基本不等式 讲义 高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

基本不等式讲义考点梳理1、两个不等式重要不等式：,（当且仅当时取号）.常见变形公式：、基本不等式：,（当且仅当时取到等号）.常见变形公式：；2、由基本公式引申出常用结论①（同号）；②（异号）；③或3、利用基本不等式求最值（1）在用基本不等式求函数的最值时，要满足三个条件：一正二定三取等.①一正：各项均为正数；②二定：含变数的各项的和或积必须有一个为定值；③三取等：含变数的各项均相等，取得最值.（2）积定和最小，和定积最大①设x,y为正实数，若x＋y＝s(和s为定值)，则当x=y时，积xy有最大值，且这个值为eq\f(s2,4).②设x，y为正实数，若xy＝p(积p为定值),则当x=y时，和x＋y有最小值,且这个值为2eq\r(p).经典例题讲解考点一：对基本不等式的理解例1.（2022秋·北京·高一丰台第十二中学校考期中）下列结论正确的是（）A．当时，B．当时，的最小值是C．当时，D．当时，的最小值为1【答案】C【解析】对于A，当时，，故A错误，对于B，当时，，当且仅当时等号成立，故B错误，对于C，当时，，当且仅当即时等号成立，故C正确，对于D，当时，，当且仅当即时等号成立，故D错误，故选：C变式练习：1.（2023·全国·高一假期作业）下列不等式中等号可以取到的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】对于A，因为，所以，当且仅当，即，故等号不成立，故A不符合；对于B，因为，所以，当且仅当，即，故等号不成立，故B不符合；对于C，因为，所以，当且仅当，即时取等号，故C符合；对于D，因为，所以，当且仅当，即，故等号不成立，故D不符合.故选：C.2.（2023·高一课时练习）若，，则当且仅当时取等号．【答案】【解析】因为，所以，，所以，即，当且仅当，即时，等号成立，故答案为：．3.（2022秋·广东江门·高一新会陈经纶中学校考阶段练习）下列命题中正确的是（）A．当时，B．若，则的最小值是C．当时，D．的最小值是【答案】BC【解析】若，则，显然不满足，A错误；若，则，当且仅当时取等号，最小值是，B正确；若，则，当且仅当时取等号，最小值是，C正确；若，则，当且仅当即时取等号，显然无解，故取不到最小值，D错误.故选：BC.4.（2022秋·湖北十堰·高一郧阳中学校考阶段练习）（多选）下列推导过程，其中正确的是（）A．因为为正实数，所以B．因为，所以C．因为，所以D．因为，所以，当且仅当时，等号成立【答案】ABD【解析】对于A，为正实数，有，且，又当且仅当时，成立，满足均值不等式的条件，A正确；对于B，，当时，，且，显然不存在大于3的正数a使成立，所以，B正确；对于C，因为，则，不符合均值不等式成立的条件，C错误；对于D，，则，且，又当且仅当时，成立，满足均值不等式的条件，D正确.故选：ABD考点二：由基本不等式证明不等式例1.（2022秋·高一课时练习）若a>0,b>0，则下列不等式中不成立的是（

）A．a2+bC．a2+b【答案】D【分析】利用不等式的性质及基本不等式化简判断即可.【详解】因为a−b2≥0，显然有而a>0,b>0，所以a+b≥2ab又a2+b不妨令a=2,b=1,则1a故选：D.变式练习：1.（2022秋·湖南张家界·高一张家界市民族中学校考阶段练习）设，则下列不等式成立的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以；因为，所以，即，因为，所以，即，因此，故选：D2.（2023春·陕西安康·高一统考开学考试）（多选）若，则（）A．B．C．D．【答案】ABD【解析】对A、B：∵，则，∴，即，，A、B正确；对C∵，例如，则，显然不满足，C错误；对D：∵，则，∴，D正确.故选：ABD.3.（2022秋·山东青岛·高一校考阶段练习）（多选）设，则下列不等式中一定成立的是（）A．B．C．D．【答案】ABD【解析】因为，所以，当且仅当且时取等号，故A一定成立由做差比较法,，可知成立故B一定成立．因为所以，当且仅当时取等号，所以不一定成立，故C不成立．因为4，当且仅当时取等号，故D一定成立.故选：ABD4.（2023·江苏·高一假期作业）（多选）设，是正实数，则下列各式中成立的是（）A．B．C．D．【答案】ABC【解析】对于A：，，由基本不等式得，当且仅当时等号成立，故A成立；对于B：，，则，当且仅当时等号成立，故B成立；对于C：，，则，当且仅当时等号成立，故C成立；对于D：，，因为，所以，故D错误，故选：ABC．考点三：利用基本不等式秋最值例1.（直接应用基本不等式）（2023春·陕西宝鸡·高一统考期末）已知，则的最大值为（）A．B．C．D．3【答案】B【解析】由题意得，，即，当且仅当，即或时等号成立，所以的最大值为.故选：B例2.（配凑法）（2022秋•龙岗区校级月考）函数的最小值是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解答】解：∵x＞0，∴x+1＞1，，当且仅当，即x＝1时等号成立，故选：D．例3.（拆分法）（2023春·广东·高一统考期末）设，则函数的最小值为（）A．6B．7C．11D．12【答案】C【解析】，，当且仅当，即时，等号成立，所以函数的最小值为.故选：C例4.（活用单位“1”）（2022秋·高一课时练习）已知，则的最小值为（）A．4B．C．D．【答案】B【解析】因为，则，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为.故选：B.例5.（构成解不等式法）已知，，且；则下列结论正确的是（

）A．xy的最小值是1 B．的最小值是2C．的最小值是8 D．的最大值是【答案】B【详解】由，当且仅当时等号成立，即，又，，故，仅当时等号成立，所以，故xy的最大值是1，A错误；由，当且仅当时等号成立，所以，即，又，，则，仅当时等号成立，故的最小值是2，B正确；由，，，可得，且，所以，当且仅当，即、时等号成立，故，C错误；同上，，当且仅当，即、时等号成立，故，D错误；变式练习：1.（2023春·甘肃兰州·高二兰州一中校考期末）已知a>0,b>0，若2a+b=4，则ab的最大值为．【答案】2【分析】利用基本不等式即可得到答案.【详解】因为a,b>0，所以2a+b=4≥22a⋅b，解得ab≤2当且仅当2a=b即a=1，b=2时，等号成立．所以ab的最大值为2.故答案为：22.（2022秋·内蒙古通辽·高一校考期中）已知x>1，则x+4x−1的最小值是【答案】5【分析】由配凑法结合基本不等式求解即可.【详解】∵x>1,∴x−1>0,∴x+4当且仅当x−1=4x−1，即x=3(−1舍去）时取等号，x+4故答案为：5.3．（2023春·广东广州·高一校考期中）若a>0，b>0，ab=4a+b+12，则ab的取值范围是.【答案】ab≥36【分析】利用基本不等式可得出关于ab的不等式，即可解得ab的取值范围.【详解】因为a>0，b>0，由基本不等式可得ab=4a+b+12≥24ab即ab−4ab−12≥0，解得ab≥6当且仅当b=4aab=36时，即当a=3故ab的取值范围是ab≥36.故答案为：ab≥36.4．（2023·新疆喀什·高一校联考期末）若x>0,y>0，且x+2y=5，则9x+2【答案】5【分析】根据题意可得x5【详解】因为x>0,y>0，且x+2y=5，则x5可得9x当且仅当18y5x=2x所以9x故答案为：5.5．（多选）（江西省赣州市2023年期末考试数学试题）已知实数a,b∈R+，且2a+b=1，则下列结论正确的是（A．ab的最小值为18 B．a2C．1a+1b的最小值为6【答案】BD【分析】利用基本不等式求最值可判断A；配方法求最值可判断B；应用基本不等式“1”的代换求最值可判断C；常量分类再利用a的范围可判断D.【详解】对于A：a,b∈R+，由2a+b=1≥22ab，则ab≤对于B：因为a,b∈R+，2a+b=1，所以由a2+b2=a2对于C：由1a当且仅当ba=2ab即对于D：由b−1a−1=−2aa−1=−2−−2<1a−1<−1故选：BD.6．（多选）（2023春·河北承德·高二统考期末）已知a>0,b>0，且2a+b=2，则（

）A．ab的最小值是12B．1C．1a2+4b2【答案】BC【分析】利用基本不等式根据2a+b=2可得22ab≤2，即可求解选项A；利用基本不等式“1”的妙用即可求解选项B；利用基本不等式可得1a【详解】因为a>0,b>0，且2a+b=2，所以22ab所以ab≤12，当且仅当由题意可得1a当且仅当2a=b=1时，等号成立，则B正确；因为ab≤12，所以1a由题意可得2a+1b+1ab=因为2a+b=2，所以不存在a,b，使得2ab=3,2a+b=2,故选:BC.7．（2023春·甘肃兰州·高二兰州一中校考期末）已知a>0,b>0，若2a+b=4，则ab的最大值为．【答案】2【分析】利用基本不等式即可得到答案.【详解】因为a,b>0，所以2a+b=4≥22a⋅b，解得ab≤2当且仅当2a=b即a=1，b=2时，等号成立．所以ab的最大值为2.故答案为：2巩固训练1.（2021秋·河南南阳·高一校考阶段练习）不等式（x-2y）+≥2成立的前提条件为（）A．x≥2yB．x>2yC．x≤2yD．x<2y【答案】B【解析】由均值不等式的条件“一正、二定，三相等”，即均值不等式成立的前提条件是各项均为正数，所以不等式成立的前提条件为，即.故选：B.2.已知，且，则下列结论正确的是（

）①

②的最小值为16

③的最小值为9

④的最小值为3A．①② B．②③④ C．①②④ D．①②③【答案】D【分析】①由判断；②利用基本不等式求解判断；为，③结合“1”的代换，利用基本不等式求解判断；④转化为，利用基本不等式求解判断.【详解】①因为，且，所以，则，故正确；②因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，故正确；③因为，且，所以，当且仅当，即时，等号成立，故正确；④因为，且，所以当且仅当，即时，等号成立，故错误；故选：D3.已知正数a，b满足，则最小值为（

）A．25 B． C．26 D．19【答案】A【分析】先进行化简得，再利用乘“1”法即可得到答案.【详解】因为正数a，b满足，所以，当且仅当，联立，即时等号成立，故选：A.4.已知正数a，b满足，则的最小值为（

）A．B．C． D．【答案】C【分析】由，得到，再利用“1”的代换求解.【详解】解：因为，所以，所以，当且仅当，即，时，等号成立．故选：C5.已知，且，则的最小值为（

）A．9 B．10 C．11 D．【答案】A【分析】利用“乘1法”将问题转化为求的最小值，然后展开利用基本不等式求解．【详解】，，又，且，，当且仅当，解得，时等号成立，故的最小值为9．故选：A．6.（2023秋·江西吉安·高一统考期末）已知，则使得取得最小值时x的值为（）A．1B．2C．±1D．±2【答案】C【解析】，当且仅当，即时取等号．故选：C.7.（2023春·云南迪庆·高一统考期末）（多选）设正实数，满足，则下列说法正确的是（）A．的最小值为4B．的最大值为C．的最小值为2D．的最小值为【答案】ABD【解析】对于A，，当且仅当时取等号，故A正确；对于B，，当且仅当，即，时取等号，故B正确；对于C，，则，当且仅当，即，时，故C错误；对于D,，当且仅当，时取等号，故D正确．故选：ABD．8.（2023·江苏·高一假期作业）若对，，有恒成立，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，，所以，当且仅当时取等号，所以，故选：D．9.（2022秋·云南曲靖·高一会泽县实验高级中学校校考阶段练习）若两个正实数，满足，且不等式恒成立，则的最大值为.【答案】9【解析】两个正实数，满足，则则当且仅当时等号成立，则的最大值为9.故答案为：910.（2022秋·江苏徐州·高一徐州市第七中学校考阶段练习）若对任意，，不等式恒成立，则的取值范围是.【答案】【解析】，，不等式恒成立，恒成立，当且仅当，即时取等号，，即故答案为：11.（多选）（2022秋·河北保定·高一校考期中）设a>0，b>0，给出下列不等式恒成立的是（

）A．a2+1>a C．(a+b)1a+【答案】ACD【分析】由基本不等式及不等式的性质判断.【详解】a>0，b>0，则a2a=1,b=2时，a+b=3，2ab=4，a+b<2ab，B不恒成立，(a+b)(1a+1b(a+1a)(b+故选：ACD．12.（多选）（2022秋·河北石家庄·高一石家庄市第十八中学校考阶段练习）下列结论中正确的是（

）A．若a,b∈R，则ba+abC．x2+1x2【答案】CD【分析】根据基本不等式判断各选项.【详解】A