中考数学复习满分突破（全国通用）：专题31 平移与旋转（原卷版）

专题31平移与旋转【考查题型】【知识要点】平移的概念：在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移变换。平移的性质：1）平移前后的两个图形形状和大小完全相同，对应角相等，对应边相等，平移前后两个图形的周长和面积相等。2）对应线段（或对应边）平行(或在同一直线上)且相等。3）任意两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等。旋转的概念：把一个平面图形绕着平面内某一点转动一个角度，叫作图形的旋转。【补充说明】如图所示，是绕定点O逆时针旋转得到的，其中点A与点A’叫作对应点，线段OB与线段叫作对应线段，与叫作对应角，点叫作旋转中心，（或）的度数叫作旋转的角度。【注意】1)图形的旋转由旋转中心、旋转方向与旋转的角度所决定.2)旋转中心可以在图形内，也可以是图形外。【图形旋转的三要素】旋转中心、旋转方向和旋转角。旋转的特征：1）对应点到旋转中心的距离相等（例：OA与OA’）；2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角(∠AOA’=∠BOB’=45°)；3）旋转前后的两个图形全等（△ABO≌△A’B’O）。旋转作图的步骤方法：1)确定旋转中心、旋转方向、旋转角；2）找出图形上的关键点；3）连接图形上的关键点与旋转中心，然后按旋转方向分别将它们旋转一定的角度，得到关键点的对应点；4）按原图的顺序连接这些对应点，即得旋转后的图形。平移、旋转、轴对称之间的关系：联系变化后不改变图形的大小和形状，对应线段相等、对应角相等。区别变化方式

不同平移：将一个图形沿某个方向移动一定距离。

旋转：将一个图形绕一个顶点沿某个方向转一定角度。

轴对称：将一个图形沿一条直线对折。对应线段、对应角之间的关系不同平移：变化前后对应线段平行（或在一条直线上），对应点连线平行（或在一条直线上），对应角的两边平行（或在一条直线上）、方向一致。

旋转：变化前后任意一对对应点与旋转中心的连线所称的角都是旋转角。

轴对称：对应线段或延长线如果相交，那么交点在对称轴上。确定条件

不同平移：距离与方向

旋转：旋转的三要素。

轴对称：对称轴考查题型一图形的平移典例1．（2022·广西·统考中考真题）2022北京冬残奥会的会徽是以汉字“飞”为灵感来设计的，展现了运动员不断飞跃，超越自我，奋力拼搏，激励世界的冬残奥精神下列的四个图中，能由如图所示的会徽经过平移得到的是（

）A． B． C． D．变式1-1．（2022·湖南怀化·统考中考真题）如图，△ABC沿BC方向平移后的得到△DEF，已知BC=5，EC=2，则平移的距离是（）A．1 B．2 C．3 D．4变式1-2．（2021·浙江绍兴·统考中考真题）数学兴趣小组同学从“中国结”的图案（图1）中发现，用相同的菱形放置，可得到更多的菱形．如图2，用2个相同的菱形放置，得到3个菱形．下面说法正确的是（

）A．用3个相同的菱形放置，最多能得到6个菱形B．用4个相同的菱形放置，最多能得到16个菱形C．用5个相同的菱形放置，最多能得到27个菱形D．用6个相同的菱形放置，最多能得到41个菱形变式1-4．（2019·四川乐山·统考中考真题）下列四个图形中，可以由图通过平移得到的是（）A． B． C． D．考查题型二利用平移的性质求解典例2．（2022·浙江嘉兴·统考中考真题）“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥．如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿对角线BD方向平移1cm得到正方形，形成一个“方胜”图案，则点D，之间的距离为（

）A．1cm B．2cm C．(－1)cm D．(2－1)cm变式2-1．（2022·福建·统考中考真题）如图，现有一把直尺和一块三角尺，其中，，AB＝8，点A对应直尺的刻度为12.将该三角尺沿着直尺边缘平移，使得△ABC移动到，点对应直尺的刻度为0，则四边形的面积是（

）A．96 B． C．192 D．变式2-2．（2021·四川雅安·统考中考真题）如图，将沿边向右平移得到，交于点G．若．．则的值为（

）A．2 B．4 C．6 D．8变式2-3．（2022·湖南益阳·统考中考真题）如图，将边长为3的正方形ABCD沿其对角线AC平移，使A的对应点A′满足AA′＝AC，则所得正方形与原正方形重叠部分的面积是_____．变式2-4．（2022·辽宁营口·统考中考真题）如图，将沿着方向平移得到，只需添加一个条件即可证明四边形是菱形，这个条件可以是____________．（写出一个即可）变式2-5．（2022·河南·统考中考真题）如图，将扇形AOB沿OB方向平移，使点O移到OB的中点处，得到扇形．若∠O＝90°，OA＝2，则阴影部分的面积为______．变式2-6．（2022·浙江台州·统考中考真题）如图，△ABC的边BC长为4cm．将△ABC平移2cm得到△A′B′C′，且BB′⊥BC，则阴影部分的面积为______．变式2-7．（2022·浙江金华·统考中考真题）如图，在中，．把沿方向平移，得到，连结，则四边形的周长为_____．考查题型三平移（作图）典例3．（2022·陕西·统考中考真题）如图，△ABC的顶点坐标分别为．将平移后得到，且点A的对应点是，点B、C的对应点分别是．(1)点A、之间的距离是__________；(2)请在图中画出△A变式3-1．（2022·浙江温州·统考中考真题）如图，在的方格纸中，已知格点P，请按要求画格点图形（顶点均在格点上）．(1)在图1中画一个锐角三角形，使P为其中一边的中点，再画出该三角形向右平移2个单位后的图形．(2)在图2中画一个以P为一个顶点的钝角三角形，使三边长都不相等，再画出该三角形绕点P旋转后的图形．考查题型四平移的坐标变化规律典例4．（2021·山东日照·统考中考真题）在平面直角坐标系中，把点向右平移两个单位后，得到对应点的坐标是（）A． B． C． D．变式4-1．（2022·辽宁大连·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，将线段向右平移4个单位长度，得到线段，点A的对应点C的坐标是_______．变式4-2．（2022·山东淄博·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，平移△ABC至△A1B1C1的位置．若顶点A（﹣3，4）的对应点是A1（2，5），则点B（﹣4，2）的对应点B1的坐标是________．变式4-3．（2021·山东淄博·统考中考真题）在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点为，将点向左平移3个单位得到点，则的坐标为__________．变式4-4．（2021·湖北·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，动点P从原点O出发，水平向左平移1个单位长度，再竖直向下平移1个单位长度得到点；接着水平向右平移2个单位长度，再竖直向上平移2个单位长度得到点；接着水平向左平移3个单位长度，再竖直向下平移3个单位长度得到点；接着水平向右平移4个单位长度，再竖直向上平移4个单位长度得到点，…，按此作法进行下去，则点的坐标为___________．考查题型五利用旋转的性质求解典例5．（2022·内蒙古包头·中考真题）如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，其中点与点A是对应点，点与点B是对应点．若点恰好落在边上，则点A到直线的距离等于（

）A． B． C．3 D．2变式5-1．（2022·宁夏·中考真题）如图，直线，的边在直线上，，将绕点顺时针旋转至，边交直线于点，则______．变式5-2．（2022·辽宁阜新·统考中考真题）如图，在中，，，将绕点逆时针旋转，得到，则点到的距离是______．变式5-3．（2021·青海·统考中考真题）如图所示的图案由三个叶片组成，绕点O旋转120°后可以和自身重合，若每个叶片的面积为4cm2，∠AOB=120°，则图中阴影部分的面积为__________．变式5-4．（2022·山东济南·统考中考真题）如图1，△ABC是等边三角形，点D在△ABC的内部，连接AD，将线段AD绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AE，连接BD，DE，CE．(1)判断线段BD与CE的数量关系并给出证明；(2)延长ED交直线BC于点F．①如图2，当点F与点B重合时，直接用等式表示线段AE，BE和CE的数量关系为_______；②如图3，当点F为线段BC中点，且ED＝EC时，猜想∠BAD的度数，并说明理由．变式5-5．（2022·辽宁抚顺·统考中考真题）在中，，线段绕点A逆时针旋转至（不与重合），旋转角记为，的平分线与射线相交于点E，连接．(1)如图①，当时，的度数是_____________；(2)如图②，当时，求证：；(3)当时，请直接写出的值．变式5-6．（2022·山西·中考真题）综合与实践问题情境：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8．直角三角板EDF中∠EDF=90°，将三角板的直角顶点D放在Rt△ABC斜边BC的中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板的两边DE，DF分别与边AB，AC交于点M，N，猜想证明：（1）如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边AB的中点时，试判断四边形AMDN的形状，并说明理由；问题解决：（2）如图②，在三角板旋转过程中，当时，求线段CN的长；（3）如图③，在三角板旋转过程中，当AM=AN时，直接写出线段AN的长．变式5-7．（2021·贵州黔西·中考真题）如图1，D为等边△ABC内一点，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，连接CE，BD的延长线与AC交于点G，与CE交于点F．（1）求证：BD＝CE；（2）如图2，连接FA，小颖对该图形进行探究，得出结论：∠BFC＝∠AFB＝∠AFE．小颖的结论是否正确？若正确，请给出证明；若不正确，请说明理由．变式5-8．（2021·湖南株洲·统考中考真题）将一物体（视为边长为米的正方形）从地面上挪到货车车厢内．如图所示，刚开始点与斜面上的点重合，先将该物体绕点按逆时针方向旋转至正方形的位置，再将其沿方向平移至正方形的位置（此时点与点重合），最后将物体移到车厢平台面上．已知，，过点作于点，米，米．（1）求线段的长度；（2）求在此过程中点运动至点所经过的路程．考查题型六旋转（作图）典例6．（2022·湖南·统考中考真题）如图所示的方格纸格长为一个单位长度）中，的顶点坐标分别为，，．(1)将沿轴向左平移5个单位，画出平移后的△（不写作法，但要标出顶点字母）；(2)将绕点顺时针旋转，画出旋转后的△（不写作法，但要标出顶点字母）；(3)在（2）的条件下，求点绕点旋转到点所经过的路径长（结果保留．变式6-1．（2020·辽宁阜新·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，顶点的坐标分别为，，．（1）画出与关于y轴对称的；（2）将绕点顺时针旋转90°得到，弧是点A所经过的路径，则旋转中心的坐标为___________．（3）求图中阴影部分的面积（结果保留）．变式6-2．（2020·湖北武汉·中考真题）在的网格中建立如图的平面直角坐标系，四边形的顶点坐标分别为，，，．仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图，并回答问题：（1）将线段绕点逆时针旋转，画出对应线段；（2）在线段上画点，使（保留画图过程的痕迹）；（3）连接，画点关于直线的对称点，并简要说明画法．考查题型七旋转的坐标变化规律典例7．（2022·山东青岛·统考中考真题）如图，将先向右平移3个单位，再绕原点O旋转，得到，则点A的对应点的坐标是（

）A． B． C． D．变式7-1．（2022·黑龙江绥化·统考中考真题）如图，线段在平面直角坐标系内，A点坐标为，线段绕原点O逆时针旋转90°，得到线段，则点的坐标为（

）A． B． C． D．变式7-2．（2022·河南·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合，轴，交y轴于点P．将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点A的坐标为（

）A． B． C． D．变式7-3．（2022·四川内江·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点B、C、E在y轴上，Rt△ABC经过变换得到Rt△ODE，若点C的坐标为(0，1)，AC=2，则这种变换可以是（

）A．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移3B．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移1C．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移1D．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移3变式7-4．（2022·贵州安顺·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，将边长为2的正六边形绕点顺时针旋转个，得到正六边形，当时，正六边形的顶点的坐标是（

）A． B． C． D．变式7-5．（2021·黑龙江牡丹江·统考中考真题）如图，△AOB中，OA＝4，OB＝6，AB＝2，将△AOB绕原点O旋转90°，则旋转后点A的对应点A′的坐标是（

）A．（4，2）或（﹣4，2） B．（2，﹣4）或（﹣2，4）C．（﹣2，2）或（2，﹣2） D．（2，﹣2）或（﹣2，2）变式7-6．（2021·四川达州·统考中考真题）在平面直角坐标系中，等边如图放置，点的坐标为，每一次将绕着点逆时针方向旋转，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到，第二次旋转后得到，…，依次类推，则点的坐标为（）A． B．C． D．变式7-7．（2022·山东淄博·统考中考真题）如图，正方形ABCD的中心与坐标原点O重合，将顶点D（1，0）绕点A（0，1）逆时针旋转90°得点D1，再将D1绕点B逆时针旋转90°得点D2，再将D2绕点C逆时针旋转90°得点D3，再将D3绕点D逆时针旋转90°得点D4，再将D4绕点A逆时针旋转90°得点D5……依此类推，则点D2022的坐标是________．考查题型八旋转综合题（与线段有关）典例8．（2022·广西柳州·统考中考真题）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，G是BC的中点，点E是正方形内一个动点，且EG＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接CF，则线段CF长的最小值为_____．变式8-1．（2022·辽宁盘锦·中考真题）如图，四边形ABCD是正方形，△ECF为等腰直角三角形，∠ECF＝90°，点E在BC上，点F在CD上，P为EF中点，连接AF，G为AF中点，连接PG，DG，将Rt△ECF绕点C顺时针旋转，旋转角为α（0°≤α≤360°）．(1)如图1，当α＝0°时，DG与PG的关系为；(2)如图2，当α＝90°时①求证：△AGD≌△FGM；②（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．变式8-2．（2022·江苏南通·统考中考真题）如图，矩形中，，点E在折线上运动，将绕点A顺时针旋转得到，旋转角等于，连接．(1)当点E在上时，作，垂足为M，求证；(2)当时，求的长；(3)连接，点E从点B运动到点D的过程中，试探究的最小值．考查题型九旋转综合题（与面积有关）典例9．（2022·宁夏·中考真题）综合与实践知识再现如图，中，，分别以、、为边向外作的正方形的面积为