2021年高考数学真题逐题解析与类似题型练习第10题 平面 向量的数量积（原卷）

第10题平面向量的数量积

一、原题呈现

【原题】已知O为坐标原点，点片(cos%sina),《(cosp,-sin/?)，6(cos(a+/7),sin(a+0),A(l,O),

贝1J()

A.|阿=|两B.|雨=|呵

C.OAOP^O^O^D.丽•丽=函函

【答案】AC

【解析】由OPt=(cosa,sin«).(?7^—(cos/?,—sin夕)，可得|O制=|。闾=1,故A正确；

22222

|AP}|="y/(cosa-l)+sina=A/COStz-2cosa+l+sina=-^2(1-cosor)=^4sin-y=21siny|,

同理I亚1=7(cos>9-l)2+sin2Z?=2|sin，|J斯南|不一定相等，故B错误；

巾OAOPy-1xcos(tz+/?)+0xsin(a+/3)-cos(£Z+p),

OPXOP,-cosa-cos尸+sine•(—sinP)-cos(a+力)，可得C正确；

由04(9/^=lxcostz+0xsina=coscz.(9^(975=cosPxcos(a+;0)+(-sinp)xsin(a+p)

=cos(p+(a+B))=cos(a+2B),砺.西，函.函不一定相等,D错误，故选AC

【就题论题】本题涉及平面向量的数量积及坐标运算，又涉及三角变换，在知识交汇处命题，背景较新颖，能有

效考查考生分析问题解决问题的能力，是一道难度适中的好题，熟悉新教材必修二(A版)的同学们应该知道

P35有利用向量证明两角差余弦公式的例题，该题应该是由此题改编而成.

二、考题揭秘

【命题意图】本题考查平面向量的数量积及坐标运算、三角变换，考查数学运算、逻辑推理及数学抽象的核

心素养.难度：中等

【考情分析】平面向量是高考数学必考知识点，一般以客观题形式考查，热点是平面向量的线性运算及平面向

量的数量积,可以是容易题，也可以是中等难度题,中等难度题常用平面几何、不等式等知识交汇考查.

【得分秘籍】

(1)向量的夹角

已知两个非零向量a和"作况=a,彷=瓦则/A08就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是：［0,兀］.

(2)平面向量的数量积

设两个非零向量a,b的夹角为。，则数量⑷网・cos。叫做a与b的数量

定义

积，记作ab

|a|cos。叫做向量a在b方向上的投影，

投影

\b\cos0叫做向量方在Q方向上的投影

几何意义数量积ab等于a的长度⑷与力在〃的方向上的投影|〃|cos。的乘积

(3)平面向量数量积的性质

设a,b都是非零向量,e是单位向量,6为a与6(或e)的夹角.则

@e-a=a-e=\a\cos3.

②a_L)crb=O.

③当a与b同向时,a6=|a||A|；当。与b反向时,a心=一同步|.

特别地0。=|。|2或⑷=如/

④8$。=丽.

@\a-b\<\a\\b\.

(4)平面向量数量积有关性质的坐标表示

①设向量4=(X1J1)力=。2,丁2),则a山=九阳+乃y2,由此得到

若Q=a,y),则laFuf+y2或⑷

②设&为,〉1)乃(工2,〉2),则两点间的距离A8=|霜|=王一工2)~+(y•

③设两个非零向量a也a=(xi,yD,力=('2)2),则a_Lgvi12+yiy2=0.

④若a,b都是非零向量,6是a与)的夹角，则cos0=j^i=^=^=.

(5)两个向量a.b的夹角为锐角仁》山>0且a出不共线；两个向量a,b的夹角为钝角0山<0且a,b不共线.

(6)平面向量数量积求解问题的策略

n*h

①求两向量的夹角：85。=而而，要注意

②两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a_L5<=»力=0<=1a—例=|a+b|.

③求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有：。2=。也=同2或⑷=6^；以±臼=寸“2±2”山+/；若a

=(x,y),则|a|r^+y2.

(7)平面向量数量积的四种运算方法：①定义法，要注意两个向量的夹角.②坐标法，引入直角坐标系，明确向量

的坐标进行运算.③利用向量数量积的几何意义，注意一个向量在另一向量上的投影是数量.④运用平方的

技巧.

(8)向量与平面几何的综合问题，往往要数形结合,借助平面几何的知识解题.(2)根据数量积求模或参数的值

（范围）问题的一般方法：①基底法，②坐标法.

（9）向量与函数、三角函数的综合题，多通过考查向量的线性运算、向量共线的充要条件、平面向量的基本定

理及数量积等来直接考查函数的基本概念，函数、三角函数的图象与性质，三角变换等内容.此类题目中，向量

往往是条件的载体,题目考查的重点仍是函数、三角函数,熟练掌握向量的概念和基本运算是解决问题的前

提.若题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式,运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的

关系式，然后求解.若给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路

是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性,求得值域等.

（10）向量在解析几何中的“两个”作用：（1）载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”,解决此类问

题的关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系,从而解决有关距离、斜

率、夹角、轨迹、最值等问题.（2）工具作用：利用。，*次/0=0（a/为非零向量）,a〃b=a=»（厚0）,可解决

垂直、平行问题,特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较优越

的方法.

【易错警示】

（1）。_1_加次让2+）1>2=0与a〃b0iy2-X2）'i=O混淆

（2）误认为两个向量a,》的夹角为锐角ci山>0；两个向量。力的夹角为钝角ci•辰0.

（3）与平面几何有关的向量问题，向量的夹角求错，如4ABC中误认为瓦，及夹角为NA3C.

三、以例及类

（以下所选试题均来自新高考I卷地区2020年1-6月模拟试卷）

一、单选题

1.（2021河北省邯郸市高三二模）已知向量£=（一2,6）4=（l,x）,若£与B反向，则7（3£+杨=（）

A.-30B.30C.-100D.100

2.（2021湖北省武汉市高三5月质量检测）已知向量2=（1,3）,则下列向量中与£垂直的是（）

A.（0,0）B.（-3,-1）C.（3,1）D.（-3,1）

3.（2021江苏省南通市高三5月四模）已知向量£=（$•/1）石=（2411，,一1）,且£,/；,则8$2。=（）

A.0B.—C.—D.-1

22

4.（2021山东省日照市高三第二次模拟）已知忖=0,忖=4,当必（4£叫时，向量［与B的夹角为（）

5.（2021山东省高考考前热身押题）已知向量丽■，丽，丽的模长均为2,且满足2瑞+2㈱+3之心=6,

则丽.•丽的值为（）

192321

A.—B.—C.—D.5

222

6.（2021湖南省衡阳市高三下学期考前预测）已知P是边长为2的正六边形A3CDE户边上一动点，则

APAB（）

A.最大值是4+26,最小值是4-28B.最大值是6,最小值是-26

C.最大值是6,最小值是一2D.最大值是4+2百，最小值是-2

7.（2021湖北省黄冈中学高三下学期第三次模拟）已知AA6c是边长为4的等边三角形，且丽=2反,E

为AO中点，则丽.配=（）

428

A.—2B.C.—D.一

333

8.（2021湖北省黄冈市高三高考适应性考）已知平面上三个不同的点若痂•丽=|历5『，则（）

A.PMLPFB.PMLMF

C.PMPF<QD.PMPF>0

9.（2021河北省沧州市高三三模）已知非零向量获满足W=0同，且（日一b）J_（3a+2S）,则1与5的

夹角为（）

A.45°B.135°C.60D.120"

10.（2021福建省厦门市高三5月二模）已知是相互垂直的单位向量，与共面的向量c满足

a-c=B,c=2,则c的模为（）

A.72B.2C.272D.2下）

11.（2021广东省深圳市高三下学期第五次统一考试）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸,是中国古老的

传统民间艺术之一.每年新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的

目的,并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望.图一是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图二

中正六边形ABCDEF的边长为4,圆。的圆心为正六边形的中心，半径为2,若点尸在正六边形的边上运动，

为圆。的直径，则丽.丽的取值范围是（)

AP

A.[6,12]B.[6,16]C.[8,12]D.[8,16]

12.（2021江苏省六校高三下学期第四次适应性联考）已知向量九工/忖=1,且对任意.€/?,收一©2口一4

恒成立，则（）

A-aleB.G_L伍一,

C.e-L(a-ea+e_L

13.（2021山东省烟台市高三第一次联考）如图,在平行四边形ABC。中,M是8c的中点，且是线

段8。上的动点，过点N作AM的垂线，垂足为“，当而乙而何最小时,“。=（）

B.-AB+-AD

42

二、多选题

14.（2021江苏省盐城市高三下学期5月第三次模拟）将平面向量打=（5,々）称为二维向量，由此可推广至〃

维向量反=（玉,巧,…,X.）.对于〃维向量£,九其运算与平面向量类似，如数量积及0=1司同cose=Zxa

（。为向量£石的夹角），其向量2的模向=区尤,2,则下列说法正确的有（

A.不等式可能成立

(z=l\(i=\\(f=l

B.不等式一定成立

\n八〃/\nJ

•_।(•_।、2

c.不等式〃£光,.；可能成立

n]n

D.若%>0(i=1,2,…,n)，则不等式Z—EX,>n2一定成立

i=lXii=\

△ABC中,M是3C的中点，若第=£,恁=石,则卜加卜

15.（2021江苏省七市高三下学期第三次调研）在

B.9+4

D.

16.（2021江苏省苏州市高三下学期三模）已知AABC是边长为2的正三角形，该三角形重心为点G,点P

为AABC所在平面内任一点，下列等式一定成立的是（）

A.\AB+AC\=2B.ABAC^2

C.PA+PB+PC=3PGD.\AB+BCHIAB+CB\

17.（2021华大新高考联盟高三下学期3月教学质量测评）已知边长为4的正方形A6C。的对角线的交点

为O,以。为圆心,6为半径作圆；若点E在圆。上运动，则（）

A.EAEB+EBEC+ECEb+EDEA^12B-EA-EC+EBED^56

C.EAEB+EBEC+ECED+EDEA^\44O-EAEC+EBED^2S

TT

18.（2021河北省张家口市高三下学期阶段模拟）已知£石是平面上夹角为w的两个单位向量在该平面

上，且（2--2）=0,则下列结论中正确的有（）