2021届高考数学三轮复习模拟考试卷（十五）【含答案】

2021届高考数学三轮复习模拟考试卷（十五）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1.（5分）已知集合A={X|X2-X-2<0},B=若={x|1<x<2},则

实数m的取值范围为（）

A.{2}B.[2,+oo）C.（1,+<»）D.[1,2]

2.（5分）若复数z满足z（l+i）=l-i,其中i为虚数单位，则复数彳的虚部为（）

A.1B.-1C.iD.-i

07

3.（5分）已知a=log。*0.3,/2=Iog（）70.4,c=0.3,则（）

A.c<a<bB.a<c<bC.c<b<aD.b<c<a

4.（5分）设非零向量a,B满足|引=4|5|,cos<a>b>=—,a-（a-b'）=30,贝U|5|=（

4

）

A.72B.GC.2D.x/5

5.（5分）人的心脏跳动时，血压在增加或减少，血压的最大值、最小值分别称为收缩压和

舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80.?如为标准值.设某人的血

压满足函数式p«）=+25sin（I60m）,其中p⑺为血压（单位：，加”g）,r为时间（单位：

min）,则下列说法正确的是（）

A.收缩压和舒张压均高于相应的标准值

B.收缩压和舒张压均低于相应的标准值

C.收缩压高于标准值，舒张压低于标准值

D.收缩压低于标准值，舒张压高于标准值

6.（5分）在平面直角坐标系X。），中，已知点P（l,0）和圆O：f+y2=],在圆O上任取一点

Q,连接尸。，则直线尸。的斜率大于的概率是（）

A.-B.-C.-D.-

6336

7.（5分）已知抛物线Uy?=2px（p>0）的焦点为产，准线为/,过尸的直线与抛物线C交

于点A,B,与/交于点。，若丽=4丽|AF|=4,则p=（）

A.2B.3C.4D.6

8.（5分）球面上两点之间的最短连线的长度，就是经过这两个点的大圆在这两点间的一段

劣弧的长度（大圆就是经过球心的平面截球面所得的圆），我们把这个弧长叫做两点的球面

距离.已知正A4BC的顶点都在半径为2的球面上，球心到A4BC所在平面距离为？马员，

3

则A,8两点间的球面距离为（）

Ar>万27r37c

A.TVB.—C.——D.—

234

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中。有多项

符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的对2分，有选错的得0分。

9.（5分）已知函数/（x）=sin（g-e）（o>0,的部分图象如图所示，则下列选项正

确的是（）

A.函数/（x）的最小正周期为3万

STT

B.（―,0）为函数八幻的一个对称中心

4

C./（0）=-1

D.函数/（x）向右平移］个单位后所得函数为偶函数

10.已知下列选项中正确的为（）

A.若右一服=1,贝1Ja-bvlB.若〃2一/=1,则

若则

C.2“-2'=1,a—hvlD.log2a-log2b-\,则。一hvl

11.(5分)已知函数/(x)=e"一"X-sin2x,若/(%)>/(%2)，贝U()

A.B.C.In|x,|>In|x21D.A,|x,|>x21|

12.（5分）设随机变量X表示从1到"这“个整数中随机抽取的一个整数，y表示从1到X

这X个整数中随机抽取的一个整数，贝！1（）

A.当"=3时，P（X=2,y=l）=-

3

B.当〃=4时，P（X+r=4）=—

24

C.当〃=《k..2且AeN*）时，P（X=k,y=l）=5

D.当〃=2时，y的数学期望为之

4

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.（5分）（x-2）4的展开式中的常数项为（用数字作答）

X

14.（5分）已知向量右=（1肉,1=（2->3）,若aj_（2”5）,且1x0,则cosva,h>=.

15.（5分）已知数列｛4｝是公差为d的等差数列,设c.=2"，+2%+2%+~+2"”，若存在常

数加，使得数列｛%+叫为等比数列，则机的值为一.

16.（5分）在平面直角坐标系xOy中，设抛物线9=2px（p>0）与双曲线

22

二-乌=1（“>（）,/,>0）及其渐近线在第一象限的交点分别为P,A,抛物线的焦点F恰与

ab

双曲线的右顶点重合，AFLx轴，则2=______;若以7=的芭，则〃=_.

a2

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（10分）在AA8C中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且方+c=»cosC.

（1）求角5的大小；

（2）设。为边AC上一点，ZABD=NCBD,BD=\,求AABC面积的最小值.

18.（12分）已知数列｛”,｝的首项为&=3,5“是｛《,｝的前”项和.

（I）若S,=ga,,+1+1.求数列｛6,｝的通项；

（II）若a“*]>3a“，证明：S.>丝万一»（〃..2）.

19.（12分）为检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，某药物研究所科研人员从某市随机选取

20000名志愿者，并将该疫苗注射到这些人体内，独立环境下试验一段时间后检测这些人的

某项医学指标值，统计得到如表频率分布表：

医学指标19,11)L11,13)[13,15)[15,17)[17,19)[19,21)[21,23J

值X

频率0.050.10.150.40.20.060.04

（I）根据频率分布表，估计20000名志愿者的该项医学指标平均值无（同一组数据用该组

数据区间的中点值表示）；

（II）若认为注射该疫苗的人群的此项医学指标值X服从正态分布用（I）中

的平均值无近似代替〃，且P（14,,X<17.76）=0.5,且首次注射疫苗的人该项医学指标值不

低于14时，则认定其体内已经产生抗体；现从该市随机抽取3人进行第一次疫苗注射，求

能产生抗体的人数J的分布列与期望.

20.（12分）如图，在四边形PDC5中，PD//BC,BALPD,PA=AB=BC=\,=沿

2

BA将APAB翻折到ASBA的位置，使得SD=—.

2

（1）作出平面SC£）与平面SB4的交线/,并证明/L平面CSB；

（2）点。是棱SC上异于S,C的一点，连接QQ,当二面角Q-BDC的余弦值为远时，

6

求此时三棱锥Q-BCD的体积.

21.（12分）己知抛物线C：V=2px（p>0）的焦点是尸，若过焦点的直线与C相交于尸，Q

两点，所得弦长|P。|的最小值为4.

（1）求抛物线C的方程；

（2）设A,5是抛物线C上两个不同的动点，O为坐标原点，若。41.03,OMLAB,M

为垂足，证明：存在定点N,使得|MN|为定值.

22.(12分)已知函数f(x)=a/nx-x,a&R.

(1)若/(x),,0恒成立，求a的最大值；

(2)若函数尸(x)=/(x)+x2存在两个极值点X1,x2.

①求a的取值范围；

②设曲线y=F(x)在x=处的切线方程为y=G(x).当x>0时，试比较尸。)与G(x)的

大小，并说明理由.

答案

1.解：*/A={x|-1<%<2},B={x\\<x<m]y_EAQB={x|1<x<2},

"7..2,

・•.m的取值范围为：［2,+oo).

故选：B.

得卷=湍匕1-2/+/2-2Z

2.解:由z(l+/)=1-/,Z

12+12~~T

z=i.

故选：A.

3.解：vl=log040.4va=log040.3<log040.16=2,b=log070.4>log()70.49=2

c=0.3°7Vo.30=1,

故cv0va，

故选：A.

4.解：非零向量MB满足|初=4151,cos<a,b>=—a-(a-b)=30,可得

4

222

a-ah=\6b-h=309

解得|5|=JL

故选：A.

5.解：p(r)=101+25sin(160^),

•.,一掇小in(160加)1,

/.p(t)G[76,126],

即为收缩压为126,舒张压为76,

•.•120e[78,126],读数120/80“M〃？为标准值，

收缩压高于标准值、舒张压低于标准值，

即选项C符合，

故选：C.

6.(解：当直线尸。的倾斜角为120。时，斜率-6,

当。沿着圆弧QP顺时针运动时，斜率小于-6,

由ZPOQ=60°得所求概率P=-.

36006

故选：D.

过点A作AN_L准线/于N,过点3作准线乙于

则|AF|=|4V|,\BM[=\BF\,

又因为诙=4乔，^\DB\=4\BF\=4\BM\,

所以cosNE>8W=g^=L,所以cosN必N=」，

BD44

AJ-f1

过/作/7/_LAV,则cosNE4N=——=一，

AF4

由AF=4可得：AH=1,

又因为AV=AF=4,所以M7=4-l=3,

即点尸到准线的距离为3,

所以由抛物线定义可得p=3,

故选：B.

8.解：设正AA8C的中心为01,连结QA,OA,

是正AABC的中心，A、B、C三点都在球面上，

.•.Q0_L平面ABC,

•.•球的半径R=2,球心O到平面ABC的距离为半，得00=平，

22

.­.AOt=^AO-OOt=卜一(当f=孚，

ABc“八46

•/--------=2AO.=-^—,

sin60013

7T

:.AB=2,ZAOB=-,

3

二.A,〃两点间的球面距离为：2x-=—.

33

故选：C.

9.解：根据函数/(x)=sin(or-0)3>0,|/|<乡的部分图象，

可得，-T=7r--所以7=34，故A正确；

44f

由=3几，可得g=2,

co3

由点(；，0)在函数图像上，可得singx?-9)=0,可得2x?-9=)br,k&Z,解得

(p=--k7T>k^Z,

6

因为lek三，可得夕=%,可得f(x)=sin(2x一马，

2636

因为/(.)=sin(2x'-2)=$山至=且片0,故3错误；

434632

由于/(0)=sin(--)=--,故C正确；

62

将函数〃x)向右平移三个单位后所得函数为/(X-鸟=sin[2(x_马_M]=_cos立为偶函

223263

数，故。正确.

故选：ACD.

10解：A：当a=9,6=4时，满足-卡=1,(Ha—Z?=5>1>错误，

B：若〃-从=1,则/一g从，即(a+i)(a_i)=〃，

a+1>a—1)ci—1<b,即a—b<1,B»

C：若2"—2"=1,则a-6=Iog2(2"+l)—人=log2(l+2"),由于6>0,

所以0<2”<1,所以。一〃<log22=l,故C正确，

D：log,a-log,b=log,—=1,则a=2b即可，当a=4,b=2,a-b=2>l,故£>错误.

b

故选：BC.

11.解：因为f(x)=e'-eT-sin2x,定义域为R,

f(-x)=e~x-ex+sin2x=-f(x),

所以/(x)为奇函数，

又f'(x)=ex+e-x-2cos2x朦-2cos2x0,

所以/(x)在R上单调递增，

由/(X1)>/(彳2)，可得芯>々,所以'-工2>。,

所以e*f>1,故8正确；

又因为函数y=x|x|在A上单调递增，所以内|为|>々1%1，故。正确；

由司>々，取特殊值玉=1,x,=-2,可判断A,C错误.

故选：BD.

12.解：A.当〃=3时，P(X=2)=-,P(y=l)=l,.-.p(X=2,y=l)=-x-=-,因此A

32326

不正确；

B.当〃=4时，X+y=4,-：X..Y,;.X=3,y=l；X=2,y=2.

x=3,y=i时，p（x=3,y=i）=-x-=—；

4312

X=2,丫=2时，f（X=2,Y=2）=-x-=-.

428

，p（x+y=4）=p（x=3,y=i）+p（x=2,y=2）=—+--,因此3正确.

12824

c.当”=M&..2且keN*）时，P（X=A:）=l=P（y=l）,.-.p（x=k,Y=l）=-x-=—,因

kkkk

此c正确.

D.当〃=2时，尸(X=1)=P(X=2)=；,

.•.X的分布列为：

X12

P12

22

P（X=1,y=1）=工，P（X—2,Y=1）=—x—=—»P（X=2,y=2）=—x—.

2224224

的分布列为:

Y12

P32

44

.•.E（y）=lx（；+；）+2x；=|.因此O正确.

故选：BCD.

13.解：展开式的通项公式为加(-2)，=(_2)/》

x

令4-2厂=0得r=2

得常数项为C：(-2)2=24.

故答案为24.

14.解:根据题意,向量a=(1水),5=(2-2,3),则2万-5=(k,2k-3),

若］_L（26一5）,贝IJ万＜2万-5）=&+无（2左一3）=0,

解可得：左=0或左=1,

又由AxO,贝ijA=l,

则1=(1,1),6=(1,3),

则有|&|=0,||=V10,10=1+3=4,

rab42后

fixcos<a»b>=-----=—F=—==-------,

\a\\b\x/2xV105

故答案为：巫.

5

15.解：数列｛”"｝是公差为d的等差数列，

可得d=4-a,i，

c„=T'+T1+2n,+...+2°"=2"贝一：",

由于数列｛q,+M为等比数列，

yi\

所以inH-------=0,即/2=.

1-2J2—

故答案为：

2d-1

16.解：•.•抛物线的焦点F恰与双曲线的右顶点重合,

:.a=—<EPp=2a,

2

•.•AF_Lx轴，且点A在渐近线y=?x上，

a

A(a,b)，

V=2Px

联立y2,且P=2a,b=2a,则有f-or—/=0,

干评I

1+A/51+5/5

解得x=-------a=--------p,

24

由抛物线的定义知，PF=x+E=±5p+E=上叵，

2422

p--2•

故答案为：2；2.

17.解：(1)由正弦定理知，—=—=—,

sinAsinBsinC

•/2a+c=2/?cosC,

/.2sinA4-sinC=2sinBcosC,

又sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,

/.2cosBsinC+sinC=0,

vsinC^O,cos^=--,

2

,/Be(0,4)，/.B=—.

3

(2)由(1)知，B=—,

3

71

."ABD=NCBD=-,

3

在MBD中，由余弦定理知

AD2=AB2+BD2-2AB-BDcosZABD=c2+\-2c\-=c2-c+\,

2

在A5CD中，由余弦定理知

CD2=BC2+BD2-2BCBDcosZCBD=a2+l-2al-=a2-a+\,

2

由角分线定理知，丝=丝=£,

CDBCa

C*2—c+]W

---------=—,化简得(a-c)(〃+c-ac)=0,

a—a+la"

当。一。=0,即。=c时，AABC为等腰三角形，其面积为定值；

当a+c-ac=0时，ac=a+c..2\[ac,:.ac.A,当且仅当a=c=2时，等号成立,

AA8C的面积S=—-sinR.x4xsin—=y/3,

223

AA8C面积的最小值为G.

18.(I)解：由S"=1.+l得：当〃..2时，Sn.=~a+l,

ii2"+i/i—i2”

•e•Sn-Si=g(%-%)，即4=g(4+i一4)，

.,.几.2时，4=3,

又q=3,5|=~4+1，*,*%=4,

a4

..—2=一。3,

43

当儿.2时，〃〃=4X3”-2,

数列｛““｝的通项公式为.

[4x3，几.2

2311

(II)证明：若a"+]>3a〃得：an>3an_x>3an_2>3an_3>...>S""ax(n..2),

2

?.an>3""4=3",an_｛>3"“q=3"」，....，a2>3a1=3»4=q,

各式相加得：Sn=%+。)+…+>3+3~+3,3+…+3"(〃..2),

又••・3+32+3、…+3“=

1-32

..S“>~(〃-2).

19.解：(I)x=0.05x10+0.lx12+0.15x14+0.4x16+0.2x18+0.06x20+0.04x22=15.88；

(II)由P(14领k17.76)=0.5,且正态密度曲线关于x=〃=15.88对称，

所以P(X<14)=P(X>17.76)='"4.灰17.76)=Q25,

2

P(X..14)=1-P(X<14)=1-0.25=-,

4

由题意可得，随机变量g=o,i,2,3,且入8(3,3，

4

所以pe=o)=C(：)3(%=],

4464

尸C=1)=C(：1)23(=)0T，

4464

所以随机变量4的分布列为:

40123

p192727

64646464

39

所以随机变量g的数学期望为E©=〃P=3X±=N.

44

20.解：(1)如图，延长54,8相交于E,连接SE,则SE为平面S8与平面S8A的交

线/.

证明：在A5A£>中，S4=l,AD=~,SD=—,则SA?+AO?=SO?,r.SA_LA£>,

22

由SA_LAD,ADYAB,SA^AB=A,得AD_L平面SAB,

又BCUAD,.•.3CL平面SA3,则3CJ_S£,

由尸£>〃BC,AB=BC=\,AD=~,得AE=1,

2

:.AE=AB=SA,可得SELSB,

又SB=B,SE-L平面CSB,

即/±平面CSB；

(2)由(1)知，SA_L4?,AD±AB,AD±SA.

以点A为坐标原点，分别以AD,AB,AS所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，

贝|JA(O,0,0),8(0,I,0),C(1,1,0),D[-,0,0),5(0,0,1),

2

BD=(-,-l,0),设苑=彳豆(0<2<l),则Q(/l,2,1-A),

2

BQ—(A,A,—1,1—A)9

设月=(x,y,z)是平面QBO的一个法向量，

n-BD=—x-y=0„1-34

则2，取x=2,可得”=(2,1,-----),

n-BQ=+(2-1)j+(1-2)z=0%

m=(0,0,1)是平面CBD的一个法向量,

1-32

,,-_|।乃•比।

由cos<Fl,m>|=-----1-2一,

\n\\tn\L/—34\>>6

5+(--Yxl1

I-A

解得;1=；,.•.点。是sc的中点，

VXXXX1X1X

:t«w-«DC=^W^^]=|^]^=^-

21.解：⑴设直线P0的方程为》=冲+$%%，乂)，。(々，必)，

联立,2y2-2pmy+p-=0,

y2=2px

所以X+必=2Pm,XM=p2，

2

x,+X2-myt+y+my2+^=m{yi+y2)+p=2pm+p

所以IPQHP用+|/7。1=&+£+々+5=西+々+0=20/+2/?=2爪1+>),

当帆=0时，|尸0|,“加=20=4,解得°=2,

所以抛物线的方程为y?=4x.

(2)设直线AB的方程为x=)+s,A(w，/)，8Q4,y4),

因为Q4_L