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文档简介
2021届高考数学三轮复习模拟考试卷(七)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一
项是符合题目要求的。
I.(5分)已知集合4=口€/?|-1轰*3},8={xeN|2'<4},则集合中元素的个数
为()
A.1B.2C.3D.4
2.(5分)复数z满足z(l+i)=l-i,贝Ijz的虚部等于()
A.-iB.-1C.0D.1
3.(5分)“a=!”是“对任意的正数x,2x+W.l的”()
8x
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4.(5分)函数/(x)=心包的部分图象大致为()
x-sinx
5.(5分)国防部新闻发言人在2020年9月24日举行的例行记者会上指出:“台湾是中国
不可分割的一部分,解放军在台海地区组织实兵演练,展现的是捍卫国家主权和领土完整的
决心和能力”,如图为我空军战机在海面上空绕台巡航已知海面上的大气压强是760,〃〃?弦,
大气压强p(单位:和高度(单位:"?)之间的关系为p=760e"*(e是自然对数的
底数,%是常数),根据实验知500m高空处的大气压强是700〃""世,则我战机在1000优高
空处的大气压强约是(结果保留整数)()
A.M5mmHgB.MGnvnHgC.(AlmmHgD.648〃2mHg
6.(5分)已知O为AABC所在平面内一点,若(E+而)•丽=(而+而)•而=0,AB=6,
AC=4,则和而=()
A.-5B.-10C.10D.5
7.(5分)抛物线有如下光学性质:过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线
的对称轴;反之,平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知
抛物线y2=4x的焦点为尸,一条平行于X轴的光线从点M(3,l)射出,经过抛物线上的点A
反射后,再经抛物线上的另一点5射出,则A,丽的周长为()
A.—+V26B.9+710C.—+x/26D.9+726
1212
8.(5分)已知/"(x)是函数/(x)的导函数,对于任意xwR,都有/''(X)=e*(2x+3)+f(x),
/(0)=-2,则不等式f(x)<2e'的解集为()
A.(-L2)B.(-1,4)C.(-2,1)D.(-4,1)
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的四个选项中。有多项
符合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的对2分,有选错的得0分。
9.(5分)2020年春节前后,一场突如其来的新冠肺炎疫情在全国蔓延,疫情就是命令,防
控就是责任.在党中央的坚强领导和统一指挥下,全国人民众志成城、团结一心,掀起了一
场坚决打匾疫情防控阻击战的人民战争.右侧的图表展示了2月14日至29日全国新冠肺炎
疫情变化情况,根据该折线图,下列结论正确的是()
A.16天中每日新增确诊病例数量呈下降趋势且19日的降幅最大
B.16天中每日新增确诊病例的中位数小于新增疑似病例的中位数
C.16天中新增确诊、新增疑似、新增治愈病例的极差均大于2000
D.19至29日每日新增治愈病例数量均大于新增确诊与新增疑似病例之和
10.(5分)已知S,,是等差数列{q,}(〃eN*)的前〃项和,且57>风>$6,则下列说法正确的
是()
A.S”中的最大项为SuB.数列{%}的公差d<0
C.514>0D.当且仅当〃..15时,5„<0
11.(5分)已知圆C:/+y2=4,直线/:(3+m)x+4y-3+3m=0,(we/?).则下列四个
命题正确的是()
A.直线/恒过定点(-3,3)
B.当加=0时,圆C上有且仅有三个点到直线/的距离都等于1
C.圆C与曲线:X?+y2-6x-8y+m=0恰有三条公切线,则加=16
D.当机=13时,直线/上一个动点P向圆C引两条切线24、P8其中A、8为切点,
则直线43经过点(-空,-3
99
12.(5分)《九章算术》是我国古代数学名著,它在几何学中的研究比西方早一千多年,在
《九章算术》中,将底面为直角三角形,且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵;阳马指底面
为矩形,一侧棱垂直于底面的四棱锥;鳖席指四个面均为直角三角形的四面体.如图,在堑
堵ABC-A与G中,A8_LAC,CtC=BC=2,则下列说法正确的是()
A.四棱锥8-AAC6为阳马
B.三棱锥G-A8C为鳖膈
C.当三棱锥G-48c的体积最大时,AC=C
D.四棱锥B-AACG的体积为匕,三棱锥C1-ABC的体积为匕,则匕=3匕
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.(5分)定义在实数集R上的可导函数/(x)满足:f(1)=1,r(x)+2x>0,其中/'(x)
是/(x)的导数,写出满足上述条件的一个函数一.
14.(5分)CES是世界上最大的消费电子技术展,也是全球最大的消费技术产业盛会
.2020CES消费电子展于2020年1月7日-10H在美国拉斯维加斯举办,在这次CES消费电
子展上,我国某企业发布了全球首款彩色水墨屏阅读手机,惊艳了全场.若该公司从7名员
工中选出3名员工负责接待工作(这3名员工的工作视为相同的工作),再选出2名员工分
别在上午、下午讲解该款手机性能,若其中甲和乙至多有I人负责接待工作,则不同的安排
方案共有一种.
15.(5分)若,??>0>m+n=3mn-l,则机+〃的最小值为.
16.(5分)正方体A8CO-AAG2的棱长为2,动点P在对角线BQ上,当尸8=6时,
三棱锥P-ABC的外接球的体积为一.
四、解答题:本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(10分)已知A、B、C为AABC的三内角,且其对边分别为a、b、c,若
acosC+(c+2b)cosA=0.
(1)求A;
(2)若a=26b+c=4,求AABC的面积.
18.(12分)正项等比数列{4}的前〃项和为S“,a„>0,若邑=*邑=£,且点(a“,bn)
在函数y=log33的图象上.
X
(1)求{%},依}通项公式;
(2)记%=―1----求{%}的前〃项和7;.
邑他,出
19.(12分)如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,侧棱SA_L底面A3CZ),
AS垂直于AD和8C,M为棱S3上的点,SA=AB=^,BC=2,AD=\.
(1)若〃为棱SB的中点,求证:AA7//平面S8;
(2)当SM=MB,DN=3NC时,求平面AMN与平面SAB所成的锐二面角的余弦值.
20.(12分)为了进一步提升广电网络质量,某市广电运营商从该市某社区随机抽取140名
客户,对广电网络业务水平和服务水平的满意程度进行调查,其中业务水平的满意率为
7
服务水平的满意率为*,对业务水平和服务水平都满意的有90名客户.
7
(1)完成下面2x2列联表,并分析是否有97.5%的把握认为业务水平与服务水平有关;
对服务水平满意人数对服务水平不满意人合计
数
对业务水平满意人数
对业务水平不满意人
数
合计
(2)为进一步提高服务质量,在选出的对服务水平不满意的客户中,抽取2名征求改进意
见,用X表示对业务水平不满意的人数,求X的分布列与期望;
(3)若用频率代替概率,假定在业务服务协议终止时,对业务水平和服务水平两项都满意
的客户流失率为5%,只对其中一项不满意的客户流失率为40%,对两项都不满意的客户流
失率为75%,从该社区中任选4名客户,则在业务服务协议终止时至少有2名客户流失的
概率为多少?
附:
P(K2..k)0.100.050.0250.0100.0050.001
k2.7063.8415.0246.6357.87910.828
K'————,其中〃=a+"c+d.
(a4-b)(c+d)(a+c)(b+d)
22
21.(12分)已知椭圆E:与+4=l(a>b>0)的左.右焦点分别为耳(-1,0),月(1,0),过耳
arb-
且斜率为日的直线与椭圆的一个交点在x轴上的射影恰好为工.
(1)求椭圆E的方程;
(2)如图,下顶点为A,过点3(0,2)作一条与y轴不重合的直线.该直线交椭圆E于C,
。两点.直线4),AC分别交x轴于点",G.求证:A/U3G与A4O”的面积之积为定值,
22.(12分)已知函数/&)=匕如一4(4€/?).
X
(1)若在(0,+oo)上恒成立,求。的取值范围,并证明:对任意的〃mN”,都有
1+-+-+...+—>ln(n+1);
23n
(2)设g(x)=(x-l)2,讨论方程/(x)=g(x)实数根的个数.
答案
1.解:•.•A={xeR|—掇*3},3={X€N|2"<4}={XWN|X<2}={0,1},
AQB={xe7?|-lM3}n{0,l}={0,1},
集合中元素的个数为2.
故选:B.
2.解:•.•复数z满足z(l+i)=l—i,
1-i(1-D21-2/+I2
•z==---------=--------=-I,
"1+z(l+z)(l-z)1-z2
.•.Z的虚部为T.
故选:B.
3.解:当时,由基本不等式可得:
8
“对任意的正数x,2%+色..1”一定成立,
X
即“〃=1”n"对任意的正数工,2%+幺..1"为真命题;
8x
而“对任意的正数工,2x+q..l的”时,可得“a」”
x8
即“对任意的正数x,2x+-..l"n"。二为假命题;
x8
故"〃=!”是“对任意的正数冗,2x+幺..1的”充分不必要条件
8x
故选:A.
4.解:〃一x)=历ITI=_历1XI=_/1),即函数/(X)是奇函数,排除Q,
一x+sinxx-sinx
f(1)=ln}=0,排除A,
1-sinx
当x>l时,/(x)>0,判断C,
故选:B.
5.解::500,w高空处的大气压强是700〃?"?弦,
.-.700=760^,即"皿=四,
76
70
当h=l000m时,有p=760e'm,k=760•侬-50M)2=760x(—)2«645.
故选:A.
6.解:设他的中点为〃,8c的中点为N,AC的中点为E,
则汉+丽'=2两",OB+OC=2BC,
(OA+OB)AB=(OB+OC)BC=0,
OM-AB=0,BCON=0,即ONIBC,
为A48C的外心,所以OE_LAC,
AOBC=AO(AC-AB>)=AdAC-AdAB
=(AE+EO)AC-(AM+Md)AB
=-ACAC+EOAC--ABAB-MdAB
22
=gl研-gl研
=—10.
故选:B.
7.解:•.•M4//x轴,
A(—,1))
4
由题意可知A3经过抛物线V=4x的焦点尸(1,0),
直线AB的方程为y=.
y=4x
联立方程组4,解得8(4,T),
y=--U-i)
、J
AM=3——=—>AB=-4-4+2=—,MB=\/l2+52=>/26.
4444
的周长为9+庄.
故选:D.
/,(%)/U)
8.解:令g(x)=华,.•.gXx)=;,
ee
:(x)=ex(2x+3)+f(x),g'(x)=2x+3,
:.g(x)=x2+3x+c?,・.・g(0)==-2,c=-2,,g(x)=f+3工一2,
/(x)<2e',^-<2,:.^+3x-2<2,
ex
BRx2+3x-4<0,解得Tcxvl,
即不等式的解集为(T,l).
故选:D.
9.解:由频率分布折线图可知,16天中新增确诊病例数量整体呈下降趋势,但具体到每一
天有增有减,故A错误;
由每日新增确诊病例的数量大部分小于新增疑似病例的数量,则16天中每日新增确诊病例
的中位数小于新增疑似病例的中位数,故8正确;
由图可知,16天中新增确诊、新增疑似、新增治愈病例的极差均大于2000,故C正确;
由图可知,20日的新增治愈病例数量小于新增确诊与新增疑似病例之和,故。错误.
正确的结论是BC.
故选:BC.
10.解:S7>S8>S6,二%>0,”8<°,%+%>(),
.•.q>0,d<0,5M=1火」;,化)=7(%+应)>0,
"5(";必3VO,
因此S,中的最大项为S’,d<0,Sl4>0,Sl5<0,
故选:BCD.
11.解:对于直线/:(3+ni)x4-4y-3+3ni=0,(ZHGR).整理得:
Mx+3)+(3x+4y—3)=0,
故L%+3=0八,整理得F,即经过定点(-3,3),故A正确;
[3x+4y_3=0[y=3
对于人当利=0时,直线/转换为3x+4y-3=0,
所以圆心(0,0)到直线3x+4y-3=0的距离d==|^i,故3错误;
对于C:圆。:f+y2=4,
圆:x24-y2-6x-8y+w=0,当m=16时,:x2+y2-6x-8y+16=0,整理得
(x-3)2+(y-4)2=9,
所以圆心距为^:071(4二0P=5=r+R=2+3=5,
故两圆相外切,恰有三条公切线,故C正确;
对于。:当帆=13时,直线/的方程转换为4x+y+9=0,
设点P(f,-9-4f),圆C:f+y2=4,的圆心(0,0),半径为厂=2,
以线段PC为直径的圆〃的方程为:(x-t)x+(9+4r+y)y=0,
即x2+(-r)x+_/+9y+4/y=0,
由于圆。的方程为:Y+y2=4,
所以两圆的公共弦的方程为-tr+4)+9y+4=0,
整理得(4y—x)f+9y+4=0,
4y-x=0
所以,解得,即直线反经过点(-学-1),故D正确;
9y+4=0
故选:ACD.
12.解:堑堵ABC-A8c为直三棱柱,其中侧棱AA,平面ABC,AAC£为矩形,
ABYAC,则四棱锥8—AACG为阳马;
三棱锥G-43C中,CC,平面AfiC,84,平面ACC一则三棱锥£-A8C的四个面均为
直角三角形,所以三棱锥£-A8C为鳖牖;
三棱锥£-A8c的体积最大时,由于高C1C=2,则AABC的面积最大,而3C=2,所以
AB2+AC2=4,所以MAC,,.=2,
当且仅当48=AC=0时,取等号,即当AC=0时,A4BC面积取得最大值,三棱锥
0-ABC的体积最大:=~xACxCCtxAB,
匕=gxgxA3xACxCC,贝1」匕=2匕,
故选:ABC.
13.解:令/(x)=-Y+x+l,满足/(1)=_i+i+i=],
则f(x)=-2x+l,
所以/'(x)+2x=(—2x+l)+2x=l>0.
故答案为:f(x)=-x2+x+l.
14.解:根据题意,不考虑甲乙的限制条件,从7名员工中选出3名员工负责接待工作,有
C;=35种选法,
在剩下的4人中任选2人,安排在上午、下午讲解该款手机性能,有A;=12种选法,
则不考虑甲乙的限制条件时,有35*12=420种安排方法;
若甲乙都安排负责接待工作,有C;x&=60种安排方法,
则有420-60=360种安排方法;
故答案为:360.
15.解:因为所以
22
因为相+"=3〃"2—1,所以加+小,3(";”)2一1,
即3(/n+n)2—4(加+〃)-4..0,
所以(3(/九+〃)+2)[(m+n)-2]..O
因为6>0,n>0,所以m+〃..2,
即机+〃的最小值为2,
当且仅当m=n时取等号,此时m=n=\.
故答案为:2
16.解:如图,
222
・・•正方体A3C0-44CQ的棱长为2,BD}=V24-2+2=2^,
又点P在对角线8R上,且尸8=75,.•.尸为的中点,
连接24,PC,则P4=P5=PC,P在底面ABC上的射影为三角形ABC的外心,
又AABC是以ZABC为直角的直角三角形,则P的射影在AC的中点G上,
可得三棱锥P—ABC的外接球的球心与等腰三角形PAC的外心重合,
Q1O__O1,5
•:PA=PC=&,AC=2五,则cosZ4PC=^——?^7==—一,则sinZAPC=-^-
2x^3xV333
设A/%C的外接圆的半径为R,则2/?=*=3,即R=3.
2V22
亍
三棱锥P-ABC的外接球的体积为g万x(|r=|".
故答案为:—71.
2
17.解:(1),/6?cosC+(c+2/?)cosA=0,
由正弦定理可得:sinAcosC+(sinC+2sinB)cosA=0,可得
sinAcosC+sinCeosA+2sinBcosA=0,
可得sin(A+C)+2sinBcosA=0,即sinB+2sinBcosA=0,
vsin^^O,
、1
cosA=—,
2
vAG(0,^),
.27r
A=—.
3
(2)由4=2逝,h+c=4,由余弦定理得/=。2+02-力ccosA,
12=(/>+c)2-2hc-2/JCCOS—,即有12=16—6c,
3
/.be=49
/.AABC的面积为S=—focsinA=—x4xsin—=百.
223
18.解:S)由题意,设等比数列{%}的公比为式q>0),
4
4(i+q)=§
则
“2、13
q(l+4+q)=-
化简整理,得1242f—1=0,
解得q=-[(舍去),或g=L
44
.♦."=产=个=1,
1+4i+l
3
.•・4=L(g)"T=(;)"-',〃N*,
:点(a”,。”)在函数yulogs。的图象上,
X
3
bn=log3—=log33"=n,〃wN*.
'an
(2)由(1)得,c==-----------------=—(-----------—),
n处一瓦+1(2〃-1)(2"+1)22〃-12〃+1
••2=4+。2+…+与
=-X(l----------)
22/1+1
n
2〃+1
19.解:(1)证明:取线段SC的中点E,连结ME,ED,
在AS8C中,ME为中位线,:.ME//BC,£LME=-BC,
2
-,-AD//BC,且A£»=l3C,:.ME//AD,且
2
二.四边形AWED为平行四边形,.•.40//DE,
♦.•DEu平面SC。,A"《平面SC。,
.♦.AW//平面SCO.
(2)解:如图,以A为坐标原点,建立分别以AO,AB,AS所在直线为x轴,y轴,z轴
的空间直角坐标系,
则A(0,0,0),3(0,6,0),C(2,6,0),0(1,0,0),S(0,0,省),
____1—.J]73————3——73G
AM=AB+-BS=(0,—,—),AN=AD+-DC=0),
222444
设平面AMN的法向量万=(x,y,z),
讨一86n
AM•n=——y+——z=0
22
则取y=7得斤=(-36,7,-7),
TX7-73+
ANn=—x+---y=0n
44'
平面SAB的一个法向量沅=(1,0,0),
设平面AMN与平面SAB所成的锐二面角为
inn3715
则COS0=
I沆I•旧I25
平面AMN与平面SAB所成的锐二面角的余弦值为运.
20.解:(1)由题意知,对业务水平满意的为140x9=120人,对服务水平满意的为
7
140x3=100人,
7
补充完整的2x2列联表如下所示:
对服务水平满意人数对服务水平不满意人合计
数
对业务水平满意人数9030120
对业务水平不满意人101020
数
合计10040140
犬=誓x(90x!2-3叩。):=21=525>5()24,
120x20x100x404
故有97.5%的把握认为业务水平与服务水平有关.
(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,
尸-。)=等嗡ax”吟吟尸-2)=萼*
.•.X的分布列为
X012
p29203
525252
数学期望E(X)=Oxe+1X型+2X2=L
5252522
(3)在业务服务协议终止时、对业务水平和服务水平两项都满意的客户流失的概率为
里X5%」
140280
只对其中一项不满意的客户流失的概率为nx40%=工,
140280
对两项都不满意的客户流失的概率为mx75%=旦,
140280
从该运营系统中任选一名客户流失的概率为归3±亘=1
2805
在业务服务协议终止时,从社区中任选4名客户,至少有2名客户流失的概率为
尸一*Y)y.・扪募
21.解:(1)过耳且斜率为它的直线的方程为y=¥(x+l),
令x=1,得y=,
a2-b2=\
由题意可得11,解得/=2,人=1.
口犷1
2
求椭圆E的方程为:+丁=1;
证明:(2)由题意知,直线8c的斜率存在,设直线BC:y=fcc+2,
D5,yj,C(x2,y2),
y=fcv+2
联立,得(l+2&2)f+8丘+6=0.
—+y2=1
2
弘6
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