2021年福建中考数学模拟卷终极版【含答案】

2021年福建中考数学模拟卷终极版

一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）

1.已知关于x的一元二次方程x2+x+m2-4=0的一个根是0,

则m的值是（）

A.0B.1C.2D.2或-2

2.用配方法解方程x2-8x+3=0,下列变形正确的是（）

A.（x+4）2=13B.（x-4）2=19

C.（x-4）2=13D.（x+4）2=19

3.如图，AB是。O的直径，弦CD_LAB,垂足为M,下列

结论不一定成立的是（）

A.CM=DMB.OM-MB

C.BC=BDD.ZACD=NADC

4.下列一元二次方程有实数根的是（）

A.x2-2x-2=0B.X2+2X+2=0

C.x2-2x+2=0D.X2+2=0

5.已知关于x的一元二次方程（k-2）X2+2X-1=0有两个

不相等的实数根，则k的取值范围为（）

A.k>lB.k>-1Hk^OC.k>l且kw2D.k<l

6.观察如下图形，它们是按一定规律排列的，依照次规律,

第n的图形中共有210个小棋子，则n等于（）

••

•••・・・•••

①②③••④••

A.20B.21C.15D.16

7.若点（-1,4）,（3,4）是抛物线y=ax2+bx+c上的两点,

则此抛物线的对称轴是（）

A.直线x二-"B.直线x=lC.直线x=3D.直线x=2

a

8.如图，OC过原点O,且与两坐标轴分别交于点A、B,

点A的坐标为（0,4）,点M是第三象限内施上一点，

ZBMO=120°,则。O的半径为（）

9.如图，AB为。O直径，C为。O上一点，NACB的平方

线交。。于点D,若AB=10,AC=6,则CD的长为（）

A.7B.7V2C.8D.8亚

10.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则a的取值

范围为()

A.-l<a<0B.-l<a<-^C.OVaV^D.^<a<-|

二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分)

11.抛物线y=C(x+3)2+1的顶点坐标是.

12.已知abwO,Ha2-3ab-4b2=0,则号的值为.

13.已知关于x的方程a(x+m)2+c=0(a,m,c均为常数,

a#0)的根是xi=-3,X2=2,则方程a(x+m-1)2+c=0的根

是____________

14.如图，AB,AC是。O,D是CA延长线上的一点，AD=AB,

ZBDC=25°,则NBOO

15.已知△ABC的三个顶点都在。O上，AB=AC,OO的

半径等于10cm,圆心O到BC的距离为6cm,则AB的长等

于

16.已知二次函数y=ax2+bx+c（a#0）的图象如图所示，图

象与x轴交于A（xp0）B（X2，0）两点，点M（xo，yo）

是图象上另一点，且x（）>l.现有以下结论：①abc>0；②b

<2a；③a+b+c>0；④a（x（）-xi）（XQ-X2）<0.

其中正确的结论是___________.（只填写正确结论的序号）

三、解答题（本大题共9小题，共86分）

17.（8分）解方程：

（1）X2+2X-15=0

（2）3x（x-2）（2-x）

18.（8分）已知抛物线的顶点是（4,2）,且在x轴上截得

的线段长为8,求此抛物线的解析式.

19.（8分）定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a/O）满

足a+b+c=O,那么我们称这个方程为“凤凰〃方程.已知

x2+mx+n=0是"凤凰”方程,且有两个相等的实数根,求m2+n2

的值.

20.（8分）为响应党中央提出的“足球进校园〃号召，我市在

今年秋季确定了3所学校为我市秋季确定3所学校谀我市足

球基地实验学校，并在全市开展了中小学足球比赛，比赛采

用单循环制，即组内每两队之间进行一场比赛，若初中组共

进行45场比赛，问初中共有多少个队参加比赛？

21.(8分)如图，在。0中，AB=AC,NACB=60。.

(1)求证：ZAOB=ZBOC=ZAOC；

(2)若D是源的中点，求证：四边形OADB是菱形.

22.(10分)已知关于x的一元二次方程x?-(2m+l)x+m

(m+1)=0.

(1)求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根;

(2)若^ABC的两边AB、AC的长是这个方程的两个实数

根，且BC=8,当△ABC为等腰三角形时，求m的值.

23.(10分)如图，O为正方形ABCD对角线上一点，以点

。为圆心，OA长为半径的。。与BC相切于点E.

(1)求证：CD是。O的切线；

(2)若正方形ABCD的边长为10,求。O的半径.

R£

24.（12分）某商品的进价为每件40元，售价为每件50元,

每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则

每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）.设每件商品

的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元.

（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范

围；

（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利

润？最大的月利润是多少元？

（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200

元？根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个

月的利润不低于2200元？

25.（14分）如图，已知抛物线y=ax?+bx+3与x轴交于A、

B两点，过点A的直线1与抛物线交于点C,其中A点的坐

标是（1,0）,C点坐标是（4,3）.

（1）求抛物线的解析式；

(2)在(1)中抛物线的对称轴上是否存在点D,使^BCD

的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明

理由；

(3)若点E是(1)中抛物线上的一个动点，且位于直线

AC的下方，试求4ACE的最大面积及E点的坐标.

答案

一、选择题(共10小题，每小题4分，共40分)

1.已知关于x的一元二次方程x2+x+m2-4=0的一个根是0,

则m的值是()

A.0B.1C.2D.2或-2

【考点】一元二次方程的解.

【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能

够使方程左右两边相等的未知数的值.即把0代入方程求解

可得m的值.

解：把x=0代入方程程x2+x+m2-4=0得到m2-4=0,

解得：m=±2,

故选D.

【点评】本题考查的是一元二次方程解的定义.能使方程成

立的未知数的值，就是方程的解，同时，考查了一元二次方

程的概念.

2.用配方法解方程x2-8x+3=0,下列变形正确的是()

A.(x+4)2=13B.(x-4)2=19C.(x-4)2=13

D.(x+4)2=19

【考点】解一元二次方程-配方法.

【专题】计算题.

【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上16,

然后把方程左边写成完全平方形式即可.

解:x2-8x=-3,

x2-8x+16=13,

（x-4）2=13.

故选C.

【点评】本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次

方程配成（x+m）2=!!的形式，再利用直接开平方法求解，

这种解一元二次方程的方法叫配方法.

3.如图，AB是。0的直径，弦CDLAB,垂足为M,下列

结论不一定成立的是（）

A.CM=DMB.0M=MBC.BC=BD

D.ZACD=ZADC

【考点】垂径定理.

【分析】先根据垂径定理得CM二DM,BC=BD,AC=AD,得出

BC=BD,再根据圆周角定理得到NACD=NADC,而0M与

BM的关系不能判断.

解：:AB是。0的直径，弦CD_LAB,

・••CM二DM,BC=BD,AC=AD,

BC=BD,ZACD=ZADC.

故选：B.

【点评】本题考查了垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系

定理，圆周角定理；熟练掌握垂径定理，由垂径定理得出相

等的弧是解决问题的关键.

4.下列一元二次方程有实数根的是（）

A.x2-2x-2=0B.X2+2X+2=0C.X2-2x+2=0

D.X2+2=0

【考点】根的判别式.

【分析】根据一元二次方程根的情况与判别式4的关系：（1）

△>00方程有两个不相等的实数根；（2）△=0o方程有两

个相等的实数根；（3）△<0=方程没有实数根判断即可.

解：A、.「△=（-2）2-4xlx（-2）>0,

「•原方程有两个不相等实数根；

B、•/△=22-4xlx2<0,

原方程无实数根；

C、•「△=（-2）2-4xlx2<0,

「•原方程无实数根；

D、4xlx2<0,

原方程无实数根；

故选A.

【点评】此题考查了根的判别式与方程解的关系，一元二次

方程ax2+bx+c=0（a，0）,当b2-4ac>0时，方程有两个不

相等的实数根；当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根;

当b?-4acV0时,方程无解.

5.已知关于x的一元二次方程（k-2）X2+2X-1=0有两个

不相等的实数根，则k的取值范围为（）

A.k>lB.k>-l且kwOC.k>l且k=2D.k<l

【考点】根的判别式；一元二次方程的定义.

【分析】根据关于x的一元二次方程（k-2）X2+2X-1-0有

两个不相等的实数根，可得出判别式大于0,再求得k的取

值范围.

解：:关于x的一元二次方程（k-2）X2+2X-1=0有两个不

相等的实数根，

△=4+4（k-2）>0,

解得k>-1,

k-2/0,

/.kw2,

k的取值范围k>-1且k#2,

故选C.

【点评】本题考查了根的判别式，总结：一元二次方程根的

情况与判别式△的关系：

（1）A>0=方程有两个不相等的实数根；

（2）△=0=方程有两个相等的实数根；

（3）△<0=方程没有实数根.

6.观察如下图形，它们是按一定规律排列的，依照次规律,

第n的图形中共有210个小棋子，则n等于（）

••

•••・・・•••

•••••••••■

①②③④

A.20B.21C.15D.16

【考点】规律型：图形的变化类.

【分析】由题意可知：排列组成的图形都是三角形，第一个

图形中有1个小棋子，第二个图形中有1+2=3个小棋子，第

三个图形中有1+2+3=6个小棋子，…由此得出第n个图形共

有l+2+3+4+...+n^n（n+1）,由此联立方程求得n的数值即

可.

解：•••第一个图形中有1个小棋子，

第二个图形中有1+2=3个小棋子，

第三个图形中有1+2+3=6个小棋子，

第n个图形共有1+2+3+4+...+n=-^n（n+1）,

.•《n(n+1)=210,

解得：n=20.

故选：A.

【点评】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，

得出点的排列规律，利用规律解决问题.

7.若点(-1,4),(3,4)是抛物线y=ax2+bx+c上的两点,

则此抛物线的对称轴是()

A.直线x=-也B.直线x=lC.直线x=3D.直线x=2

3

【考点】二次函数图象上点的坐标特征.

【分析】因为两点的纵坐标都为4,所以可判此两点是一对

对称点，利用公式x=*产求解即可.

解：.•.两点的纵坐标都为4,

「•此两点是一对对称点，

二对称轴x二之白二二^二1.

故选B.

【点评】本题考查了如何求二次函数的对称轴，对于此类题

目可以用公式法也可以将函数化为顶点式或用公式*二噂

求解.

8.如图，OC过原点0,且与两坐标轴分别交于点A、B,

点A的坐标为（0,4）,点M是第三象限内正上一点，

ZBMO=120°,则。0的半径为（）

【考点】圆内接四边形的性质；含30度角的直角三角形；

圆周角定理.

【分析】连接OC,由圆周角定理可知AB为OC的直径，再

根据NBMO120。可求出NBAO的度数,证明△AOC是等边

三角形，即可得出结果.

解：连接OC,如图所示：

zAOB=90°,

「•AB为0C的直径，

•/ZBMO120。，

ZBCO=120°,ZBAO=60。，

•/AC=OC,ZBAO60。，

△AOC是等边三角形，

「•OC的半径=OA=4.

故选：A.

Bx

MI

【点评】本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质、等

边三角形的判定与性质；熟练掌握圆内接四边形的性质，证

明三角形是等边三角形是解决问题的关键.

9.如图，AB为。0直径，C为。0上一点，NACB的平方

线交。。于点D,若AB=10,AC=6,则CD的长为（）

A.7B.7V2C.8D.8&

【考点】圆周角定理；全等三角形的判定与性质；勾股定理.

【分析】作DF_LCA,交CA的延长线于点F,作DG_LCB

于点G,连接DA,DB.由CD平分NACB,根据角平分线

的性质得出DF=DG,由HL证明△AFD2△BGD,

△CDF2△CDG,得出CF=7,又△CDF是等腰直角三角形,

从而求出CD.

解：作DF_LCA,垂足F在CA的延长线上，作DGJLCB于

点G,连接DA,DB.

「CD平分NACB,

ZACD=ZBCD,

/.DF=DG,弧AD二弧BD,

/.DA=DB.

在RtAAFD和RtABGD中,

fBD=AD

IDF=DG，

△AFDM△BGD(HL),

AF=BG.

在aCDF和^CDG中，

"ZACD=ZGCD

•ZCFD=ZDGC,

CD=CD

△CDFM△CDG(AAS),

CF=CG.

/AC=6,AB=10,

BC=VIO2-62=8,

AF=1,

CF=7,

・「△CDF是等腰直角三角形,

CD=7V2.

故选B.

D

【点评】本题主要考查了圆周角的性质，圆心角、弧、弦的

对等关系，全等三角形的判定，角平分线的性质等知识点的

运用.关键是正确作出辅助线.

10.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则a的取值

范围为（）

\>

2%

A.-l<a<0B.-l<a<-^C.OVaV^D.^<a<|

ZLLo

【考点】二次函数图象与系数的关系.

【分析】根据开口判断a的符号，根据y轴的交点判断c的

符号，根据对称轴b用a表示出的代数式，进而根据当x=2

时，得出4a+2b+c=0,用a表示c>-1得出答案即可.

解：抛物线开口向上，a>0

图象过点（2,4）,4a+2b+c=4

则c=4-4a-2b,

对称轴x=---1,b=2a,

图象与y轴的交点-IVcVO,

因此-1<4-4a-4a<0,

实数a的取值范围是

Zo

故选：D.

【点评】此题考查二次函数图象与系数的关系，对于函数图

象的描述能够理解函数的解析式的特点，是解决本题的关

键.

二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）

11.抛物线y=-2（x+3）2+1的顶点坐标是（-3,1）.

【考点】二次函数的性质.

【分析】已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标.

解：:抛物线（x+3）2+1,

「•顶点坐标是（-3,1）.

故（-3,1）.

【点评】此题考查二次函数的性质，掌握顶点式y=a（x-h）

2+k,顶点坐标是（h,k）,对称轴是*=%是解决问题的关

键.

12.已知abwO,_Ea2-3ab-4b2=0,贝睫的值为-1或4.

【考点】解一元二次方程-因式分解法.

【专题】计算题.

【分析】把a2-3ab-4b2=0看作关于a的一元二次方程，利

用因式分解法解得a=4b或a=-b,然后利用分式的性质计算

第勺值.

b

解：（a-4b）（a+b）=0,

a-4b=0或a+b=0,

所以a=4b或a=-b,

当a=4b时，（=4；

当a=-b时，-1,

b

所以的勺值为-1或4.

故答案为-1或4.

【点评】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方

程的右边化为0,再把左边通过因式分解化为两个一次因式

的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0,这就能

得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降

次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数

学转化思想）.

13.已知关于x的方程a（x+m）2+c=0（a,m,c均为常数,

a#0）的根是xi=-3,X2=2,则方程a（x+m-1）2+c=0的根

是xi=-2,x?=3.

【考点】解一元二次方程-直接开平方法.

【分析】把后面一个方程中的x-1看作整体，相当于前面

一个方程中的x,从而可得x-1=-3或x-1=2,再求解即

可.

2

解：关于x的方程a(x+m)+c=0的解是xi=-3,x2=2

(a,m,c均为常数，awO),

」•方程a(x+m-1)2+c=0变形为a[(x-1)+m]2+c=0,即

此方程中x-l=-3或x-1=2,

解得x=-2或x=3.

故方程a(x+m-1)2+c=0的解为xi=-2,X2=3.

故答案是：xj=-2,X2=3.

【点评】此题主要考查了方程解的定义.注意由两个方程的

特点进行简便计算.

14.如图，AB,AC是(DO,D是CA延长线上的一点，AD=AB,

【考点】圆周角定理.

【分析】由AD=AB,ZBDC=25°,可求得NABD的度数，

然后由三角形外角的性质，求得NBAC的度数，又由圆周角

定理，求得答案.

解：「AD=AB,ZBDC=25°,

/.ZABD=NBDC=25°,

...ZBAC=NABD+ZBDC=50°,

ZBOC=2ZBAC=100°.

故100°.

【点评】此题考查了圆周角定理以及等腰三角形的性质.注

意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于

这条弧所对的圆心角的一半.

15.已知△ABC的三个顶点都在。0上，AB=AC,的

半径等于10cm,圆心O到BC的距离为6cm,则AB的长等

于8、石或4娓.

【考点】垂径定理；等腰三角形的性质；勾股定理.

【专题】分类讨论.

【分析】此题分情况考虑：当三角形的外心在三角形的内部

时，根据勾股定理求得BD的长，再根据勾股定理求得AB

的长；当三角形的外心在三角形的外部时，根据勾股定理求

得BD的长，再根据勾股定理求得AB的长.

解：如图1,当△ABC是锐角三角形时，连接AO并延长到

BC于点D,

/AB=AC,O为外心，

AD±BC,

在RtABOD中，

/OB=10,OD=6,

「•BD=A/OB2-OD2=7102-62=8.

在RtAABD中，根据勾股定理，得AB=VAD2+BD2=V16W=8V5

(cm)；

如图2,当△ABC是钝角或直角三角形时，连接A0交BC

于点D,

在RtABOD中，

/OB=10,OD=6,

BD=A/OB2-OD2=7102-62=8,

AD=10-6=4,

在RtAABD中，根据勾股定理，得AB=VBD2+AD2=V8W=475

(cm).

故8遍或4娓.

【点评】本题考查的是垂径定理，在解答此题时要注意进行

分类讨论，不要漏解.

16.已知二次函数y=ax2+bx+c(a#0)的图象如图所示,图

象与x轴交于A(xi，0)B(X2，0)两点，点M(xo，yo)

是图象上另一点，且xo>l.现有以下结论：®abc>0；@b

<2a；③a+b+c>0；④a(XQ-xi)(XQ-X2)<0.

其中正确的结论是①、④.(只填写正确结论的序号)

【考点】二次函数图象与系数的关系.

【专题】推理填空题；数形结合.

【分析】由抛物线的开口方向可确定a的符号，由抛物线的

对称轴相对于y轴的位置可得a与b之间的符号关系，由抛

物线与y轴的交点位置可确定c的符号；根据抛物线的对称

轴与x=-1的大小关系可推出2a-b的符号；由于x=l时

y=a+b+c,因而结合图象，可根据x=l时y的符号来确定a+b+c

的符号，根据a、xo-xi>x()-X2的符号可确定a(xo-xi)

(Xo-X2)的符号.

解：由抛物线的开口向下可得aVO,

由抛物线的对称轴在y轴的左边可得x=-麦V0,则a与b

同号，因而bVO,

由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可得00,

/.abc>0,故①正确；

由抛物线的对称轴x=--1(a<0),可得-b<-2a,

即b>2a,故②错误；

由图可知当x=l时y<0,即a+b+c<0,故③错误；

a<0,xo-xi>0,xo-X2>0,a(XQ-xi)(x()-X2)<

0,故④正确.

综上所述：①、④正确.

故答案为①、(4).

【点评】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，其中a

决定于抛物线的开口方向，b决定于抛物线的开口方向及抛

物线的对称轴相对于y轴的位置，c决定于抛物线与y轴的

交点位置，2a与b的大小决定于a的符号及-4与一1的大

小关系，运用数形结合的思想准确获取相关信息是解决本题

的关键.

三、解答题(本大题共9小题，共86分)

17.解方程：

(1)X2+2X-15=0

(2)3x(x-2)=M(2-x)

【考点】解一元二次方程-因式分解法.

【专题】计算题.

【分析】(1)利用因式分解法解方程；

(2)先把方程变形得到3x(x-2)+V2(x-2)=0,然后利

用因式分解法解方程.

解：(1)(x+5)(x-3)=0,

x+5=0或x-3=0,

x+5=0或x-3=0,

所以xi=-5,X2=3；

(2)3x(x-2)+V2(x-2)=0,

(x-2)(3X+V2)=0,

x-2=0或3x+g=0,

所以xi=2,x2=-

【点评】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方

程的右边化为0,再把左边通过因式分解化为两个一次因式

的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0,这就能

得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降

次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数

学转化思想).

18.已知抛物线的顶点是(4,2),且在x轴上截得的线段

长为8,求此抛物线的解析式.

【考点】待定系数法求二次函数解析式.

【专题】计算题.

【分析】根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的两交点坐

标为(0,0),(8,0),则可设交点式y=ax(x-8),然后把

顶点坐标代入求出a即可.

解：根据题意得抛物线的对称轴为直线x=4,

而抛物线在x轴上截得的线段长为8,

所以抛物线与x轴的两交点坐标为(0,0),(8,0),

设抛物线解析式为y=ax(x-8),

把(4,2)代入得a・4・(-4)=2,解得a=-

所以抛物线解析式为y=-3(x-8),即y=-#+x.

【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：一般

地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法

列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴

时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有

两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解.本题的关

键是利用对称性确定抛物线与x轴的交点坐标.

19.定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0(aw0)满足a+b+c=0,

那么我们称这个方程为“凤凰〃方程.已知x2+mx+n=0是"凤

凰〃方程，且有两个相等的实数根，求m2+n2的值.

【考点】根的判别式；一元二次方程的解.

【专题】新定义.

【分析】根据x2+mx+n=0是"凤凰〃方程，且有两个相等的实

数根，列出方程组，求出m,n的值，再代入计算即可.

解：根据题意得：

l+m+n=0

in2-4ITF0

解得：产；2，

{n=l

贝m2+n2=(-2)2+12=5.

【点评】本题考查了一元二次方程的解，根的判别式，关键

是根据已知条件列出方程组，用到的知识点是一元二次方程

根的情况与判别式△的关系：

(1)△>00方程有两个不相等的实数根；

(2)△方程有两个相等的实数根；

(3)AVOo方程没有实数根.

20.为响应党中央提出的“足球进校园〃号召，我市在今年秋

季确定了3所学校为我市秋季确定3所学校埃我市足球基地

实验学校，并在全市开展了中小学足球比赛，比赛采用单循

环制，即组内每两队之间进行一场比赛，若初中组共进行45

场比赛，问初中共有多少个队参加比赛？

【考点】一元二次方程的应用.

【分析】赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，每个

小组x个球队比赛总场数(x-1),由此可得出方程.

解：设初中组共有x个队参加比赛，依题意列方程

泰(x-1)=45,

解得：xi=10,X2=-19(不合题意，舍去)，

答：初中组共有10个队参加比赛.

【点评】此题考查一元二次方程的实际运用，解决本题的关

键是读懂题意，得到总场数与球队之间的关系.

21.如图，在O0中，AB=AC,ZACB=60°.

(1)求证：ZAOB=ZBOC=ZAOC；

(2)若D是窟的中点，求证：四边形OADB是菱形.

【考点】圆心角、弧、弦的关系；菱形的判定；圆周角定理.

【专题】证明题.

【分析】(1)根据圆心角、弧、弦的关系，由窟=0得AB=AC,

加上NACB=60。，则可判断△ABC是等边三角形，所以

AB-BC-CA,于是根据圆心角、弧、弦的关系即可得到

ZAOB二NBOC=ZAOC；

(2)连接OD,如图，由D是品的中点得证而，则根据圆

周角定理得/AOD=NBOD=ZACB=60°,易得△OAD和

△OBD都是等边三角形，则OA=ADOD,OB=BD=OD,所

以OA=AD二DB二BO,于是可判断四边形OADB是菱形.

证明:(1)VAB=AC,

AB=AC,

•/ZACB=60。，

「.△ABC是等边三角形，

AB=BC=CA,

ZAOB=ZBOONAOC；

(2)连接0D,如图，

D是D的中点,

「•AD=BD,

ZAOD=ZBOD=NACB=60°,

X/OD=OA,OD=OB,

△OAD和aOBD都是等边三角形,

OA=AD=OD,OB=BD=OD,

/.OA二AD二DB=BO,

二•四边形OADB是菱形.

【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆

中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那

么它们所对应的其余各组量都分别相等.也考查了菱形的判

定、等边三角形的判定与性质和圆周角定理.

22.已知关于x的一元二次方程X2-(2m+l)x+m(m+1)

=0.

(1)求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根;

(2)若^ABC的两边AB、AC的长是这个方程的两个实数

根，且BC=8,当△ABC为等腰三角形时，求m的值.

【考点】根的判别式；根与系数的关系；等腰三角形的性质.

【分析】(1)先根据题意求出^的值，再根据一元二次方程

根的情况与判别式△的关系即可得出答案；

(2)根据△ABC的两边AB、AC的长是这个方程的两个实

数根，设AB=xi=8,得出82-8(2m+l)+m(m+1)=0,求

出m的值即可.

解：(1)-/△=[-(2m+l)]2-4m(m+1)=1>0,

「•不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根.

(2)由于无论m为何值，方程恒有两个不等实根，故若要

△ABC为等腰三角形，那么必有一个解为8；

设AB=xi=8,则有：

82-8(2m+l)+m(m+1)=0,即：m2-15m+56=0,

解得：mi=7,012=8.

则当△ABC为等腰三角形时，m的值为7或8.

【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与

判别式△的关系：

(1)△>00方程有两个不相等的实数根；

(2)△方程有两个相等的实数根；

(3)△<0=方程没有实数根.

23.如图，0为正方形ABCD对角线上一点，以点。为圆

心，0A长为半径的。。与BC相切于点E.

(1)求证：CD是。0的切线；

(2)若正方形ABCD的边长为10,求。0的半径.

【考点】切线的判定；正方形的性质.

【分析】(1)首先连接OE,并过点。作OF_LCD,由OA

长为半径的。。与BC相切于点E,可得OE=OA,OE±BC,

然后由AC为正方形ABCD的对角线，根据角平分线的性质,

可证得OF=OE=OA,即可判定CD是。O的切线；

(2)由正方形ABCD的边长为10,可求得其对角线的长，

然后由设OA=r,可得OE=EC=r,由勾股定理求得OC=

则可得方程r+扬=10亚，继而求得答案.

(1)证明：连接OE,并过点。作OF_LCD.

vBC切。O于点E,

/.OE±BC,OE=OA,

又二AC为正方形ABCD的对角线，

ZACB二NACD,

OF=OE=OA,

即：CD是。O的切线.

(2)解：:正方形ABCD的边长为10,

AB=BC=10,ZB=90°,ZACB=45°,

AC=7AB2+BC2=1OV2,

•/OE±BC,

OE=EC,

设OA=r,则OE=EC=r,

OC=VOE2+EC2=V2T,

•/OA+OC=AC,

r+A/2T=10V2,

解得：r=20-IOV2.

OO的半径为：20-10^2.

【点评】此题考查了切线的判定、正方形的性质、角平分线

的性质以及勾股定理.注意准确作出辅助线是解此题的关

键.

24.某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月

可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月

少卖10件（每件售价不能高于65元）.设每件商品的售价

上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元.

（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范

围；

（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利

润？最大的月利润是多少元？

（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200

元？根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个

月的利润不低于2200元？

【考点】二次函数的应用.

【专题】综合题.

【分析】（1）根据题意可知y与x的函数关系式.

（2）根据题意可知y=-10-（x-5.5）2+2402.5,当x=5.5

时y有最大值.

（3）设y=2200,解得x的值.然后分情况讨论解.

解：（1）由题意得：y=（50+X-40）

=-10X2+110X+2100（0VXW15且x为整数）;

（2）由（1）中的y与x的解析式配方得：y=-10（x-5.5）

2+2402.5.

Va=-10<0,.•.当x=5.5时，y有最大值2402.5.

V0<x<15,且x为整数，

当x=5时，50+x=55,y=2400（元），当x=6时，50+x=56,

y=2400（元）

.•・当售价定为每件55或56元，每个月的利润最大，最大的

月利润是2400元.

（3）当y=2200时，-10x2+110x+2100=2200,解得：X1=1,

X2=10.

...当x=l时，50+x=51,当x=10时，50+x=60.

「•当售价定为每件51或60元，每个月的利润为2200元.

当售价不低于51或60元，每个月的利润为220