，所以.依题可得，，，即，变形得，,因此，双曲线的离心率为.故答案为：．3.（2019·浙江高考真题）已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是_______.【答案】【解析】方法1：由题意可知，由中位线定理可得，设可得，联立方程可解得（舍），点在椭圆上且在轴的上方，求得，所以方法2：焦半径公式应用解析1：由题意可知，由中位线定理可得，即求得，所以.4.（2020·全国高考真题（文））已知椭圆的离心率为，，分别为的左、右顶点．（1）求的方程；（2）若点在上，点在直线上，且，，求的面积．【答案】（1）；（2）.【解析】（1），，根据离心率，解得或(舍)，的方程为：，即；（2）不妨设,在x轴上方点在上，点在直线上，且，，过点作轴垂线，交点为，设与轴交点为根据题意画出图形，如图，，，又，，，根据三角形全等条件“”，可得：，，，，设点为，可得点纵坐标为，将其代入，可得：，解得：或，点为或，①当点为时，故，，，可得：点为，画出图象，如图,，可求得直线的直线方程为：，根据点到直线距离公式可得到直线的距离为：，根据两点间距离公式可得：，面积为：；②当点为时，故，，，可得：点为，画出图象，如图,，可求得直线的直线方程为：，根据点到直线距离公式可得到直线的距离为：，根据两点间距离公式可得：，面积为：，综上所述，面积为：.5．（2019·江苏高考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:的焦点为F1（–1、0），F2（1，0）．过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，l与圆F2:交于点A，与椭圆C交于点D.连结AF1并延长交圆F2于点B，连结BF2交椭圆C于点E，连结DF1．已知DF1=．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求点E的坐标．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设椭圆C的焦距为2c.因为F1(－1，0)，F2(1，0)，所以F1F2=2，c=1.又因为DF1=，AF2⊥x轴，所以DF2=，因此2a=DF1+DF2=4，从而a=2.由b2=a2-c2，得b2=3.因此，椭圆C的标准方程为.（2）解法一：由（1）知，椭圆C：，a=2，因为AF2⊥x轴，所以点A的横坐标为1.将x=1代入圆F2的方程(x-1)2+y2=16，解得y=±4.因为点A在x轴上方，所以A(1，4).又F1(-1，0)，所以直线AF1：y=2x+2.由，得，解得或.将代入，得，因此.又F2(1，0)，所以直线BF2：.由，得，解得或.又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以.将代入，得.因此.解法二：由（1）知，椭圆C：.如图，连结EF1.因为BF2=2a，EF1+EF2=2a，所以EF1=EB，从而∠BF1E=∠B.因为F2A=F2B，所以∠A=∠B，所以∠A=∠BF1E，从而EF1∥F2A.因为AF2⊥x轴，所以EF1⊥x轴.因为F1(-1，0)，由，得.又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以.因此.6．（2021·山东高考真题）已知抛物线的顶点是坐标原点，焦点在轴的正半轴上，是抛物线上的点，点到焦点的距离为1，且到轴的距离是．（1）求抛物线的标准方程；（2）假设直线通过点，与抛物线相交于，两点，且，求直线的方程．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根据抛物线的定义，结合到焦点、轴的距离求，写出抛物线方程.（2）直线的斜率不存在易得与不垂直与题设矛盾，设直线方程联立抛物线方程，应用韦达定理求，，进而求，由题设向量垂直的坐标表示有求直线方程即可.【详解】（1）由己知，可设抛物线的方程为，又到焦点的距离是1，∴点到准线的距离是1，又到轴的距离是，∴，解得，则抛物线方程是．（2）假设直线的斜率不存在，则直线的方程为，与联立可得交点、的坐标分别为，，易得，可知直线与直线不垂直，不满足题意，故假设不成立，∴直线的斜率存在．设直线为，整理得，设，，联立直线与抛物线的方程得，消去，并整理得，于是，，∴，又，因此，即，∴，解得或．当时，直线的方程是，不满足，舍去．当时，直线的方程是，即，∴直线的方程是．专题9.7圆锥曲线综合问题练基础练基础1．（2021·河南高三开学考试（文））已知过的直线与抛物线交于，两点，为弦的中点，为坐标原点，直线与抛物线的另一个交点为，则两点、纵坐标的比值范围是（）A． B．C． D．2．（2021·全国高三专题练习）已知直线与椭圆相交于两点，为坐标原点.当的面积取得最大值时，（）A． B．C． D．3．（2021·全国高三专题练习）已知A、B是抛物线y2＝4x上异于原点O的两点，则“＝0”是“直线AB恒过定点（4，0）”的（）A．充分非必要条件 B．充要条件C．必要非充分条件 D．非充分非必要条件4.（2021·全国高三专题练习）已知A、B是抛物线的两点，为坐标原点，若且的内心恰是此抛物线的焦点，则直线的方程是（）A． B．C． D．5．（2022·江苏高三专题练习）设抛物线：的焦点为，点是抛物线上一点，且．设直线与抛物线交于、两点，若（为坐标原点）．则直线过定点（）．A． B． C． D．6．（2022·北京石景山区·）过椭圆的右焦点并垂直于轴的直线与椭圆的一个交点为，椭圆上不同的两点，满足条件：成等差数列，则弦的中垂线在轴上的截距的范围是（）A． B． C． D．7．【多选题】（2021·重庆实验外国语学校高三开学考试）如图，为椭圆：上的动点，过作椭圆的切线交圆：于，，过，作切线交于，则（）A．的最大值为B．的最大值为C．的轨迹方程是D．的轨迹方程是8．【多选题】（2021·江苏南京市第二十九中学高三开学考试）已知F为抛物线C：（）的焦点，下列结论正确的是（）A．抛物线的的焦点到其准线的距离为．B．已知抛物线C与直线l：在第一、四象限分别交于A，B两点，若，则．C．过F作两条互相垂直的直线，，直线与C交于A，B两点，直线与C交于D，E两点，则四边形面积的最小值为．D．若过焦点F的直线l与抛物线C相交于M，N两点，过点M，N分别作抛物线C的切线，，切线与相交于点P，则点P在定直线上．9．（2021·全国高三专题练习）设椭圆的左焦点为，直线与椭圆交于、两点，则周长的取值范围是_________10．（2021·全国高三专题练习）已知椭圆的左顶点为A，过A作两条弦AM、AN分别交椭圆于M、N两点，直线AM、AN的斜率记为，满足，则直线MN经过的定点为___________．练提升TIDHNEG练提升TIDHNEG1．（2021·全国高二课时练习）过椭圆的焦点的弦中最短弦长是（）A． B． C． D．2．（2019·北京高考真题（理））数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过；③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.其中，所有正确结论的序号是A．① B．② C．①② D．①②③3．（2020·四川武侯·成都七中高二月考（理））已知点是椭圆上的动点，、为椭圆的左、右焦点，为坐标原点，若是的角平分线上的一点，且，则的取值范围是（）A． B． C． D．4．【多选题】（2021·济宁市育才中学）已知双曲线：（）的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上的动点，过作两渐近线的垂线，垂足分别为，．若圆与双曲线的渐近线相切，则（）A．双曲线的离心率B．当点异于顶点时，的内切圆的圆心总在直线上C．为定值D．的最小值为5．【多选题】（2021·全国高二期中）椭圆的左、右焦点分别为，，为坐标原点，则以下说法正确的是（）A．过点的直线与椭圆交于，两点，则的周长为8B．椭圆上存在点，使得C．椭圆的离心率为D．为椭圆上一点，为圆上一点，则点，的最大距离为36．（2021·山东）已知圆，，动圆与圆､都相切，则动圆的圆心轨迹的方程为___________；直线与曲线仅有三个公共点，依次为､､，则的最大值为___________.7．（2021·深圳实验学校高中部高二期末）如图，已知抛物线直线交抛物线C于A，B两点，O为坐标原点.（1）证明：；（2）设抛物线C在点A处的切线为，在点B处的切线为，证明：与的交点M在一定直线上.8.（2021·浙江温州·高二期末）已知抛物线的焦点到准线的距离为2，直线交抛物线于，两点.（1）求抛物线的标准方程；（2）过点，分别作抛物线的切线，，点为直线，的交点.（i）求证：点在一条定直线上；（ii）求面积的取值范围.9.（2021·四川南充·（文））设抛物线的焦点为，过且斜率k的直线与交于A，D两点，.（1）求；（2）若在上，过点作的弦，，若，证明：直线过定点，并求出定点的坐标.10．（山东高考真题（理））已知抛物线的焦点为，为上异于原点的任意一点，过点的直线交于另一点，交轴的正半轴于点，且有.当点的横坐标为时，为正三角形.（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）若直线，且和有且只有一个公共点，（ⅰ）证明直线过定点，并求出定点坐标；（ⅱ）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.练真题TIDHNEG练真题TIDHNEG1．（2021·全国高考真题（文））已知抛物线的焦点F到准线的距离为2．（1）求C的方程;（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求直线斜率的最大值.2.（2020·山东高考真题）已知抛物线的顶点在坐标原点，椭圆的顶点分别为，，，，其中点为抛物线的焦点，如图所示.（1）求抛物线的标准方程；（2）若过点的直线与抛物线交于，两点，且，求直线的方程.3．（2020·江苏省高考真题）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点A在椭圆E上且在第一象限内，AF2⊥F1F2，直线AF1与椭圆E相交于另一点B．（1）求△AF1F2的周长；（2）在x轴上任取一点P，直线AP与椭圆E的右准线相交于点Q，求的最小值；（3）设点M在椭圆E上，记△OAB与△MAB的面积分别为S1，S2，若S2=3S1，求点M的坐标．4．（2020·山东海南省高考真题）已知椭圆C：的离心率为，且过点A（2，1）．（1）求C的方程：（2）点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．5.（2021·全国高考真题（理））已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最小值为．（1）求；（2）若点在上，是的两条切线，是切点，求面积的最大值．6.（2019·全国高考真题（理））已知点A(−2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为−.记M的轨迹为曲线C.（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G.（i）证明：是直角三角形；（ii）求面积的最大值.专题9.7圆锥曲线综合问题练基础练基础1．（2021·河南高三开学考试（文））已知过的直线与抛物线交于，两点，为弦的中点，为坐标原点，直线与抛物线的另一个交点为，则两点、纵坐标的比值范围是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】首先设出直线，与抛物线方程联立，利用韦达定理求得中点的坐标，并求出直线的方程，与抛物线联立，求得点的纵坐标，即可求得的范围.【详解】设直线，代入得，，，，直线，代入得，.故选：A2．（2021·全国高三专题练习）已知直线与椭圆相交于两点，为坐标原点.当的面积取得最大值时，（）A． B．C． D．【答案】A【分析】联立直线方程与椭圆方程，化简，得到韦达定理，由弦长公式求得，由O到直线的距离，表示出的面积，利用基本不等关系求得最大值，从而求得此时的.【详解】由，得.设，，则，，.又O到直线的距离，则的面积，当且仅当，即时，的面积取得最大值.此时，.故选：A.3．（2021·全国高三专题练习）已知A、B是抛物线y2＝4x上异于原点O的两点，则“＝0”是“直线AB恒过定点（4，0）”的（）A．充分非必要条件 B．充要条件C．必要非充分条件 D．非充分非必要条件【答案】B【分析】设出A、B的坐标和直线AB的方程，将直线方程代入抛物线方程并化解，进而求出，然后结合根与系数的关系将化简，最后根据逻辑关系得到答案.【详解】根据题意，A、B是抛物线y2＝4x上异于原点O的两点，设A（x1，y1），B（x2，y2），设直线AB方程为x＝my+b，将直线AB方程代入抛物线方程y2＝4x，可得y2﹣4my﹣4b＝0，则y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4b，则＝x1x2+y1y2＝.若，则b=4，则直线AB的方程为x＝my+4，直线AB恒过定点（4，0）；若直线AB恒过定点（4，0），则b=4，于是.所以是“直线AB恒过定点（4，0）”的充要条件.故选：B．4.（2021·全国高三专题练习）已知A、B是抛物线的两点，为坐标原点，若且的内心恰是此抛物线的焦点，则直线的方程是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】由题意可知A、B两点关于轴对称，若令点A在轴上方，坐标为（），则，由于的内心恰是此抛物线的焦点，所以由三角形角平分线的性质得,即,从而可求得答案【详解】因为A、B是抛物线的两点，为坐标原点，，所以A、B两点关于轴对称，设点A在轴上方，坐标为（），则，所以,设交轴于点,则,因为,所以,因为的内心恰是此抛物线的焦点，所以平分，所以由三角形角平分线的性质得,即，化简得,,解得,因为,所以,所以直线的方程为故选：C.5．（2022·江苏高三专题练习）设抛物线：的焦点为，点是抛物线上一点，且．设直线与抛物线交于、两点，若（为坐标原点）．则直线过定点（）．A． B． C． D．【答案】C【分析】先结合抛物线的定义求得抛物线方程，设出直线的方程并与抛物线方程联立，化简写出根与系数关系，由列方程，化简求得，由此求得直线过定点.【详解】∵是抛物线上一点，且．∴，解得，即抛物线的方程为．依题意可知直线的斜率不为，设直线的方程为，，，由消去得，则，．因为，所以，即．化简得．由得，所以直线的方程为，所以直线经过定点．故选：C6．（2022·北京石景山区·）过椭圆的右焦点并垂直于轴的直线与椭圆的一个交点为，椭圆上不同的两点，满足条件：成等差数列，则弦的中垂线在轴上的截距的范围是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用焦半径公式得，设中点，利用点差法可求得，进而求得弦的中垂线方程，求得其在轴上的截距，利用在椭圆“内”，可求得结果.【详解】因为成等差数列，，利用焦半径公式得：，，代入可得设中点，椭圆上不同的两点，，两式作差可得，，所以弦的中垂线的方程为：，当时，，此即的中垂线在轴上的截距，在椭圆“内”，，得，．故选：C．7．【多选题】（2021·重庆实验外国语学校高三开学考试）如图，为椭圆：上的动点，过作椭圆的切线交圆：于，，过，作切线交于，则（）A．的最大值为B．的最大值为C．的轨迹方程是D．的轨迹方程是【答案】AD【分析】设出，根据椭圆和圆的方程分别写出所在的直线方程，从而求出，代入椭圆方程即可求出的轨迹方程是；根据到直线的距离求出的面积，从而利用基本不等式求最值.【详解】设，则切点弦所在的直线方程为，又因为为椭圆上的一点，所以切线所在的直线方程为，所以，即，所以，因为在椭圆上，所以，即，所以的轨迹方程是.因为直线的方程为，所以到直线的距离为，所以的面积为，当且仅当且时，即时等号成立，所以的最大值为.故选：AD.8．【多选题】（2021·江苏南京市第二十九中学高三开学考试）已知F为抛物线C：（）的焦点，下列结论正确的是（）A．抛物线的的焦点到其准线的距离为．B．已知抛物线C与直线l：在第一、四象限分别交于A，B两点，若，则．C．过F作两条互相垂直的直线，，直线与C交于A，B两点，直线与C交于D，E两点，则四边形面积的最小值为．D．若过焦点F的直线l与抛物线C相交于M，N两点，过点M，N分别作抛物线C的切线，，切线与相交于点P，则点P在定直线上．【答案】BCD【分析】A：根据焦点到准线的距离等于即可判断A选项；B：联立，得，进而结合焦半径公式得到与进而可以求出的值，从而判断B选项；C：由题意可知直线，的斜率均存在，且不为0，设直线，联立，结合韦达定理表示出弦长，同理，进而得到的面积，结合均值不等式即可求出结果，进而判断C选项；D：设，不妨设，利用导数的几何意义求出在处的切线方程和在处的切线方程进而求出交点的坐标，即可判断D选项.【详解】A：抛物线的的焦点到其准线的距离为，故A错误；B：联立，则，解得，由题意可知，，故，所以，故B正确；C：由题意可知直线，的斜率均存在，且不为0，设直线，联立，则，设两交点为，结合韦达定理，所以；同理,所以，当且仅当时，等号成立；所以四边形面积的最小值为，故C正确；D：设，不妨设因为（），若，则，所以，所以在点处的切线的斜率为，因此在处的切线方程为，即，同理在处的切线方程为，则，解得，因为直线过点，所以，即，所以，故点P在定直线上，故D正确；故选：BCD.9．（2021·全国高三专题练习）设椭圆的左焦点为，直线与椭圆交于、两点，则周长的取值范围是_________【答案】【分析】求出的取值范围，结合椭圆的定义可求得周长的取值范围.【详解】设椭圆的右焦点为，连接、，

因为、的中点为坐标原点，故四边形为平行四边形，所以，，由椭圆的定义可得，因为直线与椭圆关于原点对称，则点、也关于原点对称，设点，则，所以，，所以，的周长为.故答案为：.10．（2021·全国高三专题练习）已知椭圆的左顶点为A，过A作两条弦AM、AN分别交椭圆于M、N两点，直线AM、AN的斜率记为，满足，则直线MN经过的定点为___________．【答案】【分析】设出直线OM,ON的方程，代入到椭圆方程解出M,N的坐标结合进行化简，进而求出直线MN的方程，最后得到答案.【详解】由题意，椭圆的左顶点为（-4,0），设，由，则，由,因为，所以，则，所以，于是，化简得：，令，所以直线MN经过轴上的定点.故答案为：.练提升TIDHNEG练提升TIDHNEG1．（2021·全国高二课时练习）过椭圆的焦点的弦中最短弦长是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由过椭圆焦点的最短弦所在直线不垂直y轴，设出其方程并与椭圆方程联立求出直线被椭圆所截弦长即可推理作答.【详解】显然过椭圆焦点的最短弦所在直线l不垂直y轴，设l的方程为：x=my+c，由消去x并整理得：，设直线l与椭圆交于点，则有，则有，当且仅当时取“=”，于是，当，即直线l垂直于x轴时，，所以过椭圆的焦点的最短弦是与焦点所在坐标轴垂直的弦，最短弦长是.故选：A2．（2019·北京高考真题（理））数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过；③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.其中，所有正确结论的序号是A．① B．② C．①② D．①②③【答案】C【解析】由得,,,所以可为的整数有0,-1,1,从而曲线恰好经过(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1),(-1,0),(-1,1)六个整点,结论①正确.由得,,解得,所以曲线上任意一点到原点的距离都不超过.结论②正确.如图所示,易知,四边形的面积,很明显“心形”区域的面积大于,即“心形”区域的面积大于3,说法③错误.故选C.3．（2020·四川武侯·成都七中高二月考（理））已知点是椭圆上的动点，、为椭圆的左、右焦点，为坐标原点，若是的角平分线上的一点，且，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】如图，延长与交于点，则是的角平分线，由可得与垂直，可得为等腰三角形，故为的中点，由于为的中点，则为的中位线，故，由于，所以，所以，问题转化为求的最值，而的最小值为，的最大值为，即的值域为，故当或时，取得最大值为，当时，在轴上，此时与重合，取得最小值为0，又由题意，最值取不到，所以的取值范围是，故选：A.4．【多选题】（2021·济宁市育才中学）已知双曲线：（）的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上的动点，过作两渐近线的垂线，垂足分别为，．若圆与双曲线的渐近线相切，则（）A．双曲线的离心率B．当点异于顶点时，的内切圆的圆心总在直线上C．为定值D．的最小值为【答案】ACD【分析】由圆心到渐近线的距离等于半径求得，从而可得，得离心率，判断A；设出的内切圆与其三边的切点，利用切线的性质得出点横坐标，从而判断B；，求出，代入点在双曲线上的条件可判断C；利用余弦定理求得，并由基本不等式求得最小值判断D．【详解】由题意双曲线的渐近线方程是，圆的圆心是，半径是1，则，（舍去），又，所以，离心率为，A正确；设的内切圆与三边切点分别为，如图，由圆的切线性质知，所以，因此内心在直线，即直线上，B错；设，则，，渐近线方程是，则，，为常数，C正确；由已知的方程是，倾斜角为，所以，，，当且仅当时等号成立，D正确．故选：ACD．5．【多选题】（2021·全国高二期中）椭圆的左、右焦点分别为，，为坐标原点，则以下说法正确的是（）A．过点的直线与椭圆交于，两点，则的周长为8B．椭圆上存在点，使得C．椭圆的离心率为D．为椭圆上一点，为圆上一点，则点，的最大距离为3【答案】ABD【分析】结合椭圆定义判断A选项的正确性，结合向量数量积的坐标运算判断B选项的正确性，直接法求得椭圆的离心率，由此判断C选项的正确性，结合两点间距离公式判断D选项的正确性.【详解】对于选项：由椭圆定义可得：，因此的周长为，所以选项正确；对于选项：设，则，且，又，，所以，，因此，解得，，故选项正确；对于选项：因为，，所以，即，所以离心率，所以选项错误；对于选项：设，，则点到圆的圆心的距离为，因为，所以，所以选项正确，故选：ABD．6．（2021·山东）已知圆，，动圆与圆､都相切，则动圆的圆心轨迹的方程为___________；直线与曲线仅有三个公共点，依次为､､，则的最大值为___________.【答案】或【分析】①分析两个圆的位置，圆内含于圆，则圆有与圆外切，与圆内切，以及与圆､都内切两种情况，分别列出关系化简即可.②由①的结果可知，若有三个公共点，则与内部的椭圆相切，与外部的椭圆相交，设直线通过相切解出，通过相交写出弦长公式，代入化简，求出弦长的最大值.【详解】①已知圆，，则圆内含于圆，圆的圆心为，半径为；圆的圆心为，半径为.设动圆的半径为，分以下两种情况讨论：（1）圆与圆外切，与圆内切，由题意可得，∴，此时，圆的圆心轨迹是以､分别为左､右焦点，长轴长为的椭圆，∴，，则，此时，轨迹的方程为；（2）圆与圆､都内切，且，由题意可得，∴，此时，圆的圆心轨迹是以､分别为左､右焦点，长轴长为的椭圆，∴，，则，此时，轨迹的方程为；综上所述，轨迹的方程为或.②由于直线与曲线仅有三个公共点，则直线与椭圆相切.若直线的斜率不存在时，直线的方程为，可设直线的方程为，联立，解得，此时；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立，消去并整理得，，可得，设点､，联立，消去并整理得，，由韦达定理得，，∴，∴，当且仅当时，取得最大值.故答案为：或；.7．（2021·深圳实验学校高中部高二期末）如图，已知抛物线直线交抛物线C于A，B两点，O为坐标原点.（1）证明：；（2）设抛物线C在点A处的切线为，在点B处的切线为，证明：与的交点M在一定直线上.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）设，，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，即可得到，从而得证；（2）对函数求导，利用导数的几何意义求出过点、的切线、的方程，即可得到，即可得证；【详解】解：（1）设，，把代入，得.由韦达定理得，..所以（2），，故经过点的切线的方程为：，即，①同理，经过点的切线的方程为：，②，得.即点M在直线上.8.（2021·浙江温州·高二期末）已知抛物线的焦点到准线的距离为2，直线交抛物线于，两点.（1）求抛物线的标准方程；（2）过点，分别作抛物线的切线，，点为直线，的交点.（i）求证：点在一条定直线上；（ii）求面积的取值范围.【答案】（1）；（2）（i）证明见解析；（ii）.【分析】（1）由题意可得，代入抛物线方程即可求解.（2）（i）联立方程组消去，求出两根之和、两根之积，再求出切线方程以及切线方程，求出两直线的交点即可求解.（ii）利用点到直线的距离公式求出点到直线的距离，再利用弦长公式求出，由即可求解.【详解】解：（1）抛物线的焦点到准线的距离为2，可得，所以抛物线的标准方程为.（2）联立方程组消去得，，∴，由得，，所以切线方程为切线方程为联立直线､方程可解得，.（i）所以点的坐标为.所以点在定直线上（ii）点到直线的距离为.所以的面积为所以当时，有最小值.面积的取值范围是.9.（2021·四川南充·（文））设抛物线的焦点为，过且斜率k的直线与交于A，D两点，.（1）求；（2）若在上，过点作的弦，，若，证明：直线过定点，并求出定点的坐标.【答案】（1）；（2）证明见解析，定点.【分析】（1）设出的方程为，与抛物线联立方程组，表示出弦长，求出斜率k；（2）设直线:，联立把表示为，找出m、n的关系，把直线用点斜式表示，得到直线过定点.【详解】解：（1）由题意得，的方程为，，设，，由，得，，故，所以，解得(舍)，.（2）因为在上，所以，设直线的方程为，，.联立，得，由得，，.因为，所以.所以，又因为，，所以，所以或，所以或.因为恒成立，所以，所以直线的方程，所以直线过定点.10．（山东高考真题（理））已知抛物线的焦点为，为上异于原点的任意一点，过点的直线交于另一点，交轴的正半轴于点，且有.当点的横坐标为时，为正三角形.（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）若直线，且和有且只有一个公共点，（ⅰ）证明直线过定点，并求出定点坐标；（ⅱ）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.【答案】（I）.（II）（ⅰ）直线AE过定点.（ⅱ）的面积的最小值为16.【解析】（I）由题意知设，则FD的中点为，因为，由抛物线的定义知：，解得或（舍去）.由，解得.所以抛物线C的方程为.（II）（ⅰ）由（I）知，设，因为，则，由得，故，故直线AB的斜率为，因为直线和直线AB平行，设直线的方程为，代入抛物线方程得，由题意，得.设，则，.当时，，可得直线AE的方程为，由，整理可得，直线AE恒过点.当时，直线AE的方程为，过点，所以直线AE过定点.（ⅱ）由（ⅰ）知，直线AE过焦点，所以，设直线AE的方程为，因为点在直线AE上，故，设，直线AB的方程为，由于，可得，代入抛物线方程得，所以，可求得，，所以点B到直线AE的距离为.则的面积，当且仅当即时等号成立.所以的面积的最小值为16.练真题TIDHNEG练真题TIDHNEG1．（2021·全国高考真题（文））已知抛物线的焦点F到准线的距离为2．（1）求C的方程;（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求