湖南省长沙市湖南师大附中博才实验中学2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试题

湖南师大附中博才实验中学第二次自能练习数学试题命题人：何政刘莎莎龙娟 审题人：常发业一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）1．下列关于的函数中，二次函数是（）A． B． C． D．2．如图，在平行四边形中，，则的度数为（）A． B． C． D．3．抛物线的对称轴是（）A．直线 B．直线 C．直线 D．直线4．下列旋转中，旋转中心为点的是（）A． B．C． D．5．以下列各组数为边长的三角形中，是直角三角形的是（）A．2，3，4 B．3，4，5 C．5，12，16 D．6，8，126．平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（）A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直C．对角线相等 D．对角线互相垂直平分且相等7．在一次射击比赛中，甲、乙两名运动员10次射击的平均成绩都是9环，其中甲成绩的方差为1.21，乙成绩的方差为3.98，由此可知（）A．甲比乙的成绩稳定 B．乙比甲的成绩稳定C．甲、乙两人的成绩一样稳定 D．无法确定谁的成绩更稳定8．已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值是（）A． B．0 C．1 D．29．某校每年举行“节省一元钱，温暖一颗心”爱心捐款活动，号召全体师生奉献爱心，以帮助有需要的学生．某班级在七年级参与这项活动时，捐款总数为1000元，而到了九年级班级捐款总数为1440元．若这个班级的捐款总数年平均增长率为，则下列方程正确的是（）A． B．C． D．10．如图为二次函数的图象，则下列说法：①；②；③；④；⑤；其中正确的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．）11．函数中自变量的取值范围是__________．12．已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，则__________．13．若点和点在函数的图象上，则__________．（填“﹥”“﹤”或‘“=”）14．如图，在中，，分别是，的中点，若，则边的长是__________．15．已知抛物线与轴有两个交点，则的取值范围是__________．16．如图，中，，，，为线段上一动点，为延长线上的动点，始终保持．连接和，将绕点逆时针旋转到，连接，为中点，当从点运动到点时，点所经过的路径长为__________．三、解答题（本大题共9小题，共72分．）17．（6分）解方程．18．（6分）如图，在平面直角坐标系中，，，．（1）画出绕原点顺时针旋转得到的，并写出点、、的坐标；（2）求的面积．19．（6分）先化简，再求值：，其中．20．（8分）2022年3月25日，教育部印发《务教育课程方案和课程标准（2022年版）》，优化了课程设置，将劳动从综合实践活动课程中独立出来．某校为了解该校学生一周的课外劳动情况，随机抽取部分学生调查了他们一周的课外劳动时间，并用得到的数据绘制成如下不完整的统计图表：劳动时间（时）频数（人数）频率0.5120.121300.31.50.528合计1（1）统计表中的__________，__________，__________；（2）被抽样调查的同学劳动时间的众数是__________，中位数是__________；（3）请将条形图补充完整；（4）求所有被调查同学的平均劳动时间．21．（8分）已知一次函数的图象经过点．（1）求的值；（2）求一次函数与二次函数的图象的交点坐标．22．（9分）如图，在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点．（1）求证：；（2）求证：四边形是菱形．23．（9分）日前正在杭州举办的亚运会令世界瞩目，吉祥物“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”家喻户晓，其相关产品成为热销产品．某商家进购了一批吉祥物钥匙扣，进价为每个32元．若该钥匙扣每个的售价是48元时，每天可售出200个；若每个售价提高2元，则每天少卖4个．（1）设该吉祥物钥匙扣每个售价定为元时，求该商品销售量与之间的函数关系式；（2）求每个售价定为多少元时，每天销售玩偶所获利润最大，最大利润是多少元？24．（10分）已知二次函数（，是常数）（1）若，两点在该二次函数图象上，求二次函数的表达式．（2）若二次函数的表达式可以写成的形式（是常数），求的最小值．（3）若二次函数的表达式还可以写成，它的图象与轴交于，两点，一次函数的图象经过点，且与二次函数的图象交于另一点．是否存在实数，使得是以为腰的等腰三角形，如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由．25．（10分）如图1，四边形中，，，我们就把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．图1图2图3备用图（1）根据笔形的定义，下列图形中是笔形的有__________（填写序号）；①平行四边形；②菱形；③矩形；④正方形．（2）如图2，若四边形的内角满足，连接，交于点，且平分，①求证：四边形是菱形；②若四边形的面积为，求四边形的周长；（3）如图3，在平面直角坐标系中，点的坐标为．在轴上任取一点，以为对角线作筝形，满足，且轴．在轴上取几个不同位置的点，得到相应的点，发现这些点在一条曲线上．若点，，是上述曲线上的三个不同的点，它们的横坐标分别为，，，其中，求的最大值．湖南师大附中博才实验中学第一次自能测试数学参考答案及评分标准一、选择题CDCAB AAACC二、填空题11． 12．4 13．< 14．15． 16．三、解答题17．解：，，或，则，．18．解：（1）如图，即为所求，，，；（2）．19．解：原式，当时，原式．20．（1）100；50；0.08；（2）1.5；1.5（3）（4）（小时）．答：所有被调查同学的平均劳动时间是1.27小时．21．解：（1）把代入，得．（2）联立得：，整理得：，，解得：，，方程组的解为：或．交点坐标为：和．22．（1）证明：，，是的中点，，在和中，，，．（2）证明：，，，，，四边形是平行四边形，，，，四边形是菱形．23．解：（1）根据题意，得，与之间的函数关系式：；（2）根据题意，得：，，抛物线开口向下，有最大值，当时，．24．解：（1）二次函数过点、，．（2）把化成一般式得，．，．．把的值看作是的二次函数，则该二次函数开口向上，有最小值，当时，的最小值是．（3）①当时，（ⅰ）点，，则一次函数解析式可以表示为，联立得，点由图可知，当三角形是以为腰的等腰三角形时，则只能过点作轴，则有，，，，，．（ⅱ）若点，，则一次函数解析式可以表示为，联立得，点，发现点恰好是抛物线顶点，总是有，过点作轴，则有，，，，，，．②当时，同理可得或综上所述，或．25．（1）②④解析：连接，交于点，易证明，且垂直平分，正确答案是②④；（2）①四边形的内角和为且满足，，，，，平分，，，，．四边形是筝形．②四边形是筝形，