2021年高考数学全真模拟卷（山东高考专用）（解析版）

绝密★启用前

【赢在高考・黄金20卷】备战2021高考数学全真模拟卷(山东高考专用)

第四模拟

(试卷满分150分，考试用时120分钟)

姓名班级考号

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名'考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选

涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求.

1.已知集合4=卜及=«71},5={y|y=ln，+l)},则AB=()

A.[-1,+8)B.[0,+oo)c.(-1,0)D.[-1,0]

【答案】A

【详解】

可以求出集合A，B，然后进行并集的运算即可.

解：A={x|x.-1},4={y|y..0},

/.AuB=[-l,+00),

z.

2.已知Z=2f+i,Z2=1-2Z,若广为实数，则实数，的值为()

1

A.1B.-1C.D.

44

【答案】D

【详解】

z,_2r+Z_(2r+Z)(l+2z)2r-2+(4r+l)z

QZ]=2,+i,z=1-2/,

2,,z-l-2z-(l-2z)(l+2i)

25

z.

又」为实数,二4，+1=0,即，=一」.故选D.

4

3.已知命题，：三》〉。,丁2。，则力为()

22

A.3x0>0,Xp<0B."x>0,X<0c.3x0<0,XQ<0D.Vx<0,x<0

【答案】B

【详解】

F："x＞（）,f＜（）.

4.已知非零向量a,。满足恸=4,|,且a_L(2a+b),则a与人的夹角为()

Aocc?兀57r

A.3B.2C.—D.—

36

【答案】C

【详解】

a_L(2。+/?),/.a•(2a+〃)=0,/.2M+a•Q0,

即+卜/帆3〈。力〉=0.网=4同2同+4同2cos〈a,h}=0,

cos(6z,/?)=——,「・〈a,3=3.

5.我国的5G通信技术领先世界，5G技术的数学原理之一是著名的香农（Shannon）公式，香农提出并严

格证明了“在被高斯白噪声干扰的信道中，计算最大信息传送速率C的公式C=W-log?（1+5），其中W

s

是信道带宽（赫兹），S是信道内所传信号的平均功率（瓦），N是信道内部的高斯噪声功率（瓦），其中一

N

叫做信噪比.根据此公式，在不改变W的前提下，将信噪比从99提升至2,使得。大约增加了60%,则；I

的值大约为（）（参考数据：10°2al.58）

A.1559B.3943C.1579D.2512

【答案】C

【详解】

Wlog2(l+/l)-Wlog2(l+99)

由题意得:a60%

Wlog,(1+99)

则呼+»1-6,1+2®10016=1032=103.10°2。1580，

log2100

.-.2*1579

6.重庆奉节县柑橘栽培始于汉代，历史悠久.奉节脐橙果皮中厚、脆而易剥，酸甜适度，汁多爽口，余味清

香，荣获农业部优质水果、中国国际农业博览会金奖等荣誉.据统计，奉节脐橙的果实横径（单位：mm）服从

正态分布N（80,52）,则果实横径在［75,90）的概率为（）

附：若X~N（〃,cr2）,则P（〃一cr<X<〃+cr）=0.6827；<X<^i+2a）-0.9545.

A.0.6827B.0.8413C.0.8186D.0.9545

【答案】C

【详解】

由题得b=5,P（8（）-5<X<80+5）=0.6827,

所以P(75<X<85)=0.6827,P(80-10<X<80+10)=0.9545,

所以P(70<X<90)=0.9545,所以P(85<X<90)==0.1359,

所以果实横径在[75,90）的概率为0.6827+0.1359=0.818.

交双曲线的另一条渐近线于点8（4,8在同一象限内），满足|FB|=2|E4],则该双曲线的离心率为（）

B.近C.后

【答案】B

【详解】

b

双曲线的渐近线方程为y=±—x,如图，不妨设AB在第一象限,

a

122»3

直线/的方程为y=—3（x—c）,与二一与=1联立，得以=匹；

a/b~lac

bbe

直线/与了=一X联立，得丁6二丁.

a2a

由|EB|=2|E4|,得力=2以，即如=2x工，

2a2ac

得c2-2b2»即c2-2a2,则—^2,

故选：B.

8.已知等差数列｛a,,｝的前〃项和S“满足：Sm<Sm+2<Sm+i,若5.〉0,则〃的最大值为（）

A.2mB.2/zz+lC.2m+2D.2m+3

【答案】C

【详解】

由<Sm+2<Sm+｝得,ain+l>0,am+2<0,am+｛+am+2>0.

又§2"=（2m+l）（：+%"M）=（2加+1）%〉0,

=（2-+3）（；+%，川）=（2『+3”修<0，

SM=色加+1）广修）=（加+1）（%+«,„+2）>0.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9.Keep是一款具有社交属性的健身APP,致力于提供健身教学、跑步、骑行、交友及健身饮食指导、装备

购买等一站式运动解决方案.Keep可以让你随时随地进行锻炼，记录你每天的训练进程.不仅如此，它还可以

根据不同人的体质，制定不同的健身计划.小明根据Keep记录的2019年1月至2019年11月期间每月跑步

的里程（单位：十公里）数据整理并绘制了下面的折线图.根据该折线图，下列结论正确的是（）

A.月跑步里程最小值出现在2月

B.月跑步里程逐月增加

C.月跑步里程的中位数为5月份对应的里程数

D.1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更小

【答案】ACD

【详解】

由折线图可知，月跑步里程的最小值出现在2月，故A正确；

月跑步平均里程不是逐月增加的，故B不正确；

月跑步里程数从小到大排列分别是：2月，8月，3月，4月，I月，5月，7月，6月，II月，9月，10月,

故5月份对应的里程数为中位数，故C正确；

1月到5月的月跑步平均里程相对于6月至11月波动性更小，变化比较平稳，故D正确.

10.已知〃、。均为正实数，则下列不等式不一定成立的是（）

,1c

A.a+bT-->3

4ab

C.乎Na+b

\[ah

【答案】AD

【详解】

对于A,a+b+—=>2\fah+>2y11<3,当且仅当〃=匕时等号同时成立；对丁B,

\Jab7ab2

/1。bJab4

(Q+b\—I—=2H—H—22+2J—,——4,当且仅当。二b时取等心;

yab)ba\ha

对于C,注2如42@<

=a+b，当且仅当。=〃时取等号;

-jab2\/ab

对于D,当Q

2abr-r

所以i------〈lab.

7a+b

11.如图是某市夏季某一天的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数y=Asin(s+o)+3(()<o<万),

则下列说法正确的是()

A.该函数的周期是16

B.该函数图象的一条对称轴是直线x=14

(rr34)

C.该函数的解析式是y=10sin|wX+=)+20(64x414)

D.该市这一天中午12时天气的温度大约是27°C

【答案】ABD

【详解】

对于A选项，由图象可知，该函数的最小正周期为T=2x(14—6)=16,A选项正确;

对于B选项，该函数在％=14取得最大值，所以，该函数图象的一条对称轴是直线x=14,B选项正确;

A+8=304=102n2万7i

对于C选项,由图象可得《解得《co=

一4+8=10B=20’于一记一W

...sin^X1.

图象经过点(14,30),30=10sinl^xl4+^+20,+

八7乃7万11万.,7乃5万34

0<夕<乃，——<——+0<-----,则——+°=—/.（p=—

444424

(37r

所以，函数解析式为EOsin针+彳+20(0<x<24),C选项错误;

当x=12时，y=10sin（£xl2+手）+20=10x

—+20«27,故D选项正确.

2

12.如图所示，正方体ABC。-AB'C'。'的棱长为1,瓦尸分别是棱44',CC'的中点，过直线族的平面

分别与棱8B',DD'交于M,N,设3M=x,xe(O,l),则正确的说法是()

A.四边形MENE为平行四边形

B.若四边形MEA/面积S=/(x),xe(O,l),则/(x)有最小值

C.若四棱锥A-MEN/的体积V=p(x),xe(0,1),则p(x)是常函数

D.若多面体ABCQ—MEN/的体积V=,则/z(x)为单调函数

【答案】ABC

【详解】

•••平面4)。'4//平面8。。'8',.・.硒//吹，同理F7V//EM,所以四边形M£N尸为平行四边形，故A

正确；

若四边形MEN/面积5=/。)=工・所-皿,加为88'中点时，即％=工时，是短，此时面积最小，

22

故B正确；

连接AE,AM,AN,则四棱锥分割为两个小棱锥，它们是以AEE为底，以M,N为顶点的两个小棱锥，

因为AEF的面积是个常数，M,N到平面AER的距离和是个常数，所以四棱锥A-M£NE的体积

V=P(x)是常函数，故C正确;

多面体A5CD—MENF的体积V=/z(x)=工匕廿c=■!■为常数函数，故D错误.

2ABCD-ABCD?

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

13.已知tana=2,则tan[?-a)=.

【答案】

3

【详解】

(7111-tana1-21

tan---a|=--------=----=——，

V4)1+tana1+23

14.在数列｛斯｝中,已知a“+2=3a“+i-2.“，4=1,%=3,则数列｛2,｝的通项公式即三

【答案】2"-1

【详解】

解：将4+2=3an+1-2%两边同时减去a„+1得，

%+2-a“+i=2(为+1一4)，《2=2，

“，，+2-”，川=2

。“+「4,一

即｛。向-4,｝是等比数列，其首项为2,公比为2,

所以an+\~an=(%—“I)2"T=2",

从而当时，4=(a“一一。"_2)++(生一4)+4

lx(l-2n)

rt

=2"T+2"-2++2+1=二-----L=2-l.

1-2

又4=1=2—1,故q=2"-1

15.在四棱锥P—ABCZ)中，底面ABCD,PA^AB^AD^l，BC=CD=BD=6则四棱

锥的外接球的表面积为.

【答案】5万

【详解】

A.RD?_nr)~反

AB=AO=1，BDf，由余弦定理得cos/A5D=--------------=------=—./.ZABD=30°.

2ABBD2

BC=CD=BD=5:.NCBD=60，则/ABC=90，同理可知ZADC=90，

AC

AB±BC^4DLCD,，四边形ABC。的外接圆半径为r=—=1，

2

Q4J_平面A8QD,所以，该四棱锥的外接球半径为R

因此，四棱锥的外接球的表面积为4乃斤=5万.

故答案为：5万.

p

B

2

16.如图，A，&分别是双曲线C：》2-21=i(a>0)的左、右顶点，以实轴为直径的半圆交其中一条渐

a

近线于点M，直线交另一条渐近线于点N,若M4,〃N0,则。=，若弱为双曲线右焦

点，则AM5。的周长为.

【答案】33+"

【详解】

由己知，。&=1，渐近线方程为y=±疝:，则tanN&ON=JZ,cosZA2ON=-j==,

,所以ONnOdcosZAANnJ，又MAJ/NO,。为中点，所以MA=2NO=

A/1+Q

21

-j—,又NMQ4,=NNQ4,所以cosNMQ4)=—,在MOR中，由余弦定理

+a0+a

41

2

可得MA；=MO+A。？一2MO-4。cosZMOA},即=1+1-2x,解得

a=3,所以cos/MQA=g,g(2,0),F2O=2,在〃。工中，由余弦定理可得

22

MF2=y/MO+F2O-2MO-OF,COSZMOA,=Jl+4_2x2cos(万一NMO4)=

.5+4x-=y/7.所以△MF;。的周长为l+2+/=3+J7.

四.解答题：本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.在①(sin8-sinC)~=sir>2A-sinBsinC,②bsin----asinB,③asin8=/?cos[A-7这

三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答.

问题：ABC的内角AB,C的对边分别为a,4c,若缶+b=2c，，求A和C.

注：若选择多个条件作答，按第一个解答计分.

【详解】

(1)选择条件①，由(sinB-sin。)？=sii?A—sinBsinC及正弦定理知，

-a2-he.整理得，b1+c2-a1=be

,人r4-—r，曰.b~+c~-erbe1

由余弦理Tin可得，cosA=--------------=-----=—;

2bc2bc2

又因为Ae(O,»),所以，A=y.

乂由+Z?=2c得，＞72sinA4-sinZ?=2sinC

山B=h-C得，>/2sin—+sin=2sinC；

33

整理得，sinfc--^—,

I6j2

因为C£f0,-^-7t7171

，所以，C——G

6k'5

..._.TCTC,f.51

从而c—=一,解得c=—

6412

(2)选择条件②，因为A+3+C=%,所以0土匚=2一4

222

由Hsin'=asinB得，boos—=6fsinB

22

由正弦定理知，sin3cos—=sinAsinB=2sin-cos—sinB；

222

.A八可得呜斗

又sin^B〉。，sin—>0,

2

Ajrjr

乂因为Aw(O,»),所以，一=二，故4=一.

263

以下过程同(1)解答.

(3)选择条件③，由asin8=〃cos(A—及正弦定理知,

sinAsinB=sinBcosA--

I6

又sin3>0,从而sinA=cos

解得tanA=A/3；

jr

又因为Ae（O,»）,所以，A=-.

以下过程同（1）解答.

18.已知数列｛凡｝的前〃项的和为S“，且5”=2。”一1.

（1）求数列｛a,,｝的通项公式；

⑵设〃=一,求数列出｝的前〃项和z,.

a”

勿+2

【答案】（1）«„=2"-1；（2）T„=4-——.

【详解】

解：（1）因为S“=2a“-1,①

当〃=1时，E=2q-1,解得4=1；

当2时S,i=2a“.1—l,②

①一②，得。“=2a“一2a“_1,即——=2（»>2）,

a

n-\

所以数列｛4｝是首项为1，公比为2的等比数列，

从而%=T-1.

鹿

（2）由（1）知包=环了-

,,,„123/7-1n

则北=.+^7+级+…+产+声，

两边同乘以;，得;骞=5+最+/+…+"+，；

I___

।i|InQMn2〃

两式相减得5（=1+57+57+…+齐7—57=----i__77=2_77-77，

乙NN乙乙］人/NN

~2

所以北=4-费•

19.出于“健康、养生”的生活理念.某地的M炊具有限公司的传统手工泥模工艺铸造的平底铁锅一直受到全

国各地消费者的青睐.M炊具有限公司下辖甲、乙两个车间，甲车间利用传统手工泥模工艺铸造T型双耳平

底锅，乙车间利用传统手工泥模工艺铸造L型双耳平底锅，每一口双耳平底锅按照综合质量指标值（取值范

围为［50,100］）划分为：综合质量指标值不低于70为合格品，低于70为不合格品.质检部门随机抽取这两种

平底锅各100口，对它们的综合质量指标值进行测量，由测量结果得到如下的频率分布直方图：

将此样本的频率估计为总体的概率.生产一口T型双耳平底锅，若是合格品可盈利40元，若是不合格品则亏

损10元；生产一口L型双耳平底锅，若是合格品可盈利50元，若是不合格品则亏损20元.

（1）记X为生产一口7型双耳平底锅和一口L型双耳平底锅所得的总利润，求随机变量X的数学期望；

（2）M炊具有限公司生产的T和L型双耳平底锅共计1000口，并且两种型号获得的利润相等，若将两种

型号的合格品再按质量综合指标值分成3个等级，其中［70,80）为三级品，［80,90）为二级品，［90,100］为

一级品，试判断生产的这1000口两种型号的双耳平底锅中哪种型号的一级品多？请说明理由.

【详解】

解：（1）根据频率分布直方图，

甲车间生产的一口T型双耳平底锅为合格品的概率为

(0.040+0.032+0.008)x10=().8；

乙车间生产的一口L型双耳平底锅为合格品的概率为

(0.040+0.029+0.006)x10=0.75.

随机变量X的所有取值为90,40,20,-30,则

P(X=90)=0.8x0.75=0.6；P(X=40)=0.75x0.2=0.15；

P(X=20)=0.8x0.25=0.2；P(X=-30)=0.2x0.25=0.05.

所以E(X)=90x0.6+40x0.15+20x0.2-30x0.05=62.5.

(2)生产的这1000口两种型号的双耳平底锅中T型号的一级品多，理由如下：

设生产的这1000口双耳平底锅中T型的有xn,L型的有y口(0<x,y<1000),则生产X口丁型双耳平

41

底锅的利润为》*］乂40—X乂1*10=30%,

31130

生产>口L型双耳平底锅的利润为yx-x50-yx-x20=—y.

444

由30x=^^y,即2=二，乂x+y=1000,

4->12

解得x=520,y=480.

由于T型双耳平底锅一级品的概率为0.08,L型双耳平底锅一级品的概率为0.06,

所以T型双耳平底锅一级品的估计值等T-520x0.08=41.6>41,

L型双耳平底锅一级品的估计值等于480x0.06=28.8<29,

因此生产的这1000口两种型号的双耳平底锅中T型号的一级品多.

20.已知圆锥的体积为万，底面半径Q4与08互相垂直，且OA=石；P是母线8s的中点.

s

A

(i)求圆锥的表面积

(2)求异面直线SO与Q4所成角的大小(结果用反三角函数表示)

【详解】

(1)V=gs〃，S=3万,...50=1,58=2,

S表=%.6-2+乃=(26+3)万

(2)取80中点“，连接SO与Q4所成角为NAP”(或其补角),

所以异面直线SO与E4所成角的大小为arctan厉.

33

21.已知。为实数，函数/(x)=』(+双2+二*+二。

22

(1)若函数f(x)的图象上有与x轴平行的切线，求”的取值范围;

⑵若/'（-1）=0,对任意内，々目―1,0],不等式|/（%）-/（工2）|4加恒成立，求加的最小值.

、

(3/5

【答案】(1)ae-oo,--4-,+℃；(2)—.

2?16

【详解】

,33、3

2+%+=++

(1)f(x)=^+ax22•

3

由题意知/'(幻=0有实数解.A=4«2-4X3X->0

：.a2>~,即――述或心逑.故a/-，-芈]/孝,+8

222I2JL2

39

(2)/'(-1)=0,・・.3—2a+二=0,即

24

3(1A1

/,(x)=3x2+2ar+-=3lx+-l(x+l),令/'(x)=0得玉=