2021届高考数学考前热身仿真模拟卷3（含答案解析）

2021届高考数学考前热身仿真模拟卷（新高考）（三）

一、单项选择题（本大题共8小题，共40分）

1.已知集合4={%|》2-x—6<0},3={x|x-l<0},则从口=（）

A.（-00,3]B.（-oo,21C.（-oo,l）D.[-2,1）

2.复数与立=（）

l+l

A.1—zB.1+iC.—1—iD.-1+/

3.平行四边形ABC。中，M为CD的中点，点N满足3=2祕，若通=4汨+切而，则;1+〃的值是（）

A.4B.2C.-D.-

42

4,2020年11月，中国国际进口博览会在上海举行，本次进博会设置了“云采访”区域，通过视频连线，帮助中

外记者采访因疫情影响无法来沪参加进博会的跨国企业CE。或海外负责人.某新闻机构安排4名记者和3名摄

影师对本次进博会进行采访，其中2名记者和1名摄影师负责“云采访”区域的采访，另外2名记者和2名摄

影师分两组（每组记者和摄影师各1人），分别负责“汽车展区”和“技术装备展区”的现场采访.如果所有记

者、摄影师都能承担三个采访区域的相应工作，则所有不同的安排方案有（）

A.36种B.48种C.72种D.144种

5.函数f（x）=x2-|sinx|在[-工马上的图象大致为（）

6.国防部新闻发言人在2020年9月24日举行的例行记者会上指出：“台湾是中

国不可分割的一部分，解放军在台海地区组织实兵演练，展现的是捍卫国家主

权和领土完整的决心和能力”，如图为我空军战机在海面上空绕台巡航已知海

面上的大气压强是76bmmHg,大气压强p（单位：和高度/?（单位：m）之

间的关系为〃=760《似（6是自然对数的底数，攵是常数），根据实验知500m高

空处的大气压强是700m机Hg,则我战机在1000根高空处的大气压强约是（结果保留整数）（）

A.645mmHgB.646m/nHgC.647mmHgD.648〃z〃2”g

7.已知双曲线C：1一上=1（4>01>0）的右焦点为尸，两渐近线分别为4：y=-x,/2：y=--x,过/作人的

arb~aa

垂线，垂足为M,该垂线交与于点M。为坐标原点，若|OF|=|7W|,则双曲线C的离心率是（）

A.V2B.—C.0D.—

23

1

8.已知函数/（x）=a（x+l）e*-x,若存在唯一的正整数%,使得则实数a的取值范围是（）

二、多项选择题（本大题共4小题，共20分）

9.习总书记讲到：“广大人民群众坚持爱国奉献，无怨无悔，让我感到千千万万普通人最伟大，同时让我感到幸

福都是奋斗出来的”.某企业2019年12个月的收入与支出数据的折线图如图：

已知：利润=收入-支出，根据该折线图，下列说法正确的是（）

A.该企业2019年1月至6月的总利润低于2019年7月至12月的总利润

B.该企业2019年第一季度的利润约是60万元

C.该企业2019年4月至7月的月利润持续增长

D.该企业2019年11月份的月利润最大

10.下列命题为真命题的是（）

A.若ac2>be：则B.若a>b,则

2

D.若a>A>0,则幽>1

C.若a>0,h>0,则N2。”-

a+bIgZ?

11.如图，在正四棱柱ABCD-AMGR中，=248=2,点P为线段AR上一动点，则下

列说法正确的是（）

A.直线抽〃平面BCQ

B.三棱锥P-8CQ的体积为！

C.三棱锥A-8CQ外接球的表面积为包

D.直线产用与平面BCG四所成角的正弦值的最大值为4

2

12.已知数列｛a,J满足：an^an=\+an,q=l,设〃,=lna"(〃wN"),数列｛2｝的前"项和为S”,则下列选项正确

的是()(ln2®0.693,In3«1.099)

A.数列心,i｝单调递增，数歹U｛%,｝单调递减

B.bn+bn+i<In3

C.S2O2O>693

D.瓦"_、>b2n

三、填空题(本大题共4小题，共20分)

13.已知(2+"ur)(l+x)3的展开式中V的系数为5,贝=.

14.已知sin(a--)=一3cos(a--),则tan2a=.

15.已知奇函数/(x)在(0,s)上单调递减，且f(4)=0,则不等式_vf(x+l)>0的解集为.

16.已知直线/与抛物线C：V=8x相切于点尸，且与C的准线相交于点T,F为C的焦点，连接PF交C于另一

点。，则APTQ面积的最小值为;若|TF|=5,则|PQ|的值为.

四、解答题(本大题共6小题，共70分)

17.在①+c?,(2)acosB=bsinA,③sin8+cos8=0这三个条件中任选一个，补充在下面的问题

中，并解决该问题.

已知AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,,A=-,b=-/2,

3

(1)求角B；

(2)求AABC的面积

18.已知数列｛a“｝满足4+2a2+34+…+叫=(«-!)•2"+|+2(〃eN*).

(1)求数列｛约｝的通项公式；

(2)若么=log”,2,则在数列｛2｝中是否存在连续的两项，使得它们与后面的某一项依原来顺序构成等差数

歹U?若存在，请将这样的两项都探究出来；若不存在，请说明理由.

3

19.如图，已知四棱锥的底面为直角梯形，且满足A3〃CO,

BCLAB,49=9,BC=CD=SD=6,SB=12,平面SCOJ_平面SBC”

为线段SC的中点，N为线段上的动点.

(1)求证：平面SCD_L平面4BCZ)；

(2)设4V=/lNS(/l>0),当二面角C—ZW—N的大小为60。时，求；I的

值.

20.在学期末，为了解学生对食堂用餐满意度情况，某兴趣小组按性别采用分层抽样的方法，从全校学生中抽取容

量为200的样本进行调查.被抽中的同学分别对食堂进行评分，满分为100分.调查结果显示：最低分为51分,

最高分为100分.随后，兴趣小组将男、女生的评分结果按照相同的分组方式分别整理成了频数分布表和频率分

布直方图，图表如下:

分数区间频数

150,60)3

160,70)3

[70,80)16

[80,90)38

[90,100]20

男生评分结果的频数分布表为了便于研究，兴趣小

组将学生对食堂的评分转换成了“满意度情况”，二者的对应关系如下:

分数[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

满意度情况不满意一般比较满意满意非常满意

⑴求“的值;

(II)为进一步改善食堂状况，从评分在150,70)的男生中随机抽取3人进行座谈，记这3人中对食堂“不满意”

的人数为X,求X的分布列；

(III)以调查结果的频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取一名学生，求其对食堂“比较满意”的概率.

4

21.己知椭圆C：与+£=1(。＞匕＞0)的离心率为0，点(g,夜)在椭圆C上.A、B分别为椭圆C的上、下顶点,

ab~3

动直线/交椭圆C于P、Q两点，满足AP_LAQ,AH1.PQ,垂足为凡

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)求AAB”面积的最大值.

22.已知函数f(x)=-g+lnx.

X

(1)讨论函数/(X)的单调性；

(2)若。=1,证明/(1)＞—e*.

X

5

2021届高考数学考前热身仿真模拟卷(新高考)(三)

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：•.•集合人="|犬-x-6领0}={x|-2A?3},B={x|x-l<0)={x|x<l),=3}=(-OO,3].

故选：A.求出集合A,B,由此能求出Aljb

本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

2.【答案】C

(1-/)2_1-2z+i2_-2i_-2;(1-i)-2z+2r

【解析】解：复数--

1+z-1+iT+7(1+/)(1-/)I-/2

故选：C.

利用复数的运算法则直接求解.

本题考查复数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

3.【答案】D

___12-.

【解析】解：根据题意可得，DM=-DC,BN=-BC,

23

因为祐=AAM+juAN,所以荏=4(而+DM)++BN)

=A(AD+^DC)+^(AB+^BC)=AAD+^DC+^AB+^-BC=AAD+^AB+^AB+=^-AD,

1----//=0A=-1

故(1一4—〃)通=(4+")而，由平面向量基本定理可得2,解得3,所以4+〃=L

232+^=0〃=52

I3Iz

故选：D.

利用〃为CD的中点，点N满足的=2NC，得到=一。己丽=一8。，再将等式AB=AAM+juAN转化成AB,AD

23

的关系，从而得到4,〃的方程，求解即可.

本题考查了平面向量基本定理的应用，涉及了平面向量的数乘和线性运算，用平面向量基本定理解决问题的一般思

路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.

4.【答案】C

【解析】解：根据题意，分3步进行分析:

①在4名记者中任选2人，在3名摄影师中选出1人，安排到“云采访”区域采访，有C；C；=18种情况,

②在剩下的外2名记者中选出1人，在2名摄影师中选出1人，安排到“汽车展区”采访，有C；C；=4种情况,

③将最后的1名记者和1名摄影师，安排到“技术装备展区”采访，有1种情况，

则有18x4=72种不同的安排方案，

6

故选：c.

根据题意，分3步进行分析：①在4名记者中任选2人，在3名摄影师中选出1人，安排到“云采访”区域采访，

②在剩下的外2名记者中选出1人，在2名摄影师中选出1人，安排到“汽车展区”采访，③将最后的1名记者和

1名摄影师，安排到“技术装备展区”采访，由分步计数原理计算可得答案.

本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题.

5.【答案】B

【解析】解：因为/(-x)=/(x),所以/(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，故排除C与D

因为f(三)=二-,<0,所以排除A,故选：B.

6362

利用函数的奇偶性排除选项C和力；通过特殊值排除选项A,即可推出结果.

本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及特殊点的位置是常用方法，是基础题.

6.【答案】A

【解析】解：•.•500加高空处的大气压强是700〃?〃?Hg,./(X^GO产，即产=强

70

当〃=1000m时，有v=76Oe-1000*=760.(1)2=760x(静=645.

故选：A.

由题意知，700=760”5°°0求出100"的值，再代入"=760/°°板中，求得p的值，即可.

本题考查函数的实际应用，熟练掌握指数的运算法则是解题的关键，考查学生的运算求解能力，属于基础题.

7.【答案】D

【解析】解：由题意,F(c,0),\-FMLlk则直线的方程为丫=-凶(》-0),

]fFMbb

ba~2c

y=——xx=-~

aa/r

联立解得~,得N()，

abc,a2_b2

y=~(x-c)

b一亦

abc(c2-a2)c4

■.■b2=c2-a2,;.|FN|=J(c-)+(汴)2

cr-h2

•.1OFHFNI，；.c=J(c；a?c；,整理得4/=3。2,BPe=-=—,

\(2a2-c2)2a3

故选：D.

由已知求得FM所在直线方程，进一步求得N点坐标，再由两点间的距离公式结合|OF|=|FN|列式求解双曲线的离

心率.

本题考查双曲线的几何性质，考查运算求解能力，是中档题.

8.【答案】C

7

【解析】解：函数f(x)=a(x^l)ex-x,

因为存在唯一的正整数/，使得/(xJvO,

即存在唯一的正整数x,使得a(x+i)<2,

ex

令/i(x)=a(x+l),g(x)=/，问题即转化为存在唯一的正整数x,使得h(x)<g(x),

ex

g'(x)=L~^，令g'(x)=O,解得x=l,

所以g(x)在(-oo,l)上为单调递增函数，在区间(1,+oo)上为单调递减函数,

所以g(x)3=g6=,，〃(*)=。。+1)过定点。(一1,0)，

e

当④()时，有无穷多个x的值使得/?(x)<g(x),当”>0时，函数〃(x)单调递增,

由图象可以分析得到只有正整数X=1使得/?(x)<g(x),

2

io)二一相=2

令41『(町)’则「不二，^AB

2-(-1)3/

山图可知,实数”的取值范围为之,,"-k

3/2e

故选：C.

构造新函数〃(x)=a(x+l),g(x)=±，将问题转化为存在唯一的正整数x,使得〃(x)<g(x),利用导数研究函数g(x)

e

的单调性，进而求出g(x)的最大值，然后利用版幻经过定点“即为A(x)的斜率，利用图象进行分析求解,

即可得到答案.

本题考查了导数在函数问题中的应用，涉及了利用导数研究函数的单调性、最值，解题的关键是构造函数，将问题

转化为两个函数的图象进行研究.

9.【答案】AC

【解析】解：由企业2019年12个月的收入与支出数据的折线图，得：

在A中，该企业2019年1月至6月的总利润约为：

用=(30+40+35+30+50+60)-(20+25+10+20+22+30)=118,

该企业2019年7月至12月的总利润约为：

(80+75+75+80+90+80)-(28+22+30+40+45+50)=265,

.­.该企业2019年1月至6月的总利润低于2019年7月至12月的总利润，故A正确；

在B中，该企业2019年第一季度的利润约约是：

(30+40+35)-(20+25+10)=50万元，故B错误；

在C中，该企业2019年4月至7月的月利润分别为(单位：万元)：10,28,30,52,

该企业2019年4月至7月的月利润持续增长，故C正确；

在。中，该企业2019年7月和8月的月利润比11月份的月利润大，故。错误.

8

故选：AC.

由企业2019年12个月的收入与支出数据的折线图直接求解.

本题考查命题真假的判断，考查折线图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

10.【答案】ABC

【解析】解：对于A：若ac2>bc"则故A正确：

对于C：若。>0,%>0,根据不等式中算术平均数和调和平均数的关系，则/区成立，故C正确；

a+h

对于£>：由于所以lga>lg〃，整理得画>1,故。错误.

lgb

直接利用不等式的性质和对数的性质的应用判断A、8、C、。的结论.

本题考查的知识要点：不等式的性质，对数的性质，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题.

11.【答案】AB

【解析】解：作辅助线如图.

对于A,因为AR〃Bq,//AB,IIDC,II,所以平面//平面8CQ,u平面AQR从

而直线尸片〃平面BCQ,则A对；

对于B,由4知，平面4qR〃平面8G。，P点在平面所以

==

r-0BCC]£Dz^A-OBVC|DU^CV]—ABD=3—2ll,2=—3；则B对；

对于C,三棱锥R-BG。外接球的半径R=g.AG=g712+l2+22=g底,

所以三棱锥R-80。外接球的表面积为5=4万炉=4万§卡f=6万，则C错;

对于D,因为当J.AR时，耳尸最短，此时直线PBt与平面BCGg所成角的正弦值的最大，先用等面积法求BtP,

B,P.#77=护+22+(争•&=Bf=栏n直线段与平面BCC内所成角的正弦的最大值为金=招

则。错；

故选：AB.

根据平行平面判断A,用等体积法判断B,求外接球表面积判断C,求线面成角判断D

本题以命题的真假判断为载体，考查了立体几何中线面平行判定，考查了面积与体积计算，属中档题.

12.【答案】ABC

【解析】解：因为4=1,a,l+la„=l+an,所以.=色立即限=出以，

4,a”+1

令g(x)=31±I,则g，(x)=_J_>o,所以g(x)单调递增，

x+1(x+l)2

所以巴乜乜>0,所以｛%,),｛小一｝都单调，

n—a

n2

9

又因为%>4所以&,1｝单调递增，｛%“｝单调递减，故4正确;

欲证bn+b„+l=Ina„+Inan+t=ln(a„a„+l)„In3,即an-a„+l„3,即+L,3，即an„2，

由。的=48，上式可化为4工1,2,即％.」，

a„%

a+

显然〃=2时，4=1,当〃..3时，an,="~->1,故a-1成立,

an-2

所以原不等式成立，故8正确，

因为4e[1,2]，所以anall+i=an(1+—)=an+1e[2,3],

所以2+d+ie[ln2,ln3"S2020..10101n2>693,故C正确;

因为以<空，若“竽则"2-4<2-逅工6+1

2

2

因为生=2>"，若%,>与1，则%“2=2-一—>2—目一=”

22a2n+1V5+12

2

由数学归纳法,/“.I<史;1<,则。2〃一1<。2“，b2n一]<b?”,故数不正确.

故选：ABC.

根据%+4=1+4,可得%”=4旦，从而可得〃“+2=也±1,构造函数g(x)=2里，利用导数研究其单调性从而

4%+1x+1

可判定选项A,利用分析法欲证In3,即证为,,2,从而可判定B,根据氏的范围可求出〃+。向的范围,

从而可判定选项C,

由数学归纳法可判定选项D

本题主要考查了数列的递推关系，以及数学归纳的应用，解题的关键是构造函数，利用导数研究其单调性，同时考

查了学生的运算求解的能力.

13.【答案】1

【解析】根据多项式乘积的关系进行讨论求解即可.

本题主要考查二项式定理的应用，结合多项式乘法关系进行讨论是解决本题的关键.比较基础.

【解答】

解：要得到V项，当第一式子取2时，第二个式子取V,

当第一式子取inx时，第二个式子取C^x2,

则/的系数为2xl+”C；=2+3/%

・.・3的系数为5,

...2+3m=5,得帆=1，

故答案为：1.

10

14.【答案】-4>/3

【解析】本题考查三角函数关系式的恒等变换，属于基础题型.直接利用三角函数的关系式的变换和应用求出结果.

【解答】

JrTT

解：由于sin(a——)=-3cos(«----),

36

63G3.

所以Lina-——cosa=-------cosa——sina

2222

整理得gcosa=-2sina,

所以tana=--,

2

则tan2a==-473,

1-tan^a

故答案为-46.

15.【答案】(-5,-l)(J(0,3)

【解析】解：•・•奇函数/(x)在(0,+oo)上单调递减，且/(4)=0,

/./(%)在(-oo,0)上单调递减，且/(-4)=-/(4)=0,

.,.当x<Y或0cx<4时，/(x)>0,当Y<x<0或x>4时，/(%)<0,

x>0fx<0x>0Jx<0

•.W(x+l)>0等价于

f(x+l)>0或伍X+1)<0x+l<V•或0<x+l<4〜[-4<尤+1(0或x+l)4

解得0<x<3或—5<x<—1不等式#(x+l)>0的解集为(-5,-l)|J(0,3).

故答案为：(-5,-l)|J(0,3).

先确定函数/(x)在(-oo,0)上单调递减，且/(-4)=0,再将不等式等价变形，即可得到结论.

本题考查函数单调性与奇偶性的结合，考查学生的计算能力，属于基础题.

16.【答案】16—

2

【解析】解：设直线PQ的方程为x="y+2(恒过定点尸(2,0))与抛物线联立卜+

[y=8x

可得y?-8利一16=0,所以△=64/+64>0恒成立，设尸(西,弘)，。(々，为)，则有凹+必=8〃，％必=一16,

设抛物线在点尸处的切线为》=阳+八与抛物线方程联立可得犬-8冲-8r=0,

[y=8x

切线与抛物线只有一个公共点，所以A=64>+32f=0,解得r=-2>，

2

方程可变为y?-8"9+16〉=0,故y=4相，所以“=[■/=一十

抛物线在点P处的切线为x=&y-至，

48

11

2A=—y----------

同理抛物线在点。处的切线方程为x=&y-%,将两条切线方程联立可得48,,

48丫_必丫」

T

.”=-2

解得8,所以两条切线的交点为(-2,4〃)，在准线x=-2上，故该交点即为点T,

产入±&=4“

[2

设点7到直线P0的距离为d,将直线PQ写成一般式即x-〃y-2=0,故d」[〃--4|=4行1,

Vn2+1

11i-----2

spQd=X22

所以.TPQ=-28(〃2+1)X4+1=16(n+1),所以当〃=0时，S^TPQ有最小值16,

点T的坐标为(一2,4〃)，F(2,0),所以蜂=，161+16=5,所以16/+16=25,即8/=2,

2

^PQ=PF+QF=(xt+2)+(%+2)=(〃乂+4)+(ny2+4)=〃(必+%)+8=8/+8,

所以*81+8=1.故答案为：16；y.

设出直线PQ的方程与抛物线联立,设抛物线在点P处的切线方程与抛物线联立，利用切线与抛物线只有一个交点，

得到得f=-2射的关系，同理求出抛物线在点。处的切线方程，联立两条切线方程，两条切线的交点为(-2,4〃)，

在准线x=-2上，故该交点即为点T,然后利用点到直线的距离公式求出三角形的高，把三角形的面积表示出来求

解最值即可，然后将PQ表示出来即可得到答案.

本题考查了抛物线的综合应用，涉及了直线与抛物线位置关系的应用、抛物线定义的应用、点到直线距离公式的应

用以及韦达定理的应用，综合性强，计算量大，对学生有较高的要求，属于中档题.

17.【答案】解：(1)若选①，由余弦定理得，cosB=m=也吧力,

2ac2ac2

因为3c(0,))，所以B=工.

4

若选②，由正弦定理知，—=—=—=2/?,

sinAsinBsinC

因为6/cosB=>sinA,所以sinAcosB=sinBsinA，

又Aw(0㈤,所以sinA>0,所以cosZ?=sinB,

又8w(0,%),所以tanB=l,即3=军.

4

若选③，由sin8+cosB=0得，V2sin(B+-)=>/2,

4

所以sin(5n——)=1,

4

又8€(0,1)，所以8+生€(△,色),

444

所以3+工=工，解得3=工.

424

12

b

(2)由正弦定理得,—,

sinAsinB

又A=工，b=\/2，B=J

34

百

X-------

fesinAC二I一噢

所以〃=-----

sinB

2

匚匚I、〕.「.5万.,冗冗、.71n71.nV6+V2

所以sinC=sin——=sin(——F—)=sin—cos—+cos—sin—=-------，

124646464

所以SA8c=」absinC='x6x夜+

“8c2244

【解析】(1)若选①，由余弦定理即可得解；

若选②，利用正弦定理将将acos8=bsinA中的边化为角，可求得tan8的值，从而得解；

若选③，结合辅助角公式可推出sin(B+^)=l,再由3€(0,万)，即可得解：

4

(2)由正弦定理求出。的值，由正弦的两角和公式求出sinC,根据S=IqbsinC,即可得解.

2

本题考查解三角形与三角恒等变换的综合应用，熟练掌握正弦定理、余弦定理、正弦面积公式与正弦的两角和公式

是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.

/H1

18.【答案】解：(1)由题意，得q+24+3%:---Fiicin=(7?-1),2+2,

当〃..2时，%+2%+3%4---F(九—I)。,1=(〃-2)•2"+2,

两式相减，得也〃=5-1)-2向一(〃一2)-2"，即4=2".

当刃=1时,4=2,也满足上式，所以数列｛〃〃｝的通项公式凡=2〃.

2=康1

(2)

=1"n

法一：4=1,%=g，显然不适合；b2=~94=g适合,

即伪=1,b3=-,4,=,构成公差为-，的等差数列；

2366

4=1,仇」适合，

-34

即a=1,b",d=1构成公差为-，的等差数列；

346612

当〃..4时，假设2，%,**伏..2)成等差数列,

bb

则超向=„+„+k-

口n»—,.21n—1

即bp=2%-b,=———=-y-=--------z—

n+1n〃+〃乙

〃+2+---

n-\

13

7

而当〃..4时，上任N",所以么以不是数列｛2｝中的项，

n-\

所以当〃..4时：不存在连续两项，使之与数列后面某一项依原顺序成等差数列.

综上，仇,4和4，"适合条件.

法二：4=1,〃2=g显然不适合;

当儿.2时,设3%,优+人.（丘.2）成等差数列，则纥㈤=2+2+北，

2112

即==±+',解得％=2+」.

n+\nn+kn—1

当〃=2时，k=4,则"=',h.=~,年=1构成公差为的等差数列；

当”=3时，k=3,则仇=Lh4=~,亳=工构成公差为-上的等差数歹I；

3346612

当儿.4时,上任N*,则/N,所以4+卜不是数列｛"｝中的项,

n-\

所以当九.4时，不存在连续两项，使之与数列后面某一项依原顺序成等差数列.

综上，b2,仇和打，打适合条件.

【解析】（1）直接利用数列的递推关系式和已知条件建立等量关系，进一步求出数列的通项公式；

（2）直接利用尝试法进行判断.

本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法及应用，验证法在数列中的尝试，主要考查学生

的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题.

19.【答案】证明：（1）•"。=8..1^5。。为等腰三角形.

又为SC的中点，:.DM±SC.

又♦.・平面SCD±平面SBC,平面SC£）n平面SBC=SC且DMu平面SCD,

由平面与平面垂直的性质定理可知，DMI平面SBC.

又­.•BCu平面SBC,由直线与平面垂直的性质可知DMA.BC,

又TBCLCD,DMP\DC=D,DWU平面SC。，CDu平面SCD

\CDJL平面CDS,­.-BCu平面SCD,又­.•BCu平面ABCD,平面SCD±平面ABCD.

(2)(方法一)由⑴可知，8c，平面SDC,:.BC±SC.

在中，SC=y]SB2-BC2=7122-62=V108=6^3.

222

在AS/)C中，由余弦定理可知，cosNSDC=SD+DU-SC-6+6-(6^)_1

2SD-DC2x6x62

・・・NSDCG(0°,l80°),・•・ZSDC=120°.

过点N作NGJ_C。于点G,G为垂足，则NG〃3C,

14

•••3C_L平面SCO,..NGJ_平面SCQ,

•••DMu平面SCO,.•.。0_1可6.过点6作6度_1_00于点长，K为垂足,

-.-DMYGK,DMING,NGp|GK=G,:.DM1,^NGK.

又•：NKu平面NGK,;.DMLNK,

NGKN即为二面角C—DM-N的平面角，

在RtNGK中/NKG=&）°,tan60°=—=—,..GK=4==2后，

4GKGKC

在RiDKG.ZKDG=60°,sin60°=——=—,DG=^-=4,

△DGDGJi

T

AN7

■.GC=CD-DG=6-4=2,:.NB=GC=2,AN=AB-NB=9-2=7,:.A=——=-.

NB2

（方法二）由（1）可知，3cd.平面SCC,.•.3C_LSC

在RMSCB中，SC=ylSB2-BC2=x/122-62=^=6^,

在ASDC中，由余弦定理可知cosNSDC=SD'DC?-SC[=々+6-伊后=一!，

2SDDC2x6x62

NSDCe（0",l80°）,.-.ZSDC=120°,

过s点作线段CO的延长线的垂线，垂足为。，

­.•Z.SDC=120°ZSDO=60°,:.OD=-SD=3,，OC=9,

2

四边形ABCO为矩形.

由平面S8_L平面4BCZ）可知，SO_L平面ABCO

以OA所在直线为x轴，0C所在直线为y轴，OS所在直线为z轴建立空间直角坐标

15

33万

设A2V=a(a>3),则N(6,〃,0),而=(6,〃一3,0),DM=(0-,—)，

22

f勺.DN=6x+(a-3)y=0

设平面£>MN的法向量4=(x,y,z),由_a%、八,令z=6，得>=一3,%=^，

DM=—y+—^—z=02

.♦同=(@丁,一3,百)，又•.•平面CZW的法向量1=(1,0又),

.•.|cos〈n,,n2)|="""=[2-------=cos60。=—,-----------=—,

6卜1%13(尸+9+32(",)2+124

4(=)2=(一)2+12.-.3(二)2=12,••.(一)2=4,

2222

-.-a>3,二巴巨=2,.-.a=7,即4V=7,NB=AB-AN=9-1=2,.-.2=—=-.

2NB2

【解析】(1)证明DW_LSC.推出DW_L平面SBC.DW_LBC,结合8C_LC£),推出CD_L平面CZ)S,然后证明平

面S8_L平面ABCD

(2)(方法一)求出NS£>C=120。.过点N作NG_L8于点G,G为垂足，则NG〃BC,点G作GK_LDM于点K,

K为垂足，连接NK.说明NGKN即为二面角C-DM-N的平面角，通过求解三角形推出结果即可.

(方法二)以。4所在直线为x轴，0C所在直线为)，轴，OS所在直线为z轴建立空间直角坐标系.求出平面。MN

的法向量，平面C£»M的法向量利用空间向量的数量积求解”，然后转化求解4即可.

本题考查直线与平面垂直的判断定理以及平面与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想

象能力，转化思想以及计算能力.

20.【答案】解:(I)因为(0.005+4+0.020+0.040+0.020)x10=1,所以a=0.015.

(H)依题意，随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.

尸—。)=等*，=等*，P(X=2)=等*-3)=等得

所以随机变量X的分布列为:

X0123

1991

P

20202020

(IH)设事件A="随机抽取一名学生，对食堂'比较满意'”.

因为样本人数200人，其中男生共有80人，

所以样本中女生共有120人