2021届高考数学三轮复习模拟考试卷（七）【含答案】

2021届高考数学三轮复习模拟考试卷（七）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

I.（5分）已知集合4=口€/?|-1轰*3},8={xeN|2'<4},则集合中元素的个数

为（）

A.1B.2C.3D.4

2.（5分）复数z满足z（l+i）=l-i,贝Ijz的虚部等于（）

A.-iB.-1C.0D.1

3.（5分）“a=!”是“对任意的正数x,2x+W.l的”（）

8x

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.（5分）函数/（x）=心包的部分图象大致为（）

x-sinx

5.（5分）国防部新闻发言人在2020年9月24日举行的例行记者会上指出：“台湾是中国

不可分割的一部分，解放军在台海地区组织实兵演练，展现的是捍卫国家主权和领土完整的

决心和能力”，如图为我空军战机在海面上空绕台巡航已知海面上的大气压强是760,〃〃?弦，

大气压强p（单位：和高度（单位："?）之间的关系为p=760e"*（e是自然对数的

底数，%是常数），根据实验知500m高空处的大气压强是700〃""世，则我战机在1000优高

空处的大气压强约是（结果保留整数）（）

A.M5mmHgB.MGnvnHgC.（AlmmHgD.648〃2mHg

6.（5分）已知O为AABC所在平面内一点，若（E+而）•丽=（而+而）•而=0,AB=6,

AC=4,则和而=（）

A.-5B.-10C.10D.5

7.（5分）抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线

的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知

抛物线y2=4x的焦点为尸，一条平行于X轴的光线从点M（3,l）射出，经过抛物线上的点A

反射后，再经抛物线上的另一点5射出，则A，丽的周长为（）

A.—+V26B.9+710C.—+x/26D.9+726

1212

8.（5分）已知/"（x）是函数/（x）的导函数，对于任意xwR,都有/''（X）=e*（2x+3）+f（x）,

/（0）=-2,则不等式f（x）＜2e'的解集为（）

A.(-L2)B.(-1,4)C.(-2,1)D.(-4,1)

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中。有多项

符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的对2分，有选错的得0分。

9.（5分）2020年春节前后，一场突如其来的新冠肺炎疫情在全国蔓延，疫情就是命令，防

控就是责任.在党中央的坚强领导和统一指挥下，全国人民众志成城、团结一心，掀起了一

场坚决打匾疫情防控阻击战的人民战争.右侧的图表展示了2月14日至29日全国新冠肺炎

疫情变化情况，根据该折线图，下列结论正确的是（）

A.16天中每日新增确诊病例数量呈下降趋势且19日的降幅最大

B.16天中每日新增确诊病例的中位数小于新增疑似病例的中位数

C.16天中新增确诊、新增疑似、新增治愈病例的极差均大于2000

D.19至29日每日新增治愈病例数量均大于新增确诊与新增疑似病例之和

10.（5分）已知S,,是等差数列｛q,｝（〃eN*）的前〃项和，且57>风>$6,则下列说法正确的

是（）

A.S”中的最大项为SuB.数列｛%｝的公差d<0

C.514>0D.当且仅当〃..15时，5„<0

11.（5分）已知圆C:/+y2=4,直线/:（3+m）x+4y-3+3m=0,（we/?）.则下列四个

命题正确的是（）

A.直线/恒过定点（-3,3）

B.当加=0时，圆C上有且仅有三个点到直线/的距离都等于1

C.圆C与曲线：X?+y2-6x-8y+m=0恰有三条公切线，则加=16

D.当机=13时，直线/上一个动点P向圆C引两条切线24、P8其中A、8为切点，

则直线43经过点（-空,-3

99

12.（5分）《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，在

《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵；阳马指底面

为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥；鳖席指四个面均为直角三角形的四面体.如图，在堑

堵ABC-A与G中，A8_LAC,CtC=BC=2,则下列说法正确的是（）

A.四棱锥8-AAC6为阳马

B.三棱锥G-A8C为鳖膈

C.当三棱锥G-48c的体积最大时，AC=C

D.四棱锥B-AACG的体积为匕，三棱锥C1-ABC的体积为匕，则匕=3匕

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.（5分）定义在实数集R上的可导函数/（x）满足：f（1）=1,r（x）+2x>0,其中/'（x）

是/（x）的导数，写出满足上述条件的一个函数一.

14.（5分）CES是世界上最大的消费电子技术展，也是全球最大的消费技术产业盛会

.2020CES消费电子展于2020年1月7日-10H在美国拉斯维加斯举办，在这次CES消费电

子展上，我国某企业发布了全球首款彩色水墨屏阅读手机，惊艳了全场.若该公司从7名员

工中选出3名员工负责接待工作（这3名员工的工作视为相同的工作），再选出2名员工分

别在上午、下午讲解该款手机性能，若其中甲和乙至多有I人负责接待工作，则不同的安排

方案共有一种.

15.（5分）若,??>0>m+n=3mn-l,则机+〃的最小值为.

16.（5分）正方体A8CO-AAG2的棱长为2,动点P在对角线BQ上，当尸8=6时，

三棱锥P-ABC的外接球的体积为一.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（10分）已知A、B、C为AABC的三内角，且其对边分别为a、b、c,若

acosC+（c+2b）cosA=0.

（1）求A；

（2）若a=26b+c=4,求AABC的面积.

18.（12分）正项等比数列｛4｝的前〃项和为S“，a„>0,若邑=*邑=£，且点（a“，bn）

在函数y=log33的图象上.

X

（1）求｛%｝,依｝通项公式；

（2）记%=―1----求｛%｝的前〃项和7；.

邑他，出

19.（12分）如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，侧棱SA_L底面A3CZ）,

AS垂直于AD和8C，M为棱S3上的点，SA=AB=^,BC=2,AD=\.

（1）若〃为棱SB的中点，求证：AA7//平面S8；

（2）当SM=MB,DN=3NC时,求平面AMN与平面SAB所成的锐二面角的余弦值.

20.（12分）为了进一步提升广电网络质量，某市广电运营商从该市某社区随机抽取140名

客户，对广电网络业务水平和服务水平的满意程度进行调查，其中业务水平的满意率为

7

服务水平的满意率为*,对业务水平和服务水平都满意的有90名客户.

7

（1）完成下面2x2列联表，并分析是否有97.5%的把握认为业务水平与服务水平有关；

对服务水平满意人数对服务水平不满意人合计

数

对业务水平满意人数

对业务水平不满意人

数

合计

（2）为进一步提高服务质量，在选出的对服务水平不满意的客户中，抽取2名征求改进意

见，用X表示对业务水平不满意的人数，求X的分布列与期望；

（3）若用频率代替概率，假定在业务服务协议终止时，对业务水平和服务水平两项都满意

的客户流失率为5%,只对其中一项不满意的客户流失率为40%,对两项都不满意的客户流

失率为75%,从该社区中任选4名客户，则在业务服务协议终止时至少有2名客户流失的

概率为多少？

附:

P(K2..k)0.100.050.0250.0100.0050.001

k2.7063.8415.0246.6357.87910.828

K'————，其中〃=a+"c+d.

(a4-b)(c+d)(a+c)(b+d)

22

21.(12分)已知椭圆E:与+4=l(a>b>0)的左.右焦点分别为耳(-1,0)，月(1,0),过耳

arb-

且斜率为日的直线与椭圆的一个交点在x轴上的射影恰好为工.

(1)求椭圆E的方程；

(2)如图，下顶点为A,过点3(0,2)作一条与y轴不重合的直线.该直线交椭圆E于C,

。两点.直线4),AC分别交x轴于点"，G.求证：A/U3G与A4O”的面积之积为定值,

22.(12分)已知函数/&)=匕如一4(4€/?).

X

(1)若在(0,+oo)上恒成立，求。的取值范围，并证明：对任意的〃mN”，都有

1+-+-+...+—>ln(n+1)；

23n

(2)设g(x)=(x-l)2,讨论方程/(x)=g(x)实数根的个数.

答案

1.解：•.•A={xeR|—掇*3},3={X€N|2"<4}={XWN|X<2}={0,1},

AQB={xe7?|-lM3}n{0,l}={0,1},

集合中元素的个数为2.

故选：B.

2.解：•.•复数z满足z(l+i)=l—i,

1-i(1-D21-2/+I2

•z==---------=--------=-I,

"1+z(l+z)(l-z)1-z2

.•.Z的虚部为T.

故选：B.

3.解：当时，由基本不等式可得：

8

“对任意的正数x,2%+色..1”一定成立，

X

即“〃=1”n"对任意的正数工，2%+幺..1"为真命题；

8x

而“对任意的正数工，2x+q..l的”时，可得“a」”

x8

即“对任意的正数x,2x+-..l"n"。二为假命题；

x8

故"〃=!”是“对任意的正数冗，2x+幺..1的”充分不必要条件

8x

故选：A.

4.解：〃一x)=历ITI=_历1XI=_/1),即函数/(X)是奇函数，排除Q,

一x+sinxx-sinx

f(1)=ln}=0,排除A,

1-sinx

当x>l时，/(x)>0,判断C,

故选：B.

5.解：：500,w高空处的大气压强是700〃?"?弦，

.-.700=760^,即"皿=四，

76

70

当h=l000m时，有p=760e'm,k=760•侬-50M)2=760x(—)2«645.

故选：A.

6.解：设他的中点为〃，8c的中点为N,AC的中点为E,

则汉+丽'=2两"，OB+OC=2BC,

(OA+OB)AB=(OB+OC)BC=0,

OM-AB=0,BCON=0,即ONIBC,

为A48C的外心，所以OE_LAC,

AOBC=AO(AC-AB>)=AdAC-AdAB

=(AE+EO)AC-(AM+Md)AB

=-ACAC+EOAC--ABAB-MdAB

22

=gl研-gl研

=—10.

故选：B.

7.解：•.•M4//x轴，

A(—,1))

4

由题意可知A3经过抛物线V=4x的焦点尸(1,0),

直线AB的方程为y=.

y=4x

联立方程组4，解得8(4,T),

y=--U-i)

、J

AM=3——=—>AB=-4-4+2=—,MB=\/l2+52=>/26.

4444

的周长为9+庄.

故选：D.

/，(%)/U)

8.解：令g(x)=华，.•.gXx)=；,

ee

:(x)=ex(2x+3)+f(x),g'(x)=2x+3，

:.g(x)=x2+3x+c?,・.・g(0)==-2,c=-2,，g(x)=f+3工一2,

/(x)<2e',^-<2,:.^+3x-2<2,

ex

BRx2+3x-4<0,解得Tcxvl,

即不等式的解集为(T,l).

故选：D.

9.解：由频率分布折线图可知，16天中新增确诊病例数量整体呈下降趋势，但具体到每一

天有增有减，故A错误；

由每日新增确诊病例的数量大部分小于新增疑似病例的数量，则16天中每日新增确诊病例

的中位数小于新增疑似病例的中位数，故8正确；

由图可知，16天中新增确诊、新增疑似、新增治愈病例的极差均大于2000,故C正确；

由图可知，20日的新增治愈病例数量小于新增确诊与新增疑似病例之和，故。错误.

正确的结论是BC.

故选：BC.

10.解：S7>S8>S6,二%>0,”8<°，%+%>(),

.•.q>0,d<0,5M=1火」；，化)=7(%+应)>0,

"5("；必3VO,

因此S,中的最大项为S’，d<0,Sl4>0,Sl5<0,

故选：BCD.

11.解：对于直线/:(3+ni)x4-4y-3+3ni=0,(ZHGR).整理得：

Mx+3)+(3x+4y—3)=0,

故L%+3=0八，整理得F，即经过定点(-3,3)，故A正确；

[3x+4y_3=0[y=3

对于人当利=0时，直线/转换为3x+4y-3=0,

所以圆心(0,0)到直线3x+4y-3=0的距离d==|^i,故3错误；

对于C：圆。：f+y2=4,

圆：x24-y2-6x-8y+w=0,当m=16时，：x2+y2-6x-8y+16=0,整理得

(x-3)2+(y-4)2=9,

所以圆心距为^:071(4二0P=5=r+R=2+3=5,

故两圆相外切，恰有三条公切线，故C正确；

对于。：当帆=13时，直线/的方程转换为4x+y+9=0,

设点P(f,-9-4f),圆C:f+y2=4,的圆心(0,0),半径为厂=2,

以线段PC为直径的圆〃的方程为：(x-t)x+(9+4r+y)y=0,

即x2+(-r)x+_/+9y+4/y=0,

由于圆。的方程为：Y+y2=4,

所以两圆的公共弦的方程为-tr+4)+9y+4=0,

整理得(4y—x)f+9y+4=0,

4y-x=0

所以，解得,即直线反经过点(-学-1),故D正确;

9y+4=0

故选：ACD.

12.解：堑堵ABC-A8c为直三棱柱，其中侧棱AA，平面ABC，AAC£为矩形,

ABYAC,则四棱锥8—AACG为阳马；

三棱锥G-43C中，CC，平面AfiC,84,平面ACC一则三棱锥£-A8C的四个面均为

直角三角形，所以三棱锥£-A8C为鳖牖；

三棱锥£-A8c的体积最大时，由于高C1C=2,则AABC的面积最大，而3C=2,所以

AB2+AC2=4,所以MAC,,.=2,

当且仅当48=AC=0时，取等号，即当AC=0时，A4BC面积取得最大值，三棱锥

0-ABC的体积最大：=~xACxCCtxAB,

匕=gxgxA3xACxCC,贝1」匕=2匕，

故选：ABC.

13.解：令/(x)=-Y+x+l,满足/(1)=_i+i+i=],

则f(x)=-2x+l,

所以/'(x)+2x=(—2x+l)+2x=l>0.

故答案为：f(x)=-x2+x+l.

14.解：根据题意，不考虑甲乙的限制条件，从7名员工中选出3名员工负责接待工作，有

C；=35种选法，

在剩下的4人中任选2人，安排在上午、下午讲解该款手机性能，有A；=12种选法，

则不考虑甲乙的限制条件时，有35*12=420种安排方法；

若甲乙都安排负责接待工作，有C；x&=60种安排方法，

则有420-60=360种安排方法；

故答案为：360.

15.解：因为所以

22

因为相+"=3〃"2—1,所以加+小，3("；”)2一1,

即3(/n+n)2—4(加+〃)-4..0,

所以(3(/九+〃)+2)[(m+n)-2]..O

因为6>0,n>0,所以m+〃..2,

即机+〃的最小值为2,

当且仅当m=n时取等号，此时m=n=\.

故答案为：2

16.解：如图,

222

・・•正方体A3C0-44CQ的棱长为2,BD}=V24-2+2=2^,

又点P在对角线8R上，且尸8=75,.•.尸为的中点，

连接24,PC,则P4=P5=PC,P在底面ABC上的射影为三角形ABC的外心,

又AABC是以ZABC为直角的直角三角形，则P的射影在AC的中点G上,

可得三棱锥P—ABC的外接球的球心与等腰三角形PAC的外心重合，

Q1O__O1,5

•：PA=PC=&,AC=2五,则cosZ4PC=^——?^7==—一，则sinZAPC=-^-

2x^3xV333

设A/%C的外接圆的半径为R,则2/?=*=3,即R=3.

2V22

亍

三棱锥P-ABC的外接球的体积为g万x（|r=|".

故答案为：—71.

2

17.解：(1),/6?cosC+(c+2/?)cosA=0,

由正弦定理可得：sinAcosC+(sinC+2sinB)cosA=0,可得

sinAcosC+sinCeosA+2sinBcosA=0,

可得sin(A+C)+2sinBcosA=0,即sinB+2sinBcosA=0,

vsin^^O,

、1

cosA=—,

2

vAG(0,^),

.27r

A=—.

3

(2)由4=2逝，h+c=4,由余弦定理得/=。2+02-力ccosA,

12=(/>+c)2-2hc-2/JCCOS—,即有12=16—6c,

3

/.be=49

/.AABC的面积为S=—focsinA=—x4xsin—=百.

223

18.解：S）由题意，设等比数列｛%｝的公比为式q>0）,

4

4(i+q)=§

则

“2、13

q(l+4+q)=-

化简整理，得1242f—1=0,

解得q=-［（舍去），或g=L

44

.♦."=产=个=1，

1+4i+l

3

.•・4=L(g)"T=(；)"-'，〃N*,

:点(a”,。”)在函数yulogs。的图象上，

X

3

bn=log3—=log33"=n,〃wN*.

'an

(2)由(1)得，c==-----------------=—(-----------—)，

n处一瓦+1(2〃-1)(2"+1)22〃-12〃+1

••2=4+。2+…+与

=-X(l----------)

22/1+1

n

2〃+1

19.解：(1)证明：取线段SC的中点E,连结ME,ED,

在AS8C中，ME为中位线，:.ME//BC,£LME=-BC,

2

-,-AD//BC,且A£»=l3C,:.ME//AD,且

2

二.四边形AWED为平行四边形，.•.40//DE,

♦.•DEu平面SC。，A"《平面SC。,

.♦.AW//平面SCO.

(2)解：如图，以A为坐标原点，建立分别以AO,AB,AS所在直线为x轴，y轴，z轴

的空间直角坐标系，

则A(0,0,0),3(0,6，0),C(2,6，0),0(1,0,0),S(0,0,省),

____1—.J]73————3——73G

AM=AB+-BS=(0,—,—),AN=AD+-DC=0),

222444

设平面AMN的法向量万=(x,y,z),

讨一86n

AM•n=——y+——z=0

22

则取y=7得斤=(-36,7,-7),

TX7-73+

ANn=—x+---y=0n

44'

平面SAB的一个法向量沅=（1,0,0）,

设平面AMN与平面SAB所成的锐二面角为

inn3715

则COS0=

I沆I•旧I25

平面AMN与平面SAB所成的锐二面角的余弦值为运.

20.解：（1）由题意知，对业务水平满意的为140x9=120人，对服务水平满意的为

7

140x3=100人，

7

补充完整的2x2列联表如下所示：

对服务水平满意人数对服务水平不满意人合计

数

对业务水平满意人数9030120

对业务水平不满意人101020

数

合计10040140

犬=誓x(90x!2-3叩。)：=21=525>5()24,

120x20x100x404

故有97.5%的把握认为业务水平与服务水平有关.

（2）随机变量X的所有可能取值为0,1,2,

尸-。）=等嗡ax”吟吟尸-2）=萼*

.•.X的分布列为

X012

p29203

525252

数学期望E（X）=Oxe+1X型+2X2=L

5252522

（3）在业务服务协议终止时、对业务水平和服务水平两项都满意的客户流失的概率为

里X5%」

140280

只对其中一项不满意的客户流失的概率为nx40%=工,

140280

对两项都不满意的客户流失的概率为mx75%=旦，

140280

从该运营系统中任选一名客户流失的概率为归3±亘=1

2805

在业务服务协议终止时，从社区中任选4名客户，至少有2名客户流失的概率为

尸一*Y）y.・扪募

21.解：（1）过耳且斜率为它的直线的方程为y=¥（x+l）,

令x=1,得y=，

a2-b2=\

由题意可得11，解得/=2,人=1.

口犷1

2

求椭圆E的方程为:+丁=1；

证明：（2）由题意知，直线8c的斜率存在，设直线BC:y=fcc+2,

D5,yj,C(x2,y2),

y=fcv+2

联立,得(l+2&2)f+8丘+6=0.

—+y2=1

2

弘6