随机信号与系统-平稳性与联合平稳性课件

随机信号与系统第3章平稳性与功率谱密度1随机信号与系统第3章平稳性与功率谱密度1第3章平稳性与功率谱密度平稳性(Stationarity)的概念随机信号的某些统计特性对于参量值“稳定不变”的性质被称为平稳性，相应的随机信号被称为平稳随机信号。

2第3章平稳性与功率谱密度平稳性(Stationarity)e.g.nX(n,s2)01……12345678910nX(n,s1)01123456789103e.g.nX(n,s2)01……123e.g.4e.g.4e.g.其中A~u[-1,1],ω，θ为常数5e.g.其中A~u[-1,1],ω，θ为常数5e.g.X(t)=acos(ωt+Θ)其中Θ~u[0,2π],a,ω为常数6e.g.X(t)=acos(ωt+Θ)其中Θ~u[0,第3章平稳性与功率谱密度3.1平稳性与联合平稳性3.2循环平稳性3.3平稳信号的相关函数3.4功率谱密度与互功率谱密度3.5白噪声与热噪声3.6应用举例7第3章平稳性与功率谱密度3.1平稳性与联合平稳性73.1平稳性与联合平稳性平稳性（Stationarity）:随机信号的主要（或全部）统计特性对于参量t保持不变的特性。包括严格平稳性（Strict-sensestationarity）与广义平稳性（Wide-sensestationarity）83.1平稳性与联合平稳性平稳性（Stationarit3.1.1严格与广义平稳信号定义3.1

随机过程，如果对任意的和任意满足的τ值，成立。则称X(t)具有严格平稳性（或强平稳性），也称X(t)是严格平稳随机信号（或强平稳随机信号）,记作SSSR.S.。93.1.1严格与广义平稳信号定义3.1随机过程严格平稳性tX(t)t1t2t3tnt1+τt2+τtn+τ10严格平稳性tX(t)t1t2t3tnt1+τt2+τtn+τSSSR.S.X(t)的特性

（1）

X(t)的一维概率分布函数、概率密度函数、均值与时间t无关，即：11SSSR.S.X(t)的特性 （1）

X(t)的一维SSSR.S.X(t)的特性（2）

X(t)的二维概率分布函数与两时刻的绝对值无关，只与相对差有关；如果其二维概率密度函数与相关函数存在，它们也只与两时刻的相对差有关，即12SSSR.S.X(t)的特性（2）X(t)的二维概率分严格平稳性13严格平稳性13严格平稳性随机信号举例贝努里随机信号（SSS）nX（n，sn）01……12345678910nX（n，s1）011234567891014严格平稳性随机信号举例贝努里随机信号（SSS）nX（n，sn严格平稳性随机信号举例二元传输信号（非SSSR.S.）t1t2t3tnt1+τt2+τtn+τ15严格平稳性随机信号举例二元传输信号（非SSSR.S.）t1严格平稳性随机信号举例随机信号U(t)~N(0,A0/2)，而不同时刻的随机变量之间彼此统计独立。16严格平稳性随机信号举例随机信号U(t)~N(0,A0/2)，广义平稳性Wide-sensestationarity定义3.2

随机过程，满足： 1）均值为常数； 2）相关函数与两时刻(t1,t2)的绝对值无关，只与相对差有关τ＝t1－t2，即

则称X(t)具有广义平稳性（或弱平稳性、宽平稳性），也称X(t)是广义平稳随机信号（或弱平稳随机信号、宽平稳随机信号）,记作WSSR.S.。17广义平稳性Wide-sensestationarity定广义平稳性二阶矩过程：若随机信号{X(t)},t∈T}满足则称随机信号{X(t),t∈T}为二阶矩过程（功率有限）。18广义平稳性二阶矩过程：18举例例3.1

广义平稳随机信号X(t)通过如图所示的乘法调制器得到随机信号Y(t)，图中ω是确定量，Θ是[-π,+π]均匀分布的随机相位，Θ与X(t)是统计独立的。试讨论随机信号Y(t)的平稳性。19举例例3.1

19例3.1续解：由图可知（1）均值函数为：（2）相关函数可以表示为均值是常数且相关函数仅与τ有关，Y(t)是广义平稳的。20例3.1续解：由图可知20定理3.1 高斯随机信号{X(t,s),-∞<t<+∞}的严格平稳性与广义平稳性是一致的。即对于高斯随机信号有：21定理3.1 高斯随机信号{X(t,s),-∞<t<+∞}的严思路：SSS高斯随机信号22思路：SSS高斯随机信号N维分布其中均值向量随机向量的协方差矩阵可表示为高斯信号的n维p.d.f为23N维分布其中均值向量23定理3.1证明证明：由于X(t)是WSSR.S. 所以24定理3.1证明证明：由于X(t)是WSSR.S.24举例续的协方差阵C都相等（只与n个不同时刻的相对位置有关，而与绝对位置无关）25举例续的协方差阵C都相等（只与n个不同时刻的相对2526263.1.2联合平稳性定义3.3对于随机过程与，如果任取与，以及与，对于的任意τ值，始终有

成立。则称X(t)与Y(t)具有联合严格平稳性（或强平稳性），也称X(t)与Y(t)是联合严格平稳随机信号（或联合强平稳随机信号），记作JSSSR.S.。273.1.2联合平稳性定义3.3对于随机过程联合严格平稳性tX(t)t1t2t3tnt1+τt2+τtn+τtY(t)s1s2s3sms1+τs2+τsm+τ28联合严格平稳性tX(t)t1t2t3tnt1+τt2+τtnJSSSR.S.的特性

X(t)和Y(t)都是SSSR.S.29JSSSR.S.的特性29联合广义平稳性定义3.4

WSSR.S.与，如果其互相关函数存在，且与两时刻(t1,t2)的绝对值无关，只与相对差有关，则称X(t)与Y(t)具有联合广义平稳性（或联合弱平稳性、联合宽平稳性），也称X(t)与Y(t)