2021年北京市中考数学一模试卷(含答案解析)

2021年北京市中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）

1.如图，若要把一个正方体纸盒沿棱剪开，平铺在桌面上，则至少需口

要剪开的棱的条数是（）OfL-U—I

A.5条#

B.6条

C.7条

D.8条

2.改革开放40年中国教育经费投入发生了巨大变化，据教育部公布的统计数字显示，2017年全国

教育经费总投入突破42000亿元，42000亿这个数字用科学记数法表示为（）

A.4.2x1011B.4.2x1012C.4.2x1013D.4.2x1014

C

3.如图，点O为直线A8上的一点，。。，48于点0,。。在/COB内，若0

ZCOD=50°,贝叱4。。的度数是（）

AOB

A.100°

B.110°

C.120°

D.140°

4.已知多边形的每一个外角都是72。，则该多边形的内角和是（）

A.700°B,720°C.540°D.1080°

5.如图，长方形48CD,点B表示的数为一2,点C在原点，CD=1,以点C为圆心，CA为半径

画弧，交数轴于点忆则点P表示的实数是（）

..1r

-3p-24-01

A.V3B.V5C.-V5D.-V3

6.学校组织春游，安排九年级三辆车，小明和小慧都可以从这三辆车中任选一辆搭乘，小明和小

慧同车的概率是（）

A.-B.-

7.估计3+g的运算结果应在()

A.4到5之间B.5到6之间C.6到7之间D.7到8之间

8.甲、乙两车在同一直线公路上，匀速行驶，开始时甲车在乙车的前面，当乙车追上甲车后，两

车停下来，把乙车的货物转给甲车，然后甲车继续前行，乙车向原地返回.设乙车行驶的时间

为x秒，两车间的距离为)，千米，图中折线表示y关于x的函数图象，下列四种说法正确的有()

个

(1)开始时，两车的距离为500米.

(2)转货用了100秒.

(3)甲的速度为25米/秒，乙的速度为30米/秒.

(4)当乙车返回到出发地时，甲车离乙车900米.

二、填空题(本大题共8小题，共16.0分)

9.代数式占有意义，则x的取值范围是.

10.分解因式：3m(2x-y)2-3nvc2=.

11.当卜=____时，分式方程2-2=0有增根.

x-1x-1X+1

12.已知AABC的三个顶点为4(一1,一1),8(-1,3),C(-3,-3),将△ABC向右平移＞0)个单位

后，AABC某一边的中点恰好落在反比例函数y=:的图象上，则小的值为.

13.如图，在四边形ABC。中，NBA。=乙BCD=90°,AB+AD=8cm.

当8。取得最小值时，AC的最大值为cm.

14.矩形。4BC内接于扇形MON,当CN=C。时，求乙NMB.=

15.已知数据2,4,4,5,5,则这组数据的方差为

16.已知£=那么生J.

b2a-b

三、解答题(本大题共12小题，共68.0分)

17.⑴计算：(-1)2018+2sin60°+(TT-2018)°-|-V3|.

⑵先化简，再求值：/鬻—翳+?+2,其中a=l,b=2.

18.解不等式组2*+1,并写出整数解.

19.先化简，再求值：x-(—%2)—2x(x2+xy—y2)+(―2xy2)34-4x2y4,其中x=—1,y=—2.

20.如图，在RtAABC中，NC=90°,AB=5cm,AC=3cm,动点尸从点B出发沿射线BC以lcrn/s

的速度运动，设运动时间为t(s).

(1)当AABP为直角三角形时，求f的值；

(2)当AABP为等腰三角形时，求，的值.

备用图

21.已知关于x的一元二次方程(x-2)(x-5)-m2=0.

(1)求证：对于任意实数m,方程总有两个不相等的实数根;

(2)若方程的一个根是1,求巾的值及方程的另一个根.

22.如图，在平面直角坐标系中，矩形0ABe的两边04、0C分别在x轴、y轴的正半轴上，。4=8,

。。=4.点尸从点。出发，沿x轴以每秒2个单位长的速度向点4匀速运动，当点尸到达点A

时停止运动，设点P运动的时间是f秒.将线段CP的中点绕点P按顺时针方向旋转90。得点D,

点。随点尸的运动而运动，连接。P、DA.

(1)填空：当1=时，点。恰好落在AB上，即△DP4成为直角三角形；

(2)若以点。为圆心，OP为半径的圆与CB相切，求f的值；

(3)在点尸从。向A运动的过程中，AOPA能否成为等腰三角形？若能，求f的值；若不能，请说明

理由；

(4)填空：在点P从点。向点A运动的过程中，点。运动路线的长为

23.已知一次函数y=kx+b的图象与y=》一1的图象平行，且经过点(2,6).

(1)求一次函数y=kx+b的表达式.

(2)求这个一次函数y=kx+b与坐标轴的两个交点坐标，并在直角坐标系中画出这个函数的图象.

；--L-F---•----吗----,---1--*--L-；

…;3一・：』・・；・J…

:--1--0一1'—、--1--r--T--

⑶44冬"

卜二2一-

卜3-

••二4一,

:-巧一

24.已知在平行四边形ABCO中，过点。作DEIBC于点E,且4。=0E.连接AC交QE于点F,作

DGJ.4c于点G.

(1)如图1,若黑4尸=旧，求。G的长;

UrN

(2)如图2,作EM14C于点连接。M,求证：AM-EM=2DG.

图1图2

25.某学校八年级共有〃名男生.现测量他们的身高(单位：cm.结果精确到1cm),依据数据绘制的

频数分布直方图如图所示(为了避免有些数据落在分组的界限上，对作为分点的数保留一位小数

个频数

।I------------1-----~-r------------1-----i

25-------------------1—————---------仁——

ri—~~1r-----I--|--1r•i—

——|||Ii—

ni—--1n—

1i।~~1m|||Iii

1~-I—।——n|111in

ini।ri

201i।।1111i

1।Lt111n

ni।______—ri___

1ri___•Lt111i

1•1r

ri___।___L111ri___

1r•L1111

1ri______1ri

151ri।___।___Lri___

1ri——•—___।___L1111ri___

1ri•___।___—L1111ri___

---

147.5150.5153.5156.5159.5162.5165.5168.5171.55身ioicm

(1)数据个数〃为多少，数据的大致分布范围在哪两数之间？

(2)组距和组数各为多少？

(3)频数最大的组为哪一组？该组的频数和频率各为多少？

(4)根据频数分布直方图提供的信息，填写下表.

身高/cm148〜156157〜165166〜174

人数/名

频率

(5)学校要给八年级男生订购校服，男生的校服按如表分组方式设计了小、中、大三个型号，对

订购各号码校服的数量提出你的建议.

26.已知对称轴为直线x=T的抛物线经过点4(2,0)，C(0,4)两点，求这个抛物线的解析式.

27.如图，在等边A4BC中，点。是线段8c上一点作射线4。，点

B关于射线AO的对称点为E,连接EC并延长，交射线AO于

点F.

(1)补全图形；

(2)求乙4FE的度数；

(3)用等式表示线段ARCF、E尸之间的数量关系，并证明.

28.如图，BE是。。的直径，点A,C,D,尸都在。。上，AE=CD,连接

CE,例是CE的中点，延长。E到点G,使得EG=DE,并且交AF的延长

线于点G,此时F恰为AG的中点.

(1)若NCDE=120。，CE=4V3,求。。的周长.

(2)求证:2FE=CE.

(3)试探索：在2B上是否存在一点N,使得四边形NME尸是轴对称图形，并说明理由.

【答案与解析】

1.答案：C

解析：解：由图形可知：没有剪开的棱的条数是5条，

则至少需要剪开的棱的条数是：12-5=7（条）.

故至少需要剪开的棱的条数是7条.

故选：C.

正方体由12条棱，观察正方体的展开图可知没有剪开的棱的条数是5条，相减即可求出需要剪开的

棱的条数.

考查了几何体的展开图，本题关键是数出正方体纸盒没有剪开的棱的条数.

2.答案：B

解析：解：42000亿这个数字用科学记数法表示为4.2x1012.

故选：B.

科学记数法的表示形式为ax10"的形式，其中1<|a|<10,〃为整数.确定n的值时，要看把原数

变成。时，小数点移动了多少位，”的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时，〃是

正数；当原数的绝对值<1时，〃是负数.

本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为ax10九的形式，其中1<|a|<10,n

为整数，表示时关键要正确确定a的值和〃的值.

3.答案：D

解析：

此题主要考查了垂线以及角的计算，正确把握垂线的定义是解题关键.

直接利用垂线的定义结合角的加减运算法则计算得出答案.

解：如图所示：•••CO_LAB,

Z.AOC=90°,

v/.COD=50°,

^.AOD=Z.AOC+乙COD=140°.

故选：D.

4.答案:C

解析：解：•••多边形的每一个外角都是72。，

二多边形的边数为：翳=5,

.•.该多边形的内角和为:(5-2)x180°=540°.

故选C.

本题考查了多边形的边数与外角的个数的关系，〃边形的内角和公式为(n-2)x180°.

根据外角和是360。，利用外角和除以一个外角度数即为多边形的边数.再由多边形的内角和公式可

求得该多边形的内角和.

5.答案：C

解析：解：••・长方形ABC。的长8c为2,宽C£>为1,

.1.由勾股定理得，AC=V22+I2=V5>

•••PC=AC=V5，

二点P表示的数是一遍.

故选：C.

利用勾股定理列式求出AC,然后根据数轴写出点尸所表示的数即可.

本题考查了勾股定理，实数与数轴，主要是无理数在数轴上的表示，熟记定理是解题的关键.

6.答案：B

解析：列举出所有情况，看在同一辆车的情况数占总情况数的多少即可.

解：列表如下(三辆车分别用1,2,3表示):

1P2。

(1,1)。(2,1)。(3,1)。

2"(1,2)。(2,2)。(3,2)2

3P(1,3)P(2,3)2(3,3)。

所有等可能的情况有9种，其中小明和小慧同车的情况有3种

31

则P=—=-

93

故选：B.

7.答案：C

解析：解：VV9<V13<V16,

3<V13<4,

3+3<3+713<3+4,

即6<3+g<7,

故选：C.

由于3<g<4，可表示出3+3<3+g<3+4所在范围，即可选出答案.

此题主要考查了无理数的估算能力，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，''夹

逼法”是估算的一般方法，也是常用方法.

8.答案：B

解析：

本题考查了函数的图象，解答时认真分析函数图象的含义是关键，根据条件建立方程组是难点.

(1)根据函数图象，可得开始时，两车的距离为500米；

(2)根据函数图象可得，线段BC的实际意义是表示乙车的货物转给甲车所用的时间为100秒；

(3)设甲车的速度是。米/秒，乙车的速度为b米/秒，根据函数图象反应的数量关系建立方程组求出

其解即可；

(4)观察图形可得乙车返回到出发地时的时间，进一步根据路程和=速度和x时间得到甲车离乙车的

距离.

解：(1)开始时，两车的距离为500米是正确的；

(2)200-100=100(#)

故转货用了100秒是正确的；

(3)设甲车的速度是。米/秒，乙车的速度为6米/秒，由题意，得

(1006-100a=500

((220-200)(a+b)=900'

解得：

3=25

答：甲车的速度是20米/秒，乙车的速度为25米/秒.故原来的说法是错误的；

(4)(20+25)x100

=45X100

=4500(米).

答：甲车离乙车4500米.故原来的说法是错误的.

故四种说法正确的有2个.

故选：B.

9.答案：x>8

解析：解：由题意，得X—8>0,

解得%>8.

故答案是：%>8.

由分式的分母不等于零和二次根式的被开方数是非负数得到％-8>0.

考查了分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，注意，二次根式在分母上，所以不能取到0.

10.答案:3m(x-y)(3x-y)

解析：首先提取公因式3小，再利用平方差公式进行二次分解即可.

解：原式=3m[(2x-y)2-x2]»

=3m(2x-y+%)(2%—y4-%),

=3m(x-y)(3x-y),

故答案为3?n(x-y)(3x-y).

11.答案：—1

解析：解：方程两边都乘以(％—1)(%+1),得

%(%+1)+k(x4-1)—x(x-1)=0.

解得“一总

・••分式方程无解，

———=±1,

k+2

解得k=-l,

故答案为：-1.

根据解分式方程的步骤，可得整式方程的解，根据分式方程无解，可得&的值.

本题考查了分式方程的增根，先求出整式方程的解，再求出k的值.

12.答案：4或:

解析：

此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点，关键是掌握反比例函数图象上的点(x,y)的横纵坐

标的积是定值左，即=

解：•.•△ABC的三个顶点为4(一1,一1),5(-1,3),C(-3,-3),

•••48边的中点(一1,1),BC边的中点(—2,0),AC边的中点(一2,-2),

••,将△4BC向右平移>0)个单位后，

•••BC边的中点(-2,0)在x轴上，向右平移之后仍在x轴上，

••・BC边的中点平移后不在反比例函数y=:的图象上，

.••4B边的中点平移后的坐标为(-1+m,l),AC边的中点平移后的坐标为(一2+犯一2).

•••△4BC某一边的中点恰好落在反比例函数y=：的图象上，

:.-1+?72=3或-2X(—2+TTL)=3,

・•・m=4或m=

故答案为4或也

13.答案：4V2

解析：解：设=则4D=8-x,

v/.BAD=乙BCD=90°,

BD2=x2+(8-x)2=2(x-4)2+32.

・•・当x=4时，BO取得最小值为4位.

「4B,C,。四点在以8。为直径的圆上.如图，

4c为直径时取得最大值.

AC的最大值为4vl.

故答案为：4位.

设AB=X,则4D=8—X,由勾股定理可得BD?=刀2+(8—x)2,由二次函数的性质可求出4B=

4。=4时，8。的值最小，根据条件可知A,B,C,。四点在以8。为直径的圆上.则AC为直径时

最长，则最大值为4V1

本题考查了勾股定理，圆周角定理，二次函数的性质等知识，熟练掌握数形结合思想是解题的关键.

14.答案：30。

解析：连接。8,

•••CN=CO,

•••OB=ON=20C,

•.•四边形0ABe是矩形,

•••Z.BC0=90°,

:,cosZ.BOC=—=

OB2

•••Z.B0C=60°,

•••ANMB=2-ABOC=30°.

15.答案：1.2

解析：解：数据的平均数=42+4+4+5+5)=4,

方差s2=1[(2-4)2+(4-4)2+(4-4)2+(5-4)2+(5-4)2]=1.2.

故答案为1.2.

利用方差的定义求解.

本题考查了方差的定义.牢记方差的计算公式是解答本题的关键，难度不大.

16.答案：5

解析：解：••*=*

D2

・,•设Q=3k,b=2k,

3k+2k-

则---=-----=5・

a-b3k-2k

故答案为：5.

根据比例设a=3k,b=2k,然后代入比例式进行计算即可得解.

本题考查了比例的性质，利用“设女法”求解更简便.

17.答案：解：(1)原式=l+2x?+l—V3=2.

(2)原式=钙—妇华”.告+2

''a(a+b)a+ba-b

Q+b

-2+2

a

a+b

a

当a~1,b=2时，

原式=千=.=3

解析：(1)根据零指数基的意义以及特殊角的锐角三角函数的值即可求出答案.

(2)根据分式的运算法则进行化简，然后将“与b的值代入原式即可求出答案.

本题考查学生的运算能力，解题的关键是熟练运用实数的运算法则以及分式的运算法则，本题属于

基础题型.

18.答案：解：［了一蓑/+1①

(2%<8(2)

由①得x>2,

由②得x<4,

所以不等式组的解集是2<xS4,

则整数解:3,4.

解析：本题考查不等式组的解法及整数解的确定.求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较

大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了.

先求出不等式组中每个不等式的解集，然后求出其公共解集，最后求其整数解即可.

19.答案：解：x■(—X2)—2x(x2+xy-y2)+(-2xy2)3-e-4x2y4

=-x3—2x3—2x2y+2xy2-8x3y6+4x2y4

--x3-2x3-2x2y+2xy2-2xy2

=—3x3—2x2y,

32

当％=-1,y=-2时，原式=-3x(-1)-2x(-1)x(-2)=7.

解析：本题考查了整式的化简求值，难度不大.

先进行化简，最后代值求出即可.

20.答案：(1)解：•：乙C=90°,AB=5cm,AC=3cm,

・•・BC=4cm.

①当N4PB为直角时，点P与点C重合，BP=BC=4cm,

••t=4.

②当NBAP为直角时，BP=tcm,CP=(t-4)cm,AC=3cm,

在Rt/MCP中，AP2=32+(t-4)2,

在RMB4P中，AB2+AP2=BP2,

52+[32+(t-4)2]=t2,

解得t=y4.

综上，当AABP为直角三角形时，t=4或胃.

(2)解：①当8P=B4=5时，••・t=5.

②当4B=AP时，BP=2BC=8cm,•••t=8.

③当PB=PA时，PB=PA=tcm,CP=(4—t)cm,AC=3cm,

在RtA/lCP中，AP2=AC2+CP2,

.-.t2=32+(4-t)2,解得t==.

综上，当A/IBP为等腰三角形时，t=5或8或胃.

解析：(1)首先直接根据勾股定理求出3c的长度，再分两种情况：①当N4P8为直角时，②当484P

为直角时，分别求出此时的f值即可；

(2)当AABP为等腰三角形时，分三种情况：①当4B=BP时；②当月8=4P时；③当BP=AP时,

分别求出BP的长度，继而可求得，值.

本题考查了勾股定理以及等腰三角形的知识，解答本题的关键是掌握勾股定理的应用，以及分情况

讨论，注意不要漏解.

21.答案：(1)证明：原方程可变形为x2-7x+10-m2=0,

(―7)2—4x(10—m2)=9+4m2>9,

•••方程总有两个不等的实数根；

(2)解：•.・方程的一个根是1,

•••(1—2)x(1—5)—m2=0,

m2=4,解得：m=±2,

二原方程为：x2-7x+6=0,

解得：X[=1,g=6.

即m的值为±2,方程的另一个根是6.

解析：本题考查了根的判别式以及一元二次方程的解有关知识.

(1)将方程变形为一般式，再根据根的判别式△=9+4血229,即可证出结论；

(2)将”=1代入原方程求出〃?的值，将其代入原方程解方程即可得出方程的另一个根，此题得解.

22.答案：⑴3；

(2)如图2,过点。作DElx轴，垂足为E,延长EQ交CB于F,则。尸1CB,F为切点

图2

则△PECSACOP,

PE_DE

"五=而，

•••PE-2,DE—t,

•••。/=%即。尸2=DP2,

得出±2+22=(4一02,

2.

t=2,

⑶△DPA是等腰三角形，有下列3种情况：

①若DP=D4时，则E4=EP=2,8-2t=4,t=2；

②若PA=P。时，t=*-浮

③若4P=AD时，t=2VT1-4;

综上所述，ADPA是等腰三角形时，f的值是2或竺二丑或2a1-4.

3

(4)4V5.

解析：

•••乙COP=90°,4CPD=90°,APAD=90°,

•••△COPFPAD,

"PC=ZPD,OC=4

・・・PA=2,

2t+2=8,

解得t=3；

故答案为：3；

(2)见答案；

(3)见答案.

当点P在点。位置时，PD=2,

当点尸在点A位置时，作DE1。4交0A的延长线于E,

/IFD-ACOA,CA=2AD,

•••AE=2,DE=4,

•••点。运动路线的长为V82+42=4V5.

故答案为：4A/5.

(1)根据题意证明ACOPSAPAD，利用相似三角形的性质，求出f;

(2)利用圆心到直线的距离等于半径，那么直线与圆相切，过点。作DEJ.X轴，垂足为E,延长EC

交CB于F,根据OF=OP,列出方程，求出f；

(3)分三种情况进行讨论，求出外

(4)根据点P在点。时，点力的位置和点P在点A时，点。的位置，求出两点间的距离即可.

本题综合考查了矩形的性质、等腰三角形的判定、三角形相似的知识，综合性较强，要求学生有综

合运用知识的能力和严谨的思维能力，能够用运动的观点思考问题.

23.答案：解：(1)：丫=心:+6的图象与'=》一1的图象平

行，

•­k=1,

即y=x+b,

把(2,6)代入得：2+b=6,b=4,

;此一次函数表达式为：y=x+4：

(2)y=x+4中，令y=0,则x+4=0,x=-4,得图象与x轴交点坐标是(-4,0),

令％=0,则y=4,得图象与y轴交点分别是(0,4),

函数图象如图所示，

解析:(1)根据y=kx+b的图象与y=x-1的图象平行,得到k=1,把(2,6)代入得2+b=6,b=4,

解方程即可得到结论；

(2)解方程尽快顶点结论，画出函数图象即可.

本题考查了两直线相交或平行问题，待定系数法求函数的解析式，正确的理解题意是解题的关键.

24.答案：(1)解：设EF=x,DF=2x,则DE=EF+DF=3x=AD,

在RtaAO尸中，AD2+DF2=AF2,(3x)2+(2x)2=(V13)2,

v%>0,

・•・X=1,

・・.EF=1,DF=2,AD=3,

.••由三角形面积公式得：SMDF=^XADXDF=^XAFXDG,

即DG="变=丝=源

AFV1313

(2)证明:如图,

过D点作DK1DM交AC于点K,

图2

•・•Z1+乙KDF=90°,Z2+乙KDF=90°,

・•・z.1=z2,

・・・43+44=90°,Z5+乙EFM=90°,

又•・・Z4=ZFFM,

Az3=z5,

在和△EDM中,

=Z2

{AD=DE,

(Z3=Z5

.••△ADK三△EDMQ4SA),

DK=DM,AK=EM,

・•.△MDK为等腰直角三角形，

vDG1AC,

•••MK=2DG,

•••AM-EM=AM-AK=MK=2DG.

解析：本题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性

质等知识点，能综合运用定理进行推理和计算是解此题的关键.

(1)设EF=x,DF=2x,则。E=EF+OF=3x=4D,根据勾股定理求出x,在AADF中，根据三

角形面积公式求出即可；

(2)过。点作DK1DM交AC于点K,证明△力。KWAEDM,求出△MDK为等腰直角三角形，求出MK=

2DG即可.

25.答案：解：(l)n=2+4+10+22+20+11+6+4+1=80(人)，数据大致分布在157-165

两个数之间，

(2)组距为：150.5-147.5=3(cm),组数为：9组；

(3)频数最大的一组是156.5-159.5cm,该组的频数为22,频率为22+80x100%=27.5%,

(4)根据频数分布直方图提供的信息，填表如下：

身高cm148〜156157〜165166〜174

人数名165311

频率0.200.660.14

⑸根据上表，可以得出157〜165cm的校服数占总数的66%,因此采购号码在157〜165an最多.

解析：(1)根据每个格表示1人，能够表示各组的人数，进而求出总人数，

(2)每一组的起始数、与结尾数的差即为组距，组数可以通过数直方图的直条数得出；

(3)频数最多就是直方图中最高的一组，计算频率即可；

(4)根据分组分别统计填入表格即可；

(5)根据表格所反映的数据，给出相应的建议.

考查频数分布直方图的意义和制作方法，理解组距、组数、频数、频率的意义是正确解答的前提.

26.答案：解：由对称性得抛物线与x轴的另一个交点为(-