2021年高考理数真题试卷（天津卷）80带答案解析

2021年高考理数真题试卷(天津卷)

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设集合人={1,2,6},B={2,4},C={xGR|-l<x<5},则(AUB)nC=()

A.{2}B.{1,2,4}C.{1,2,4,5}D.{x£R|-l<x<5}

【答案】B

【考点】交、并、补集的混合运算

【解析】【解答】解：A={1,2,6},B={2,4},AUB={1,2,4,6},

又C={xWR|-13x45},(AUB)nC={l,2,4}.

故选：B.

【分析】由并集概念求得AUB,再由交集概念得答案.

2%+y>0

2.设变量x,y满足约束条件+，则目标函数z=x+y的最大值为()

y<3

23

A.-B.1C.-D.3

32

【答案】D

【考点】二元一次不等式(组)与平面区域，简单线性规划

2%+y>0

【解析】【解答】解：变量X,y满足约束条件{X+^<0~°的可行域如图：

y<3

目标函数z=x+y结果可行域的A点时，目标函数取得最大值，

由可得A(0,3),目标函数2=*+丫的最大值为：3.

故选：D.

【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解即可.

3.阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为24,则输出N的值为（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【考点】选择结构，循环结构，程序框图

【解析】【解答】解：第一次N=24,能被3整除，N=g=843不成立，

第二次N=8,8不能被3整除，N=8-1=7,N=743不成立,

第三次N=7,不能被3整除，N=7-1=6,N=1=2<3成立,

输出N=2,

故选：C

【分析】根据程序框图，进行模拟计算即可;

4.设OCR,则“I。-"是"sinOV:的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断，正弦函数的图象，正弦函数的单调性，绝对值不等式的

解法

【解析】【解答】解：I。-看IV号e<e-9<ev%,

1Z1ZIN1Z1Zo

sin0<-<=^—+2kn<0<7+2kn,kWZ,

266

则(0，7)<4-+2kn,7+2kn],kGZ,

060

可得"田-l<"是"sine<i"的充分不必要条件.

故选：A.

【分析】运用绝对值不等式的解法和正弦函数的图象和性质，化简两已知不等式，结合充分必要条件的定

义，即可得到结论.

5.已知双曲线g=1(a>0,b>0)的左焦点为F,离心率为<2,若经过F和P(0,4)两点的直

a2b2

线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为()

A.立一些=1B.正一片=1C.式—片=1D.比—丝=1

44884884

【答案】B

【考点】斜率的计算公式，两条直线平行的判定，双曲线的简单性质

【解析】【解答】解：设双曲线的左焦点F(-c,0),离心率e==V2,c=V2a,

则双曲线为等轴双曲线，即a=b,

双曲线的渐近线方程为y=±3x=±x,

则经过F和P(0,4)两点的直线的斜率k=炉=&,

0+cC

则|=1,c=4,贝ija=b=2y/2,

「•双曲线的标准方程：1；

88

故选B.

【分析】由双曲线的离心率为V2,则双曲线为等轴双曲线，即渐近线方程为y=±x,根据直线的斜率公

式，即可求得c的值，求得a和b的值，即可求得双曲线方程.

6.已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)=xf(x).若a=g(-Iog25.1),b=g(20-8),c=g(3),则a,

b,c的大小关系为()

A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a

【答案】C

【考点】函数单调性的判断与证明，函数单调性的性质，函数奇偶性的判断，对数值大小的比较，对数函

数的图象与性质

【解析】【解答】解：奇函数f(x)在R上是增函数，当x>0,f(x)>f(0)=0,且F(x)>0,

g(x)=xf(x),则g((x)=f(x)+xF(x)>0,

g(x)在(0,+8)单调递增，且g(x)=xf(x)偶函数，

a=g(-logzS.l)=g(Iog25.1),

08

则2<-log25.1<3,l<2<2,

由g(x)在(0,+8)单调递增,则g(2°-8)<g(logjS.l)<g(3),

b<a<c,

故选C.

【分析】由奇函数f(x)在R上是增函数，则g(x)=xf(x)偶函数，且在(0,+8)单调递增，则a=g

08

(-log25.1)=g(log25.1),则2<-Iog25.1<3,l<2<2,即可求得b<a<c

7.设函数f(x)=2sin(3X+4)),xFR,其中3>0,|巾|Vx.若f(芋)=2,f(¥)=0,且f(x)的

88

最小正周期大于2n,则()

▲21亢c2.117T-1,117Tr1.7n

A.<n=-,4)=-B.u)=-<4>=--C.o)=-,*=--D.u)=->0=-

【答案】A

【考点】三角函数的周期性及其求法，由丫=人$访(3X+6)的部分图象确定其解析式

【解析】【解答】解：由f(x)的最小正周期大于2n,得，

T7，，5冗、)/，117T、c组T117T57r37r

又f(V)=2,f(=)=0,得7==一万=7,

T=3R,则如=3TT,BPa)=-.

33

2

f(x)=2sin(wx+4>)=2sin(-x+巾),

由f(方)=2sin(|x奈+0)=2,得sin(巾+需)=1.

4)+—=+2/CTT,kW乙

卡122

取k=0,得4)=看<n.

.2n

..3=耳，巾=五.

故选：A.

【分析】由题意求得7，再由周期公式求得3,最后由若f(9)=2求得巾值.

48

■X2-%+3,%V1

8.已知函数f(x)={2一，设a£R,若关于x的不等式f(x)>1；+a|在R上恒成立，则

%x>12

x

a的取值范围是()

A.[-堇，2]B.[-^7,]C.[-2V3,2]D.[-2遮，工]

【答案】A

【考点】函数恒成立问题，分段函数的应用

【解析】【解答】解：当烂1时，关于x的不等式f(x)；+a|在R上恒成立，

即为-x2+x-3<+a<x2-x+3,

即有-x2+|x-3<a<x2-|x+3,

由y=-x?+之x-3的对称轴为x=[<1,可得x=[处取得最大值-葛；

由y=x2-|x+3的对称轴为x=:<1,可得x=；处取得最小值,

24416

则-V也电①

1616

当x>l时，关于x的不等式f(x)>1±2+a|在R上恒成立，

即为-(x+-)<^+a<x+-,

X2X

目门士/32、，/42

即有-(-x+-)<a<-+-,

2X2x

由*-<Ix+|)<-2柠1=-2V3(当且仅当X=专>1)取得最大值-2遮；

由y=(x+：22=2(当且仅当x=2>l)取得最小值2.

则-2迎SaS2②

由①②可得，-?<a<2.

Io

故选：A.

【分析】讨论当XVI时，运用绝对值不等式的解法和分离参数，可得-X2+：X-3々仝2-|X+3,再由二

次函数的最值求法，可得a的范围；讨论当x>l时，同样可得-（|x+：）益4：+：,再由基本不等

式可得最值，可得a的范围，求交集即可得到所求范围.

二、二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

9.已知a6R,i为虚数单位，若W为实数，则a的值为

【答案】-2

【考点】复数代数形式的乘除运算

【解析】【解答】解：aGR,i为虚数单位,

a-i_(aT)(2-i)_2a-l-(2+a)i_2a-l2+a

2+i-(2+i)(2-i)-4+1-55

由E为实数,

可得-詈=0,

解得a=-2.

故答案为：-2.

【分析】运用复数的除法法则，结合共轨复数，化简尸，再由复数为实数的条件：虚部为0,解方程即

2+1

可得到所求值.

10.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为

【答案】y

【考点】球的体积和表面积

【解析】【解答】解：设正方体的棱长为a,

这个正方体的表面积为18,

6a2=18,

则32=3,即a=V3，

一个正方体的所有顶点在一个球面上，

正方体的体对角线等于球的直径，

即V3a=2R,

即R=：,

则球的体积V=”《（|）3=詈；

故答案为：y.

【分析】根据正方体和球的关系，得到正方体的体对角线等于直径，结合球的体积公式进行计算即可.

.在极坐标系中，直线与圆的公共点的个数为_______.

114pcos(0-O)+1=0p=2sin6

【答案】2

【考点】直线与圆的位置关系，简单曲线的极坐标方程，极坐标系和平面直角坐标的区别

【解析】【解答】解：直线4pcos(0-)+1=0展开为：4p(*os®+|sin8)+1=0,化为：2百

x+2y+l=0.

HP=2sin0Bpp2=2psin0,化为直角坐标方程：x2+y2=2y,配方为：x2+(y-1)2=1.

3R

・・・圆心C(0,1)到直线的距离d=JQ6)2+22=；<1=R-

「・直线4pcos(0-7)+1=0与圆p=2sin6的公共点的个数为2.

故答案为：2.

【分析】把极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离d,与半径比较即可得出位置关系.

12.若a,bGR,ab>0,则吐竺出的最小值为_______.

ab

【答案】4

【考点】基本不等式

【解析】【解答】解：a,bWR,ab>0,

1111

即a=乐，b=乐或a=-乐，b=-每时取"="；

，上式的最小值为4.

故答案为：4.

【分析】两次利用基本不等式，即可求出最小值，需要注意不等式等号成立的条件是什么.

13.在.△ABC1p,NA=60°,AB=3,AC=2.右BD=2DC，AE二入AC~AB（入WR）,且AD,AE=

-4,则入的值为.

【答案】V

【考点】向量的加法及其几何意义，向量的减法及其几何意义，向量数乘的运算及其几何意义，数量积的

坐标表达式，平面向量数量积的运算

【解析】【解答】解：如图所示，

.....，■,>

BD=2DC

AD=AB+BD

=AB+^BC

=AB+I(AC~AB)

二通+2前，

33

又荏=入正-AB（入WR）,

•1■AD-AE=（1AB+|前）•（XIt-AB）

=（^A-|）AB•AC-浑2+|人舒

i21_2

二（一入--）x3x2xcos60°--X32+-入x2?=-4,

3333

11、-

•-T人=>

解得人=V.

故答案为：（.

【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用AB、AC表示出AD，

再根据平面向量的数量积AD-AE列出方程求出入的值.

14.用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的

四位数一共有个.（用数字作答）

【答案】1080

【考点】计数原理的应用，排列、组合的实际应用

【解析】【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：

①、四位数中没有一个偶数数字，即在1、3、5、7、9种任选4个，组成一共四位数即可，

有As4=120种情况，即有120个没有一个偶数数字四位数；

②、四位数中只有一个偶数数字，

在1、3、5、7、9种选出3个，在2、4、6、8中选出1个，有C53・CJ=4O种取法，

将取出的4个数字全排列，有A44=24种顺序，

则有40x24=960个只有一个偶数数字的四位数；

则至多有一个数字是偶数的四位数有120+960=1080个；

故答案为：1080.

【分析】根据题意，要求四位数中至多有一个数字是偶数，分2种情况讨论：①、四位数中没有一个偶数

数字，②、四位数中只有一个偶数数字，分别求出每种情况下四位数的数目，由分类计数原理计算可得

答案.

三、三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.在AABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a>b,a=5,c=6,sinB=-.

(I)求b和sinA的值；

(II)求sin(2A+7)的值.

【答案】解：(I)在△ABC中，TaAb,

故由sinB=|,可得cosB二|.

由已知及余弦定理，有h2=a2+c2-2accosB=25+36—2x5x6x|=13,

・•・b=V13.

由正弦定理号=三，得sinA=理史=亚亘.

sinAsinBb13

•••b=V13,sinA=亚；

13

(II)由(I)及aVc,得cosA二空亘，sin2A=2sinAcosA=—,

1313

cos2A=l-2sin2A=--.

13

故sin(2A+-)=sin2Acos-+cos2Asin-=—x———x—=—.

44413213226

【考点】两角和与差的正弦公式，同角三角函数间的基本关系，正弦定理，余弦定理，三角形中的几何计

算

【解析】【分析】(I)由己知结合同角三角函数基本关系式求得cosB,再由余弦定理求得b,利用正弦

定理求得sinA；

(H)由同角三角函数基本关系式求得cosA,再由倍角公式求得sin2A,COS2A,展开两角和的正弦得答

案.

16.从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别

,111

为5，1Z

(I)设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望;

(n)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率.

【答案】解：(I)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3；

则P(X=O)=(1-i)x(l-A)(1-i)=i

344

111、1111

P徒1)=*1一)X(1--)+(1-)X-X(1-+(1-i)x(1--)X-=一

342323424

111、111

P(X=2)=(1-|)XX-+(1二)X二XX(1-i)=i

34Ix-342344

/“一、

(X=3)=-1x1-x1-=1一

23424

所以，随机变量X的分布列为

X0123

P11111

424424

随机变量X的数学期望为E(X)=ox1+1XI+2X*3X或嚏；

(II)设Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数,

则所求事件的概率为

P(Y+Z=l)=P(Y=0,Z=l)+P(Y=l,Z=0)

=P(Y=0)・P(Z=l)+P(Y=l)»P(Z=0)

111111

=-X一+—X-

424244

11

48

所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为―

【考点】离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差，条件概率与独立事件

【解析】【分析】(I)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,求出对应的概率值，

写出它的分布列，计算数学期望值；

（口）利用相互独立事件同时发生的概率公式计算所求事件的概率值.

17.如图，在三棱锥P-ABC中，PA_L底面ABC,ZBAC=90°.点D,E,N分别为棱PA,PC,BC的中点，M

是线段AD的中点，PA=AC=4,AB=2.

（I）求证：MNII平面BDE；

（n）求二面角C-EM-N的正弦值；

（DI）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为随，求线段AH的长.

21

【答案】（I）证明：取AB中点F,连接MF、NF,

•••M为AD中点，,MFIIBD,

BDc?pjgfBDE,MF评面BDE,二MFII平面BDE.

N为BC中点，,NFIIAC,

又D、E分别为AP、PC的中点，,DEMAC,则NFIIDE.

；DE印面BDE,NF呼面BDE,/.NFII平面BDE.

又MFnNF=F.

平面MFNII平面BDE,则MNII平面BDE；

（ED解：rPAJ•底面ABC,ZBAC=90°.

以A为原点，分别以AB、AC、AP所在直线为X、v、z轴建立空间直角坐标系.

PA=AC=4,AB=2,

A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,4,0),M(0,0,1),N(1,2,0),E(0,2,2),

则~MN=(1,2,一1),ME=(0,2,1),

设平面MEN的一个法向量为m=(x,y,z),

由巴亚=0,得二二，取z=2,得沅=(*一1,2).

m-ME=02y+z=0、'

由图可得平面CME的一个法向量为元=(1,0,0).

-cos<m'n>=丽=诉=▽•

二面角c-EM-N的余弦值为纪纪，则正弦值为回；

2121

(HI)解：设AH=t,则H(0,0,t),NH=(-1,一2,t),BE=(-2,2,2).

•••直线NH与直线BE所成角的余弦值为止，

21

|cos<NH,BE>1=1幽里1=1|=也.

解得：t=4.

・•・当H与P重合时直线NH与直线BE所成角的余弦值为竺，此时线段AH的长为4.

21

【考点】异面直线及其所成的角，平面与平面平行的判定，平面与平面平行的性质，用空间向量求平面间

的夹角，二面角的平面角及求法

【解析】【分析】(I)取AB中点F,连接MF、NF,由已知可证MFII平面BDE,NFII平面BDE.得到

平面MFNII平面BDE,则MNII平面BDE；

(II)由PA_L底面ABC,NBAC=90。.可以A为原点，分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z轴建立空

间直角坐标系.求出平面MEN与平面CME的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值得二面角C-EM-

N的余弦值，进一步求得正弦值；

(DI)设AH=t,则H(0,0,t),求出而、BE的坐标，结合直线NH与直线BE所成角的余弦值为红!

21

列式求得线段AH的长.

18.已知｛aj为等差数列，前n项和为Sn(nWN+),｛>｝是首项为2的等比数列，且公比大于0,b2+b3=12,

63=34-2ai,Sn=llb4・

(I)求｛an｝和｛bn｝的通项公式；

(II)求数列｛a2nb2n-i｝的前n项和(n£N+).

【答案】解：(I)设等差数列｛an｝的公差为d,等比数列｛bn｝的公比为q.

由已知bz+b3=12,得bi(q+q2)=12,而已=2,所以q+q?-6=0.

又因为q>0,解得q=2.所以，bn=2n.

由b3=a4-2ai,可得3d-ai=8①.

由Sii=llb49可得ai+5d=166)，

联立①②，解得期=1,d=3,由此可得an=3n-2.

所以，数列一｝的通项公式为an=3n-2,数列｛%｝的通项公式为年2门.

(H)设数列｛a2nb2n-l｝的前n项和为Tn,

由a2n=6n~2,b2n-1=~X4n,有a2nb2n-i=（3n-1）4n,

23n

thTn=2x4+5x4+8x4+...+（3n-1）4,

234n+1

4Tn=2x4+5x4+8x4+...+（3n-1）4,

23nn+1

上述两式相减,得-3Tn=2x4+3x4+3x4+...+3x4-（3n-1）4

=-4-（3n-l）4n+1=-（3n-2）4n+1-8

得％=平xp+i+g.

所以，数列｛a2nb2—｝的前n项和为等xQ+i+g.

【考点】数列的求和，数列递推式，等差数列与等比数列的综合

【解析】【分析】（I）设出公差与公比，利用已知条件求出公差与公比，然后求解｛an｝和｛bn｝的通项公式;

（H）化简数列的通项公式，利用错位相减法求解数列的和即可.

19.设椭圆11=1（a>b>0）的左焦点为F,右顶点为A,离心率为；.已知A是抛物线y2=2px（p

>0）的焦点，F到抛物线的准线1的距离为|.

（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；

（II）设I上两点P,Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B（B异于A）,直线BQ与x轴相交于点

D.若AAPD的面积为由，求直线AP的方程.

2

【答案】（I）解：设F的坐标为（-c,0）.

c_1

Q一2

依题意可得｛£，

1

a—c=-2

解得a=l,c=,p=2,于是b?=a2-c2=

所以，椭圆的方程为x2+竽=1,抛物线的方程为y2=4x.

（II）解：直线I的方程为x=-l,设直线AP的方程为x=my+l（mwO）,

联立方程组，解得点P（-1，-《），故Q（-1,《）.

x=my+1.

联立方程组22+空=］，消去X，整理得（3m2+4）y2+6my=0,解得y=0,或y=-3黑.

3-

.0（-3m2+4-6m、

••D\------------,Z）.

3m2+43m2+4

・•・直线BQ的方程为（「芸--）（x+1）-（驾把+1）（y--）=0,

37n2+4m3m2+4m

令y=。，解得x=|^,故D(需,0).

23m2_67n2

|AD|=1-曰上=

37n2+237n2+2

又•••”PD的面积为M打黑X号约

整理得3m2-2V6Im|+2=0,解得|m|=?，二m=±f.

直线AP的方程为3x+V6y-3=0,或3x-V6y-3=0.

【考点】椭圆的标准方程，椭圆的简单性质，抛物线的简单性质，直线与圆锥曲线的关系，圆锥曲线的综

合

【解析】【分析】(I)根据椭圆和抛物线的定义、性质列方程组求出a,b,p即可得出方程；(口)设

AP方程为x=my+l,联立方程组得出B,P,Q三点坐标，从而得出直线BQ的方程，解出D点坐标，根据

三角形的面积列方程解出m即可得出答案.

20.设aGZ,已知定义在R上的函数f(x)=2x，+3x3-3x2-6x+a在区间(1,2)内有一个零点xo,g(x)

为f(x)的导函数.

(I)求g(x)的单调区间；

(II)设m6[l,xo)U(xo,2],函数h(x)=g(x)(m-x°)-f(m),求证：h(m)h(xo)<0；

(HI)求证：存在大于0的常数A,使得对于任意的正整数p,q,且；G[l,xo)U(xo,2],满足|

Pi、i

q-X°l-荷'

【答案】(I)解：由f(x)=2x4+3x3-3x2-6x+a,可得g(x)=f(x)=8x3+9x2-6x-6,

进而可得g'(x)=24x2+18x-6.令g'(x)=0,解得x=-l,或x=2.

4

当X变化时，g'(x),g(x)的变化情况如下表：

X(-8,-1)Z1、

(-1,-)(二，+8)

44

g'(x)+-+

g(x)771

所以，g(X)的单调递增区间是(-8,-1),(1,+oo),单调递减区间是(-1,1).

(II)证明：由h(x)=g(x)(m-xo)-f(m),得h(m)=g(m)(m-xo)-f(m),

h(xo)=g(xo)(m-xo)-f(m).

令函数Hi(x)=g(x)(x-xo)-f(x),则H'i(x)=gf(x)(x-xo).

由(I)知，当xG[l,2]时，gz(x)>0,