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高三总复习直线与圆的方程知识点总结及典型例题高三总复习直线与圆的方程知识点总结及典型例题/高三总复习直线与圆的方程知识点总结及典型例题直线与圆的方程一、直线的方程1、倾斜角:L,范围0≤<,若l//x轴或与x轴重合时,=00。2、斜率:k=tan与的关系:=0=0已知L上两点P(x1,y)0<<k0112P2(x2,y2)=不存在k=y2y1x2x1当x1=x2时,=900,不存在。当3、截距(略)曲线过原点横纵截距都为4、直线方程的几种形式已知方程斜截式K、bY=kx+b点斜式P=(x1,y1y-y=k(x-x)111)k两点式P1(x1,y1)yy1xx1P2(x2,y2)
22020时,=arctank,<0时,=+arctank0。说明几种特别地点的直线不含y轴和行平①x轴:y=0于y轴的直线不含y轴和平行②y轴:x=0于y轴的直线不含坐标辆和③平行于x轴:y=b平行于坐标轴y2y1x2x1的直线截距式a、bxy不含坐标轴、平④平行于y轴:x=aa1⑤过原点:y=kxb行于坐标轴和过原点的直线一般式Ax+by+c=0A、B不一样时为0两个重要结论:①平面内任何一条直线的方程都是对于x、y的二元一次方程。②任何一个对于x、y的二元一次方程都表示一条直线。5、直线系:(1)共点直线系方程:p(x,y)为定值,k为参数y-y0=k(x-x)0000特别:y=kx+b,表示过(0、b)的直线系(不含y轴)2)平行直线系:①y=kx+b,k为定值,b为参数。②AX+BY+入=0表示与Ax+By+C=0平行的直线系③BX-AY+入=0表示与AX+BY+C垂直的直线系3)过L1,L2交点的直线系A1x+B1y+C1+入(A2X+B2Y+C2)=0(不含L2)6、三点共线的判断:①ABBCAC,②KAB=KBC,③写出过此中两点的方程,再考证第三点在直线上。二、两直线的地点关系1、L1:y=k1x+b1L1:A1X+B1Y+C1=0L1与L2构成的方程组L2:y=k2x+b2L2:A2X+B2Y+C2=0平行K1=k2且b1≠b2A1B1C1无解A2B2C2重合K1=k2且b1=b2A1B1C1有无数多解A2B2C2订交K1≠k2A1B1有独一解A2B2垂直K1·k2=-1A1A2+B1B2=0(说明:当直线平行于坐标轴时,要独自考虑)2、L1到L2的角为0,则tank2k1(k1k21)1k2?k13、夹角:tank2k11k2k14、点到直线距离:dAx0By0c(已知点(p0(x0,y0),L:AX+BY+C=0)A2B2①两行平线间距离:L1=AX+BY+C1=0L2:AX+BY+C2=0c1c2dA2B2②与AX+BY+C=0平行且距离为d的直线方程为Ax+By+C±dA2B20③与AX+BY+C1=0和AX+BY+C2=0平行且距离相等的直线方程是AXC1C20BY25、对称:(1)点对于点对称:p(x,y)对于M(x,y)的对称P(2X0X1,2Y0Y1)1100(2)点对于线的对称:设p(a、b)对称轴对称点p对称轴对称点pX轴p(a、b)Y=-xp(b、a)Y轴p(a、b)X=m(m≠0)p(2ma、b)y=xp(b、a)y=n(n≠0)p(a、2nb)一般方法:如图:
(思路
1)设
P点对于
L的对称点为
P0(x
0,y
0)
则
Kpp0﹡KL=-1P,P0中点满足
L方程P0(x
0,y
(思路0)的坐标。
2)写出过
P⊥L
解出P0(x0,y0)的垂线方程,先求垂足,而后用中点坐标公式求出Py
LP0x(3)直线对于点对称L:AX+BY+C=0对于点P(X0、Y0)的对称直线l:A(2X0-X)+B(2Y0-Y)+C=0(4)直线对于直线对称①几种特别地点的对称:已知曲线f(x、y)=0对于x轴对称曲线是f(x、-y)=0对于y=x对称曲线是f(y、x)=0对于y轴对称曲线是f(-x、y)=0对于y=-x对称曲线是f(-y、-x)=0对于原点对称曲线是f(-x、-y)=0对于x=a对称曲线是f(2a-x、y)=0对于y=b对称曲线是f(x、2b-y)=0一般地点的对称、联合平几知识找出有关特色,逐渐求解。三、简单的线性规划LY不等式表示的地区OXAX+BY+C=0拘束条件、线性拘束条件、目标函数、线性目标函数、线性规划,可行解,最优解。重点:①作图一定正确(建议稍画大一点)。②线性拘束条件一定考虑完好。③先找可行域再找最优解。四、圆的方程1、圆的方程:①标准方程xa2(yb)r2,c(a、b)为圆心,r为半径。②一般方程:x2y2DXEYF0,DED2E24FC,,r222当D2E24F0时,表示一个点。当D2
E2
4F
0时,不表示任何图形。③参数方程:
xa
rcosyb
rsin
为参数以A(X1,Y1),B(X2,Y2)为直径的两头点的圆的方程是(X-X1)(X-X2)+(Y-Y1)(Y-Y2)=02、点与圆的地点关系:观察点到圆心距离d,而后与r比较大小。3、直线和圆的地点关系:订交、相切、相离判断:①联立方程组,消去一个未知量,获取一个一元二次方程:△>0订交、△=0相切、△<0相离②利用圆心c(a、b)到直线AX+BY+C=0的距离d来确立:d<r订交、d=r相切d>r相离(直线与圆订交,注意半径、弦心距、半弦长所构成的kt△)4、圆的切线:(1)过圆上一点的切线方程与圆x2y2r2相切于点(x1、y1)的切线方程是x1xy1yr2与圆(xa)2(yb)2r2相切于点(x1、y1)的切成方程为:(x1a)(xa)(y1b)(yb)r2与圆x2y2DXEYF0相切于点(x1、y1)的切线是x1xy1yD(xx1)E(yy1)F022(2)过圆外一点切线方程的求法:已知:p(x0,y)是圆00(xa)2(yb)2r2外一点(x1a)2(y1b)2r2①设切点是p1(x1、y1)解方程组(x0a)(x1a)(y0b)(y1b)2r2先求出p1的坐标,再写切线的方程②设切线是yy0k(xx0)即kxykx0y00kabkx0y0r,求出k,再写出方程。再由k21(当k值独一时,应联合图形、观察能否有垂直于x轴的切线)③已知斜率的切线方程:设ykxb(b待定),利用圆心到L距离为r,确立b。5、圆与圆的地点关系由圆心距进行判断、订交、相离(外离、内含)、相切(外切、内切)6、圆系①齐心圆系:(xa)2(yb)2r2,(a、b为常数,r为参数)或:x2y2DXEYF0(D、E为常数,F为参数)②圆心在x轴:(xa)2y2r③圆心在y轴:x2(yb)2r
22④过原点的圆系方程(xa)2(yb)2a2b2⑤过两圆C1:x2y2D1XE1YF10和C2:x2y2D2XE2YF20的交点的圆系方程为x2y2D1XE1YF1入(x2y2D2XE2YF20(不含C2),此中入为参数若C1与C2订交,则双方程相减所得一次方程就是公共弦所在直线方程。种类一:圆的方程例1求过两点A(1,4)、B(3,2)且圆心在直线y0上的圆的标准方程并判断点P(2,4)与圆的关系.分析:欲求圆的标准方程,需求出圆心坐标的圆的半径的大小,而要判断点P与圆的地点关系,只须看点P与圆心的距离和圆的半径的大小关系,若距离大于半径,则点在圆外;若距离等于半径,则点在圆上;若距离小于半径,则点在圆内.解法一:(待定系数法)设圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2.∵圆心在y0上,故b0.∴圆的方程为(xa)2y2r2.又∵该圆过A(1,4)、B(3,2)两点.(1a)216r2∴a)2r2(34解之得:a1,r220.所以所求圆的方程为(x1)2y220.解法二:(直接求出圆心坐标和半径)因为圆过A(1,4)、B(3,2)两点,所以圆心C必在线段AB的垂直均分线l上,又因为kAB421,故l的斜率为1,又AB的中点为(2,3),故AB的垂直均分线l的方程13为:y3x2即xy10.又知圆心在直线y0上,故圆心坐标为C(1,0)∴半径rAC(11)24220.故所求圆的方程为(x1)2y220.又点P(2,4)到圆心C(1,0)的距离为dPC(21)24225r.∴点P在圆外.说明:本题利用两种方法求解了圆的方程,都环绕着求圆的圆心和半径这两个重点的量,然后依据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判断点与圆的地点关系,若将点换成直线又该如何来判断直线与圆的地点关系呢例2求半径为4,与圆x2y24x2y40相切,且和直线y0相切的圆的方程.分析:依据问题的特色,宜用圆的标准方程求解.解:则题意,设所求圆的方程为圆C:(xa)2(yb)2r2.圆C与直线y0相切,且半径为4,则圆心C的坐标为C1(a,4)或C2(a,4).又已知圆x2y24x2y40的圆心A的坐标为(2,1),半径为3.若两圆相切,则CA437或CA431.(1)当C1(a,4)时,(a2)2(41)272,或(a2)2(41)212(无解),故可得a2210.∴所求圆方程为(x2210)2(y4)242,或(x2210)2(y4)242.(2)当C2(a,4)时,(a2)2(41)272,或(a2)2(41)212(无解),故a226.∴所求圆的方程为(x226)2(y4)242,或(x226)2(y4)242.说明:对本题,易发生以下误会:由题意,所求圆与直线y0相切且半径为4,则圆心坐标为C(a,4),且方程形如(xa)2(y4)242.又圆x2y24x2y40,即(x2)2(y1)232,其圆心为A(2,1),半径为3.若两圆相切,则CA43.故(a2)2(41)272,解之得a2210.所以欲求圆的方程为(x2210)2(y4)242,或(x2210)2(y4)242.上述误会只考虑了圆心在直线y0上方的情况,而疏忽了圆心在直线y0下方的情况.另外,误会中没有考虑两圆内切的状况.也是不全面的.例3求经过点A(0,5),且与直线x2y0和2xy0都相切的圆的方程.分析:欲确立圆的方程.需确立圆心坐标与半径,因为所求圆过定点圆心坐标.又圆与两已知直线相切,故圆心必在它们的交角的均分线上.
A,故只需确立解:∵圆和直线
x
2y
0与
2x
y0相切,∴圆心
C在这两条直线的交角均分线上,又圆心到两直线
x
2y
0和2x
y0的距离相等.x2yx2y∴.55∴两直线交角的均分线方程是x3y0或3xy0.又∵圆过点A(0,5),∴圆心C只好在直线3xy0上.设圆心C(t,3t)∵C到直线2xy0的距离等于AC,∴2t3tt2(3t5)2.5化简整理得t26t50.解得:t1或t5∴圆心是(1,3),半径为5或圆心是(5,15),半径为55.∴所求圆的方程为(x1)2(y3)25或(x5)2(y15)2125.说明:本题解决的重点是分析获取圆心在已知两直线的交角均分线上,从而确立圆心坐标得到圆的方程,这是过定点且与两已知直线相切的圆的方程的常例求法.例4、设圆满足:(1)截y轴所得弦长为2;(2)被x轴分红两段弧,其弧长的比为3:1,在满足条件(1)(2)的全部圆中,求圆心到直线l:x2y0的距离最小的圆的方程.分析:要求圆的方程,只须利用条件求出圆心坐标和半径,即可求得圆的标准方程.满足两个条件的圆有无数个,其圆心的会合可看作动点的轨迹,若能求出这轨迹的方程,即可利用点到直线的距离公式,经过求最小值的方法找到符合题意的圆的圆心坐标,从而确立圆的半径,求出圆的方程.解法一:设圆心为P(a,b),半径为r.则P到x轴、y轴的距离分别为b和a.由题设知:圆截x轴所得劣弧所对的圆心角为90,故圆截x轴所得弦长为2r.∴r22b2又圆截y轴所得弦长为2.∴r2a21.又∵P(a,b)到直线x2y0的距离为a2bd5∴5d2a22ba24b24aba24b22(a2b2)2b2a21当且仅当ab时取“=”号,此时dmin5.5这时有
ab2b2a21∴a1a1b或b11又r2222b故所求圆的方程为(x1)2(y1)22或(x1)2(y1)22解法二:同解法一,得da2b.5∴a2b5d.∴a24b245bd5d2.将a2221代入上式得:b2b245bd5d210.上述方程有实根,故8(5d21)0,∴d5.5将d5代入方程得b1.5又22a21∴a1.b由a2b1知a、b同号.故所求圆的方程为(x1)2(y1)22或(x1)2(y1)22.说明:本题是求点到直线距离最小时的圆的方程,若变换为求面积最小呢种类二:切线方程、切点弦方程、公共弦方程例5已知圆O:x2y24,求过点P2,4与圆O相切的切线.解:∵点P2,4不在圆O上,∴切线PT的直线方程可设为ykx24依据dr∴2k421k2解得3k4所以3x24y4即3x4y100因为过圆外一点作圆得切线应当有两条,可见另一条直线的斜率不存在.易求另一条切线为x2.说明:上述解题过程简单漏解斜率不存在的状况,要注意补回遗漏的解.本题还有其余解法,比方把所设的切线方程代入圆方程,用鉴别式等于0解决(也要注意漏解).还能够运用x0xy0yr2,求出切点坐标x0、y0的值来解决,此时没有漏解.例6两圆C1:x2y2D1xE1yF10与C2:x2y2D2xE2yF20订交于A、B两点,求它们的公共弦AB所在直线的方程.分析:第一求A、B两点的坐标,再用两点式求直线AB的方程,可是求两圆交点坐标的过程太繁.为了防范求交点,能够采纳“设而不求”的技巧.解:设两圆C1、C2的任一交点坐标为(x0,y0),则有:x02y02D1x0E1y0F10x02y02D2x0E2y0F20
①②①-②得:(D1D2)x0(E1E2)y0F1F20.∵A、B的坐标满足方程(D1D2)x(E1E2)yF1F20.∴方程(D1D2)x(E1E2)yF1F20是过A、B两点的直线方程.又过A、B两点的直线是独一的.∴两圆C1、C2的公共弦AB所在直线的方程为(D1D2)x(E1E2)yF1F20.说明:上述解法中,奇妙地避开了求A、B两点的坐标,固然设出了它们的坐标,但并无去求它,而是利用曲线与方程的看法达到了目标.从解题的角度上说,这是一种“设而不求”的技巧,从知识内容的角度上说,还表现了对曲线与方程的关系的深刻理解以及对直线方程是一次方程的实质认识.它的应用很宽泛.例7、过圆x2y21外一点M(2,3),作这个圆的两条切线MA、MB,切点分别是A、B,求直线AB的方程。练习:1.求过点M(3,1),且与圆(x1)2y24相切的直线l的方程.解:设切线方程为y1k(x3),即kxy3k10,∵圆心(1,0)到切线l的距离等于半径2,∴|k3k1|2,解得k3,2241k∴切线方程为y13(x3),即3x4y130,4当过点M的直线的斜率不存在时,其方程为x3,圆心(1,0)到此直线的距离等于半径2,故直线x3也合适题意。x3所以,所求的直线l的方程是3x4y130或.2、过坐标原点且与圆x2y24x2y50相切的直线的方程为25解:设直线方程为ykx,即kxy0.∵圆方程可化为(x2)2(y1)2,∴圆心2为(2,-1),半径为10.依题意有2k110,解得k3或k1,∴直线方程k22123为y3x或y1x.33、已知直线5x12ya0与圆x22xy20相切,则a的值为.解:∵圆(x1)2y21的圆心为(1,0),半径为1,∴5a1,解得a8或a18.52122种类三:弦长、弧问题例8、求直线l:3xy60被圆C:x2y22x4y0截得的弦AB的长.例9、直线3xy230截圆x2y24得的劣弧所对的圆心角为解:依题意得,弦心距d3,故弦长AB2r2d22,从而△OAB是等边三角形,故截得的劣弧所对的圆心角为AOB.3例10、求两圆x2y2xy20和x2y25的公共弦长种类四:直线与圆的地点关系例11、已知直线3xy230和圆x2y24,判断此直线与已知圆的地点关系.例12、若直线yxm与曲线y4x2有且只有一个公共点,务实数m的取值范围.解:∵曲线y4x2表示半圆x2y24(y0),∴利用数形联合法,可得实数m的取值范围是2m2或m22.例13圆(x3)2(y3)29上到直线3x4y110的距离为1的点有几个分析:借助图形直观求解.或先求出直线l1、l2的方程,从代数计算中找寻解答.解法一:圆(x3)2(y3)29的圆心为O1(3,3),半径r3.设圆心O1到直线3x4y113343110的距离为d,则d324223.如图,在圆心O1同侧,与直线3x4y110平行且距离为1的直线l1与圆有两个交点,这两个交点符合题意.又rd321.∴与直线3x4y110平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意.∴符合题意的点共有3个.解法二:符合题意的点是平行于直线3x4y110,且与之距离为1的直线和圆的3x4ym0,则dm11交点.设所求直线为321,42∴m115,即m6,或m16,也即l1:3x4y60,或l2:3x4y160.设圆(3)2(y3)29的圆心到直线l1、l2的距离为d1、d2,则O1:xd13343633431632423,d232421.∴l1与O1相切,与圆O1有一个公共点;l2与圆O1订交,与圆O1有两个公共点.即符合题意的点共3个.说明:对于本题,若不留意,则易发生以下误会:设圆心3343111到直线3x4y110的距离为d,则d23.O3242∴圆O1到3x4y110距离为1的点有两个.明显,上述误会中的d是圆心到直线3x4y110的距离,dr,只好说明此直线与圆有两个交点,而不可以说明圆上有两点到此直线的距离为1.到一条直线的距离等于定值的点,在与此直线距离为这个定值的两条平行直线上,因本题中所求的点就是这两条平行直线与圆的公共点.求直线与圆的公共点个数,一般依据圆与直线的地点关系来判断,即依据圆心与直线的距离和半径的大小比较来判断.练习1:直线xy1与圆x2y22ay0(a0)没有公共点,则a的取值范围是a121a21.∵a0,∴0a21.解:依题意有a,解得2练习2:若直线ykx2与圆(x2)2(y3)21有两个不一样的交点,则k的取值范围是.2k11,解得0k4,∴k的取值范围是(0,4).解:依题意有1k233练习3、圆x2y22x4y30上到直线xy10的距离为2的点共有().(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个分析:把x2y22x4y30化为x12y228,圆心为1,2,半径为r22,圆心到直线的距离为2,所以在圆上共有三个点到直线的距离等于2,所以选C.练习4、过点P3,4作直线l,当斜率为什么值时,直线l与圆C:x12y224有公共点,以以下图.分析:观察动画演示,分析思路.解:设直线l的方程为yy4kx3即Oxkxy3k40依据dr有Ek23k421k2P整理得3k24k0解得40k.3种类五:圆与圆的地点关系问题导学四:圆与圆地点关系如何确立例14、判断圆C1:x2y22x6y260与圆C2:x2y24x2y40的地点关系,例15:圆x2y22x0和圆x2y24y0的公切线共有条。解:∵圆(x1)2y21的圆心为O1(1,0),半径r11,圆x2(y2)24的圆心为O2(0,2),半径r22,∴O1O25,r1r23,r2r11.∵r2r1O1O2r1r2,∴两圆订交.共有2条公切线。练习1:若圆x2y22mxm240与圆x2y22x4my4m280相切,则实数m的取值会合是.解:∵圆(x)2y24的圆心为O1(m,0),半径r12,圆(x1)2(y2m)29的m圆心为O2(1,2m),半径r23,且两圆相切,∴O1O2r1r2或O1O2r2r1,∴(m1)2(2m)25或(m1)2(2m)21,解得m12或m2,或m0或5,∴实数m的取值会合是{12,5,0,2}.5m2522:求与圆x2y25外切于点P(1,2),且半径为25的圆的方程.解:设所求圆的圆心为O1(a,b),则所求圆的方程为(xa)2(yb)220.∵两圆外切于点P,∴OP1OO1,∴(1,2)1(a,b),∴a3,b6,∴所求圆的方程为33(x3)2(y6)220.种类六:圆中的对称问题例16、圆x2y22x6y90对于直线2xy50对称的圆的方程是例17自点A3,3发出的光芒l射到x轴上,被x轴反射,反射光芒y所在的直线与圆C:x2y24x4y70相切M(1)求光芒l和反射光芒所在的直线方程.AC(2)光芒自A到切点所经过的行程.分析、略解:观察动画演示,分析思路.依据对称关系,第一求出N点A的对称点A的坐标为3,3,其次设过A的圆C的切线方程为GOBxykx33依据dr,即求出圆C的切线的斜率为A43或k’k43进一步求出反射光芒所在的直线的方程为图4x3y30或3x4y30最后依据入射光与反射光对于x轴对称,求进出射光所在直线方程为4x3y30或3x4y30A'M,可由勾股定理求得2AC2CM2光路的距离为AM7.说明:本题亦可把圆对称到x轴下方,再求解.种类七:圆中的最值问题例18:圆x2y24x4y100上的点到直线xy140的最大距离与最小距离的差是解:∵圆(x2)2(y2)218的圆心为(2,2),半径r32,∴圆心到直线的距离102r,∴直线与圆相离,∴圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是d52(dr)(dr)2r62.例19(1)已知圆(3)2(y4)21,P(x,y)为圆O上的动点,求dx2y2O1:x的最大、最小值.(2)已知圆(2)2y21,P(x,y)为圆上任一点.求y2的最大、最小值,O2:xx1求x2y的最大、最小值.分析:(1)、(2)两小题都波及到圆上点的坐标,可考虑用圆的参数方程或数形联合解决.解:(1)(法1)由圆的标准方程(x3)2(y4)21.可设圆的参数方程为x3cos,是参数).y4sin(,则dx2y296coscos2168sinsin2266cos8sin2610cos()(此中tan4).3所以dmax261036,dmin261016.(法2)圆上点到原点距离的最大值d1等于圆心到原点的距离'd1加上半径1,圆上点到原点距离的最小值d2等于圆心到原点的距离d1'减去半径1.所以d1324216.d2324214.所以dmax36.dmin16.(2)(法1)由(x2)2y21得圆的参数方程:x2cos,是参数.ysin,则y2sin2.令sin2t,x1cos3cos3得sintcos23t,1t2sin()23t23tsin()133t331t244.所以tmax33334,tmin4.即y2的最大值为33,最小值为33.x144此时x2y2cos2sin25cos().所以x2y的最大值为25,最小值为25.(法2)设y2k,则kxyk20.因为P(x,y)是圆上点,当直线与圆有交x1点时,以以下图,两条切线的斜率分别是最大、最小值.由d2kk21,得k33.1k24所以y2的最大值为33,最小值为33.x144令x2yt,同理两条切线在x轴上的截距分别是最大、最小值.由d2m1,得m25.5所以x2y的最大值为25,最小值为25.例20:已知A(2,0),B(2,0),点P在圆(x3)2(y4)24上运动,则PA22PB的最小值是.解:设P(x,y),则PA22(x2)2y2(x2)2y22(x2y2)82OP2PB8.设圆心为C(3,4),则OPmin2232OCr523,∴PAPB的最小值为2826.练习:1:已知点P(x,y)在圆x2(y1)21上运动.(1)求y1的最大值与最小值;(2)求2xy的最大值与最小值.x2解:(1)设y1k,则k表示点P(x,y)与点(2,1)连线的斜率.当该直线与圆相切时,x2k获得最大值与最小值.由2k1,解得k3,∴y1的最大值为3,最小k213x23值为3.3(2)设2xym,则m表示直线2xym在y轴上的截距.当该直线与圆相切时,m获得最大值与最小值.由1m115,∴2xy的最大值为15,最小,解得m5值为15.2设点P(x,y)是圆x2y21是任一点,求uy2的取值范围.x1分析一:利用圆上任一点的参数坐标取代x、y,转变为三角问题来解决.解法一:设圆x2y21上任一点P(cos,sin)则有xcos,ysin[0,2)sin2,∴ucosusin2∴u1cos∴ucossin(u2).即u21sin()u2(tanu)∴sin()(u2).u21又∵sin()1∴u21u21解之得:u3.4分析二:uy2的几何意义是过圆x2y21上一动点和定点(1,2)的连线的斜x1率,利用此直线与圆x2y21有公共点,可确立出u的取值范围.解法二:由uy2得:y2u(x1),此直线与圆x2y21有公共点,故点x1(0,0)到直线的距离d1.∴u21u213解得:u.4其余,直线y2u(x1)与圆x2y21的公共点还能够这样来办理:y2u(x1)消去y后得:(u21)x2(2u24u)x(u24u3)0,由y21x2此方程有实根,故(224)24(u21)(u243)0,uuu解之得:u3.4从而将求变量u的范围问题转变为三角说明:这里将圆上的点用它的参数式表示出来,函数的有关知识来求解.或许是利用其几何意义转变为斜率来求解,使问题变得简捷方便.3、已知点A(2,2),B(2,6),C(4,2),点P在圆x2y24222上运动,求PAPBPC的最大值和最小值.种类八:轨迹问题例21、基础训练:已知点
M
与两个定点
O(0,0)
,
A(3,0)
的距离的比为
1,求点
M
的轨迹2方程.例22、已知线段AB的端点B的坐标是(43A在圆(x1)2y24上运动,求,),端点线段AB的中点M的轨迹方程.例23以以下图,已知圆O:x2y24与y轴的正方向交于A点,点B在直线y2上运动,过B做圆O的切线,切点为C,求ABC垂心H的轨迹.分析:按常例求轨迹的方法,设H(x,y),找x,y的关系特别难.因为H点随B,C点运动而运动,可考虑
H
,B,
C三点坐标之间的关系.解:设H(x,y),
C(x'
,
y')
,连接
AH
,CH
,则AH
BC,CH
AB,
BC是切线
OC
BC,所以OC//AH,CH//OA,OAOC,所以四边形AOCH是菱形.所以CHOA2,得y'y2,x'x.又C(x',y')满足x'2y'24,所以x2(y2)24(x0)即是所求轨迹方程.说明:题目奇妙运用了三角形垂心的性质及菱形的有关知识.采纳代入法求轨迹方程.做题时应注意分析图形的几何性质,求轨迹时应注意分析与动点有关系的点,如有关系点轨迹方程已知,可考虑代入法.种类九:圆的综合应用例24、已知圆x2y2x6ym0与直线x2y30订交于P、Q两点,O为原点,且OPOQ,务实数m的值.分析:利用几何法求解,或利用转移法求解,或利用参数法求解.解法一:如图,在矩形APBQ中,连接AB,交于M,明显OMAB,ABPQ,PQ在直角三角形AOM中,若设Q(x,y),则M(xa,yb).22222由OMAMOA,即(xa)2(yb)21[(xa)2(yb)2]r2,224也即x2y22r2(a2b2),这即是Q的轨迹方程.解法二:设Q(x,y)、A(x1,y1)、B(x2,y2),则x12y12r2,x22y22r2.22又PQAB,即(xa)2(yb)2(x1x2)2(y1y2)22r22(x1x2y1y2).①又AB与PQ的中点重合,故xax1x2,yby1y2,即(xa)2(yb)22r22(x1x2y1y2)②①+②,有x2y222(a2b2).r这就是所求的轨迹方程.解法三:设A(rcos,rsin)、B(rcos,rsin)、Q(x,y),因为APBQ为矩形,故AB与PQ的中点重合,即有xarcosrcos,①ybrsinrsin,②又由PAPB有rsinbrsinb1③rcosarcosa联立①、②、③消去、,即可得Q点的轨迹方程为x2y22r2(a2b2).说明:本题的条件许多且较隐含,解题时,思路应清楚,且应充分利用图形的几何性质,不然,将使解题堕入窘境之中.本题给出三种解法.此中的解法一是几何方法,它充分利用了图形中隐含的数目关系.而解法二与解法三,从实质上是相同的,都能够称为参数方法.解法二波及到了x1、x2、y1、y2四个参数,故需列出五个方程;而解法三中,因为借助了圆x2y2r2的参数方程,只波及到两个参数、,故只需列出三个方程即可.上述三种解法的共同之处是,利用了图形的几何特色,借助数形联合的思想方法求解.练习:1、由动点P向圆x2y21引两条切线PA、PB,切点分别为A、B,APB=600,则动点P的轨迹方程是.解:设P(x,y).∵APB=600,∴OPA=300.∵OAAP,∴OP2OA2,∴x2y22,化简得x2y24,∴动点P的轨迹方程是x2y24.练习坚固:设A(c,0),B(c,0)(c0)为两定点,动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a(a0),求P点的轨迹.PA(xc)2y2a,解:设动点P的坐标为P(x,y).由a(a0),得c)2y2PB(x化简得(1a2)x2(1a2)y22c(1a2)xc2(1a2)0.当a1时,化简得x2y22c(1a2)xc20,整理得(x12a2c)2y2(2ac2)2;1a2a1a1当a1时,化简得x0.所以当a1时,P点的轨迹是以1a2c,0)为圆心,2ac为半径的圆;(a21a21当a1时,P点的轨迹是y轴.2、已知两定点A(2,0),B(1,0),假如动点P满足PA2PB,则点P的轨迹所包围的面积等于解:设点P的坐标是(x,y).由PA2PB,得(x2)2y22(x1)2y2,化简得(x2)2y24,∴点P的轨迹是以(2,0)为圆心,2为半径的圆,∴所求面积为4.4、已知定点B(3,0),点A在圆x2y21上运动,M是线段AB上的一点,且AM1MB,问点M的轨迹是什么31MB,∴(xx1,y1(3x,解:设M(x,y),A(x1,y1).∵AMy1)y),33xx11x141(3x)x∴3,∴3.∵点A在圆x2y22y121,1y4y1上运动,∴x1yy1y133∴(4x1)2(4y)21,即(x3)2y29,∴点M的轨迹方程是(x3)2y29.33416416例5、已知定点B(3,0),点A在圆x2y21上运动,AOB的均分线交AB于点M,则点M的轨迹方程是.解:设M(x,y),A(x,y1).∵OM是AOB的均分线,∴AMOA1,∴AM1.MBOB33由变式1可得点M的轨迹方程是(x3)2y29.416练习坚固:已知直线ykx1与圆x2y24订交于A、B两点,以OA、OB为邻边作平行四边形OAPB,求点P的轨迹方程.解:设P(x,y),AB的中点为M.∵OAPB是平行四边形,∴M是OP的中点,∴点M的坐标为(x,y),且OMAB.∵直线ykx1经过定点C(0,1),∴OMCM,∴22OMCM(x,y)(x,y1)(x)2y(y1)0,化简得x2(y1)21.∴点P的轨2222222迹方程是x2(y1)21.种类九:圆的综合应用例25、已知圆x2y2x6ym0与直线x2y30订交于P、Q两点,O为原点,且OPOQ,务实数m的值.分析:设P、Q两点的坐标为(x1,y1)、(x2,y2),则由kkOQ1,可得OPx1x2y1y20,再利用一元二次方程根与系数的关系求解.或因为经过原点的直线的斜率为y,由直线l与圆的方程结构以y为未知数的一元二次方程,由根与系数关系得出xxkOPkOQ的值,从而使问题得以解决.解法一:设点P、Q的坐标为(x1,y1)、(x2,y2).一方面,由OPOQ,得kkOQ1,即y1y21,也即:x1x2y1y20.①OPx1x2另一方面,(x1,y1)、(x2,y2)是方程组x2y30的实数解,即x1、x2x2y2x6ym0是方程5x210x4m270②的两个根.∴x1x22,x1x24m27.③5又P、Q在直线x2y30上,∴y1y21(3x1)1(3x2)1[93(x1x2)x1x2].224将③代入,得y1y2m125.④将③、④代入①,解得m3,代入方程②,检验0成立,∴m3.解法二:由直线方
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