2024届新高考数学一轮复习配套练习专题7.2 等差数列及其前n项和 （新教材新高考）（练）含答案

2024届新高考数学一轮复习配套练习专题7.2等差数列及其前n项和练基础练基础1．（2021·全国高三其他模拟（文））在等差数列中，已知，则公差（）A．1 B．2 C．-2 D．-12．（2020·湖北武汉�高三其他（文））设等差数列的前项和为，若，，则公差等于（）A．0 B．1 C． D．3.（2020·全国高三其他（理））已知为等差数列的前项和，若，则（）A．12 B．15 C．18 D．214．（2019·浙江高三会考）等差数列ann∈N*的公差为d，前n项和为Sn，若A．4B．5C．6D．75．（2021·全国高三其他模拟（文））我国明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题：今有钞二百三十八贯，令五等人从上作互和减半分之，只云戊不及甲三十三贯六百文，问：各该钞若干？其意思是：现有钱238贯，采用等差数列的方法依次分给甲､乙､丙､丁､戊五个人，现在只知道戊所得钱比甲少33贯600文(1贯=1000文)，问各人各得钱多少？在这个问题中，戊所得钱数为（）A．30.8贯 B．39.2贯 C．47.6贯 D．64.4贯6．（2020·全国高三课时练习（理））设等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S15>0，S16<0，则，，…，中最大的项为（）A．B．C．D．7．（2019·全国高考真题（文））记为等差数列的前项和，若，则___________.8.（2019·全国高考真题（理））记Sn为等差数列{an}的前n项和，，则___________.9.（2021·河南高三其他模拟（文））设Sn是等差数列{an}的前n项和，若S4=2S3-2，2a5-a6=7，则S8=___________.10.（2018·全国高考真题（理））记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知（1）求{a（2）求Sn，并求S练提升TIDHNEG练提升TIDHNEG1．（2021·上海市大同中学高三三模）已知数列满足，若，则“数列为无穷数列”是“数列单调”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．（2021·哈尔滨市第一中学校高三三模（理））习近平总书记提出：乡村振兴，人才是关键．要积极培养本土人才，鼓励外出能人返乡创业．为鼓励返乡创业，黑龙江对青山镇镇政府决定投入创业资金和开展“创业技术培训”帮扶返乡创业人员．预计该镇政府每年投入的创业资金构成一个等差数列（单位万元，），每年开展“创业技术培训”投入的资金为第一年创业资金的倍，已知．则预计该镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为（）A．72万元 B．96万元 C．120万元 D．144万元3．（2021·四川遂宁市·高三其他模拟（理））定义函数，其中表示不超过的最大整数，例如：，，.当时，的值域为.记集合中元素的个数为，则的值为（）A． B． C． D．4．（2021·全国高三其他模拟（理））已知等差数列的公差，为其前n项和，则的最小值为___________.5．（2021·全国高三其他模拟（理））已知数列…，其中在第个1与第个1之间插入个若该数列的前项的和为则___________.6．（2021·广东揭阳市·高三其他模拟）已知正项等差数列的前项和为，满足，，（1）求数列的通项公式；（2）若，记数列的前项和，求.7．（2021·全国高三其他模拟（理））已知数列的前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，，求数列的前项和.8．（2021·全国高三其他模拟（理））已知各项均为正数的数列满足，且，．（1）证明：数列是等差数列；（2）数列的前项和为，求证：．9．（2021·山东泰安市·高三其他模拟）设各项均为正的数列的前项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项的和．10．（2019·浙江高三期末）在数列、中，设是数列的前项和，已知，，，.（Ⅰ）求和；（Ⅱ）若时，恒成立，求整数的最小值.练真题TIDHNEG练真题TIDHNEG1.（2020·浙江省高考真题）我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列就是二阶等差数列，数列的前3项和是________．2．（2020·海南省高考真题）将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________．3.（2019·北京高考真题（理））设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2=−3，S5=−10，则a5=__________，Sn的最小值为__________．4.（2021·全国高考真题（文））记为数列的前n项和，已知，且数列是等差数列，证明：是等差数列.5.（2021·全国高考真题（理））记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．（1）证明：数列是等差数列;（2）求的通项公式．19·全国高考真题（文））记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S9=－a5．（1）若a3=4，求{an}的通项公式；（2）若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范围．专题7.2等差数列及其前n项和练基础练基础1．（2021·全国高三其他模拟（文））在等差数列中，已知，则公差（）A．1 B．2 C．-2 D．-1【答案】B【解析】设等差数列的公差为，根据等差数列通项公式计算可得；【详解】解：设等差数列的公差为，因为，所以，解得故选：B2．（2020·湖北武汉�高三其他（文））设等差数列的前项和为，若，，则公差等于（）A．0 B．1 C． D．【答案】B【解析】，解得，所以．故选：B.3.（2020·全国高三其他（理））已知为等差数列的前项和，若，则（）A．12 B．15 C．18 D．21【答案】B【解析】由，得，所以.故选：B.4．（2019·浙江高三会考）等差数列ann∈N*的公差为d，前n项和为Sn，若A．4B．5C．6D．7【答案】C【解析】根据题意，等差数列an中，S3=S9，则S9-S3=a4+a55．（2021·全国高三其他模拟（文））我国明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题：今有钞二百三十八贯，令五等人从上作互和减半分之，只云戊不及甲三十三贯六百文，问：各该钞若干？其意思是：现有钱238贯，采用等差数列的方法依次分给甲､乙､丙､丁､戊五个人，现在只知道戊所得钱比甲少33贯600文(1贯=1000文)，问各人各得钱多少？在这个问题中，戊所得钱数为（）A．30.8贯 B．39.2贯 C．47.6贯 D．64.4贯【答案】A【解析】由题意知甲､乙､丙､丁､戊五个人所得钱数组成等差数列，由等差数列项的性质列方程组即可求出所要的结果.【详解】解：依次记甲､乙､丙､丁､戊五个人所得钱数为a1，a2，a3，a4，a5，由数列{an}为等差数列，可记公差为d，依题意得：，解得a1=64.4，d=﹣8.4，所以a5=64.4﹣33.6=30.8，即戊所得钱数为30.8贯.故选：A.6．（2020·全国高三课时练习（理））设等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S15>0，S16<0，则，，…，中最大的项为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵等差数列前n项和，由S15>0，S16<0，得，∴，若视为函数则对称轴在之间，∵，∴Sn最大值是，分析，知为正值时有最大值，故为前8项，又d＜0，递减，前8项中递增，∴前8项中最大最小时有最大值，∴最大．7．（2019·全国高考真题（文））记为等差数列的前项和，若，则___________.【答案】100【解析】得8.（2019·全国高考真题（理））记Sn为等差数列{an}的前n项和，，则___________.【答案】4.【解析】因，所以，即，所以．9.（2021·河南高三其他模拟（文））设Sn是等差数列{an}的前n项和，若S4=2S3-2，2a5-a6=7，则S8=___________.【答案】64【解析】设{an}的公差为d.根据已知条件列出方程组，计算求解即可.【详解】设{an}的公差为d.因为，即所以，所以.故答案为：64.10.（2018·全国高考真题（理））记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知（1）求{a（2）求Sn，并求S【答案】（1）an=2n–9，（2）Sn=n2–8n，最小值为–16．【解析】（1）设{an}的公差为d，由题意得3a1+3d=–15．由a1=–7得d=2．所以{an}的通项公式为an=2n–9．（2）由（1）得Sn=n2–8n=（n–4）2–16．所以当n=4时，Sn取得最小值，最小值为–16．练提升TIDHNEG练提升TIDHNEG1．（2021·上海市大同中学高三三模）已知数列满足，若，则“数列为无穷数列”是“数列单调”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由已知可得，设，若存在正整数，当时，有，此时数列为有穷数列；若恒不为0，由，有，此时为无穷数列，由此根据充分条件、必要条件的定义进行分析即可得结论．【详解】解：令，，由，可得，所以，即，所以数列为等差数列，首项为，公差为1，所以，设，则数列是单调递增的等差数列，若存在正整数，当时，则有，此时数列为有穷数列；若恒不为0，由，有，数列就可以按照此递推关系一直计算下去，所以此时为无穷数列.（1）若恒不为0，则为无穷数列，由递推关系式有，取，时，，则，，，，此时数列不是单调数列；（2）当数列为有穷数列时，存在正整数，当时，有，此时数列为，，，，，，由，若数列单调，则，，，，全为正或全为负，由，则，，，，全为正，而，这与单调递增矛盾，所以当数列为有穷数列时，数列不可能单调，所以当数列单调时，数列一定有无穷多项．故选：B.2．（2021·哈尔滨市第一中学校高三三模（理））习近平总书记提出：乡村振兴，人才是关键．要积极培养本土人才，鼓励外出能人返乡创业．为鼓励返乡创业，黑龙江对青山镇镇政府决定投入创业资金和开展“创业技术培训”帮扶返乡创业人员．预计该镇政府每年投入的创业资金构成一个等差数列（单位万元，），每年开展“创业技术培训”投入的资金为第一年创业资金的倍，已知．则预计该镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为（）A．72万元 B．96万元 C．120万元 D．144万元【答案】C【解析】本题可设等差数列的公差为，然后根据题意得出五年累计总投入资金为，最后通过基本不等式即可求出最值.【详解】设等差数列的公差为，由题意可知，五年累计总投入资金为：，因为，所以，当且仅当时取等号，故预计该镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为120万元，故选：C.3．（2021·四川遂宁市·高三其他模拟（理））定义函数，其中表示不超过的最大整数，例如：，，.当时，的值域为.记集合中元素的个数为，则的值为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】先根据条件分析出当时，集合中的元素个数为，进而可得，再结合裂项相消法进行求和可得结果.【详解】因为，所以，所以在各个区间中的元素个数分别为：，所以当时，的值域为，集合中元素个数为：，所以，所以，故选：D.4．（2021·全国高三其他模拟（理））已知等差数列的公差，为其前n项和，则的最小值为___________.【答案】8【解析】利用，求得的值，然后利用等差数列求和公式求得，利用函数图象得的最小值可能为，或，分别求出，，，得出最小值.【详解】由于即,解得,故,作函数的图象，故的最小值可能为，或，而，，，故的最小值为.故答案为：8.5．（2021·全国高三其他模拟（理））已知数列…，其中在第个1与第个1之间插入个若该数列的前项的和为则___________.【答案】3【解析】当时，若有n个1，由题知，数列共有项，当时，，则在第63个1后面跟第2个x就是第2018项，所以前项中含63个1，其余均为x，从而根据前项的和为求得x.【详解】当时，若有n个1，由题知，数列共有项，当时，，则在第63个1后面跟第2个x就是第2018项，所以前项中含63个1，其余均为x，故该数列的前项的和为，解得.故答案为：36．（2021·广东揭阳市·高三其他模拟）已知正项等差数列的前项和为，满足，，（1）求数列的通项公式；（2）若，记数列的前项和，求.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）当时，由，得，两式相减可得，从而可求出，当时，，求出，进而可出数列的通项公式；（2）由（1）可得，从而可求出【详解】解：（1）设等差数列的公差为，则由，得相减得即，又，所以，由，得，解得，(舍去)由，得；（2）.7．（2021·全国高三其他模拟（理））已知数列的前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由，根据，求得，得到，进而求得数列的通项公式；（2）由（1）得到，利用累加法，求得，进而求得，利用裂项法求和，即可求解.【详解】（1）由题意，数列的前项和为，可得，，因为，所以，解得，所以，，因为当时，，所以.当时，符合上式，所以数列的通项公式为.（2）由（1）知，可得，所以，，，……，，所以，又由，可得，当时，，满足上式，所以.所以，所以.8．（2021·全国高三其他模拟（理））已知各项均为正数的数列满足，且，．（1）证明：数列是等差数列；（2）数列的前项和为，求证：．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】（1）将已知递推关系移项配方整理可得，进而利用等差中项法证明数列是等差数列；（2）利用裂项求和法求和化简后即得证.【详解】解：（1）由结合数列各项均为正数得则，所以数列是等差数列；（2），则公差∴，∴.9．（2021·山东泰安市·高三其他模拟）设各项均为正的数列的前项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项的和．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由求出的值，当时，由与的关系推导出数列为等差数列，确定该数列的首项与公差，可求得的通项公式；（2）计算出，然后利用等差数列的求和公式可求得.【详解】（1）令，则，可得，得；当时，由可得，两式相减得，即，由数列的各项为正，可得，所以数列是以为首项，为公差的等差数列．即数列的通项公式为；（2）由得，则有，因为，因此，.10．（2019·浙江高三期末）在数列、中，设是数列的前项和，已知，，，.（Ⅰ）求和；（Ⅱ）若时，恒成立，求整数的最小值.【答案】（1），（2）整数的最小值是11.【解析】（Ⅰ）因为，即，所以是等差数列，又，所以，从而.（Ⅱ）因为，所以，当时，①②①-②可得，，即，而也满足，故.令，则，即，因为，，依据指数增长性质，整数的最小值是11.练真题TIDHNEG练真题TIDHNEG1.（2020·浙江省高考真题）我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列就是二阶等差数列，数列的前3项和是________．【答案】【解析】因为，所以．即．故答案为：.2．（2020·海南省高考真题）将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________．【答案】【解析】因为数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，数列是以1首项，以3为公差的等差数列，所以这两个数列的公共项所构成的新数列是以1为首项，以6为公差的等差数列，所以的前项和为，故答案为：.3.（2019·北京高考真题（理））设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2=−3，S5=−10，则a5=__________，Sn的最小值为__________．【答案】0.-10.【解析】等差数列中,,得,公差,,由等差数列的性质得时,,时,大于0,所以的最小值为或,即为.4.（2021·全国高考真题（文））记为数列的前n项和，已知，且数列是等差数列，证明：是等差数列.【答案】证明见解析.【解析】先根据求出数列的公差，进一步写出的通项，从而求出的通项公式，最终得证.【详解】∵数列是等差数列，设公差为∴，∴，∴当时，当时，，满足，∴的通项公式为，∴∴是等差数列.5.（2021·全国高考真题（理））记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．（1）证明：数列是等差数列;（2）求的通项公式．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）由已知得,且，取,得,由题意得,消积得到项的递推关系,进而证明数列是等差数列;（2）由（1）可得的表达式,由此得到的表达式,然后利用和与项的关系求得.【详解】（1）由已知得,且，,取,由得,由于为数列的前n项积，所以,所以，所以,由于所以，即,其中所以数列是以为首项，以为公差等差数列;（2）由（1）可得，数列是以为首项，以为公差的等差数列，,,当n=1时，,当n≥2时,,显然对于n=1不成立,∴.6.（2019·全国高考真题（文））记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S9=－a5．（1）若a3=4，求{an}的通项公式；（2）若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设等差数列的首项为，公差为，根据题意有，解答，所以，所以等差数列的通项公式为；（2）由条件，得，即，因为，所以，并且有，所以有，由得，整理得，因为，所以有，即，解得，所以的取值范围是：专题7.3等比数列及其前n项和练基础练基础1．（2021·全国高考真题（文））记为等比数列的前n项和.若，，则（）A．7 B．8 C．9 D．102．（2021·山东济南市·）已知Sn是递增的等比数列{an}的前n项和，其中S3＝，a32＝a4，则a5＝（）A． B． C．8 D．163．（2021·重庆高三其他模拟）设等比数列的前项和为，则（）A． B． C． D．4．（2021·合肥市第六中学高三其他模拟（理））若等比数列满足，则（）A． B． C． D．5.（2020·河北省曲阳县第一高级中学高一期末）中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，问此人第二天走了（）A．6里 B．24里 C．48里 D．96里6．（2021·江苏南通市·高三其他模拟）已知等比数列的公比为，前项和为，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．（2021·黑龙江大庆市·大庆实验中学高三其他模拟（文））在数列中，，且，则___________.8．（2021·浙江杭州市·杭州高级中学高三其他模拟）已知数列满足，则_____，_______．9.（2021·浙江杭州市·杭州高级中学高三其他模拟）已知数列满足，则________，________．10.（2018·全国高考真题（文））等比数列an中，a（1）求an（2）记Sn为an的前n项和．若Sm练提升TIDHNEG练提升TIDHNEG1．（辽宁省凌源二中2018届三校联考)已知数列为等比数列，且，则（）A.B.C.D.2．（2021·全国高三其他模拟（文））如图，“数塔”的第行第个数为(其中，，且).将这些数依次排成一列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，记作数列，设的前项和为.若，则（）A．46 B．47 C．48 D．493．【多选题】（2021·江苏高三其他模拟）已知数列满足，，其前项和为，则下列结论中正确的有（）A．是递增数列 B．是等比数列C． D．4.（2019·浙江高三期末）数列的前n项和为，且满足，Ⅰ求通项公式；Ⅱ记，求证：．5．（2021·河北衡水中学高三三模）已知数列的前项和为，且满足，，其中.（1）若，求出；（2）是否存在实数，使为等比数列？若存在，求出，若不存在，说明理由.6．（2021·辽宁本溪市·高二月考）已知数列，满足，，设，（为实数）．（1）求证：是等比数列；（2）求数列的通项公式；（3）若是递增数列，求实数的取值范围．7．（2021·河南商丘市·高二月考（理））在如图所示的数阵中，从任意一个数开始依次从左下方选出来的数可组成等差数列，如：，，，，…；依次选出来的数可组成等比数列，如：，，，，….记第行第个数为.（Ⅰ）若，写出，，的表达式，并归纳出的表达式；（Ⅱ）求第行所有数的和.8．（2021·山东烟台市·高三其他模拟）已知数列的前n项和为，且满足，，.（1）求的通项公式；（2）设数列满足，，，按照如下规律构造新数列：，求的前2n项和.9．（2019·浙江高考模拟）已知数列中，，（1）令，求证：数列是等比数列；（2）令，当取得最大值时，求的值.10.（2021·浙江高三其他模拟）已知数列满足，，数列满足，.（1）数列，的通项公式；（2）若，求使成立(表示不超过的最大整数)的最大整数的值.练真题TIDHNEG练真题TIDHNEG1．（2021·全国高考真题（理））等比数列的公比为q，前n项和为，设甲：，乙：是递增数列，则（）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件2.（2020·全国高考真题（文））记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5–a3=12，a6–a4=24，则=（）A．2n–1 B．2–21–n C．2–2n–1 D．21–n–13.（2019·全国高考真题（文））已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则（）A．16 B．8 C．4 D．24．（2019·全国高考真题（文））记Sn为等比数列{an}的前n项和.若，则S4=___________．5．（2020·海南省高考真题）已知公比大于的等比数列满足．（1）求的通项公式；（2）求.6．（2021·浙江高考真题）已知数列的前n项和为，，且.（1）求数列的通项；（2）设数列满足，记的前n项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围.专题7.3等比数列及其前n项和练基础练基础1．（2021·全国高考真题（文））记为等比数列的前n项和.若，，则（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】A【解析】根据题目条件可得，，成等比数列，从而求出，进一步求出答案.【详解】∵为等比数列的前n项和，∴，，成等比数列∴，∴，∴.故选：A.2．（2021·山东济南市·）已知Sn是递增的等比数列{an}的前n项和，其中S3＝，a32＝a4，则a5＝（）A． B． C．8 D．16【答案】C【解析】设等比数列的公比为q，根据题意列方程，解出和q即可.【详解】解：设递增的等比数列{an}的公比为，且q1，∵S3＝，，∴（1+q+q2）＝，q4＝q3，解得＝，q＝2；＝2，q＝（舍去）．则＝＝8．故选：C．3．（2021·重庆高三其他模拟）设等比数列的前项和为，则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】设等比数列公比为，由结合已知条件求、，再利用等比数列前n项和公式求.【详解】设等比数列公比为，则，又，∴，故，又，即.故选：C4．（2021·合肥市第六中学高三其他模拟（理））若等比数列满足，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】设等比数列的公比为q，根据等比数列的通项公式建立方程组，解之可得选项.【详解】设等比数列的公比为q，则，所以，又，所以，故选：A.5.（2020·河北省曲阳县第一高级中学高一期末）中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，问此人第二天走了（）A．6里 B．24里 C．48里 D．96里【答案】D【解析】根据题意，记每天走的路程里数为，可知是公比的等比数列，由，得，解可得，则；即此人第二天走的路程里数为96；故选：D．6．（2021·江苏南通市·高三其他模拟）已知等比数列的公比为，前项和为，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】由可得出，取，由，进而判断可得出结论.【详解】若，则，即，所以，数列为递增数列，若，，所以，“”是“”的既不充分也不必要条件.故选：D.7．（2021·黑龙江大庆市·大庆实验中学高三其他模拟（文））在数列中，，且，则___________.【答案】【解析】由，，得到且，得出数列构成以为首项，以为公比的等比数列，结合等比数列的求和公式，即可求解.【详解】由，可得，又由，可得，所以，所以数列构成以为首项，以为公比的等比数列，所以.故答案为：.8．（2021·浙江杭州市·杭州高级中学高三其他模拟）已知数列满足，则_____，_______．【答案】【解析】利用求通项公式，再求出.【详解】对于，当n=1时，有，解得：1；当时，有，所以，所以，所以数列为等比数列，，所以.故答案为：1，.9.（2021·浙江杭州市·杭州高级中学高三其他模拟）已知数列满足，则________，________．【答案】【解析】根据，求出数列的通项公式，再代入求出．【详解】解：因为当时，，解得；当时，，所以，即于是是首项为，公比为2的等比数列，所以．所以，故答案为：；；10.（2018·全国高考真题（文））等比数列an中，a（1）求an（2）记Sn为an的前n项和．若Sm【答案】（1）an=(-2)（2）m=6.【解析】（1）设{an}的公比为q由已知得q4=4q2，解得q=0（舍去），故an=(-2)（2）若an=(-2)n-1，则Sn若an=2n-1，则Sn=2综上，m=6．练提升TIDHNEG练提升TIDHNEG1．（辽宁省凌源二中2018届三校联考)已知数列为等比数列，且，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】由等比数列的性质可得：，，结合可得：，结合等比数列的性质可得：，即：.本题选择B选项.2．（2021·全国高三其他模拟（文））如图，“数塔”的第行第个数为(其中，，且).将这些数依次排成一列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，记作数列，设的前项和为.若，则（）A．46 B．47 C．48 D．49【答案】C【解析】根据“数塔”的规律，可知第行共有个数，利用等比数列求和公式求出第行的数字之和，再求出前行的和，即可判断取到第几行，再根据每行数字个数成等差数列，即可求出；【详解】解：“数塔”的第行共有个数，其和为，所以前行的和为故前行所有数学之和为，因此只需要加上第10行的前3个数字1,2,4，其和为，易知“数塔”前行共有个数，所以故选：C3．（2021·江苏高三其他模拟）已知数列满足，，其前项和为，则下列结论中正确的有（）A．是递增数列 B．是等比数列C． D．【答案】ACD【解析】将递推公式两边同时取指数，变形得到，构造等比数列可证为等比数列，求解出通项公式则可判断A选项；根据判断B选项；根据的通项公式以及对数的运算法则计算的正负并判断C选项；将的通项公式放缩得到，由此进行求和并判断D选项.【详解】因为，所以，从而，，所以，所以，又，是首项为，公比为的等比数列，所以，所以，即，又因为在时单调递增，在定义域内单调递增，所以是递增数列，故A正确；因为，所以，所以，所以，所以不是等比数列，故B错误.因为，而，从而，于是，，故C正确.因为，所以，故D正确.故选：ACD.4.（2019·浙江高三期末）数列的前n项和为，且满足，Ⅰ求通项公式；Ⅱ记，求证：．【答案】Ⅰ；Ⅱ见解析【解析】Ⅰ，当时，，得，又，，数列是首项为1，公比为2的等比数列，；证明：Ⅱ，，时，，，同理：，故：．5．（2021·河北衡水中学高三三模）已知数列的前项和为，且满足，，其中.（1）若，求出；（2）是否存在实数，使为等比数列？若存在，求出，若不存在，说明理由.【答案】（1）；（2）存在，.【解析】（1）将代入，由递推关系求出通项公式，并检验当时是否满足，即可得到结果；（2）先假设存在实数，满足题意，结合已知条件求出满足数列是等比数列的实数，的值，运用分组求和法求出的值.【详解】（1）由题可知：当时有：，当时，，又满足上式，故.（2）假设存在实数，满足题意，则当时，由题可得：，和题设对比系数可得：，，.此时，，故存在，使得是首项为4，公比为2的等比数列.从而.所以.6．（2021·辽宁本溪市·高二月考）已知数列，满足，，设，（为实数）．（1）求证：是等比数列；（2）求数列的通项公式；（3）若是递增数列，求实数的取值范围．【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）．【解析】（1）由，变形为，再利用等比数列的定义证明；（2）由（1）的结论，利用等比数列的通项公式求解；（3）根据是递增数列，由,恒成立求解.【详解】（1）因为，所以，即，又因为，所以，所以，所以是等比数列．（2）由，公比为2，得，所以．（3）因为，所以，所以，因为是递增数列，所以成立，故，成立，即，成立，因为是递减数列，所以该数列的最大项是，所以的取值范围是．7．（2021·河南商丘市·高二月考（理））在如图所示的数阵中，从任意一个数开始依次从左下方选出来的数可组成等差数列，如：，，，，…；依次选出来的数可组成等比数列，如：，，，，….记第行第个数为.（Ⅰ）若，写出，，的表达式，并归纳出的表达式；（Ⅱ）求第行所有数的和.【答案】（Ⅰ），，，；（Ⅱ）.【解析】（I）由数阵写出，，，由此可归纳出.（II），利用错位相减法求得结果.【详解】（Ⅰ）由数阵可知：，，，由此可归纳出.（Ⅱ），所以，错位相减得.8．（2021·山东烟台市·高三其他模拟）已知数列的前n项和为，且满足，，.（1）求的通项公式；（2）设数列满足，，，按照如下规律构造新数列：，求的前2n项和.【答案】（1），；（2）数列的前2n项和为.【解析】（1）由可得可得答案；（2）由得，两式相除可得数列的偶数项构成等比数列，再由（1）可得数列的前2n项的和.【详解】（1）由，，得，所以.因为，所以，所以，.又当时，，适合上式.所以，.（2）因为，，所以，又，所以.所以数列的偶数项构成以为首项､2为公比的等比数列.故数列的前2n项的和，所以数列的前2n项和为.9．