2021年高考数学押题预测卷（山东卷）01（全解全析）

2021年高考数学押题预测卷(山东卷)01

数学•全解全析

一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的。

1.集合A/={x|]gx>0},N={x|f44},则A/nN=(.)

A.(1,2)B.[1,2)C.(1,2],D.[1,2]

l.C.•/M={x|lgx>0}={x|x>l},A^={x|x2<4}={x|-2<x<2},

.•.MnN=(l,2],故选C.

(1-z)2

2.已知~乙=1+，(j为虚数单位)，则复数z=()

z

A、1+zB、1—zC、—1+iD、—\—i

^(l-z)2,.(1-z)2-2z-2z(l-i),.，.小小

2.D由BK题----=1+2,；.z=-----------=--------——i,故选D.

z1+z1+i2

3.某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中,

青年教师有320人，则该样本的老年教师人数为()

A.90B.100C.180D.300

类别人数

老年教师900

中年教师1800

青年教师1600

合计4300

3.C.由题意，总体中青年教师与老年教师比例为幽=3；设样本中老年教师的人数为X,由分层抽样

9009

的性质可得总体与样本中青年教师与老年教师的比例相等，即型=3，解得x=180,故选C.

x9

4.对于三次函数=+法2+以+〃(々工0),给出定义：设尸(x)是函数y=/(x)的导数，/是

/(工)的导数，若方程/")=0有实数解与，则称点为函数尸了⑺的“拐点”.经过探究发现:

任何一个三次函数都有“拐点’,；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数

1、(2}(2018、

g(x)=—X3——x2+3x——,20191+*12019尸…十42019))

v73212

A.2016B.2017C.2018D.2019

4.C对己知函数求两次导数可得图象关于点对称，即〃x）+〃l-x）=2,利用倒序相加法即可得

至IJ结论.函数g(x)=LV—gY+3x—',函数的导数g<x)=x2-x+3,g'(x)=2x-l由g")=0得

2%-1=0,解得$=；，而出）=1,故函数g（x）关于点（［J对称，."（》）+8（1）=2,

篇卜第卜…+g岛）

故设则

(募)+g(就卜…+8部)

两式相加得2x2018=2利，则利=2018,故选C

5.在（也+x）6（l+g5的展开式中，,项的系数为（）

A.200B.180C.150D.120

4

5.C(5+x)6展开式的通项公式为Tr+i=C&5)6rxr=C%x空，令警=4,得r=2,则T3=Cgx^y^=I5x.

(1+05展开式的通项公式为Tr+i=a(，r=Cgy-r,令r=2可得

4

T3=Cgy-2=]0y-2故x尸项的系数为15X10=150.故选C.

6.若f(x)是偶函数，且当xG[0,+8)时，f(x)=x—l,则f(x—l)<0的解集是()

A.(-1,0)B.(一8,0)U(l,2)C.(1,2)D.(0,2)

|x20,

6.D由得0Wx<l.由f(x)为偶函数.结合图像(略)知f(x)<0的解集为-

[f(x)<0,

所以即0<x<2.。

7.一个三棱锥P—ABC的三条侧棱Q4、PB、PC两两互相垂直，且长度分别为1、«、3,则这个三棱

锥的外接球的表面积为（）

A.167rB.324C.367rD.64〃

7.A以丛、PB、PC为三边,补成•个长方体，则三棱锥的外接球球心为长方体的对角线中点，直径

为川+6+9=4,外接球的表面积为4/笈=16万

8.在矩形ABCD中，AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若看第=入/需+/恭，

则k+ix的最大值为（）

A、3B、2C、D、2

8.A如图：以A为原点，以AB,AD所在的直线为x,y轴建立如图所示的坐标系,

则A(0,0),B(1,0),D(0,2),C(1,2),•动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，设圆的

半径为r,VBC=2,CD=1,ABD==fi：.TBC»CD=TBDT,

4妥场破、

>，，圆的方程为(x-l)2+(y-2)2=5,设点P的坐标为(5cosO+l,5sin0+2),V.@菱=入

.4魂+|ijS,(5cosO+1,5sin。-2)=X(1,0)

送殖茎昱

+|1(0,2)=(入，2R),:.5cos0+l=X,5sin0+2=2p,X+g=5cosO+5sinO+2

=sin(0+(p)+2,其中tan(p=2,V-l<sin(0+(p)<1,/.l<l+p<3»故入+p的最大值为3。

二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分,在每小题给出的四个选项中，

有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.

9.下列命题正确的是()

A.“〃>1”是“5VI”的充分不必要条件

B.命题“三沏仁(0，+8),In项=沏-1”的否定是“Vxd(0,+8),lnxKx-1”

C.设x,ydR,则“x22且y》2”是“*+歹24"的必要不充分条件

D.设。，b《R,则“aWO”是“abWG”的必要不充分条件

9.ABD.若5<1,则。>1或。<0,则““>1”是“5<1”的充分不必要条件，故A正确；根据特称命

题的否定为全称命题，得“mx()e(O,+8),m刈=刈一1”的否定是“VxW(O,+8),inxWx-l"，故B

正确：当x22且)，22时，/+924,当f+丁》4时却不一定有x22且y22,如x=5,尸0,因此“x?2

且y/2”是“/+/24”的充分不必要条件，故C错误；因为“ab=O"是"。=0”的必熊不充分条件，所

以“aWO”是“帅W0”的必要不充分条件，故D正确.故选ABD.

10.将函数y(x)的图象向右平移n至个单位长度，再将所得函数图象上的所有点的横坐标缩短到原来2的昌得

到函数g(x)=Asin(0x+e)(A>O,。>0,|。|<总的图象.已知函数g(x)的部分图象如图所示，则下列关于函

数人x)的说法正确的是()

A.火x）的最小正周期为“，最大值为2

JI

C.«r）的图象关于直线1=7■对称D.y（x）在区间不，-y上单调递减

10.ACD.由图可知，A=2t7=4X（节■—段）=4"，所以S=爷~=3.又由百，^）=2可得

夕=-9+2&11(2£2),且刷所以0=一企■.所以g(x)=2sin(3x—总

所以儿r）=2sin所以7U）的最小正周期为n,最大值为2,选项A正确.

f

对于选项B,令2x+t-=A'n（〃ez）,得x=-—会:'GZ）,所以函数人x）图象的对称中心为knn'

.2~'l2,°

kfnny,得k'=g,不符合&'£Z,B错误.

(KEZ),由2~12~

对于选项C,令2X+2=5+"（Aez）,得户尚+等Gez）,所以函数/U）图象的对称轴为直线•+等

b/oZoZ

jiJInjir5n-irJTn

（4£Z）,当衣=0时，x=—»故C正确.当/任[/，时，2%+—e—»，所以F（x）在区间三，Vt

b636[_zbJ|_b3_

单调递减，所以选项D正确.故选ACD.

11.已知抛物线C：V=4x的焦点为广，准线为/,P为C上一点，P。垂直于/且交/于点Q,M,N分别为P0,

PF的中点，MN与x轴相交于点R,若NNRF=60°,则（）

A.ZFQP=f>0°B.|QM=1

C.\FP\=4D.\FR\=4

11.AC.如图，连接做FM,因为M,N分别为做"的中点，所以鹿V〃尸Q又图〃x

轴，NW彷6=0°,所以/尸。/上60°.由抛物线定义知，PQ\=\PF\,所以△人少为等

边三角形，则用<1图，QM=2,等边三角形的边长为4,\FP=\PQ\=4,FN\

=发用=2,则△/%、:为等边三角形，所以朗=2.故选AC.

12.正方体4BC£>-AI8ICQI的棱长为\,E,F,G分别为BC,CG，BB\的中点.则（）

A.直线与直线A尸垂直B.直线4G与平面AE尸平行

9

C.平面4E尸截正方体所得的截面面积为(D.点C与点G到平面AEF的距离相等

O

12.BC.根据康意，因为44〃%所以平面力跖即平面4/加故A选项错误.因为4G〃。尸，4a平面力⑸叨，

9

所以46〃平面4分几故B选项正确.平面4",截正方体所得截面为等腰梯形45/加易知梯形面积为9故C选

O

项正确.点G到平面1项的距离即点4到面/I。尸的距离，显然D错误.故选BC.

三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.

13.计算：log,,2既23+!叫3=.

-0S23+0310g23og43

13.—g,36log2=log222=-1;2''^=2x2'=3x73=373.

14.过动点M作圆：(x-2)2+(y-2)2=l的切线MN,其中N为切点，若|MN|=|MO|(O为坐标原点)，则|MN|

的最小值是.

14.芈解法一：由题意知圆的圆心为(2,2),半径为1.设M(x,y),则|MO|=-x2+y?,|MN|=

、(x—2)2+(y_2)2_1.由|MN|=|MO|,得4x+4y—7=0,即y=4-x,所以|MN|=|MO|=也阡了=

yJx2+Q_》=^2x2一5+黑=y2(x一款+患,当x=(时，|MN|取得最小值\^||=邛2

解法二：由题意知圆的圆心为(2,2),半径为1.设M(x,y),则|MO|=)x2+y2,

|MN|=A/(x-2)2+(y-2)2-l.Etl|MN|=M0|,得4x+4y-7=0,即点M的轨迹为4x+4y-7=0,则由题意

知，要使IMN|取得最小值，即|M0|取得最小值，此时|M0|的最小值就是原点到直线4x+4y-7=0的距离，

即〒^=芈，故IMN：的最小值为芈.

•\/4'+488

15.某县农民的月均收入；服从正态分布，即，〜M1000,409,则此县农民月均收入在1000元到1080元间

人数的百分比为.

附：若Z〜N(〃/2),则P(〃一b<Z<4+3)=0.6826,P(〃-26Vz<〃+23)=0.9544.

15.47.72%户(1000CfW1080)/(920〈fW1080)=(2(1000—80〈f<1000+80)

=1x0.9544=0.4772.

16.在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不

同的获奖情况有一种.(用数字作答)

16.60分情况：一种情况将有奖的奖券按2张、1张分给4个人中的2个人，种数为C*C|Ai=36;另一

种将3张有奖的奖券分给4个人中的3个人，种数为A*=24,则获奖情况总共有36+24=60(种).

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(本小题10分)

力2-4-H.I〃+1

在①S“=/W；②%M=2a“_”“T，邑=4%=28；③*=一丁，$3=6这三个条件中任选一个补

充在下面的问题中，并加解答.

问题：设数列｛4｝的前〃项和为S.,,若勿=袈，求数列也｝的前〃项和.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一解答计分.

2

M4-??

17.解：若选①S〃=-----,当〃=1时，。[=5]=1；当力22时，cin-Sn-Sn_｝-n,

2

又由当〃=1满足q=",所以4=〃，所以b=2=2=〃/']

"2册2"⑵

、23

则7；=lx+2x出+3x（；）+..•+〃・q]

27

--r

6呜+咱

+-1

2、3

2

所以殳=+・・・+

2"727

i1

1-咱=1-（〃+呜〃+1

2

所以数列低｝的前〃项和7；=2—(〃+2)(g

若选②％=2a,邑=4%=28,

由a„+,=2«„,即an=也产,可得数列｛4｝是等差数列,

5=7q+21d=28

设数列｛%｝的公差为d，则＜,,r，解得q=l,d=l,所以a“=",

%=4+64=7

所以。=幺"=-=n-

n2%2〃5

23

则+2x+3x卜〃’1、

7；=lx00©d-------・

6呜+咱1、〃+l

+—1)+〃・

2)2J

123/:+1

++…修〜

所曰=122(2(2

J1-1

n+l

2I「》(〃+%)

~1〃,

1--

2

所以数列也｝的前〃项和7>2-(〃+2).七

〃+1„,

若选③3=——，§3=6,

a„〃

由4匚北=山，可得也=组，所以”=华

即a=na,

nn+lnn1nt

又由S3=%+%+。3=6q=6,所以q=l,所以a“=〃，

所以2=2=2=〃.1

“2%2〃2

123

则7；=1x(；、*12

+2xm+3xfiT+...+n.fiY

712J12J12J

1*咱3

1T.fl+…+(〃T)]£|+呜)

2

2、3n+\

所以为,=1、〃

++・・・+—n,

2"2y5

〃+1

-31-5+2呜)

所以数列也｝的前〃项和7；=2—5+2）.-.

18.（本小题12分）在口回。中，角ARC的对边分别为

己知。=3,c=y/2,B=45°.

（1）求sin。的值;

4

（2）在边8C上取一点D，使得cosZADC=--，求tanND4c的值.

5

18.解：（1）在口/lBC中，因为a=3,c=&\8=45",由余弦定理6?="一2"ccos8,

=9+2-2x3x5/2008450=5,所以b=布.

在口43。中，由正弦定理」一=人,得工=巫，所以sinC=逝.

sin3sinCsin45sinC5

而NADC+NC+NC4D=180。，所以NC为锐角，

故cosC=Vl-sin2C=,则tanC=‘由。=—.

5cosC2

4.-------------------3

因为cosZADC=-―，所以sinZA£)C=S—cos?/用。。=二，

55

/.sinZADC3

tanZADC=---------=一一.

cosZADC4

从而tanADAC=tan(180°-ZADC-ZC)w-san(ZAZ)C+ZC)

31

1—

tanZADC+tanC422

1-tanZADCxtanC_f3^x111

"l"4jX2

TT

19.（本小题12分）如图，三棱柱A8C-A旦G中，侧面84CC，已知ZBCG=§,BC=1,

A5=GC=2,点七是棱G。的中点.

(1)求证：BC_L平面ABC；

(2)求二面角A—瓦后―4的余弦值.

7T

19.解：(1)证明：vZBCC,=y,BC=T，C£=2,

•••由余弦定理可知BC,=JBC'CC；-2BCCC、=G，

BC2+BC：=CC；,BC1Bq,

QAB_L侧面BgCC，且BCU面BBC。，.•.AB_L8C，

又QAB1BG=B,A民8Gu平面ABG，.^.3C，平面ABG.

(2)由(1)知，以8为坐标原点，BC为x轴，BQ为y轴，84为z轴，建立如图所示的空间直角坐标

系,

则4(0,0,2),c(i,o,o),G(0,6,0)，小；，*，°，(-1,^,0),A(—1,6,2卜

(22J

；，考2),西

:.EA=4例

〃•丽=0

设平面AEBI的法向量为n=(x,y,z)由,得〃=(1,6,1);

〃・EB1=0

同理，设平面4七4的法向量为帆=（玉,y,zj,可=一多方-,2

m-EA,-01+32逐

由《一，得加=（1,月,0）,故cos（孙力mn

m•EB、-0阿・同62—5

由题意二面角A一旦后一4是锐二面角，故二面角A—4七一A的余弦值为竽.

20.（本小题12分）中华人民共和国《道路交通安全法》中将饮酒后违法驾驶机动车的行为分成两个档次:

“酒后驾车”和“醉酒驾车”，其检测标准是驾驶人员血液中的酒精含量。（简称血酒含量，单位是毫克/100

毫升），当20WQW80时，为酒后驾车；当Q>80时，为醉酒驾车.某市公安局交通管理部门于2013年1

月的某天晚上8点至11点在市区设点进行一次拦查行动，共依法查出了60名饮酒后违法驾驶机动车者，

如图为这60名驾驶员抽血检测后所得结果画出的频率分布直方图（其中QN140的人数计入120<Q<140人

数之内）.

（2）从违法驾车的60人中按酒后驾车和醉酒驾车利用分层抽样抽取8人做样本进行研究，再从抽取的8人中

任取3人，求3人中含有醉酒驾车人数X的分布列和数学期望.

20.解：（1）由已知得,（0.0032+0.0043+0.0050）X20=0.25,0.25X60=15,所以此次拦查中醉酒驾车的

人数为15人.

⑵易知利用分层抽样抽取8人中含有醉酒驾车者为2人，所以X的所有可能取值为0,l,2.P（X=0）=,=得,

P（X=1）=寸CsCl药15尸（X=2）=廿ClCi药3

X的分布列为

X012

5153

142828

EX=0X»1X^|+2X^=1

22

21.（本小题12分）己知椭圆C：=+二=1（a>0,b>0）的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形,

ab"

直线x+y+2—1=0与以椭圆C的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切.

⑴求椭圆C的方程;

（11）设点8,C,D是椭圆上不同于椭圆顶点的三点，点B与点D关于原点0对称.设直线

CD,CB,OB,OC的斜率分别为k”k2，k3,k4,

⑴求卜此的值；（ii）求OB2+OC2的值.

21.解：（I）设椭圆C的右焦点K（c,0）,则C2=Q2_/（C>0）

由题意，以椭圆C的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长

为半径的圆的方程为（x—c）2+V=",

...圆心到直线x+y+2J5—1=0的距离

|C+272-1|

d==a①，；椭圆C的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形,

代入①式得c=L八"”2,故所求椭圆方程为%『I

（II）（i）设8（尤］,弘）,。（工2，%），则。（一为,一凶），

%+x一代一才3

于是4#2=上口一一（10分）

x+玉X；-X；X；-X；

x2-Xj24

33

（ii）方法一由（i）知，k3k4=人屈=屋故乂％=一［中2.

o33

所以，二=二（4—焉）•二（4—X；）即片考=16-4（片+考）+才考,所以,x；+x；=4.又

1644

2=4+4++3=牛+亨，故—.

所以，OB—OC?=OB2+OC2=x;+y：+君+£=7.

方法二.由⑴知，k^=k［k2将直线y=