2021年甘肃省兰州市中考数学诊断试卷【附答案】

绝密★启用前

2021年甘肃省兰州市中考数学诊断试卷

注意事项:

1.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的。

1.（3分）计算-3-（-1）的结果是)

A.-4B.4C.-2D.2

2.（3分）-8的立方根为（）

A.2B.-2C.±2D.±4

3.（3分）如图，a//b,且Nl=60°,则N2=()

A.30°B.40°C.60°D.120°

4.（3分）化简告广告的结果是

()

X-1x1

B.2

A•磊C.2D.2(x+1)

xx-1

5.（3分）如图，等腰三角形ABC中,AB=4C,NA=46°,于。，则NOC3等

于（)

D

A.33°B.30°C.26°D.23°

6.（3分）已知△ABCSZ\£»E凡相似比为2,月.△ABC的面积为16,则△£>£F的面积为（）

A.32B.8C.4D.16

7.（3分）一次函数y=x-3的图象经过（）

A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限

C.第二、三、四象限D.第一、三、四象限

8.（3分）已知圆内接正六边形的半径为2,则该内接正六边形的边心距为（）

A.2B.1C.V3D.返

2

9.（3分）《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数.甲得乙半而钱五十，乙得甲

太半而亦钱五十.问：甲、乙持钱各儿何？”大意是：甲、乙二人带着钱，不知是多少，

若甲得到乙的钱数的工，则甲的钱数为50；若乙得到甲的钱数的2,则乙的钱数也能为

23

50,问甲、乙各有多少钱？设甲持钱为x,乙持钱为y,可列方程组为（）

'21Re

x+^y=50x+^y=50

A.<B."2

y+yx=50y+Yx=50

o

1，2

x-^v=50x-^77=50

o

C.VnD.[

y^-x=50y-yx=50

0

10.（3分）如图△A8C中，ZBAC=90°,将△A8C绕点A按顺时针方向旋转一定角度得

到△43E,点B的对应点。恰好落在BC边上，若AC=4«,ZB=60°,则CD的长

为（）

11.（3分）如图，ABLOA于点A,A8交反比例函数y=K（x<0）的图象于点C,且AC：

X

BC=1：3,若SAAOB=4,则k=（）

VA

B.-4D.-2

12.（3分）如图，在△ABC中，ZA=90°,AB=6fAC=8,以点3为圆心，小于A3的

长为半径画弧，分别交AB,BC于D,E两点，再分别以点。和点E为圆心，大于』QE

2

的长为半径画弧，两弧交于点F,射线8F交AC于点G,贝Ijtan/CBG=（）

二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分

13.（3分）因式分解：x3-2j?y+xy2=.

14.（3分）若点A（-2,川）和8（1,”）是二次函数y=7-4x-3图象上的两点，则》

”.（填”或“>”）

15.（3分）转动如图所示的两个转盘（每个转盘被分成五个面积相等的扇形）各一次，两

次转得的数字之和大于7的概率是

5盘

16.（3分）如图，在菱形ABCO中，AB=3,4尸JLBC于点凡FC=2,AF与DB交于点、N,

三、简答题：本大题共12小题，共72分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算

步骤.

17.(4分)用配方法解方程：7+27=12%.

18.（4分）先化简，再求值：，〃（2n+m）-（1+w）~+2m,其中机n=6.

2

19.（4分）解不等式组:行弋①

3(x+2)>2x+5②

20.（5分）如图，在等边三角形ABC中，AD=BE.求证：CD=AE.

21.（5分）兰州市居民用电现有两种用电收费方式:

智能分时电表普通电表

峰时（8：00-22：00）谷时（22：00-次日8：00）电价0.51/千瓦时

电价0.76元/千万时电价0.26元/千瓦时

设某家庭某月用电总量为x千瓦时，其中谷时用电60千瓦时，则峰时用电（x-60）千

瓦时，智能分时电表计价时的总价为为yi（元），普通电表计价时的总价为”（元）.请

分别写出两种电表计价时的总价与用电总量之间的函数关系式.

22.（6分）如图，海中有一个小岛A,该岛四周10海里内有暗礁，一艘货轮由西向东航行,

开始在A岛南偏西58°的8处，往东行驶10海里后到达A岛西南方向的C处.货轮如

继续向东航行是否有触礁的危险？（参考数据：sin58°々0.85.cos58°弋0.53,tan58°

F.60）

北

+东

B

23.(6分)如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=K(x>0)与一次函数y=-

x

x+〃的图象交于4,B(4,1)两点.

(1)求一次函数y=-x+6和反比例函数y=K(x>0)的表达式；

X

(2)求△A03的面积.

24.(7分)民以食为天，农产品是关系国计民生的重要商品，是事关经济发展、社会稳定

和国家自立的头等大事，某数学兴趣小组为了解我国近几年人均主要农产品产量情况，

该组成员通过对我国粮食、猪羊牛肉的人均产量进行收集、整理、描述和分析，给出部

分信息.

信息一、2005-2019年我国人均粮食产量统计图:

秋均粮食产量/千克

500

480

460

440

420

400

380

200520062007200820092010201120122013201420152016201720182019

信息二、将2005-2019年划分为三个时间段，每个时间段内我国人均粮食产量如表:

时间段2005-20092010-20142015-2019

平均数/千克388.4448.4477

信息三、2019年我国各省、市、自治区粮食、猪羊牛肉的人均产量的统计量如表:

统计量类别平均数中位数极差

人均粮食产量/千克4754191981

人均猪羊牛肉产量/千4042.591.5

克

（以上数据来源于《2020中国统计年鉴》）

根据以上信息，解决下列问题：

（1）2019年甘肃省人均粮食产量为440千克，人均猪羊牛肉产量为36.2千克，甘肃省

这两项主要农产品产量排名更靠前的是（填“人均粮食产量”或“人均猪羊

牛肉产量”），理由是：.

（2）根据以上数据信息分析，判断下列结论正确的是;（只填序号）

①2005-2015年内我国人均粮食产量呈现持续增长趋势；

②2005-2019年划分的三个时间段中，2010-2014年人均粮食产量的平均增长率最高；

③2005-2019年我国人均粮食产量连续12年高于人均400千克的国际粮食安全标准线.

（3）记我国2005-2009年人均粮食产量的方差为Sj,2015-2019年人均粮食产量的方

差为52,则<2S2（填”或

22

25.（7分）如图，点C为弦48上的一定点，AB=6.4cm.第上有一动点。，连接CD,将

8绕点C逆时针旋转60°得到CE,连接E4,ED,AD.小军尝试结合学习函数的经验,

对线段A。，CD,AE的长度之间的关系进行了探究，请将以下小军的探究过程补充完整.

（1）列表：下表的数据是根据点。在第上的不同位置进行画图，通过测量线段AD,CD,

AE的长度，分别得到了几组对应值：

位置线①②③④⑤©⑦⑧

段

AD/cm0.000.831.602.363.404.515.406.40

CD/cm3.002.512.101.761.601.932.513.40

AE/ctn3.002.201.571.281.803.004.125.55

在AD,CD,AE的长度这三个量中，确定的长度是自变量X,另外两条线段的长

度都是这个自变量的函数y；

（2）描点、连线：在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的两个函数的图

象；

（3）解决问题：在点D的运动过程中，当C3=AE时，AD的长度大约是c/n.（结

果保留两位小数）

26.(7分)如图，在RtAABC中，ZC=90°,以AB上一点。为圆心，的长为半径作

Q0,交AC,AB分别于。，E两点，连接B£>,S.ZA=ZCBD.

(1)求证：8。是。0的切线；

(2)若CO=1,BC=2,求。。的半径.

27.(8分)［问题解决］

(1)如图1,在平行四边形纸片ABC。(AD>AB)中，将纸片沿过点A的直线折叠，

使点8落在AO上的点8,处，折线AE交8C于点E,连接3E求证：四边形ABE8

是菱形.

［规律探索］

(2)如图2,在平行四边形纸片ABC。(AD>AB)中，将纸片沿过点P的直线折叠，

点8恰好落在A。上的点。处，点4落在点A'处，得到折痕FP,那么△PFQ是等腰

三角形吗？请说明理由.

［拓展应用］

(3)如图3,在矩形纸片ABC。(AD>AB)中，将纸片沿过点P的直线折叠，得到折

痕口，点8落在纸片ABCQ内部点£处，点A落在纸片A8CQ外部点A'处，A'B'

与AO交于点M,且

已知：48=4,AF=2,求BP的长.

28.(9分)如图1,抛物线y=o?-5x+c与直线y=-x+4相交于A(4,0),B(0,4)两

点.动点C从点。出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA方向运动，设运动的时间为

f秒.过点C作CDLx轴分别交直线AB于点。，抛物线于点E.

(1)求抛物线丫=--5x+c的表达式；

(2)连接AE,当f=3H寸，求△4OE的面积；

(3)如图2.当f=2时，在无轴上存在点尸，抛物线上存在点G,直线。E上存在点”,

当以C,F,G,4为顶点的四边形是正方形时，求点尸的坐标.

参考答案

一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的。

1.（3分）计算-3-（-1）的结果是（）

A.-4B.4C.-2D.2

答案解：-3-（-1）=-2.

故选：C.

2.（3分）-8的立方根为（）

A.2B.-2C.±2D.±4

答案解：：-2的立方等于-8,

-8的立方根等于-2.

故选：B.

D.120°

答案解：•..直线。〃b,且Nl=60°,

.•.N3=N1=6O°,

VZ2=Z3,

AZ2=60°.

故选：C.

A._2_B.2C._2_D.2(x+1)

x+lXX-l

答案解：原式一2__«a-1)=_2_,

(x+l)(x-1)x+l

故选：A.

5.(3分)如图，等腰三角形ABC中，AB=AC,ZA=46°,CO_LAB于。，则NOCB等

于()

答案解：\•等腰三角形ABC中，AB=AC,NA=46°,C£>J_AB于。,

.../A8C=NACB=_lx(180°-46°)=JiX134°=67°,

22

ZDCB=90°-ZABC=90a-67°=23°,

故选：D.

6.（3分）已知△ABCS/VJEF,相似比为2,且△ABC的面积为16,则△£>£/的面积为（）

A.32B.8C.4D.16

答案解：-：/\ABC^/XDEF,相似比为2,

Z\4BC与ADEF的面积比为4,

「△ABC的面积为16,

.♦.△OEF的面积为：16XJL=4.

4

故选：C.

7.（3分）一次函数y=x-3的图象经过（)

A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限

C.第二、三、四象限D.第一、三、四象限

答案解：对于一次函数y=x-3,

；k=l>0,

...图象经过第一、三象限;

又,：b=-3<0,

一次函数的图象与y轴的交点在x轴下方，即函数图象还经过第四象限,

...一次函数y=x-3的图象经过一、三、四象限.

故选：D.

8.（3分）已知圆内接正六边形的半径为2,则该内接正六边形的边心距为（）

D.K

答案解：连接OA,作。得到NAOM=30°,AB=2,

则AM=b

因而OM=Q4・cos30°=道，

...正六边形的边心距是

故选：C.

9.（3分）《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数.甲得乙半而钱五十，乙得甲

太半而亦钱五十.问：甲、乙持钱各几何？”大意是：甲、乙二人带着钱，不知是多少,

若甲得到乙的钱数的工，则甲的钱数为50；若乙得到甲的钱数的2,则乙的钱数也能为

23

50,问甲、乙各有多少钱？设甲持钱为x,乙持钱为y,可列方程组为（）

y-^-x=50

答案解：山题意可得,

x+^y=50

9

y+Yx=50

o

故选：B.

10.（3分）如图△ABC中，/BAC=90°,将△ABC绕点A按顺时针方向旋转一定角度得

到△?1£>£,点B的对应点。恰好落在BC边上，若AC=W^，ZB=60°,则CD的长

为（）

A.2B.4C.6D.273

答案解：在Rt^ABC中，AC=4«,ZB=60°,

；.A8=4,8c=8,

由旋转得，AD=AB,

'：ZB=60°,

：.BD=AB=4,

：.CD=BC-BD=S-4=4,

故选:B.

11.(3分)如图，ABJ_OA于点4,AB交反比例函数y=K(x<0)的图象于点C,且AC：

答案解：连接OC,如图,

X

'：AB±OA,AC：BC=1：3,

：.AC：AB=l：4,

SAAOC=~^5Z\AOB=1>

4

而5AAOC=—1^1=1>

2

又士<0,

.'.k--2.

故选：D.

12.(3分)如图，在△ABC中，NA=90°,AB=6,AC=8,以点B为圆心，小于AB的

长为半径画弧，分别交AB,BC于D,E两点，再分别以点。和点E为圆心，大于工DE

2

的长为半径画弧，两弧交于点F,射线8F交AC于点G,则tanNCBG=()

答案解：根据题意可得BF是NABC的角平分线，

过G作垂足为H,

；乙4=90°,

：.GH=GA,且GC={AC2+AB2=Y82+62=10,

设AG=x,贝ijGH=x,CG=8-x,

..11

•yXCGXAB=yXBCXGH>

•'­yX（8-x）X6=-l-xIQXX）

解得x=3,

；.AG=3,

.•.tan/C8G=tan/A8G=3^=W_=」，

AB62

故选：A.

二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分

13.(3分)因式分解：/-0丫+—=x(x-丫)2.

答案解：原式=x(x2-2xy+y2)—x(x-y)2,

故答案为：x(x-y)2

14.(3分)若点A(-2,)，i)和B(1,”)是二次函数y=/-4x-3图象上的两点，则yi

>以(填“<”，“=”或“>”)

答案解：以=(-2)2-4X(-2)-3=4+8-3=9,

”=(-1)2-4X(-1)-3=1+4-3=2,

V9>2,

-'-yi>y2-

故答案为：>.

15.(3分)转动如图所示的两个转盘(每个转盘被分成五个面积相等的扇形)各一次，两

次转得的数字之和大于7的概率是

答案解：I叫树状图如图:

开始

B2345623456234562345623456

和3456745678567896789107891011

共有25个等可能的结果，两次转得的数字之和大于7的结果有10个,

两次转得的数字之和大于7的概率为也_=2,

255

故答案为：2

5

16.（3分）如图，在菱形ABCC中，AB=3,AF_LBC于点F,FC=2,AF与DB交于点、N,

则AN=.

FC=2,

：.AB=BC=AD=3,BF=3-FC=3-2=1,

又；AF_L8c于点F,

...△ABF为直角三角形,

=22=2

故AFVAB-BFV3-12=2^'

又,：BC,

：.NNBF=ANDA,NBNF=ZDNA,

:.WNFSADNA,

所以巫里。，

ADAN3

*暂等2近=茅，

故答案为：述.

2

三、简答题：本大题共12小题，共72分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算

步骤.

17.（4分）用配方法解方程：?+27=12x.

答案解：移项得/-12x=-27,

配方得f-12x+36=-27+36,

即(x-6)2=9,

开方得x-6=±3,

••xI=9,X2~~3.

18.（4分）先化简，再求值：机（2〃+机）-（l+/w）之+2机，其中机=-2，〃=6.

2

答案解：原式=2加〃+勿/-\-2m-tn2+2m

=2mn-1,

当机=-〃=6时，原式=-6-1=-7.

2

x-l弋①

19.（4分）解不等式组：2O

3(x+2)>2x+5②

x-l弋①

答案解：2O

3(x+2)>2x+5②

由①得x<3,

由②得X2-1,

所以，原不等式组得解集为-lWx<3.

20.（5分）如图，在等边三角形ABC中，AD=BE.求证：CD^AE.

答案证明：:△ABC为等边三角形,

：.ZB=ZCAD=6G°,CA=AB,

在△CAO和△ABE中，

'CA=AB

<ZCAD=ZB>

,AD=BE

：./\CAD^/\ABE(SAS),

：.CD=AE.

21.（5分）兰州市居民用电现有两种用电收费方式：

智能分时电表普通电表

峰时（8：00-22：00）谷时（22：00-次日8：00）电价0.51/千瓦时

电价0.76元/千万时电价0.26元/千瓦时

设某家庭某月用电总量为x千瓦时，其中谷时用电60千瓦时，则峰时用电（x-60）千

瓦时，智能分时电表计价时的总价为为川（元），普通电表计价时的总价为”（元）.请

分别写出两种电表计价时的总价与用电总量之间的函数关系式.

答案解：由题意，得yi=0.76（x-60）+0.26X60=0.76x-30；

即yi=0.76x-30；

>12=0.5lx.

22.（6分）如图，海中有一个小岛A,该岛四周10海里内有暗礁，一艘货轮由西向东航行,

开始在A岛南偏西58°的8处，往东行驶10海里后到达A岛西南方向的C处.货轮如

继续向东航行是否有触礁的危险？（参考数据：sin58°弋0.85.cos58°七0.53,tan58°

F.60)

答案解：如图，作AOLBC于点。，设AO=x海里,

在RtZ\ACQ中，VZA£）C=90°,ZCAD=45Q,

：.CD=AD'tan45Q=tan45°•%.

在RtZVIBO中，VZADB=90°,ZBAD=5Sa,

，BO=AO・tan58°=tan58°

■:BD-CD=BC,

tan58°*x-tan45°*x=10,

16.67>10,

因为A岛到货轮的航线的最短距离大于10,所以不可能触礁.

北

—东

23.(6分)如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=KG>0)与一次函数y=-

x

x+b的图象交于A,B(4,1)两点.

(1)求一次函数y=-x+b和反比例函数y=K(x>0)的表达式;

x

(2)求△AOB的面积.

答案解：(1)把B(4,1)代入y=-x+b中，得6=5,

一次函数的表达式为y=-x+5,

把8(4,1)代入y=K(x>0)中，得&=4,

X

...反比例函数的表达式为>=9；

X

(2)设直线y=-x+5与x轴交于C点，

当y=0时，1=5,

：.C(5,0),。。=5,

'_4

由六解得卜=4或卜口，

y=-x+51y=11y=4

(1,4),

'•S^AOH=S^AOC-5ABoc=y-oc***^-=-1-X5X(4-])=竽.

24.(7分)民以食为天，农产品是关系国计民生的重要商品，是事关经济发展、社会稳定

和国家自立的头等大事，某数学兴趣小组为了解我国近几年人均主要农产品产量情况，

该组成员通过对我国粮食、猪羊牛肉的人均产量进行收集、整理、描述和分析，给出部

分信息.

信息一、2005-2019年我国人均粮食产量统计图：

信息二、将2005-2019年划分为三个时间段，每个时间段内我国人均粮食产量如表:

时间段2005-20092010-20142015-2019

平均数/千克388.4448.4477

信息三、2019年我国各省、市、自治区粮食、猪羊牛肉的人均产量的统计量如表:

统计量类别平均数中位数极差

人均粮食产量/千克4754191981

人均猪羊牛肉产量/千4042.591.5

克

（以上数据来源于《2020中国统计年鉴》）

根据以上信息，解决下列问题：

（1）2019年甘肃省人均粮食产量为440千克，人均猪羊牛肉产量为36.2千克，甘肃省

这两项主要农产品产量排名更靠前的是人均粮食产量（填“人均粮食产量”或“人

均猪羊牛肉产量”），理由是：甘肃省人均粮食产量为440千克大于我国各省、市、自

治区人均粮食产量的中位数，而人均猪羊牛肉产量为36.2千克小于我国各省、市、自治

区人均猪羊牛肉产量的中位数.

（2）根据以上数据信息分析，判断下列结论正确的是①②③；（只填序号）

①2005-2015年内我国人均粮食产量呈现持续增长趋势：

②2005-2019年划分的三个时间段中，2010-2014年人均粮食产量的平均增长率最高；

③2005-2019年我国人均粮食产量连续12年高于人均400千克的国际粮食安全标准线.

(3)记我国2005-2009年人均粮食产量的方差为52,2015-2019年人均粮食产量的方

差为$2,则＞S2(填”或

2------2

答案解：(1)由信息三可得，

甘肃省这两项主要农产品产量排名更靠前的是人均粮食产量，

理由是：甘肃省人均粮食产量为440千克大于我国各省、市、自治区人均粮食产量的中

位数，而人均猪羊牛肉产量为36.2千克小于我国各省、市、自治区人均猪羊牛肉产量的

中位数，故甘肃省这两项主要农产品产量排名更靠前的是人均粮食产量，

故答案为：人均粮食产量；甘肃省人均粮食产量为440千克大于我国各省、市、自治区

人均粮食产量的中位数，而人均猪羊牛肉产量为36.2千克小于我国各省、市、自治区人

均猪羊牛肉产量的中位数，故甘肃省这两项主要农产品产量排名更靠前的是人均粮食产

量；

(2)由信息一的统计图可知，

2005-2015年内我国人均粮食产量呈现持续增长趋势，故①正确；

2005-2019年划分的三个时间段中，2010-2014年人均粮食产量的平均增长率最高，故

②正确；

2005-2019年我国人均粮食产量连续12年高于人均400千克的国际粮食安全标准线,故

③正确；

故答案为：①②③；

(3)由信息一的统计图可知，

我国2005-2009年人均粮食产量的波动大于2015-2019年人均粮食产量的波动，

故《2＞$2,

2

故答案为：＞.

25.(7分)如图，点C为弦4B上的一定点，AB=6.4cm.众上有一动点。，连接8,将

CD绕点C逆时针旋转60°得到CE,连接E4,ED,AD小军尝试结合学习函数的经验,

对线段A。，CD,AE的长度之间的关系进行了探究，请将以下小军的探究过程补充完整.

（1）列表：下表的数据是根据点。在篇匕的不同位置进行画图，通过测量线段AO,CD,

AE的长度，分别得到了几组对应值:

位置线①②③©⑤⑥⑦⑧

段

AD/cm0.000.831.602.363.404.515.406.40

CD!cm3.002.512.101.761.601.932.513.40

AE/cm3.002.201.571.281.803.004.125.55

在A。，CD,AE的长度这三个量中，确定4。的长度是自变量x,另外两条线段的长

度都是这个自变量的函数y；

（2）描点、连线：在同一平面直角坐标系xO.y中，画出（1）中所确定的两个函数的图

象；

（3）解决问题：在点。的运动过程中，当C£>=AE时，AD的长度大约是3.14（答案

不唯一）an.（结果保留两位小数）

答案解：（1）由自变量的定义知，AO为自变量,

故答案为ADt

(2)描点、连线绘制的图象如下:

(3)从图象看，两个曲线相交时，AC=AE,

此时AD的程度大约为3.14OT,

故答案为3.14(答案不唯一).

26.(7分)如图，在RtZVIBC中，ZC=90°,以AB上一点。为圆心，0A的长为半径作

QO,交AC,A8分别于。，E两点，连接30,且NA=NC3O.

(1)求证：80是。0的切线；

(2)若CO=1,BC=2,求的半径.

'：OA=OD,

ZA=Z0DA,

VZC=90",

...NCBD+/COB=90°,

而NA=NCB£),

：.ZODA+ZCDB=90Q,

AZODB=90a,

：.OD1BD,

...8。为。。的切线；

(2)解：VZA=ZCBD,/C=NC,

...AABCSABDC,

•••C-B---C-A,

CDCB

：.CB2=CD'CA,

'：CD=\,BC=2,

.•.CA=4,

BD=VBC2-tCD2=^

•"•AS=VBC2+AC2=2V5>

设圆O的半径为r,则08=2遥-r,

"：OB1=OD1+BD1,

(2V5-r)2=r2+(V5)2,

解得片卷娓・

27.(8分)［问题解决］

(1)如图1,在平行四边形纸片ABC。CAD>AB)中，将纸片沿过点A的直线折叠，

使点B落在AO上的点8'处，折线AE交8C于点E,连接BE.求证：四边形ABE8,

是菱形.

［规律探索］

(2