2021届高考高三数学三轮复习模拟考试卷（三）

高三模拟考试卷（三）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1.（5分）已知集合4=屏|丫=>/16-%2},B={x\lg（x-2）„1},贝1]4「|3=（）

A.（2,3]B.[-4,4]C.[2,4）D.(2,4]

2.（5分）复数z=±W的共朝复数的虚部为（）

1

A-1.厂1

A.——iBD.—iC・——

222

3.（5分）已知向量A,方不共线，5.c=（3k+2）a+b,d=a+kb,若1与2方向相反，则

实数攵的值为（）

D.-1或1

A.-1B.--C.1或—2

23

V*—1

4.(5分)已知函数/(幻=/〃1---+asinx+2,且fO)=5则/(一㈤=()

A.-5B.-3C.-1D.3

5.（5分）甲、乙两名射击运动爱好者在相同条件下各射击10次，中靶环数情况如图所示.则

A.7,7B.7,1.2C.1.1,2.3D.1.2,5.4

6.（5分）已知a是第四象限角，且sina=-9，则cos（2a+?）=（

)

B及7应D.逑

A.

1010丁10

7.（5分）圆£+,2=4上任意一点用到直线力十分―15=0的距离大于2的概率为（）

8.（5分）设函数/'（工）=工3+/¥+皿1£/?）.当机＞3时，对于三角形的内角A,若

存在X£|-l,0］,使一cos?A）＜/（-工一854-1）成立，则A的可能取值是（）

A.2B.红C.也D.红

5853

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中。有多项

符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的对2分，有选错的得0分。

9.（5分）下列命题为真命题的是（）

A.若。＞6,则B.若。＞人＞0,则侬＞1

2Igb

C.若〃＞0,b＞0,则疑…2^D.若“＞〃，则42＞人C?

a+b

10.（5分）下列说法正确的是（）

A.将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a后，方差也变为原来的a倍

B.若四条线段的长度分别是1,3,5,7,从中任取3条，则这3条线段能够成三角形

的概率为工

4

C.线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱

D.设两个独立事件A和B都不发生的概率为1,A发生且B不发生的概率与B发生且A

9

不发生的概率相同，则事件A发生的概率为2

3

11.（5分）已知函数/（；0=$皿3*-9）（一1＜e＜/）的图象关于直线》=（对称，贝卜）

A.函数y=f（x）的图象向左平移卷个单位长度得到的图象关于原点对称

B.函数y=f（x）在［0,刍上单调递增

4

C.函数y=/（外在［0,2加有且仅有3个极大值点

D.若"（石）-/（七）|=2,则值-马|的最小值为把

12.（5分）过抛物线V=4x的焦点F作直线交抛物线于A（%，％）,Bg,%）两点，M

为线段AB的中点，贝1（）

A.以线段Afi为直径的圆与直线x=-l相切

B.以线段BF为直径的圆与y轴相切

,__-,9

C.当AF=3所时，

D.弧9=-3（0为坐标原点）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.（5分）已知tana=1，则疝2"sin2a的值为_.

31+cos2a

14.（5分）函数〃x）=2x+cosx在点（2,左）处的切线与两坐标轴围成的三角形面积是.

2

15.（5分）已知命题p:aa,,0,命题q:xe*-a>0.若p是4的充分条件，则a的取值

x+\

范围为.

16.（5分）2020年是苏颂诞辰1000周年.苏颂发明的水运仪象台被誉为世界上最早的天文

钟.水运仪象台的原动轮叫枢轮，是一个直径约3.4米的水轮，它转一圈需要30分钟.如

图，当点P从枢轮最高处随枢轮开始转动时，退水壶内水面位于枢轮中心下方1.19米处.此

时打开退水壶出水口，壶内水位以每分钟0.017米的速度下降，将枢轮转动视为匀速圆周运

动，则点P至少经过12分钟（结果取整数）进入水中.（参考数据：cos史“0.98,

15

四、解答题：本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（10分）已知AA8C的内角A、B、C所对的边分别是a,b,c,在以下三个条件中

任选一个：①（sinB-sinC）2=sin2A-sinBsinC；②sin4=^~—；③匕sin"+'="sinB；

442

并解答以下问题：

（1）若选一（填序号），求NA的值;

（2）在（1）的条件下，若。=百力=加（加>0）,当AA8C有且只有一解时，求实数机的范

围及A48c面积S的最大值.

18.(12分)已知各项均为正数的数列｛凡｝满足a〃+2+2“^丸］=4q+1-。〃(〃£%*)，且4=1，

%=4.

(1)证明：数列｛向｝是等差数列；

(2)数列｛丝4A7土+'2｝的前项"和为5“，求证：5„<2,

19.(12分)某单位招考工作人员，须参加初试和复试，初试通过后组织考生参加复试，共

5000人参加复试，复试共三道题，第一题考生答对得3分，答错得0分，后两题考生每答

对一道题得5分，答错得0分，答完三道题后的得分之和为考生的复试成绩.

(1)通过分析可以认为考生初试成绩X服从正态分布N(〃62),其中〃=64,川=169,

试估计初试成绩不低于90分的人数；

a

(2)已知某考生已通过初试，他在复试中第一题答对的概率为士，后两题答对的概率均为

4

4,且每道题回答正确与否互不影响.记该考生的复试成绩为y,求y的分布列及数学期望.

3

附：若随机变量X服从正态分布N(〃》2),则P(M-5<X<〃+5)=0.61,

「(〃一25Vxe〃+25)=0.9544,尸(〃-35<X<2+35)=0.9974.

20.(12分)如图，在四面体A8C。中，AB=AD=叵,BC=CD=8。=2,二面角A-8。-C

是直二面角，。为3。的中点，点P为线段8c上一点，且OP_L8C.

(1)求证：8(71.平面4。?；

(2)求平面4OP与平面AC。所成锐二面角的平面角的余弦值.

21.（12分）已知椭圆C过点（1,当），且与曲线/-丁=；有共同的焦点.

（1）求椭圆C的标准方程.

（2）过椭圆的右焦点写作直线/与椭圆C交于A,3两点，设可=/19，若北[-2,-1],

点7（2,0）,求|方+阚的取值范围.

22.(12分)己知函数f(x)=ae'-/〃(l+x)-cos(a-l),aeR.

(1)当a=l时，求f(x)的零点；

(2)若f(x)..O,求a的取值范围.

高三模拟考试卷(三)答案

1.解：•.•A={x|16-X:凰}={x|TA?4},B={x|0<x-2^0}={x|2<x12},

/.Ap|B=(2,4].

故选：D.

1-2/l-2z(1-2z)(l+/)_31.

2.解:1+t3-1-i~(l-i)(l+z)-22l

_31.

z=-+

2

,复数z=:匕耳的共轨复数的虚部为1,

1+F2

故选：D.

3.解：由^=(3幺+2)4+/2,d=a+kb,且3与7方向相反,

所以％(3〃+2)-1=0,

g|J3A:2+2A:-l=0,

解得％=T或左=」，

3

当左=一1时，=-a+h,d=a-b,2与，反向，

当后=,时，5=3万+5,d=a+-b,0与]同向，

33

所以实数2的值为-1.

故选：A.

v—1

4.解：根据题意，函数/(x)=/〃--bosinx+2,

x+l

则/(-^)=In——-+tzsin(-x)+2=-In-一--tzsinx+2,

—x+1x+l

则有/(x)+/(-x)=4,

故f(m)+=5,

若f(m)=5,则f(-m)=-1,

故选：C.

5.解：实线的数据为：2,4,6,8,7,7,8,9,9,10,

虚线的数据为：9,5,7,8,7,6,8,6,7,7,

所以实线数据的平均数为\x(2+4+6+8+7+7+8+9+9+10)=7,

实线的方差为

22222

—X[(2-7)+(4-7)+(6-7)2+(8-7)2+(7-7)2+(7-7>+(8-7)2+(9-7)+(9-7)+(10-7)]=5.4

同理可求出虚线的平均数为7,方差为1.2,

所以甲、乙两人中靶环数的方差分别为1.2,5.4.

故选：D.

6.解：是第四象限角，且sina=-(

.-.coSa=^

5

3

cos2a=1-2sin2a=1一

5

4

sin2a=2sinacosa=2x

5

兀、叵，c.c、夜,34、7夜

cos(2a+—)=(cos2a-sin2a)=(-+-)=-

故选：D.

7.解：圆f+),2=4的圆心0(0,0)到直线3x+4y-15=0的距离为d=|OC|=.^2^1=3,

如图所示:

A8上的点到直线3尤+4)，-15=0的距离小于或等于2,

所以00=3-2=1,0A=2,所以NAO£>=工，ZA0B=—,

33

所以圆上任意一点“到直线3x+4y-15=0的距离大于2的概率为

—x2?

P=l--^——=-.

2ix23

故选：C.

3，r22

8.解:函数/(幻二%+m2%+加工£氏)，y(x)=3x-4mx-bn?=3(x-zn)(x-y),

当机>3时，尸(幻>0在(一8,1］上恒成立，

所以/(幻在(-co,1］上单调递增，

当工£［一1,0］时，X2-COS2A,1，-x-cosA-1,,1,

所以不等式f(x2-cos2A)<f(-x-cosA-l)等价于x2-cos2A<-x-cosA-1,

即cos2A-cosA>x2+x+］,

因为存在0］,使/'(炉一cos?A)v/(-x-cosA-1)成立，

则COS?A-COSA>(f+%+1)疝n,

因为寸+x+l=(x+!)2+±2,

244

31

所以cos2A-cosA>—,所以(cosA--)2>1,

所以cosA<-,，因为0<A<;r,

2

所以二<A<»,

3

结合选项可知，A的可能取值为四.

5

故选：C.

9.解：对于A,因为a>b,所以a-〃>0,2“">2°>—，故A正确；

2

对于8,当“=1,/,='时，幽=0,故5不正确；

10Igh

对于C,因为〃>0,b>0,所以a+6..ly/ab,所以s[ab=—.----,故C正确；

24aba+b

对于。，当c=0时，不成立，

故选：AC.

10.解：A.将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数”后，方差变为原来的/倍,

故力错误，

B.从中任取3条共有4种，若三段能构成三角形，则只有3,5,1,一种，则构成三角形

的概率是1，故3正确，

4

C.|川-1,两个变量的线性相关性越强，|川70,线性相关性越弱，故C错误，

—_1_—

D.由题意知P(A)nP(3)=§,P(A)DP(B)=P(A)DP(B),

设尸(A)=x,P(B)=y,则卜,

[(l-x)y=x(l-y)

得,-9得x2-2X+1=L即(X-1)2=J，Wx-1=—Wix-1=——,

9933

得x=d(舍)或x=2,即事件A发生的概率为2,故。正确.

333

故正确的是3。，

故选：BD.

11.解：•.•函数/(x)=sin(3x—s)(-]<e<9的图象关于直线x=?对称，

则3x&-0=%r+生，keZ,;.(p=—,函数/(x)=sin(3x-四).

4244

函数y=/(x)的图象向左平移2个单位长度，得到y=sin(3x+葛—()=sin3x的图象，显

然所得图象关于原点对称，故A正确；

当xe[0,3x--e[--,-],故函数y=/(x)在[0,勺上单调递增，故5正确；

44424

当xe[0,2川，—],故当标一代=色，—,也时，函数f(x)取得最

4444222

大值，故C正确;

若1/(不)一/(%)1=2,贝”百一々|的最小值为f(x)的半个周期，即gx也=(，故。错误，

故选：ABC.

12.解:丁=以的焦点尸(1,0),准线方程为x=-l,

对于A,设A,B,M在准线上的射影为A,9，M',

由|AF|=|A4'|,|BF|=|B8'|,4T+|3B'|)=d|AF|+|F8|)=1|A3|,可得线

222

段AB为直径的圆与准线相切，与直线y轴相交，故A对；

对于8,设A(x),%),B(X2,y2),

BF的中点”的横坐标为g(l+w),”到)，轴的距离〃=等=等.显然以线段5尸为直

径的圆与y轴相交，故B对；

C,3_=i,Af=4,C

对于利用「一+」一=AF=3BF,可得BF=-,：.AB=—,故错；

AFBFp33

2

对于D,OAS)B=芭々+X必==(—P~)=—3,故D对.

故选：ABD.

2xl-(l)2

sin2a-sin?a_2sinacosa-s山％_2tan«-tan12a33=5

1+cos2a2cos2a22118

故答案为：--.

18

14.函数的导数/'(x)=2-sinx,

则在点弓，乃)处的切线斜率k=八9=2-sin/=2-1=1,

所以切线方程为y—;r=x-］,

叩丫=》+生，令》=0,则y=/,令y=0,则》=一工，

所以切线与坐标轴的两个交点为(0,2)，(-工，0),

22

则对应的三角形的面积S=,x2x2=二.

2228

故答案为：—.

8

7r—11

15.解：命题p:---„0,解不等式得-1<冗，一；

x+12

命题乡:泥,-〃>0,不等式可化为

设/(x)=xex,xe(-l,；］,

则/'(x)=，=(l+x)e"，xw(-l，g］，

所以广。)>0,/(x)是单调增函数，

所以/(X)>/(—D=-L

e

若p是q的充分条件，则。的取值范围是(fo,-1).

e

故答案为：(-00,-3.

e

16.解：设x分钟后P点转至4点，和水面重合，0P=0A=r=L7,〃,

如图所示：

则x分钟后，OB=1.19+0.017x,

1.19+0.017%

cos^ALOB=—=0.7+0.0lx,

OA1.7

•.•转一圈需要30分钟，.•.每分钟转12。,

当2408=24。时，x=13,代入得：0.91^0.7+0.01x13(舍去),

当NAOB=36°时，x=12,代入得：0.81^0.7+0.01x12,可取，

.•.点P至少经过12分钟进入水中.

故答案为：12.

17.解：(1)若选①，由已知得sin?B+sin?C-sin?A=sin3sinC,

故由正弦定理得/+。2-/=改.

22

由余弦定理得cosA="+。—"=1.

2bc2

因为0。<A<180。,

所以A=60。.

若选②，因为sin4=近二包，

44

由二倍角公式可得COS4=1_2S%22=Y1,可得cosA=2es24-1=L

24222

因为0。<4<180。，所以A=60。.

若选③，由题设及正弦定理得sinBsin"C=sinAsinB，

2

因为sinB。。，所以sin'_'=sinA,

2

由4+3+C=180。，可得sin'*0=cos4,

22

A^cos—=2sin—cos—»因为COSAH。，故sin4='，

222222

0^0°<A<180°,因此A=60。.

(2)由已知，当AABC有且只有一解时，加sine=百或0〈办,6,

3

m€(0,V3]|J{2},

i反

①当机=2时，A43C为直角三角形,S=三l•6==；

22

②当0v〃，百时，va=A/3,A=—,

3

由余弦定理可得〃=匕？+/_2^ccosA..2bc-bc=be,

•・be”3,当且仅当。=c时等号成立,

,­.三角形面积为S=-bcsinA,—,

24

A48c面积的最大值Sg=孚.

18.（12分）已知各项均为正数的数列仅“｝满足an+2+2mz==4all+i-a„（nwN*），且q=1,

々2=4.

（1）证明：数列｛阮｝是等差数列；

（2）数歹I」｛如E｝的前项,2和为s〃，求证：5zr<2.

川

证明：（1）依题意，/+2，Z=4x4-1,

整理得：（直一3）（m+5）=0,

解得：JZ=3或>/^=-5（舍），

又raq+2出Z=4x32-4,

4+414-32=0,

解得：=4或=-8（舍），

猜想：y/a^=n.

下面用数学归纳法来证明：

①当〃=1时，结论显然成立；

②假设当〃=攵时,有=k,

则4+1+2疯=他一%T，

即％+］+2（k-1）7^7—3々2—2左+1=0,

整理得：［向;一优+1）］［师+（3后一1）］=0,

解得：，%+［=1+1或J%+［=-34+1（舍），

即当〃=2+1时结论成立；

由①②可知，向=〃，

于是数列｛口｝是首项、公差均为1的等差数列;

(2)由(1)可知a“=〃2,

4〃+24/7+211

-----=-2-----72=21r2------?2J

a„an+ln[in+l)n(n+1)

于是*=2口++呆导…+:

(«+1)2'

=2|1-U+l)21

<2.

19.解：(1)因为学生笔试成绩X服从正态分布N(〃42),其中〃=64,产=169,

“+24=64+2x13=90,

所以尸(X洒0)=P(X〃+24)=g(1-0,9544)=0.0228,

所以估计笔试成绩不低于90分的人数为0.0228x5000=114人；

(2)丫的取值分别为0,3,5,8,10,13,

321323

则p(r=0)=(1——)x(1——)2=——,p(y=3)=-x(l——)2=—,

43364336

3221

P(r=5)=(l-^)xxC；x-x(l

322]

P(y=8)=^-xC]x-x(l--)=-,

4333

321

P(y=10)=(l--)x(-)2=-,

439

321

p(y=13)=—x(—)2=—，

433

故y的分布列为：

Y03581013

P132_J_]_

36369393

所以数学期望为E(y)=0x-L+3x3+5xL+8x』+10x』+13x1=^=^.

363693933612

20.(1)证明：且。为3。的中点，.

又直二面角A-8D-C,且平面430c平面BCZ)=8。，

OA1平面BCD,

•.•8(7€：平面8(?。，OALBC,

OPLBC,OPQOA=O,OPu平面AOP,OAu平面4OP,

BC±平面AOP.

z

(2)解：连接。C,

..AB=AD=6,BC=CD=BD=2,且。为3。的中点,

OCA.BD,OA1BD,

由(1)矢口，04_1,平面8。。，OA1OC,

故以。为原点，OD,0C所在直线分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐

标系，

则0(0,0,0),4(1,0,0),5(0,-1,0),ZX0,l,0),C(0,0,^5),

AD=(-1,1,0),AC=(-1,0,73),

由(1)可知，8(7_1.平面4。。，

而为平面4OP的一个法向量，配=(0,1,6),

元•吧=。，即］一X+y=0

设平面AC。的一个法向量为为=(x,y,z),贝•

n-AC=0-X+百2=0

令z=l,则x=y=75,/.n=(>/3,\/3J),

,笳…比万一+一后

..cos<BCtn>=,-----=-----=-------»

|BC||7?|2xj77

故平面AOP与平面ACD所成锐二面角的余弦值为耳.

21.解：(1)设椭圆的焦距为2c,由题意，得c=l,

22

设椭圆C的标准方程为0+5=1(q>匕>0),

ah

则3+2=1又解得/=1或从」(舍去)，

a2b22

所以。2=/+1=2,

故椭圆c的标准方程为J+V=1.

2

(2)由题意设直线/的方程为x=,〃y+l.

将直线/的方程代入,+丁=1中，得(加+2)/+2〃1=0

设4a，X)，8(X2，y2),X%x°，可得X+%="盥;①>|必=――②，

m+2m+2

将上面两式①式平方除以②式，得乂+&+2=-"二.

%％"+2

因为£才=/1反石，所以&=/1,且4<o,

V.y,/4〃5,1八4〃广

贝卢+久+2=--；—=>2+-+2=--；——，

y2ym~+22+2

由几日一2,—l］n-9领R+工-2^--glR+i+2On-1期卜学二0,所以啜加？

222A2