平面向量的坐标表示(使用)

在平面直角坐标系中，平面内的每一点都可以用一对有序实数来表示，这对实数就是点在平面内的坐标；反之，每一对有序实数都能确定一个点。在平面直角坐标系内，每一个平面向量是否也能用一对有序实数来表示呢？思考第一页第二页，共26页。导弹在升空的某一时刻，速度可以分解成竖直向上和水平向前的两个分速度。如果分别在水平方向和竖直方向取两个单位向量e1、e2，导弹的飞行速度用向量表示，若以点O为起点，作向量，过点P(x,y)分别向水平方向、竖直方向作垂线，垂足分别为M和N。（1）分别用单位向量e1、e2表示向量，（2）用向量，表示向量；（3）用单位向量e1、e2表示向量。探究第二页第三页，共26页。在平面上，建立一个直角坐标系xOy，若设x轴正方向上的单位向量为，y轴正方向上的单位向量为，则x轴上的向量总可以表示成的形式，y轴上的向量总可以表示成的形式，其中x，y分别是它们的终点在数轴上的坐标。第三页第四页，共26页。在平面直角坐标系内，起点不在坐标原点O的向量又如何处理呢?探索:

oyx?第四页第五页，共26页。可通过向量的平移，将向量的起点移到坐标的原点O处.

oyx解决方案:我们将这样的起点在坐标原点处的向量称为位置向量，平面上任意向量都有与它相等的位置向量，所以研究向量的性质可以通过研究其相应的位置向量来实现。第五页第六页，共26页。对于直角坐标系平面内任意向量，将它的起点移至原点O，其的终点坐标为P(x,y)。以OP为对角线，作矩形OMPN，则，分别表示成与。由向量加法的平行四边形法则可知，

即：

事实上，平面直角坐标系中任一向量都可以唯一地表示成的形式。第六页第七页，共26页。我们把叫做向量的坐标形式，把叫做向量在x轴上的分向量，把叫做向量在y轴上的分向量。把有序数对(x,y)叫做向量在直角坐标系中的坐标，记作，其中x叫做向量的横坐标，y叫做向量的纵坐标，叫做向量的坐标表示。第七页第八页，共26页。OP=3+2注意观察，发现一个位置向量,只要它的终点确定了,那这个位置向量也就确定了.位置向量的关键点第八页第九页，共26页。向量的坐标表示

点P（x,y）

一一对应

OP=x+y

=(x,y)向量OP

有序实数对（x，y）(x,y)xy一一对应

第九页第十页，共26页。点的坐标可以表示一个点在坐标平面的位置，向量的坐标能否也表示向量在坐标平面的位置呢？理解：向量的坐标意义是向量正交分解时对应的有序实数对，表面是坐标形式，它只是一种记法，实际上是分解出来的基底的系数。向量的坐标不表示向量的位置，同一向量可以任意平移，而它的坐标只有一个。、第十页第十一页，共26页。向量的坐标表示是一种向量与坐标的对应关系，它使得向量具有代数意义.将向量的起点平移到坐标原点，则平移后向量的终点坐标就是向量的坐标.第十一页第十二页，共26页。例题：写出下列向量的坐标表示：（1）（2）（3）

第十二页第十三页，共26页。怎样通过坐标确定两个向量相等呢？思考交流:

第十三页第十四页，共26页。平面向量的直角坐标运算第十四页第十五页，共26页。平面向量可以用坐标表示，向量的运算可以用坐标来运算吗？探究：

（1）已知a=(x1,y1),

b=(m

,n)，求a+

b,a–

b.（2）已知a=(x1,y1)和实数，求a的坐标.如何计算？

第十五页第十六页，共26页。设，，则那么平面向量的坐标运算借助向量的坐标表示，可以把向量的加法、减法和数乘运算转化为坐标之间的代数运算。两个向量和与差的坐标分别等于这两向量相应坐标的和与差第十六页第十七页，共26页。例：已知．求xyO解：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标．第十七页第十八页，共26页。设，为一实数，则那么平面向量的坐标运算

实数与向量乘积的坐标等于用这个实数乘以原来向量的相应的坐标．第十八页第十九页，共26页。例题：已知，，求，，。解：第十九页第二十页，共26页。第二十页第二十一页，共26页。设两个非零向量，，当时，x1,y1,x2,y2之间满足什么关系？反之，当这个关系成立时，能否得出？思考交流：第二十一页第二十二页，共26页。向量，，当x是何值时，（1）；（2）与方向相同？解：（1）（2）当x=2时，与方向相同。第二十二页第二十三页，共26页。写出以为起点,为终点的向量的坐标.Oxy11两点间距离公式求出的模。问