2021年北京市延庆区高考数学一模试卷

2021年北京市延庆区高考数学一模试卷

一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）

1.已知全集U={-1,0,1,2,3},集合4={0,1,2},B=[-1,0,1},则(2)UB=()

A.{-1}B.{0,1}C.{-1,2,3)D.{-1,0,1.3}

2.已知｛即｝为无穷等比数列，且公比0<q<L记S”为｛即｝的前八项和，则下面结论

正确的是（）

A.<&2B.xa2>0

C.｛即｝是递减数列D.Sn存在最小值

3.已知抛物线C：y2=©的焦点为凡过点尸的直线/交C于两点，且|AB|=8,

则线段A8中点的横坐标为（）

A.1B.2C.3D.4

4.设则“/-5%+6<0”是“|x-2|<1"的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.某四棱锥的三视图如图所示，其中正（主）视图是等腰直角三角形，侧（左）视图是直

角三角形，俯视图是直角梯形，则该四棱锥的体积是（）

侧（左）视图

A.1C.3D.4

6.在平面直角坐标系xOy中，直线/的方程为y=k（尤+1）+3,以点（1,1）为圆心且

与直线/相切的所有圆中，半径最大的圆的半径为（）

A.2B.2V2C.4D.8

7.已知定义在R上的塞函数f（x）=婢（m为实数）过点4（2,8）,记a=f（\og033）,b=

/Qog25),c=f(m),则K,b,c的大小关系为()

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.c<b<a

8.设。为△ABC所在平面内一点，BC=2CD，贝女）

A.AD=--AB+-ACB.AD=--AB+-AC

3322

C.AD=-AB+-ACD.AD='-AB--AC

2222

9.已知函数=+则不等式/(X)-2,>0的解集是()

I—x2+2%+l,x0,

A.(TO)u(0,1)B.(-14)C.(0,1)D.(-1,+8)

10.酒驾是严重危害交通安全的违法行为.根据规定：驾驶员的100〃也血液中酒精含量

为［0,20)mg,不构成饮酒驾车行为(不违法)，达至盯20,80)mg的即为酒后驾车，80〃?g

及以上为醉酒驾车.某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了

1.6mg/mL,若在停止喝酒后，他血液中酒精含量每小时减少20%,要想不构成酒

驾行为，那么他至少经过()(参考数据：0.84=0.41,0.86=0.26,0.88=

0.17,0.810=0.11)

A.4小时B.6小时C.8小时D.10小时

二、单空题(本大题共5小题，共25.0分)

11.若复数z=(1-2i)(a+i)(i为虚数单位)是纯虚数，则a=.

12.已知双曲线1((1>0/>0)的一条渐近线过点(2,g)，则双曲线的离心率

为.

13.在二项式(&+X)7的展开式中，系数为有理数的项的个数是.

14.已知AABC的面积为2旧，AB=2,NB=g,则黑=.

15.同学们，你们是否注意到：自然下垂的铁链；空旷的田野上，两根电线杆之间的电

线：峡谷的上空，横跨深涧的观光索道的钢索.这些现象中都有相似的曲线形态.事

实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线.悬链线的相关理论在工程、航海、光

学等方面有广泛的应用.在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为/(x)=aex+

be-(其中“，人是非零常数，无理数e=2.71828...),对于函数/(x)以下结论正确

的是.

①如果a=b,那么函数f(x)为奇函数；

②如果ab<0,那么/(x)为单调函数；

③如果ab>0,那么函数/(x)没有零点；

④如果ab=1,那么函数f(x)的最小值为2.

三'解答题(本大题共6小题，共85.0分)

16.已知函数/(x)=2gs讥xcosx—2as讥2%+a(a>0),再从条件①，条件②中选择

一个作为已知，求：

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(I)a的值；

(n)将/(切的图象向右平移%个单位得到g(x)的图象，求函数g(x)的单调增区间.

条件①：/(x)的最大值为2；

条件②：照)=一1.

17.如图，四棱柱4BCD-&B1C1D1的底面ABCD是边长

为2的正方形，侧面4。。送1为矩形，且侧面ADDJi1

底面ABCD,Aa=4,E,M,N分别是BC,BB】，A】D

(I)求证：MN〃平面GOE；

(II)求二面角。-C[E-/的余弦值.

18.2022年第24届冬季奥林匹克运动会，简称“北京张家口冬奥会”，将在2022年

02月04日〜2022年02月20日在北京市和张家口市联合举行，这是中国历史上第

一次举办冬季奥运会，北京将承办所有冰上项目，延庆和张家口将承办所有的雪上

项目.如表是截取了2月5日和2月6日两天的赛程表：

(I)(团)若在这两天每天随机观看一个比赛项目，求恰好看到冰壶和冰球的概率；

(团)若在这两天每天随机观看一场决赛，求两场决赛恰好在同一赛区的概率；

(U)若在2月6日(星期日)的所有决赛中观看三场，记X为赛区的个数，求X的分

布列及期望E(X).

19.已知函数f(x)=—Znx+2久一2.

(I)求曲线y=/(x)的斜率等于1的切线方程；

(口)求函数/(为的极值；

(DI)设g(x)=//(x)-2/(x),判断函数g(x)的零点个数，并说明理由.

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20.已知椭圆C：捻+'=l(a>b>0)经过点P(1冷，离心率6=多

(I)求椭圆C的标准方程；

(口)设AB是经过椭圆右焦点F的一条弦(不经过点P且A在8的上方)，直线AB

与直线x=2相交于点M,记PA,PB,PM的斜率分别为七，k2,k3,将心、的、

的如何排列能构成一个等差数列，证明你的结论.

21.若无穷数列｛an｝满足：3me/V*,对于Vn3许⑺。€N*),都有等^=q(其中g

u

为常数)，则称｛〃｝具有性质Q(m,n0,qy.

(1)若｛)｝具有性质”Q(3,2,2)"，且。2=。4=2,a6+a7+a8=18,求的；

(n)若无穷数列也n｝是等差数列，无穷数列｛7｝是公比为:的等比数列，b3=c3=4,

瓦+Q=C2,an=bn+cn,判断｛厮｝是否具有性质“Q(2,l,2)”，并说明理由;

(皿)设｛册｝既具有性质，又具有性质“Q(/,l,q2)”，其中

j-t

i〈j，求证：｛an｝具有性质“Q0—i,i+i,q')”.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：；U={-1,0，1，2,3},A={0,1,2},B=[-1,0,1),

.••"={-1,3}，(CMUB={-1,O,1,3}.

故选：D.

进行补集、并集的运算即可.

本题考查了列举法的定义，并集和补集的运算，考查了计算能力，属于基础题.

2.【答案】B

【解析】解：例如数列{斯}以-2为首项，以3为公比的等比数列，

a2=-1,a3=A,C,。显然错误；

%•勾=>0一定成立，B正确;

故选：B.

利用反例：数列{a,J以-2为首项，以;为公比的等比数列，分别检验各选项即可判断.

本题主要考查了等比数列的性质，属于基础题.

3.【答案】C

【解析】解：如图，抛物线y2=4x的焦点为F(l,0),准线为

x——1,即x+1=0.

分别过A,B作准线的垂线，垂足为C,D,

则有|4B|=\AF\+\BF\=\AC\+\BD\=8.

过AB的中点M作准线的垂线，垂足为N,

则MN为直角梯形A8ZJC中位线，

则|MN|=1|4C|+|BD|)=4,所以M的横坐标为：3.

故选：C.

根据题意，作出抛物线的简图，求出抛物线的焦点坐标以及准线方程，分析可得“N为

直角梯形A8ZJC中位线，由抛物线的定义分析可得答案.

本题考查抛物线的几何性质以及抛物线的定义，注意利用抛物线的定义进行转化分析，

是中档题.

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4.【答案】A

【解析】解：由X2-5X+6<0,解得2<X<3；

由|x-2|<1,化为：—1<%—2<1,解得：1<x<3.

由2cx<3=l<x<3,反之不成立.

•••-5x+6<0”是“|x-2|<r的充分而不必要条件，

故选：A.

利用不等式的解法分别化简“一-5》+6<0”是“合一2|<1"，进而判断出关系.

本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基

础题.

5.【答案】A

【解析】解：由三视图还原原几何体如图，

该几何体为四棱锥，底面A8C。为直角梯形，AD//BC,AB1AD,

PA，底面ABCD,且PA=AD=2,AB=BC=1,

则该几何体的体积为V=|xi(l+2)xlx2=l.

故选：A.

由三视图还原原几何体，该几何体为四棱锥，底面ABCQ为直角梯形,AD〃8C,AB14D,

PAJ■底面A8C£>,S.PA=AD=2,AB=BC=1,再由棱锥体积公式求解.

本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题.

6.【答案】B

【解析】解：直线y=k(x+1)+3过定点P(—1,3),

已知点的坐标为

则以点为圆心且与直线/相切的所有圆中，

半径最大的圆的半径为r=\PM\=V(-l-l)2+(3-l)2=2V2.

故选：B.

由直线方程求得直线所过定点坐标，再由两点间的距离公式得答案.

本题考查直线与圆的位置关系，正确理解题意是关键，是基础题.

7.【答案】A

【解析】解:将4(2,8)代入/(X),得:2m=8,解得:m=3,

故/'(x)=/，/(X)=3%2>0,/(%)在R单调递增，

而10go.$3<0,2<log25<3,m=3,

故a<b<c,故选：A.

求出函数/(x)的解析式，根据函数的单调性求出a,b,。的大小关系即可.

本题考查了塞函数的定义，考查函数的单调性问题，考查函数值的大小比较，是基础题.

8.【答案】B

【解析】解：由题意可知，。为A4BC所在平面内的一点,

如图所示，

则有荏+元=就①，

AC+CD=AD(2)，

因为前=2而，代入①中可得荏+2而=前③，

由②③可得，AD=-^AB+^AC.

故选：B.

根据向量的加法法则进行求解转化即可.

本题考查了平面向量加法法则的基本运算，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于

基础题.

9.【答案】A

［解析］解:分别画出函数y=/(尤)与y=2丫

的图象，如图所示，

由图象可得不等式f(x)-2丫>0的解集是

(-1,0)U(0,1)

故选：A.

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分别画出函数y=/(x)与y=2、的图象，由图象可得答案.

本题考查了分段函数以及函数图象的画法，考查了不等式的解集，属于基础题.

10.【答案】D

【解析】解：设酒后经过x小时后就不构成酒驾，

•••160X(1-20%尸<20,

0.8x<0.125,

:.x>10,

故选：D.

利用题中的条件，列出血液中酒精含量与酒后时间的关系式，再利用指数不等式，即可

解出.

本题考查了函数的实际应用，指数不等式的解法，学生的数学运算能力，属于基础题.

11.【答案】-2

【解析】解：因为z=(1-2i)(a+i)=(a+2)+(1-2a)i是纯虚数，

所以a+2—0且1-2aH0>

解得a=-2.

故答案为：-2.

先利用复数的乘法运算化简z,然后由纯虚数的定义求解即可.

本题考查了复数的运算，以及复数的基本概念的运用，考查了化简运算能力，属于基础

题.

12.【答案】红

2

【解析】解：双曲线会，=1(&>0/>0)的渐近线方程为丫=士豪，

由一条渐近线过点(2,百)，可得

则e=£=11+^=

aYa2y42

故答案为：旦.

2

求得双曲线的渐近线方程，由题意可得渐近线的斜率，再由离心率公式，计算可得所求

值.

本题考查双曲线的方程和性质，考查方程思想和运算能力，是一道基础题.

13.【答案】4

【解析】解：二项式(夜+x)7的展开式的通项公式为疗(鱼)7T”，

当7-k为偶数时，此时系数为有理数，

则k=7,k=5,k=3,k=1,

故系数为有理数的项的个数是4个，

故答案为：4.

写出通项公式，根据7-k为偶数求出发的值，再求出系数为有理数的项的个数.

本题考查了二项式定理的展开式，考查了运算求解能力，属于基础题.

14.【答案】V3

【解析】解：因为△ABC的面积为2遮=-BC-

7T

sinB,AB=2,Z-B=

所以2V5—X2xBCx归可得BC=4,

22

所以由余弦定理可得4c=V/1B2+BC2-2AB-BC-cosB=

J22+42-2X2X4X|=2V3.

所以陋="=独=百

sinCAB2

故答案为：V3.

由已知利用三角形的面积公式可求BC的值，进而根据余弦定理可求AC的值，根据正

弦定理即可求解丝；的值.

sinC

本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理，正弦定理在解三角形中的综合应用，考

查了计算能力和转化思想，属于基础题.

15.【答案】②③

【解析】解：当a=匕时f(x)=aex+be-x=a(ex+e-x),函数/(x)定义为R且/(一%)=

a(ex+e~x)=/(x),.•.函数/'(x)为偶函数.二①错误；

y=靖是增函数且y>0,y=「才是减函数且y>0..•.当a>0、b<0时函数f(x)为增

函数，当a<0、b>0时函数f(x)为减函数，.•.②正确；

ab>0,a、b同正或同负，又「ex>0jle-x>0,f(x)一定不为零，二函数/'(x)没

有零点；.••③正确；

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当a=b=-1时，/(%)—~(ex+e-z)<-2yjex-e~x=-2,有最大值-2,④错误：

故答案为：②③.

①根据奇偶性定义可得/(久)为偶函数；

②由指数函数单调性对此题进行分析可知/(x)为单调函数；

③由蜡>0,e-久〉。可知/(x)没有零点；

④当a<0且b<0时f(x)有最大值.

本题考查函数的奇偶性、单调性、函数零点、函数最值、基本不等式、分类讨论思想、

运算及推理能力，属于中档题.

16.【答案】解：(I)选择①：因为/'(%)=+a•cos2x,

所以/(x)=V3+a2sin(2x+cp),其中£即卬=苴，

所以V3+a2=2,又因为a>0,

所以a=1.

选择②：/(7)=2V3xlxO+a-ax2xl=-a=-l,

所以a=1.

(&tan<p=卷不写不扣分，②每个值计算正确各给一分)

(II)因为/(%)=y/3sin2x+cos2x=2sin(2x+y-).

所以9(%)=2sin[2(x-g)=2sin(2x-^),

则2/CTT—W42x—mW2/CTT+3，fcGZ,

262

整理得/ot-gw%w+£k€Z,

o3

所以函数g(x)的单调增区间为即一/时+?(keZ).

【解析】(I)选①②时，直接利用正弦型函数的性质的应用求出函数的关系式，进一

步求出。的值；

(n)利用函数的图象的平移变换和整体思想的应用求出函数的单调区间.

本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，函数的图象

的平移变换和伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力

和数学思维能力，属于基础题.

17.【答案】(I)证明：连结ME,因为M,E分别为

BBi，BC的中点，

所以且ME/C,

又因为N为4。的中点，所以

由题设知AiBJ/DC且&BI=DC,可得BiC〃&D且BiC=&D,

故ME〃N。且ME=ND,因此四边形MNCE为平行四边形，

所以MN〃ED,

又MN，平面GDE,EDu平面GDE,

所以MN〃平面GDE；

(II)因为底面ABC。是正方形，所以CDJ.40,

又因为侧面4。。送11底面ABCD,且侧面4。。送1n底面48co=AD,CDu平面ABCD,

所以CD_L平面4叫&,又DDiu平面4。。送1，

所以CDJ.DD1，又因为侧面为矩形，所以ZD1D2，

以点D为坐标原点建立空间直角坐标系。-xyz如图所示，

其中。(0,0,0),G(0,2,4),E(l,2,0),C(0,2,0),

所以西=(0,2,4),DE=(1,2,0),

因为CD1平面所以DC1平面BCGa,

故比=(0,2,0)为平面GEBi的一个法向量，

设五=(x,y,z)为平面DCiE面的法向量，

则£西=。，即｛能葭。,

Vn-DE=01%+zy-u

令y=-2,可得五=(4,-2,1),

所以cos<DC,n>=二=—7=-—空巴

：|D2C；|-|n|2xV2121

因为二面角A-DE-Bl的平面角是钝角，

所以二面角/-DE-B］的余弦值一等.

【解析】(I)连结BiC,ME,利用中位线定理可证明四边形MNQE为平行四边形，从

而得到MN〃ED,由线面平行的判定定理证明即可；

(II)建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，利用待定系数法求

出平面的法向量，然后由向量的夹角公式求解即可.

本题考查了立体几何的综合应用，涉及了线面平行的判定定理的应用，在求解有关空间

角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题

进行研究，属于中档题.

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18.【答案】解：(I)。)记“在这两天每天随机观看一个项目，恰好看到冰壶冰球”为

事件A.

由表可知，在这两天每天随机观看一个项目，共有10x10=100种不同方法，

其中恰好看到冰壶冰球，共有2种不同方法.

所以，恰好看到冰壶和冰球的概率PQ4)=总=表.

侬)记”在这两天每天随机观看一场决赛，两场决赛恰好在同一赛区”为事件B.

由表可知，在这两天每天随机观看一场决赛共有6X7=42种不同方法，

其中两场决赛恰好在北京赛区共有2种不同方法，在张家口赛区共有4X4=16.

所以P(8)=等=*

(II)随机变量X的所有可能取值为1,2,3.

根据题意，P(X=1)=,=9

D〜_ox_C}C^+C}Ci+C}_1+6+12+4_23

"(X=，)=d=—35—=35*

P(X=3)=cb竽=A.

I/C；35

随机变量X的分布列是:

X123

4238

P

353535

数学期望E(X)=lx^+2xg+3x^=^.

OO

【解析】(I)(i)记“在这两天每天随机观看一个项目，恰好看到冰壶冰球”为事件4

利用古典概型能求出恰好看到冰壶和冰球的概率.

(ii)记“在这两天每天随机观看一场决赛，两场决赛恰好在同一赛区”为事件B,利用

古典概型能求出两场决赛恰好在同一赛区的概率.

(n)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,分别求出相应的概率，由此能求出随机变

量X的分布列和数学期望.

本题考查概率、离散型随机事件的分布列、数学期望的运算，考查古典概型、排列组合

等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是中档题.

19.【答案】解：(I)设切点为(均,%),♦••/'(%)=—：+2,

1

•*-----F2=1,x0=1,y0=-Ini+2—2=0,

・•・切线方程为y—0=1x(%—1),即y=x—1；

(n)/(x)的定义域为(o,+8).

令f'(x)=0，即一：+2=0,x=p

11

令((x)>0,得x>y,令广。)<0,得0<x(牙

故/(x)在(0弓)上单调递减，在G，+8)上单调递增，

•••f(x)存在极小值/(》=m2+1-2=/2-1,无极大值；

(m)函数g(x)=x2f(x)-2/(%)=(x2-2)/(x)有三个零点，理由如下:

由(口)知，f(x)在(0弓)上单调递减，在(：,+8)上单调递增，

且/•(劫=2+占-2=Q0,/(|)=Zn2+l-2=Zn2-l<0,

二存在唯一々)e(2*),使得/(沏)=0,

又•••/⑴=0+2—2=0,g(近)=(2-2)/(x)=0,

且三个零点互不相同，.•・函数g(x)有三个零点.

【解析】(I)设切点为(X。,则)，利用切点处的导数等于1求得切点坐标，即可求得切线

方程；

(U)利用导数研究函数的单调性，进一步分析极值；

(皿)由(口)知,f(x)在(03)上单调递减，在&+8)上单调递增，结合/煨)>0,/(1)<0,

可得存在唯一而€©，»使得/'(MX°，再由f(l)=0,g(应)=0且三个零点互不

相同，可得函数g(x)有三个零点.

本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用导数求函数的极值与最

值，考查函数零点的判定，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属难题.

20.【答案】解：(I)由点P(l,日)在椭圆上得，表=1①，

又e=¥，所以②，

由①②得c?=1,a2=2,b2-1,

2

故椭圆C的标准方程为版+y2=l.

(□)自、自、(2或％卜3、。能构成一个等差数列，

证明：椭圆右焦点坐标?(1,0),显然直线AB斜率存在，

设AB的斜率为k,则直线AB的方程为y=k(x-1)③，

代入椭圆方程9+y2=i,

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整理得(2々2+1)%2_4k2X+2(/(2-1)=0,易知△>0,

设力Q1，%),8(*2,%)，

则有5+x=~,XiXo=④，

22k2+l1z

在方程③中，令x=2,得M(2,k),

所以瓦=mX福“旦

2-12

当-返(&%1-〃-学)(%2-1)+("%2f-容)(%1-1)

因为七4-fc2=匚+

工1一1%2-1($一1)(0一1)

2/C%]X2-(2k+^^)(%i+%2)+2k+

⑤，

匕1%2一(尤1+必)+1

将④代入⑤得心+ky=2k(2A-2)-(2k+学狄2+(2一/)(2/+】)近,

而2k3=2(k-y)=2fc-V2,

所以用+&=2k3,

即自为A1、的的等差中项，

所以七、七、七或七、七、七为等差数列.