2021届高考数学考前20天终极冲刺模拟卷五

考前20天终极冲刺高考模拟考试卷（5）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

I.已知集合4={幻/-4犬+3,,0）,B^{x\x>a],若A0|8=0,则实数。的取值范围是（

）

A.[3,+oo）B.（3,+oo）C.y,1]D.y,i)

2.复数竽3（aeR）的虚部为（）

2-1

2。+2a—42a—2-a+4

A.--------B.------C.--------D.------

5555

3.已知4=2021"*8=log2tm（sinl）,c=sinl,则。，b,c,的大小关系为（）

A.a<b<cB.b<c<aC.c<b<aD.b<a<c

4.若抛物线y2=2px（P>0）上的点43,y°）到焦点的距离是点A到y轴距离的3倍，则先等

于（）

A.±60B.±6C.±120D.±12

5.已知随机变量X服从正态分布若P(X>-l)+p(x..5)=l,则〃=()

A.-1B.IC.-2D.2

6.已知函数/(x)=Asin(2x+e)(A>0,|M”乡部分图象如图所示，若对不同的“Jne[xl)

x2],当/(，〃)=/(")时，总有/(〃7+”)=l,则()

九71

B.超一百=5，（p=-

7171

D.

7.己知。=/肪，c=d+l,则（。一c）2+（Z?-d）2的最小值是（)

A.1B.0C.2D.20

8.如图，三棱柱中，他=4,AC=3,BC=5,M=6,。为CQ中点，E

为8耳上一点，瓯=3而，4,AC=60。，M为平面A41GC上一点，且BM//平面

A.1B.5/2C.6D.2

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中。有多项

符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的对2分，有选错的得0分。

9.关于多项式（--幻6的展开式，下列结论正确的是（）

x

A.各项系数之和为1B.二项式系数之和为2$

C.存在常数项D.x4的系数为12

10.某高中积极响应国家“阳光体育运动”的号召，为确保学生每天一小时体育锻炼，调查

该校3000名学生每周平均参加体育锻炼时间的情况，从高一、高二、高三三个年级学生中

按照4:3:3的比例分层抽样，收集300名学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小

时），整理后得到如图所示的频率分布直方图.下列说法正确的是（）

A.估计该校学生每周平均体育运动时间为5.8小时

B.估计高一年级每周平均体育运动时间不足4小时的人数约为300人

C.估计该校学生每周平均体育运动时间不少于8小时的百分比为10%

D.估计该校学生每周平均体育运动时间不少于8小时的人数约为600人

11.已知X,ye/?,且满足V+4y2+2肛=2,下列正确的选项有()

A.孙的最大值为:B.V的最大值为:

32

4

C.x?+4y2的取值可以为§D.r+4y2的取值可以为4

22

12.已知K，E分别为双曲线C:[-4=l(a>0力>0)的左、右焦点，C的一条渐近线/的

a-b-

方程为y=6x，且K至卜的距离为3石，点P为C在第一象限上的点，点。的坐标为(2,0),

尸。为NF；P工的平分线，则下列正确的是()

)2

A.双曲线的方程为土—上=1

927

B,也=2

\PF2\

C.西+函=3#

D.点P到x轴的距离为独1

2

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.曲线f(x)=sinx-2cosx-l在点(J0)处的切线方程为

14.已知随机事件A和8相互独立，若P(AB)=0.36,P(Z)=0.6(%表示事件4的对立事件),

贝IJP(B)=.

15.所谓正多面体，是指多面体的各个面都是全等的正多边形，并且各个多面角都是全等的

多面角.例如：正四面体(即正棱锥体)的四个面都是全等的三角形，每个顶点有一个三面

角，共有四个三面角，可以完全重合，也就是说它们是全等的.毕达哥拉斯学派将正多面体

称为宇宙体，并指出只有五种宇宙体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正

二十面体.由棱长为1的正方体的六个表面的中心可构成一正八面体，则该正八面体的内切

球的表面积为.

16.如图，平面凹四边形45C£),其中45=5,BC=8,ZABC=60°,ZADC=\20°,则

四边形ABCD面积的最小值为.

B

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.已知锐角三角形ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为〃，b,c,b=2,c=3,

三角形ABC的面积为更.

2

(1)求BC边上的高；

(2)求sin(A-2C).

18.设数列｛q｝的前〃项和为，,若满足5向=35.+2(〃+1),且4=2.

(1)证明:数列U+D是等比数列;

2x3〃1

(2)判断数列｛——｝的前“项和与之的大小关系，并说明理由.

的向2

19.如图，正四棱锥S—中，S4=4,AB=2,E为棱SC上的动点.

(I)若E为棱SC的中点，求证：54〃平面比)E;

(2)若£满足SE=3EC,求异面直线SA与8E所成角的余弦值.

S

20.高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着

若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡

有一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块

碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内.如图1所示的高尔

顿板有7层小木块，小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以!的概率

2

向左或向右滚下，依次经过6次与小木块碰撞，最后掉入编号为1,2,…，7的球槽内.例

如小球要掉入3号球槽，则在6次碰撞中有2次向右4次向左滚下.

图1图2

（I）如图1,进行一次高尔顿板试验，求小球落入5号球槽的概率；

（II）小红、小明同学在研究了高尔顿板后，利用高尔顿板来到社团文化节上进行盈利性“抽

奖”活动.小红使用图1所示的高尔顿板，付费6元可以玩一次游戏，小球掉入，"号球槽

得到的奖金为€元，其中4=|16-4愣］.小明改进了高尔顿板（如图2）,首先将小木块减少

成5层，然后使小球在下落的过程中与小木块碰撞时，有:的概率向左，5的概率向右滚下,

最后掉入编号为1,2,•••,5的球槽内，改进高尔顿板后只需付费4元就可以玩一次游戏,

小球掉入〃号球槽得到的奖金为〃元，其中？=（〃-4）2.两位同学的高尔顿板游戏火爆进行，

很多同学参加了游戏，你觉得小红和小明同学谁的盈利多？请说明理由.

21.已知椭圆「:二+与=1（4乂>0）的右焦点为F（c,0）（c>0）,离心率为赵，经过尸且

ab"2

垂直于X轴的直线交r于第一象限的点M,o为坐标原点，且|。加|=半.

（I）求椭圆「的方程；

（H）设不经过原点O且斜率为!的直线交椭圆「于A,5两点，A,3关于原点O对称

2

的点分别是C，D,试判断四边形438的面积有没有最大值.若有，请求出最大值；若

没有，请说明理由.

22.己知函数/(x)=gf+〃a+2浓-〃在点(1,.f(1))处的切线垂直于了轴.

(I)求/(x)的单调区间；

(II)若f(x)存在三个都为正数的零点，求证：任意两个零点的差小于2.

考前20天终极冲刺高考模拟考试卷(5)答案

1.解：因为集合4={刈，-4*+3轰D}={x|lA?3),

又A「p=0,

所以.3.

故选：A.

2.解：复数失(a+2i)(2+i)2a—2a+4.

(2-z)(2+0-551

Z的虚部为孚,

故选：D.

3.解：0<sinl<1,

.­.202产>2021°=1.log^/sin1)<log2021l=0,

:.b<c<a.

故选：B.

4.解：抛物线y2=2px(p>0)上的点A(3,y0)到焦点的距离是点A到y轴距离的3倍，可得

3+5=9,解得p=12,所以抛物线方程为：y2=24x,抛物线丁=2px(p>0)上的点

A(3,%),

可得丫；=24x3,解得％=±6夜.

故选：A.

5.解：因为随机变量X服从正态分布N(〃Q2),对称轴为X=〃,

又尸(X>-1)+P(X..5)=1,而P(X>-1)+P(X,,-1)=1,

所以P(X屋)=P(X-1),所以5和-1关于对称轴对称，

则“互>1=2,

故选：D.

6.解：根据函数f(x)=Asin(2x+e)(4>0,|0„9部分图象，可得4=2,

函数的周期为=="，.•.々一玉=LT=],故排除A、C.

222

对不同的”?，ne[xt,句,当不时，总有了(祖+")=1,

.2m+9+2〃+0_2占+0+2X2+(p_万一29

2222

JI

故/(机+〃)=2$出(乃-2夕+夕)=2$出夕=1,:.(p=—,

6

故选：D.

7.解：根据题意，a=hib,则SM)是曲线C：y=/nr上的点，

c=d+\,贝ij(d,c)是直线/：y=x+l上的点；

则(a-c)2+g-d)2可看成曲线C上的点到直线/上的点的距离的平方.

对函数y=/依求导得了'='，令y'=i,得x=i,

X

所以，曲线c上一点到直线/上距离最小的点为(1,0),

该点到直线/的距离3.

d=Vi+T

因此，(〃-c)2+(b-d)2的最小值为2；

故选：C.

8.解：由题意得5£=2,CD=3,在C£>上取点％,使MQ=2,M,C=1,则

且=

所以四边形是平行四边形，所以8必〃。£.

CM.CM、1

在AC上取点使〃,A=2,M,C=1,则号=G=7,所以必加，“A。.

M\DM2A2

又8陷口加附2=用1,DEQAZ>=D,

所以平面8MM//平面4)E,所以点M的轨迹就是线段叫用2，

在中，CM,=CM2=1,ZM,CM,=120°,

由余弦定理得MtM2=《BM；+BM；_2BM「BM?cos120°=Q.

AA,

故选：C.

9.解：对于多项式(*-x)6的展开式，令x=l,可得各项系数之和为1,故A正确；

X

二项式系数和为=64,故B正确；

根据它的通项公式为(+1=晨,26一.(-1广/-6,当「=3时，x的基指数等于零，故第四项

为常数项，故C正确；

令展开式中x的幕指数等于4,求得r=5,可得展开式中/的系数为C；x2x(-1)=-12,

故。错误，

故选：ABC.

10.解：对于A,估计该校学生每周平均体育运动时间为

1x0.05+3x0.2+5x0.3+7x0.25+9x0.15+11x0.05=5.8小时，故选项A正确；

4

对于8,高一年级的总人数为3000x正=1200人，

由频率分布直方图可知，该校学生每周平均体育运动时间不足4小时的频率为

(0.025+0.1)x2=0.25,

所以估计高一年级每周平均体育运动时间不足4小时的人数约为1200x0.25=300人，故选

项8正确；

对于C,该校学生每周平均体育运动时间不少于8小时的百分比为(0.075+0.025)x2=20%,

故选项C错误；

对于。，该校学生每周平均体育运动时间不少于8小时的人数约为3000x0.2=600人，故

选项。正确.

故选：ABD.

11.解：对于A,B：2-x2+4y2+2xyJ^-xy+2xy=6xy=>xy当且仅当x=2y=土如

33

时，等号成立，故A正确，8错误，

对于D：由2=f+4y?+2孙京ip+4y2+4)，2)=>/2+4)，g,当且仅

当x=2y=土，时，等号成立，故工2+4)，2的取值可以为g,也可以为4,故C,D正确,

故选：ACD.

12.解：•・•渐近线/的方程为了=△，.•.2=6,

a

|—'(-c)l

•.•耳(-c,0)至I"的距离为34，3v3=^--=h,

..a=3,

22

・•.双曲线的标准方程为x工-v匕=1,即选项A正确；

927

c=Ja2+尸=的+27=6»

—),每(6,0),

由角分线定理知‘制=匿=5=2'即选项B正确;

由双曲线的定义知，|P/"-|Pg|=2a=6,

.•」即巴

|=12=|4\PF2\=6,

在等腰△P6F2中，cosNPF，K=2Ltn=」=L

124

2

.・.sinZPF2£=^\-COSAPF2F.=殍,

19

.,.4=|OF2\-\PF2\cosZPF2Fi=6-6x-=-,

即选项。正确;

yp=\PF21sin/-PF^\=6x—^=3^,

••.IOP|=号+(孚)2=3瓜>

.'.IPF\+PF\\=\2OP\=2\OP|=6娓,即选项C错误.

故选：ABD.

13.解：fM=sinx-2cosx-1的导数为/'(%)=cosx+2sinx,

可得曲线/(x)=sinx-2cosx-l在点g,0)处的切线的斜率为广(9=cos]+2sin]=2,

TT

则切线的方程为y-0=2(x-g),

即为2x_y_%=0.

故答案为：2X-了-万=0.

14.解：随机事件A和5相互独立，P(A8)=0.36,P(4)=0.6(无表示事件A的对立事件)，

:.P(A)=1—0.6=04,

P(AB)0.36八,、

•p(B)=—•--=——=0.9.

'尸⑷0.4

故答案为：0.9.

15.解：由对称性可知，正八面体的内切球的球心为正方体的中心，设为O,

则O到其中一个面ABC的距离即为内切球的半径，设为R，

由正方体的棱长为1,可得AB=BC=AC=变，

2

由V=丫可得夜X&X^R

出VA-BOCVO-ABCfWJ1^—XTXTXTXT-ZXZXX——X--K,

3222232222

可得宠=走

6

兀

•••该正八面体的内切球的表面积为S=4TTX

IT

故答案为：y.

16.解：连接AC,则S.BCO=S^sc-S/MDC=5，AS-BC•sinZABC-=106-S1Vlec,

XAC2=AB2+BC2-2AB-BC-cosZABC=49，故AC=7，

在AADC中

AC2=49=AD2+DC2-2AD-DCCOSZADC=AD2+DC2+AD-DC..3AD-DC,

故竺，故5仙碇=-ADDCsinZADC=—ADDC„,

3AAec2412

故^ABCD=10百-=,

zioCZyZi/iZxC[2[2

故四边形"8面积的最小值为Z史，当且仅当AO=OC=拽时"=”成立，

123

故答案为：辿.

12

17.解：(1)因为b=2,c=3,三角形ABC的面积为^=)hcsinA='x2x3xsinA,

222

解得sinA=—，

2

因为A为锐角，可得A二。，

由余弦定理可得〃=^Jh2+c2-he=A/22+32-2X3=不，

设3C边上的高为力，则l〃〃=J_xV7x〃=迪，

222

解得〃=之亘.

7

即3c边上的高为主包.

片+加-c?7+4-9_6

(2)因为cosC=

2ab-2xV7x2-14

可得sinC=Jl-cos2c=2^1,sin2C=2sinCcosC=>cos2C=2cos2C-l=--,

141414

所以sin(A-2C)=sinAcos2C-cosAsin2c=-x(--)-—x.

2142147

18.(1)证明：由5,向=3，+2(”+1)可得：S„=3S„,l+2n(n..2),

两式相减得：an+t=3«„+2,几.2,

又当〃=1时，有$2=3SI+4,即a2=2q+4=3q+2也适合上式,

,%=3%+2，

,4,+i+1=3(4+1)，

又%+1=3。0,

,数歹U｛《,+1｝是首项、公比均为3的等比数列;

(2)解：由(1)可知/+1=3",即凡=3"-1,

2x3"2x3"_1_______1_

'aa.~(3"-l)(3n+1-1)-3"-1"3n+l-1，

111111n1

+1<

=-一=-

丁32321334-..-+-13I3/»+12

-13W1-

-1-1-1

--

19.（1）证明：连结AC交加于点O,则O为AC的中2点，连结OE,

因为E为SC的中点，所以必〃OE,

因为S4仁平面皿无，OEu平面5/）£,

所以54〃平面BDE;

（2）解：因为S-ABCD是正四棱锥，所以O为顶点S在底面的射影,

故SO_L底面且AC_L8D,

故以点O为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示,

因为SA=4,AB=2,SE=3EC,

则A(在0,0),5(0,0,3扬,8(0,0,0),C(-0,0,0),E(-—,0,—),

44

所以耘=(夜,0,-3夜)，BE=(--,-72,—),

44

M|COS<SA^^BB=-V=—

则|SA||B©2&x典85，

2

故异面直线SA与BE所成角的余弦值为返.

85

20.高解：（I）设这个小球掉入5号球槽为事件4.掉入5号球槽，需要向右4次向左2

次,

所以P（A）=C：（；）2（；）“=^|.所以这个小球掉入5号球槽的概率为著.

（4分）

（II）小红的收益计算如下：每一次游戏中，J的可能取值为0,4,8,

12.P©=0)=P(m=4)=戏(I)3(〈)3=A,

2216

P短=4)=P(m=3)+尸(〃?=5)=*2(夕+嫁本(3=,

P/=8)=P(m=2)+P(m=6)=*)夕+*抬)=,,

P记=12)=P(m=1)+P(m=7)=<^(1)6+或(乎='.

£04812

p51531

1732T632

一次游戏付出的奖金心=0'磊+4*1|+8'得+12''=?,

159

则小红的收益为6—-=—.---------（8分）

44

小明的收益计算如下：每一次游戏中，〃的可能取值为0,1,4,9.

12,32

P®=0)=p(〃=4)=C；(-)(-)3=言，

।2240

PS=1)=P5=3)+P(n=5)=C：q)2(-)2+C：6)4=—,

333ol

I28

=4)==2)=C：($(-)=—,

P(〃=9)=P("=1)=(!)4=!.

:11的分布列为:

n0149

p324081

8?8?8181

32402i

一次游戏付出的奖金切=0x兴+lx黑+4x2+9x*=1,则小明的收益为4—1=3.

81818181

9

3>—,•,.小明的盈利多..............（12分）

4

21.解：（I）由题意知£=正，即①，

a23

^a2=b2+c2,可得I=[②,

3

x=c\x=c

联立Vy2,，解得h2，

b+F=1y=±—

Ia

则点M(c,—),

a

则|OM|=Jc2+(—)2=叵③,

\a2

联立①②③，解得c=a=2,b=l,

所以椭圆「的方程为%

（II）设直线4?的方程为y=gx+〃7,

I

y=—x+m

2

联立得2x24-4tnx+4(/n2-1)=0,

X2

—+V2=1

.4