2021届高考数学全真模拟卷05（理科）（解析版）

2021年理科数学一模模拟试卷(五)

一、单选题

1.已知集合人={小=皿1一冷},5={y|y=%2},则Af15=()

A.(0,1)B.(0,1]C.[0,1)D.[0,1]

【答案】C

【分析】

求出集合A8后可得AflB

【详解】

因为A=(—o/)，B=[0,+OO),所以Ac8=[0,l).

故选：C.

2.已知awR,若有卜―i|=石(i为虚数单位)，则。=()

A.1B.-2C.±2D.±1

【答案】C

【分析】

根据复数模的定义直接计算即可.

【详解】

因为aeR

所以卜-'=[a1+(-1)2=V5，

即a2+1=5,

解得a=+2,

故选：C

3.“a=2”是直线“4：ar+2y+l=O与4：3x+(a+l)y—3=0平行”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】

根据充分条件和必要条件的定义即可求解.

【详解】

当4=2时，4：2x+2y+l=o,/2：x+y-l=0,此时两直线斜率都是—1且不重合，

所以"〃2,即a=2可以得出/J4，

若“〃,，则@==一,即。(。+1)=6,解得。=一3或。=2,

所以〃〃2得不出。=2,

所以“a=2”是“直线4：办+2y+1=0与直线4：3x+(a+l)y—3=0平行”的充分不必

要条件，

故选：A

4.如图，若画=1,加=5,元=己3是线段AC上靠近点。的一个三等分点，且

B=2万+，贝I)()

【答案】D

【分析】

由丽=E+荏，结合A,5,C的共线关系及向量的加减法的应用，即可得解.

【详解】

_一一-2..9•-1-2.

0B=0A+AB=0A+-AC=0A+-(0C-0A)=-0A+-0C,

3333

121?

即5=乙，得4=；,〃=；.

3333

故选：D.

5.已知等差数列｛%｝的前〃项和为S“，4=6，S3=0,则$5=()

A.0B.15C.20D.30

2

【答案】B

【分析】

根据等差数列的通项、求和公式及题干条件，可求得6,d的值，代入公式，即可求得

答案.

【详解】

因为｛q｝为等差数列，所以a4=q+3d=6①，

3x2

S3=3qH———d=3々］+3d=0②，

①②联立可得4=-3,d=3,

5x4

所以S5=5q+^-d=5x(—3)+10x3=15.

故选：B

6,已知加，n,/为两两不重合的直线，a,〃为两个不同的平面，则下列说法正确

的是()

A.若机〃〃，〃〃/,〃/a则机〃a

B.若a_L夕，mua,贝!4

C.若mJJ,1上0,则“〃/夕

D.若加_La,mlIn,allP,则〃_L/?

【答案】D

【分析】

根据空间直线、平面间的位置关系判断各选项.

【详解】

A,若机〃〃，nlll,IIIa,则或〃2u(z,故A错误；

B,若。_L£,mccr,则机可能与6成任意角度，故B错误；

C,若加_U,1-L/3,则加〃尸或加u万，故c错误；

D,由，〃J.a,mlIn,得〃J_a,又。〃/?,得"_L月.故D正确.

故选：D.

7.已知直线/：X+勿+1=()与圆C:(x+8)2+(y+2)2=8相交于A、B两点,且

万

□ABC是顶角为2孑的等腰三角形，则b等于()

A.1B.-C.—1D.1或---

77

【答案】D

【分析】

先利用己知条件求得BC边上的高h=6,再利用点到直线的距离公式求得参数b即

可.

【详解】

因为A、8两点在圆C：（x+Z?y+（y+2y=8上，所以AC=BC=r=2夜，

又口A3C是顶角为4的等腰三角形，则B=C=9，边上的高

36

h=2\/2sin—=V2,

6

即圆心C（—友―2）到直线/:%+力+1=0上距离d=/j=夜，

\-b-2b+l\r1

故I1——'72,即7。2一6）—1=0,解得8=1或6=——.

V1+F7

故选：D.

8.已知〃=（!产，b=log[0.3,03。3,则。，6,c的大小关系是（）

22

A.a<b<cB.c<a<bC.a<c<bD.b<c<a

【答案】B

【分析】

由指数函数的性质可得由对数函数的性质可得匕〉1,由幕函数的性质可得

2

/-、0.3

0.3°-3<^J，从而可得结果

【详解】

•；a=(g)03,人=log।0.3©

=0.3°3

.1<1V(1V3(1

212；(2

8=log[0.3>log)^-=1,

252

(1A03

C=0.303<(^J,

:.c<a<b

4

故选：B

【点睛】

方法点睛：解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间(一般

是看三个区间(—,0),(0,1),(1,”))：二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多

的比大小问题也可以两种方法综合应用.

9,为了让居民了解垃圾分类，养成垃圾分类的习惯，让绿色环保理念深入人心.某市

将垃圾分为四类可回收物，餐厨垃圾，有害垃圾和其他垃圾.某班按此四类由9位同学

组成四个宣传小组，其中可回收物宣传小组有3位同学，餐厨垃圾、有害垃圾和其他垃

圾宣传小组各有2位同学.现从这9位同学中选派5人到某小区进行宣传活动，则每个

宣传小组至少选派1人的概率为()

25310

A.—B.—C.—D.—

714721

【答案】D

【分析】

利用组合计数原理计算出基本事件的总数以及事件“从这9位同学中选派5人到某小区

进行宣传活动，则每个宣传小组至少选派1人”所包含的基本事件数，利用古典概型的概

率公式可计算出所求事件的概率.

【详解】

某市将垃圾分为四类：可回收物、餐厨垃圾、有害垃圾和其他垃圾.

某班按此四类由9位同学组成四个宣传小组，

其中可回收物宣传小组有3位同学，餐厨垃圾、有害垃圾和其他垃圾宣传小组各有2位

同学.

现从这9位同学中选派5人到某小区进行宣传活动，基本事件总数〃=《=126,

每个宣传小组至少选派1人包含的基本事件个数为m=C；(C；Y(C；『=60,

则每个宣传小组至少选派1人的概率为P=-=—=—.

n12621

故选：D.

【点睛】

本题考查古典概型概率的计算，涉及组合计数原理的应用，考查计算能力，采用“先分

类，再分组”的思想即可.

10.某程序框图如图所示，若输出结果是126,则判断框中可以是()

/输出S/

A.z>6B.z>7C./>6D.z>5

【答案】A

【分析】

先根据已知循环条件和循环体判定循环的次数，然后根据运行后输出的结果，从而得出

所求.

【详解】

根据题意可知该循环体运行情况如下：

第1次：S=0+2』2,i=l+l=2

第2次:S=2+22=6,i=3

第3次:S=6+23=14,i=4

第4次:S=14+24=30,i=5

第5次:S=30+25=62,i=6

第6次:S=62+26=126,i=7

因为输出结果是126,结束循环，判断框应该是i>6.

故选:A

【点睛】

本题主要考查了循环结构，条件分支结构，考查了运算能力，属于中档题.

22

11.已知耳，K分别为双曲线C：5—5=1的左，右焦点，过点K的直线与双曲线

ab'

。的右支交于A,B两点,设点”（乙,%）,6（%,先）分别为△人片鸟，△^月鸟的

内心，若|%|=3昆|，则双曲线离心率的取值范围为（）

6

A.[2,+oo)B.(1,72]C.(1,2]D.(1,2)

【答案】D

【分析】

结合图形，由双曲线的定义及内切圆的性质可得44—4居=打厂一户耳，即无“=”，

同理可得％=a，从而可得“G,耳序再由|%|=3|九|，可得FH=3FG,设直

线A3的倾斜角为。，在即2\月尸G和Rt^F2FH中，分别将FH,FG用6表示代入

即可求出直线AB的斜率，再结合直线AB与双曲线右支交于两点，即可求出-<73,

a

进而可求出离心率的取值范围.

【详解】

不妨设直线A8的斜率大于0.如图：

连接HG.HF2,GF2,设△△《工的内切圆与三边分别切于点。，E,尸，则

AD+DF\-(AE+EF)=DF］一EF?=F】F—FF2,

AFX-AF2^2

所以24=C+XH-(c-x“)，即4=”，同理可得%=。，所以"G_LKE，

设直线AB的倾斜角为6,在放△玛FG中，FG=Ff；tan-=(c-a)tan-,

在心△£四中，F//=Ff；tan^^=(c-«)-tanfy-|j,

又|%|=3|%|，所以FH=3FG,

即(c-a)tan(二•一二■=3(c—tz)tan—,解得tan，

<22；223

c夕

2tan—

所以tan(9=------2K=6,即直线AB的斜率为百,

I1-tan2—6

2

由题意，直线A3与双曲线右支交于两点，故2〈百，

a

【点睛】

本题主要考查了结合平面几何知识求双曲线的离心率的取值范围，属于难题.

12.已知函数/(犬)=/一加与函数g(x)=lng-x,xeg,2的图象上恰有两对关于

x轴对称的点，则实数机的取值范围是()

A.(0,2-In2]B.(0,—；+ln2

C.[-------1-In2,2—In2)D.\In2,---1-In2

4I4」

【答案】B

【分析】

由题意可得./1(%)=—g(x)对于xe2恰有两个不等式的实根，等价于方程

/-"z+ln」-x=0对于xwg,2恰有两个不等式的实根，令/i(x)=x2+ln」-x,

可转化为丁=加与〃(xb/+lng—x两个函数图象在xe；,2有两个不同的交点,

对力卜)求导判断单调性，作出其函数图象，数形结合即可求解.

【详解】

若函数/(x)=f—机与函数g(x)=lng-x,xwg,2的图象上恰有两对关于x轴

对称的点，则/(x)=-g(x)对于xe1,2恰有两个不等式的实根,

即f-m+in』—x=0对于1,2恰有两个不等式的实根，

x2

8

可得机=/+in——x对于xc-,2恰有两个不等式的实根,

x1_2」

令〃(x)=%2+ln，-x,

则>=机与Mx)=x2+inL—x两个函数图象在xe；,2有两个不同的交点,

X乙

"(x)=2/—1=2/一"-1=,

XXX

由〃'(x)>0可得1<x<2,由〃'(x)<0可得;<x<1,

所以g)=x2+inj—工在(；,1)单调递减，在(1,2)单调递增，

所以/z(x)图象如图所示：

当x=L时，/?[-|=-+ln2--=--+ln2,

2⑶424

若丁=根与Mx)=x2+ln：—x两个函数图象在xeg,2有两个不同的交点,

由图知0<m<-」+ln2,

4

所以实数机的取值范围是(0,—；+ln2

故选：B

【点睛】

方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系

中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.

二、填空题

x>1

13.设实数x、y满足约束条件<yN-l,则目标函数z=>+蔡+41的最大值为

x+y<4

【答案］芍

【分析】

画出不等式组对应的可行域，再结合目标函数的几何意义可得目标函数的最大值.

【详解】

不等式组对应的可行域如图阴影部分所示,

z=1"七+、1表示的几何意义为可行域中的动点P（x,y）到直线x+2y+4=0的

距离,

X-1

由，x+），—4=0可得同理C（5，T），

10

8到直线x+2y+4=0的距离为=

V5V5

15-2+417

C到直线%+2y+4=0的距离为=l后忑,

11>/5

故z

max5

故答案为：竽

14.已知向量3，B的夹角为60。，卜/卜2,卜一目=百，则忸卜

【答案】1

【分析】

由|a-^|=V3,化简得到2-忖+1=0,即可求解.

【详解】

由题意，向量3，刃的夹角为60。，同=2,忖一@=6,

可得卜-q=a'+b'-2a-b=4+^-2x2-|^|cos60°=3.

即忸『一2・忖+1=0,解得W=L

故答案为：I.

15.已知点A（l,2）在抛物线C:V=2Px（p>0）上，过点B（2,-2）的直线交抛物线C

于P,Q两点，若直线AP,AQ的斜率分别为仁，&,则等于.

【答案】-4

【分析】

由题意将A（l,2）的坐标代入抛物线的方程可得〃的值，进而求出抛物线的方程，设出

直线PQ的方程并与抛物线方程联立求出两根之和及两根之积，求出直线AP,AQ的

斜率之积，化简可得定值-4.

【详解】

由题意将A（l,2）的坐标代入抛物线的方程可得4=2/7,解得p=2,

所以抛物线的方程为/=4x：

由题意可得直线PQ的斜率不为0,

所以设直线PQ的方程为：x=a(y+2)+2,设P区，％),Q(X2,y2),

x=m(y+2)+2

联立直线与抛物线的方程：《2.，

[y=^x

整理可得：/-4/ny-8m-8=0.则%+必=4/”,=-8m-8,

kk-y'~*2*4%-2_y-2--2

2

由题意可得'°一、一1.v?-1-y,_1短/

4--厂

161616,

(y+2)(%+2)yy2+2(y+必)+4-8w-8+2x4/n+4

所以4他=-4.

故答案为：-4.

【点睛】

方法点睛：探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：①从特殊入手，先根据特殊位

置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的

过程中消去变量，从而得到定值.

16.已知函数/(x)=cos(wx+(p)(co>0,|(p|<—),x=-—为f(x)的零点，x=—为

244

7t兀

y=f(x)图象的对称轴，且f(x)在(二，-)上单调，则3的最大值为.

186

【答案】5

【分析】

先根据X=-7是/(X)的零点，X=?是y=/(x)图像的对称轴可转化为周期的关

系，从而求得。的取值范围，又根据所求值为最大值，所以从大到小对①赋值验证找

到适合的最大值即可.

【详解】

71(冗\T

由题意可得:一一--=&T+彳，

4I4；2

2&+12乃

解得折4攵+1,(ZGM),

4CD

IjrJr

又因为/(X)在屋，工上单调,

1186J

…、兀7t7tT12乃

所以=-—<—即①<9,

618922CD

因为要求切的最大值，令。=7,因为x=?是y=/(x)的对称轴,

12

所以1~+^二%万,(％eZ),

又帆归^,解得9=(,

所以此时/(x)=cos17x+(

jr3/TT3TC3TCTC

在一一，二上单调递减，即/(x)在一，,一上单调递减，在一，一上

',2828'v71828286

7171

单调递增,故“X)在不单调,

18，-6

同理,令。=5,〃x)=

715不7T兀715万

/(X)在上单调递减,因为U

20,20TT%

满足题意，所以0的最大值为5.

【点睛】

本题综合考查三角函数图像性质的运用，在这里需注意:

两对称轴之间的距离为半个周期；

相邻对称轴心之间的距离为半个周期；

相邻对称轴和对称中心之间的距离为'个周期.

4

三、解答题

17.已知数列｛q｝中，4=1,%=3,其前〃项和5„满足5„+1+Si=2s.+2(〃>2).

(1)求数列｛凡｝的通项公式；

(2)若么=-——，记数列也｝的前〃项和为7“，证明：Tn<~.

anan+\2

【答案】(1)4=2〃-1(〃eN*)；(2)证明见解析.

【分析】

⑴将已知变形成5“+1-5”=5“-5“_|+2("?2),可知a.-%=2(〃22),可判

断｛勺｝为等差数列，由等差数列求通项公式即可.

(2)求出｛2｝通项公式，利用裂项相消法求7“，再证明方<；即可.

【详解】

解：(1)由题意知，5„+I-5„=S„-5,I_1+2(/I>2),

从而«„+|=%+2(〃>2),即an+x-an=2(〃>2),

又/一%=3-1=2,

数列｛4｝是以1为首项，公差为2的等差数歹U，

故氏=2〃-N*）；

,111/111

(2)0=-------=---------------=---------------

""an-ail+l(2"-+2n+lJ

1<11111、111

T——1----1-----F…H---------------——1---------<一.

"213352〃—12n+l)2(2n+l)2

【点睛】

数列求和的方法技巧：

(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和.

(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和.

(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和.

(4)裂项相消法：用于通项能变成两个式子相减，求和时能前后相消的数列求和.

18.如图，已知四棱锥S-ABCD,其中ABLAD,NBCD=45°，

BC=2AD=2,侧面SBC，底面ABC。，E是SB上一点,且是等边三角

形.

(1)求证：CEL平面SAB；

(2)当点A到SC的距离取最大值时，求平面SA8与平面SCO的夹角.

14

jr

【答案】（1）证明见解析；（2）

【分析】

（1）利用面面垂直的性质定理可得出A3,平面SBC,可得出证明出

CE1SB,利用线面垂直的判定定理可证得结论成立；

（2）以点8为坐标原点，BC、8A所在直线分别为X、了轴建立空间直角坐标系，

设点S（2,0,a）,E（2k,0,ka）,根据题中条件求出女、。的值，可得出点S的坐标，

进而利用空间向量法可求得平面SAB与平面SCD的夹角.

【详解】

（1）•/AD//BC,AB±AD,：.AB1BC,

•.•侧面SBC，底面ABC。，侧面SBCI底面A8CO=BC,ABI平面ABC。，

平面叼C,

如下图所示，取的中点尸，连接。尸、EF,

vBC=2AD,且尸为的中点，则=

QBC//AD,则AO//BF,所以，四边形ABF。为平行四边形，则。

二。尸J.平面SBC,

•;EF、BCu平面SBC,:.DFJ.EF,DF1BC,

-UECD为等边三角形，则EF=4DE2-DF2=y]CD2-DF2=CF=BF，

所以，ZFBE=ZBEF,NFCE=NCEF,

兀

由ZFBE+NBEF+NFCE+NCEF=2NBEC="NBEC=一，即CEJ_SB,

2

-SBC\AB=B,因此，CE_L平面SAB；

（2）­/ABVAD,由（1）可知，四边形ABM）为矩形，且DP_L8C,

•.•/BCD=45°，所以，口是以NCFO为直角的等腰直角三角形，可得

AB=DF=CF=I,

以点8为坐标原点,BC、8A所在直线分别为X、轴建立如下图所示的空间直角坐

标系，

则A（（）,1,O）、3（0,0,0）、。（2,0,0）、£>（1,1,0）,

设点A到直线SC的距离为d，则d=AC•sinZACS,

兀

当且仅当/ACS=二时，”取最大值，此时SCLAC,

2

QA3,平面SBC,5。匚平面58。，；.5。_148,

•••A5cAC=A,，SCJ•平面ABC。，

设点S（2,0,a）（a>0）,设点石（2Z,0,3），则在=（2攵一2,0,如），扉=（2,0,a）,

由CE_LS8,可得在.丽=4攵-4+加=0,①

由|。@=|。4可得4（%-1）2+攵，2=2,②

4(1)+32=0

所以，\:：2,,，解得左=彳，a=2,即点5(2,0,2),

4优-1)-+公/=22'7

设平面SAB的法向量为正=&,y,zj,丽=（0,1,0）,丽=（2,0,2）,

fn-BA=0¥1=0八.一/、

由，__，可得〈cc八，取％=L贝“X=°，4=-1，则加=(1,°，-1)，

m•BS=。2%+2Z]=07

设平面SCO的法向量为五=（%,%，Z2），前=（-1,1,0），息=（0,0,2）,

flCD=0―x+%=0一/

可得。2-/，取/=1，则%=1，Z2=0,则"=(1,1,0),

n-CS=0Zz0二U、

一一m-n11

cos<加,n>=Ii=­)=-T==-

A/2XA/22

7T

因此，平面SAB与平面SCO所成的夹角为

【点睛】

思路点睛：利用空间向量法求解二面角的步骤如下:

16

（1）建立合适的空间直角坐标系，写出二面角对应的两个半平面中对应的点的坐标；

（2）设出法向量，根据法向量垂直于平面内两条直线的方向向量，求解出平面的法向

量（注：若半平面为坐标平面，直接取法向量即可）；

（3）计算（2）中两个法向量的余弦值，结合立体图形中二面角的实际情况，判断二面

角是锐角还是钝角，从而得到二面角的余弦值.

19.2020年10月份黄山市某开发区一企业顺利开工复产，该企业生产不同规格的一种

产品，根据检测标准，其合格产品的质量y（单位：g）与尺寸*（单位：mm）之间近似

满足关系式y=c•fS.c为大于0的常数）.按照某项指标测定，当产品质量与尺寸的比

在区间内时为优等品.现随机抽取6件合格产品，测得数据如下：

尺寸384858687888

质量y（g）16.818.820.722.42425.5

质量与尺寸的比上

0.4420.3920.3570.3290.3080.290

X

（1）现从抽取的6件合格产品中再任选3件，记J为取到优等品的件数试求随机变量J

的分布列和期望；

（2）根据测得数据作了初步处理，得相关统计量的值如下表:

6666

£(lny)£(lnj

之(In%)

i=\/=!Z=1/=!

75.324.618.3101.4

①根据所给统计量，求y关于x的回归方程；

②已知优等品的收益z（单位：千元）与x,y的关系为z=2y-0.32x,则当优等品的尺

寸x为何值时，收益z的预报值最大？（精确到0.1）

附：对于样本（%%）”•=1,2,…,m其回归直线的斜率和截距的最小二乘

〃__

力（匕-"）（

/一万）viui-nvu

估计公式分别为：-------n»a=u-bvea2.7182.

，）2EH-疝2

【答案】(1)分布列答案见解析，数学期望为3；(2)①)=e¥；；②72.3(，加〃).

【分析】

(1)由题意首先确定J的取值，然后求对应的概率，即可列分布列，求出数学期望；

(2)①结合题中所给的数据计算回归方程即可；②结合计算求得回归方程得到收益的

函数，讨论函数的最值即可得最终结果.

【详解】

(1)由已知，优等品的质量与尺寸的比在区间内，即上€(0.302,0.388)

<9"x

则随机抽取的6件合格产品中，有3件为优等品，3件为非优等品.

现从抽取的6件合格产品中再任选3件，则取到优等品的件数J=0,1,2,3

PC=o)=4?=_L,尸(。=1)=*J

C：20Cl20

f的分布列为

0123

1991

P

20202020

19913

...£(a=0x—+1X—+2x—+3X—=-

202020202

(2)对y=ox〃S,c>0)两边取自然对数得lny=lnc+6nx,

令4=lnXj,%=lny,得"=8・v+a,且a=lnc,

①根据所给统计量及最小二乘估计公式有：

n

v.u.-nv-u,

Z''75.3-24.6x18.3+60.271

S2~-101.4-24.62+6—05412

Lv：-nv-

/=1

八_「(1\

a-u-bv=18.3—x24.6+6=1,得，=lne=l,故i=e

I2)

所求y关于x的回归方程为y=e.xT

18

②由①可知，=，则2=2e4—0.32x

由优等品质量与尺寸的比上=丝1=_£_■n6e（7⑼，即Xe（49,81）.

令f=«e（7,9），2⑺=-0.32/+2“=—0.32k+工

（0.32）0.32

当，=«=急。8.5€（7,9）0寸，2取最大值，

即优等品的尺寸》“72.3（相机），收益2的预报值最大.

【点睛】

思路点睛：

求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤：

（1）根据题中条件确定随机变量的可能取值；

（2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；

（3）根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望（在计算时，要注意随机变量是否

服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布等，可结合其对应的概率计算公式及期望计

算公式，简化计算）

20.已知点小臼在椭圆七：摄+&=1（4>6>0）上，E的离心率为斗.

（1）求E的方程；

（2）点3与点A关于原点对称，点P是椭圆E上第四象限内一动点，直线PA、PB与

直线x=3分别相交于点M、N,设4=微任型，当时，求△P4?面积的

,△PMN

取值范围.

【答案】（1）^-+/=1;（2）仲尹.，君.

【分析】

（1）根据已知条件可得出关于。、〃、。的方程组，解出这三个量的值，由此可得出

椭圆E的方程；

⑵设点P的坐标为（毛,%）,求出SpjSfMN关于X。、%的表达式，由4e[1,3）

可求得X。的取值范围，进而可求得先的取值范围，再利用不等式的基本性质可求得

△PAB面积的取值范围.

【详解】

（2

XT+3=1（。>6>0）上，且椭圆E的离心率为E,

（1）；点一1，石-在椭圆

b2v72

<>

13,

—rH-------=]

a-4b-

a=2

V3

由题意可得〈，解得《b=l

aT

c=5/3

c=y/a2-b2

2

因此，椭圆£的方程为三+f1；

4-

(2)；点AT*与点8关于原点对称，所以，点8的坐标为［1,一日）

k2)

（0,2）,

\PA\JPfi|_|xo+l|JxQ-l|

|PM|\PN\13roi13Toi

又•.•/Le[l,3),所以—!<3,解得。4%<2,

(3-%)3

•.•P是椭圆E上，且在第四象限，则%=-，1寸e-乎酢

直线AB的方程为y=—乎x,点P到直线AB的距离为〃=网展为1

|昌)+2%],

又由1=行，...Sz_=g|A斗公

2

20

•/I<x0<2,一@1«为<(),且为随着％的增大而增大，

36

所以，驾叵4国+2%<26,5»般鼻叫』牛叵,6.

J26,

.•.□P4B面积的取值范围是5」津，瓶.

【点睛】

方法点睛：圆锥曲线中的取值范围问题解决方法一般分两种：

一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求取值范围；

二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的值域问题，然后利

用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求值域.

21.已知函数/(力=1/+》2+3》一2(4€A).

(1)若。=一1,求函数y=/(x)单调区间；

(2)当xe(l,e3)时，不等式/'(x)>xlnx+2恒成立，求实数。的取值范围.

【答案】⑴"X)的单调增区间为(一1,3),单调减区间为(3,一1),(3,+8)；(2)

【分析】

(1)求出导函数/(X),由尸(%)>0确定增区间，由/'(x)<0确定减区间：

(2)时，原问题利用分离参数变形为。>小一2一上恒成立，引入函数

ga)=2—2--U(l<x<e3),利用导数求得g(x)有单调性，求出取值范围，从

而可得。的取值范围.

【详解】

(1)/(x)定义域为R,由a=—1得/(x)=-gV+x2+3x—2,

.\/r(x)=—x2+2x+3=-(x+l)(x-3),

令,尸(x)>0得-lvxv3,

令/'(%)<。得了〈一1或l>3,

・•・函数/(%)的单调增区间为(—1,3),单调减区间为(fo,—1),(3,内).

（2）f=—/+厂+3x-2,

••/'（X）>xln%+2即cue2+21+3>xlnx+2.

vxG（l,e3）,

二・原问题等价于。>史二-2-4恒成立

XXX

令且（工）=^^一2一±,（1<尤</）,

XXXx7

，/、1-Inx223x-xlnx+2

S（司=—^+7+『=-----p-------

令7z（x）=3x-xlnx+2,（l<x</）,

贝ij/z'(x)=2-lnx,

.,.当x£(l,/)时，/?/(x)>0,

当x£(/,/)时，厅(%)<o,

・・・何工)在区间(1,/)上是增函数，在区间(/,/)上是减函数

又力(1)=5>0,4/)=2>0,

当元£(L/)时，力(工)>0,

.3(九)>0,

二函数g(x)=W-♦-5,在区间(1，/)上是增函数，

••.g(x)<g(/)=：+

W，

即实数。的取值范围为4—4，+°°I.

l_ee)

【点睛】

方法点睛：本题考查用导数求函数的单调区间，用导数研究不等式恒成立问题.不等式

恒成立问题的解题方法一般是分离参数，然后引入新函数，再由导数求出函数的单调性,

确定最值或取值范围，从而可得参数范围.

22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为〈(。为参数).以坐标

y=sina

原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为