初中数学概念整理

如果您需婆使用木文档，请点击下载按钮下载!如果您需婆使用木文档，请点击下载按钮下载!授课：授课：XXX如果您需婆使用木文档，请点击下载按钮下载!如果您需婆使用木文档，请点击下载按钮下载!授课：授课：XXX1、 整数整数（Integer）：像-2,-1,0,1,2这样的数称为整数。（整数是表示物体个数的数，0表示有0个物体）整数是人类能够掌握的最基本的数学工具。整数的全体构成整数集，整数集合是一个数环。在整数系中，自然数为0和正整数的统称，称0为零，称-1、-2、-3、…、-n、…（n为整数）为负整数。正整数、零与负整数构成整数系。一个给左的整数n可以是负数（nGZ-）,非负数（nWZ*）,零（n二0）或正数（nWZ+）.如何分类我们以0为界限，将整数分为三大类a、 正整数，即大于0的整数如，1,2,3,…，n,…b、 0既不是正整数，也不是负整数，他是介于正整数和负整数的数c、 负整数,即小于0的整数如，-1,-2,-3,…，-n,…2、 分数把整体“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数。分母表示把一个物体平均分成几份,分子是表示这样几份的数。把1平均分成分母份，表示这样的分子份。分子在上分母在下，（如这样表示〃）也可以把它当做除法来看，用分子除以分母，相反除法也可以改为用分数表示。百分数与分数的区别（1） 意义不同，百分数只表示两个数的倍比关系，不能带单位需称：分数既可以表示具体的数，又可以表示两个数的关系，表示具体数时可带单位需称。（2） 百分数的分子可以是整数，也可以是小数：而分数的分子不能是小数只是除0以外的自然数：百分数不可以约分，而分数一般通过约分化成最简分数。（3） 任何一个百分数都可以写成分母是100的分数，而分母是100的分数并不都具有百分数的意义。（4）应用范围的不同，百分数在生产和生活中，常用于调查、统计、分析和比较，而分数常常在计算、测疑中的不到整数结果时使用。3、 正数与负数正数：大于0的数叫正数。如1、15、3000、n负数：比零小«0）的数。用负号（即相当于减号）"一”标记。如-2、-5.33、-45、-0.6等。任何正数前加上负号都等于负数.负数比零，正数小在数轴线上，负数都在0的左侧，没有最大与最小的负数，所有的负数都比自然数小。七年级上1.14、 有理数m整数和分数统称为有理数，任何一个有理数都可以写成分数万（m、n都是整数，且nHO）的形式。无限不循环小数和开根开不尽的数叫无理数值得一提的是有理数的需称。"有理数”这一名称不免叫人费解，有理数并不比别的数更“有道理”。事实上，这似乎是一个翻译上的失误。有理数一词是从西方传来，在英语中是rationalnumber,而rational通常的意义是“理性的”。中国在近代翻译西方科学著作，依据日语中的翻译方法，以讹传讹，把它译成了“有理数”。但是，这个词来源于古希腊，授课：授课：XXX授课：授课：XXX如果您需要使用本文档•请点击下载按钮下栽!其英文词根为ratio,就是比率的意思（这里的词根是英语中的，希腊语意义与之相同）。所以这个词的意义也很显豁，就是整数的“比”。与之相对，“无理数”就是不能精确表示为两个整数之比的数，而并非没有道理。如果您需婆使用木文档，请点击下载按钮下载!如果您需婆使用木文档，请点击下载按钮下载!授课：授课：XXX如果您需婆使用木文档，请点击下载按钮下载!如果您需婆使用木文档，请点击下载按钮下载!授课：授课：XXX任何一个有理数都可以在数轴上表示。其中包括整数和通常所说的分数，此分数亦可表示为有限小数或无限循环小数。数学上，有理数是一个整数a和一个非零整数b的比(ratio),通常写作a/b,故又称作分数。希腊文称为Xoyo,原意为“成比例的数”(rationalnumber),但中文翻译不恰当，逐渐变成“有道理的数”°无限不循环小数称之为无理数(例如：圆周率n)有理数和无理数统称为实数。所有有理数的集合表示为Q-有理数正数负数正整数正分数负整数有理数正数负数正整数正分数负整数负分数有理数包括：自然数：数0,1,2,3,……叫做自然数.正整数:+1,+2,+3,……叫做正整数。负整数：一1,—2,—3, 叫做负整数。整数：正整数、0、负整数统称为整数。分数：正分数、负分数统称为分数。奇数：不能被2整除的整数叫做奇数。如-3,-1,1,5等。所有的奇数都可用2n-l或2n+l表示，n为整数。偶数：能被2整除的整数叫做偶数。如-2,0,4,8等。所有的偶数都可用2n表示,n为整数。质数：如果一个大于1的整数，除了1和它本身外，没有其他因数，这个数就称为质数，又称素数，如2,3,11,13等。2是最小的质数。合数：如果一个大于1的整数，除了1和它本身外，还有其他因数，这个数就称为合数，如4,6,9,15等。4是最小的合数。一个合数至少有3个因数。互质数：如果两个正整数，除了1以外没有英他公因数，这两个整数称为互质数,如2和5,7和13等。如3,-98.11,5.72727272……，7/22都是有理数。全体有理数构成一个集合，即有理数集，用粗体字母Q表示，较现代的一些数学书则用空心字母Q表示。有理数集是实数集的子集，即qUr.七年级上1.2.15、数轴规定了唯一的原点(origin),唯一的正方向和唯一的单位长度的直线叫数轴。所有的实数都可以用数轴上的点来表示。也可以用数轴来比较两个实数的大小。画一条水平宜线，在直线上取一点表示0(叫做原点，origin),选取某一长度作为单位长度(unitlength),规左直线上向右的方向为」Ti方向(positivedirection),就得到右而的数轴。所以原点、单位长度、正方向是数轴的三要素。如图:利用数轴可以比较有理数的大小，数轴上从左往右的点表示的数就是按从小到大的顺序。数轴意义：1） 从原点岀发朝正方向的射线（正半轴）上的点对应正数，相反方向的射线（负半轴）上的点对应负数，原点对应零。2） 在数轴上表示的两个数，正方向的数大于负方向的数。3） 正数都大于0,负数都小于0,正数大于一切负数。数轴是一种特泄几何图形；原点、正方向、长度单位称数轴的三要素，这三者缺一不可.把规定了唯一的原点，正方向，单位长度的一条直线叫做数轴如果要在数轴上的点表示虚数,则需要2条数轴组成直角坐标系.而实数与虚数的和，要表示在两条数轴之外的二维平而上。任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，但数轴上的数不都是有理数。一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数。七年级上1.2.26、 相反数相反数：只有符号不同的两个数互为相反数，苴中的一个数叫做另一个数的相反数。相反数的代数意义：到原两个数的和为零，其中一个数是另一个数的相反数，这两个数称为互为相反数。相反数的几何意义：到原点距离相等的两个点表示的两个数是互为相反数。在数轴上，互为相反数（0除外）的两个点位于原点的两旁，并且关于原点对称。正数的相反数是负数，负数的相反数是正数。a的相反数是-a,0的相反数是0。七年级上1.2.37、 绝对值绝对值：数轴上一个数所对应的点与原点的距离叫做该数绝对值。绝对值只能为非负数。几何意义：在数轴上，一个数到原点的距离叫做该数的绝对值.如：指在数轴上表示的点与原点的距离，这个距离是5,所以的绝对值是5,又如指在数轴上表示1.5的点与原点的距离，这个距离是1.5,所以1.5的绝对值是1.5。代数意义：正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数,0的绝对值是0互为相反数的两个数的绝对值相等。a的绝对值用“a”表示.读作“a的绝对值”.a二a（a>0）a二-a（aWO）。七年级上1.2.48、 近似数一个数与准确数相近（比准确数略多或者略少些），这一个数称之为近似数（approximatenumber）.如:我国的人口无法计算准确数目，但是可以说出一个近似数•比如说我国人口有13亿,13亿就是一个近似数。在通常情况下，近似数相加减，精确度最低的一个已知数精确到哪一位，和或者差也至多只能精确到这一位。示例例如，一个同学去年体重30.4千克，今年体重比去年增加了3.18千克。求今年体重时要把这两个近似数加起来。因为30.4只精确到十分位，比3.18的精确度（精确到百分位）授课：授课：XXX授课：授课：XXX如果您需要使用本文档•请点击下载按钮下栽!低，所以加得的和最多也只能精确到十分如果您需婆使用木文档，请点击下载按钮下载!如果您需婆使用木文档，请点击下载按钮下载!授课：授课：XXX如果您需婆使用木文档，请点击下载按钮下载!如果您需婆使用木文档，请点击下载按钮下载!授课：授课：XXX位。为了容易看出计算结果的可靠程度，我们在竖式中每一个加数末尾添上一个“？”，用来表示被截去的数字。30.4?+3.1833.5?可以看到，因为第一个加数从百分位起的数就不能确左，所以加得的和从百分位起数字也不能确眉。近似数的加减一般可按下列法则进行：（1）确左计算结果能精确到哪一个数位。（2）把己知数中超过这个数位的尾数“四舍五入”到这个数位的下一位。（3）进行计算，并且把算得的数的末一位“四舍五入”。七年级上1.5.39、 科学计数法数学术语,aX10的n次幕的形式。将一个数字表示成（aX10的n次幕的形式），其中1W|a<10,n表示整数，这种记数方法叫科学记数法。用幕的形式，有时可以方便的表示日常生活中遇到的一些较大的数，如：光的速度大约是300000000米/秒：全世界人口数大约是：6100000000这样的大数，读、写都很不方便，考虑到10的幕有如下特点：10的二次方二100,10的三次方=1000,10的四次方二10000……。一般的，10的n次幕，在1的后而有n个0,这样就可用10的幕表示一些大数，如：6100000000=6.1X1000000000=6.IX10，）任何非0实数的0次方都等于1当有了负整数指数呈的时候，小于1的正数也可以用科学记数法表示。例如：0.00001二（10的负5次方），即小于1的正数也可以用科学记数法表示为a乘10的负n次方的形式，其中a是正整数数位只有一位的正数，n是正整数。有效数字：在一个近似数中，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的位数止，这中间所有的数字都叫这个近似数字的有效数字。例如：890314000保留三位有效数字为&90x10*（8.90*10的8次方）0.00934593保留三位有效数字为9.35x10」（9.35*10的-3次方）七年级上1.5.210、 有理数的运算有理数集是一个域，即在英中可进行四则运算（0作除数除外），而且对于这些运算，以下的运算律成立（a、b、c等都表示任意的有理数）：加法的交换律a+b二b+a：加法的结合律a+（b+c）二（a+b）+c；存在数0,使0+a二a+0二a：对任意有理数a,存在一个加法逆元，记作-a,使a+（-a）=（-a）+a=0：乘法的交换律ab二ba：乘法的结合律a(bc)=(ab)c：分配律a(b+c)二ab+ac；存在乘法的单位元1H0,使得对任意有理数a,la二al二a：对于不为0的有理数a,存在乘法逆元1/a,使a(l/a)二(l/a)a二1。Oa=0此外，有理数是一个序域，即在其上存在一个次序关系W。有理数还是一个阿基米徳域，即对有理数a和b,a20,b>0,必可找到一个自然数n,使nb>a。由此不难推知，不存在最大的有理数。有理数加减混合运算理数加减统一成加法的意义：对于加减混合运算中的减法，我们可以根据有理数减法法则将减法转化为加法，这样就可将混合运算统一为加法运算，统一后的式子是几个正数或负数的和的形式，我们把这样的式子叫做代数和。有理数加减混合运算的方法和步骤：运用减法法则将有理数混合运算中的减法转化为加法。运用加法法则，加法交换律，加法结合律简便运算。有理数范圉内已有的绝对值，相反数等概念，在实数范围内有同样的意义。一般情况下，有理数是这样分类的：整数、分数：正数、负数和零；负有理数，非负有理数11、乘方乘方的意义、各部分需称及读写在d"中,相同的乘数a叫做底数(basenumber),a的个数n叫做指数(exponent)>乘方运算的结果""叫做幕(念m))。/读作a的n次方，如果把""看作乘方的结果，则读作a的n次幕。/或a的二次方(或a的二次幕)也可以读作a的平方；/或a的三次方(或a的三次幕)也可以读作a的立方。每一个自然数都可以看作这个数的一次方，也叫作一次慕。如：8可以看作刘。当指数是1时，通常省略不写。运算顺序：先乘方，再括号，接乘除，屋加减。、相同乘数相乘的积用乘方表示、根拯乘方的意义计算出答案2)0"。94二9X9X9X9=6561可以看出。"二0(n为正数)0>11=1(nHO)⑷、区别易混的概念F与8X3； 2)5X2与匚3)4x5,与(4x5)-（5）、计算一个数的小数次方，如果那个小数是有理数，就把它化为p/q（即分数）的形式,那么任何一个数n的p/q次方就等于n的p次方再开q次根号七年级上1.5.112、 单项式数字或字母的乘积叫单项式（单独的一个数字或字母也是单项式（单项式是整式，而不是分式））。单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。所有字母的指数之和叫做这个单项式的次数。任何一个非零数的零次方等于1。注意：丄1） 、分母含有未知数的式子不属于单项式。例如，工不是单项式。2） 、单独的一个数字或字母也是单项式。例如，1和也是单项式，+"不是单项式。单项式是字母与数的乘积。单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。单项式的系数：单项式中的数字因数。如：2xy的系数是2：-5zy的系数是-5字母t的指数是1,100t是一次单项式；在单项式vt中，字母v与t的指数的和是2,vt是二次单项式。如：哋、X}'3、匕......都是单项式。用运算符号把表示数的字母或数连接起来的式子叫代数式。代数式不含有”、“V”、“工”符号等单项式书写规则：数与字母相乘时，数在字母前：乘号可以省略为点或不写；除法的式子可以写成分数式；带分数与字母相乘，带分数要化为假分数单项式是几次，就叫做几次单项式字母不能在分母中"兀”是数，不是字母，读pai注意1•数字写在字母的前而，省略乘号。［5a、16xy等］常数（也就是自然数）的次数为0.单项式分母不能为字母。（因为这样为分式，不为单项式）n是常数，因此也可以作为系数。若系数是带分数，要化成假分数。但一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写，如［（-1）ab］写成［-ab］等。在单项式中字母不可以做分母，分子可以。【注：像三分之a+b之类的不是单项式】单项式中系数不为0,否则单项无意义。单项式乘法法则：单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式13、 多项式若干个单项式的和组成的式子叫做多项式（减法中有：减一个数等于加上它的相反数）。多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数。不含字母的项叫做常数项。如一式中：最髙项的次数为5,此式有3个单项式组成，则称其为：五次三项式。比较广义的沱义，1个或0个单项式的和也算多项式。按这个立义，多项式就是整式。实际上，还没有一个只对狭义多项式起作用，对单项式不起的左理：0作为多项式时，次数为负无穷大。注意：（1＞由于多项式的每一项都是单项式，股每一项既有系数，又有次数，整个多项式没有系数：（2）多项式的次数是组成多项式的各单项式中次数最髙的那个单项式次数；（3）把多项式的项和次数结合起来，通常叫做几次几项式，如疋+兀+1是二次三项式：（4）多项式的每一项都包括其前而的符号。14、 整式整式是有理式的一部分，在有理式中可以包含加，减，乘，除四种运算，但在整式中除数不能含有字母.单项式和多项式统称为整式.2x/3是单项式、0.4X+3是多项式，他们都属于整式。而x/y不是整式。代数式中的一种有理式•不含除法运算或分数，以及虽有除法运算及分数，但除式或分母中不含变数者,则称为整式.代数式：由数和表示数的字母经有限次加、减、乘、除、乘方和开方等代数运算所得的式子,或含有字母的数学表达式称为代数式。例如:ax+2b,-2/3,b"2/26,Ja+J2等。注意：1、不包括等于号（二、=）.不等号（工、€、鼻、V、＞、味、为）、约等号2、可以有绝对值。例如:|x|,|-2.25|等。整式不包括开方，分母是字母的数。整式可以分为定义和运算，定义又可以分为单项式和多项式，运算又可以分为加减和乘除.加减包括合并同类项，乘除包括基本运算、法则和公式，基本运算又可以分为幕的运算性质,法则可以分为整式、除法，公式可以分为乘法公式、零指数幕和负整数指数幕.数与字母的乘积叫做单项式。几个单项式的和是多项式。单项式与多项式统称为整式。单项式中的数字因数叫做单项式的系数。单项式中所有字母的指数和叫做单项式的指数。多项式中次数最高项的次数叫做多项式的次数。多项式可以按降幕和升慕排列，（1）升幕：按照多项式中制立的未知数的次数从低到髙排列：（2）降幫：按照多项式中制左的未知数的次数从髙到低排列。七年级上2.115、 分式分式的基本概念：形如A/B,A、B是整式，B中含有未知数且B不等于0的整式叫做分式（fraction）。貝中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。掌握分式的概念应注意：判断一个式子是否是分式，不要看式子是否是A/B的形式，关键要满足。（1） 分式的分母中必须含有未知数。（2） 分母的值不能为零，如果分母的值为零，那么分式无意义。由于字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性。整式和分式统称为有理式。带有根号的式子叫做无理式无理式和有理式统称代数式分式的法则1） •约分：把一个分式的分子和分母的公因式（不为1的数）约去，这种变形称为约分。2） .分式的乘法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。3） .分式的加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。4） .通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分。如：3/2和2/3可化为9/6和4/6.即：3*3/2*3,2*2/3*2!5） •异分母分式的加减法法则：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算。注:分式的概念包括3个方面：①分式是两个整式相除的分式，其中分子为被除式，分耳为除式，分数线起除号的作用：②分式的分母中必须含有字母，而分子中可以含有字母，也可以不含字母，这是区别整式的重要依据；③在任何情况下，分式的分母的值都不可以为0,否则分式无意义。这里，分母是指除式而言。而不是只就分母中某一个字母来说的。也就是说，分式的分母不为零是隐含在此分式中而无须注明的条件。分式的基本性质和变形应用1•分式的基本性质:分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。用式子表示为：A/B二A*C/B*CA/B二AWC/BFC（A,B,C为整式，且CH0）约分:把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分.分式的约分步骤：（1）如果分式的分子和分母都是单项式或者是几个因式乘积的形式,将它们的公因式约去.（2）分式的分子和分母都是多项式,将分子和分母分别分解因式，再将公因式约去.注：公因式的提取方法:系数取分子和分母系数的最大公约数，字母取分子和分母共有的字母，指数取公共字母的最小指数,即为它们的公因式.最简分式:一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式.约分时,-般将一个分式化为最简分式.通分:把几个异分母分式分别化为与原分式值相等的同分母分式，叫做分式的通分.分式的通分步骤:先求岀所有分式分母的最简公分母，再将所有分式的分母变为最简公分母•同时各分式按照分母所扩大的倍数，相应扩大各自的分子.注:最简公分母的确定方法:系数取各因式系数的最小公倍数，相同字母的最髙次幕及单独字母的幕的乘积.注：（1）约分和通分的依据都是分式的基本性质2.（2）分式的约分和通分都是互逆运算过程.分式的四则运算同分母分式加减法则:同分母的分式相加减，分母不变,把分子相加减.用字母表示为：a/c±b/c=a±b/c异分母分式加减法则：异分母的分式相加减,先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算•用字母表示为：a/b士c/d二ad士cb/bd分式的乘法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母•用字母表示为：a/b*c/d=ac/bd4・分式的除法法则：（1）・两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相授谢授谢XXX授谢授谢XXX如果您需要使用本文档如果您需要使用本文档•请点击下载按钮下栽!乘.a/b-rc/d=ad/bc如果您需婆使用木文档，请点击下载按钮下载!如果您需婆使用木文档，请点击下载按钮下载!授课：授课：XXX如果您需婆使用木文档，请点击下载按钮下载!如果您需婆使用木文档，请点击下载按钮下载!授课：授课：XXX（2）.除以一个分式，等于乘以这个分式的倒数:a/b+c/d二a/b*d/c16、 方程含有未知数的等式叫方程方程（英文：equation）是表示两个数学式（如两个数、函数、量、运算）之间相等关系的一种等式，通常在两者之间有一等号“二”。方程不用按逆向思维思考，可直接列岀等式并含有未知数。它具有多种形式，如一元一次方程、二元一次方程等。等式的基本性质1等式两边同时加（或减）同一个数或同一个代数式，所得的结果仍是等式。用字母表示为：若a=b,c为一个数或一个代数式。贝IJ：（1） a+c=b+c（2） a-c=b~c等式的基本性质2等式的两边同时乘或除以同一个不为0的数所得的结果仍是等式。（3） 若圧0则2&（等式的对称性）。（4）若a=b,b=c则a二c（等式的传递性）。用字母表示为：若a=b,c为一个数或一个代数式（不为0）。贝IJ：aXc=bXca~?c=bFc方程的一些概念：方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。解方程：求方程的解的过程叫做解方程。解方程的依据：1.移项；2.等式的基本性质；3.合并同类项：4.加减乘除各部分间的关系。解方程的步骤：1•能计算的先计算：2.转化一一计算一一结果17、 一元一次方程只含有一个未知数，并且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数是1，这样的方程叫做一元一次方程。通常形式是ax+b二0（a,b为常数，且aHO）。一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式。一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1,且未知数的系数不为0。我们将ax+b二0（.其中x是未知数，a、b是已知数，并且aHO）叫一元一次方程的标准形式。这里a是未知数的系数,b是常数,x的次数必须是1。一元一次方程英文是（linearequationinone）性质等式的性质一:等式两边同时加一个数或减去同一个数或同一个整式，等式仍然成立。等式的性质二:等式两边同时乘一个数或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。等式的性质三:等式两边同时乘方（或开方），等式仍然成立。解方程都是依据等式的这三个性质等式的性质一:等式两边同时加一个数或减一同一个数，等式仍然成立。一般解法1） 去分母方程两边同时乘各分母的最大公倍数。2） 去括号一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号。但顺序有时可依据情况而泄使计算简便。可根据乘法分配律。3） 移项把方程中含有未知数的项移到方程的列一边，英余各项移到方程的另一边移项时别忘记了要变号。（一般都是这样：（比方）从5x=4x+8得到5x-4x=8:把未知数移到4） 合并同类项将原方程化为ax二b（aHO）的形式。5） 系数化一方程两边同时除以未知数的系数。6） 得岀方程的解。同解方程如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程。方程的同解原理：（1） 方程的两边都加或减同一个数或同一个等式所得的方程与原方程是同解方程。（2） 方程的两边同乘或同除同一个不为0的数所得的方程与原方程是同解方程。做一元一次方程应用题的重要方法：（1）认真审题（2）分析已知和未知的量（3）找一个等疑关系（4）设未知数（5）列方程（6）解方程（7）检验（8）写出答18、 二元一次方程二元一次方程泄义：一个含有两个未知数，并且未知数的指数都是1的整式方程，叫二元一次方程（linearequationoftwounknowns）o二元一次方程组泄义：由两个二元一次方程组成的方程组，叫二元一次方程组（systemoflinearequationoftwounknowns）<>二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个公共解，叫做二元一次方程组的解。一般解法，消元：将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决。消元的方法有两种：代入消元法例：解方程组x+y二5①6x+13y=89②解：由①得x二5-y③把③带入②，得6（5-y）+13y二89,解得y二59/7把y二59/7带入③，得x二5-59/7,即x=-24/7・・・x二-24/7,y=59/7这种解法就是代入消元法。加减消元法例：解方程组x+y二9①x-y二5②解：①+②，得2x=14,即x二7把昨7带入①，得7+y二9,解得尸2X—/9y二2这种解法就是加减消元法。二元一次方程组的解有三种情况：有一组解如方程组x+y=5@6x+13y=89②的解为x二-24/7,y二59/7。有无数组解如方程组x+y=6®2x+2y=12②，因为这两个方程实际上是一个方程（亦称作“方程有两个相等的实数根”），所以此类方程组有无数组解。无解如方程组x+y=4@2x+2y=10②，因为方程②化简后为x+y二5,这与方程①相矛盾，所以此类方程组无解。19、 三元一次方程三元一次方程泄义：如果方程中含有三个未知数，且含有的未知数的项的次数都是一次，这样的方程叫做三元一次方程三元一次方程组定义：含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是一次,并且一共有三个方程（有时会有特例，但是所有的三元一次方程组都有3个未知数），叫做三元一次方程组。三元一次方程组的解法：与二元一次方程类似，利用消元法逐步消元。20、一元二次方程在一个等式中，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是二次的整式方程叫做一元二次方程。一元二次方程有四个特点：（1）只含有一个未知数；（2）且未知数次数最高次数是2：（3）是整式方程.要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理.如果能整理为"疋+加+c=O（"HO）的形式，则这个方程就为一元二次方程.（4）将方程化为一般形式：+bx+c=°时，应满足（"HO）一般解法1） 配方法（可解全部一元二次方程）如：解方程：x"2+2x-3二0解：把常数项移项得：x"2+2x二3等式两边同时加1（构成完全平方式）得：x*2+2x+l=4因式分解得：（x+1厂2二4解得：xl=-3,x2=l用配方法解一元二次方程小口诀二次系数化为一常数要往右边移一次系数一半方两边加上最相当2） 公式法（可解全部一元二次方程）首先要通过b"2-4ac的值来判断一元二次方程有几个根当J2-4acV0时x无实数根（初中）当b"2-4ac二0时x有两个相同的实数根即xl=x2当b"2-4ac>0时x有两个不相同的实数根当判断完成后，若方程有根可根属于2、3两种情况方程有根则可根据公式：x={-b±V（b"2—4ac）}/2a来求得方程的根3） 因式分解法（可解部分一元二次方程）（因式分解法又分“提公因式法”、“公式法（又分“平方差公式”和“完全平方公式”两种）”和“十字相乘法”。如：解方程：x*2+2x+l=0解：利用完全平方公式因式分解得：（x+1）“2二0解得：xl=x2=-l直接开平方法（可解部分一元二次方程）代数法（可解全部一元二次方程）ax"2+bx+c二0同时除以a,可变为x"2+bx/a+c/a=0设：x=y-b/2方程就变成：(y"2+b"2/4-by)+(by+b"2/2)+c二0X错_应为(y"2+b"2/4-by)除以(by-b"2/2)+c=0再变成：y"2+(b"22*3)/4+c=0X—y"2-b"2/4+c二0y=±V[(b"2*3)/4+clX—y=±J[(b"2)/4+c]如何选择最简单的解法：、看是否可以直接开方解：、看是否能用因式分解法解(因式分解的解法中，先考虑提公因式法，再考虑平方公式法，最后考虑十字相乘法)：、使用公式法求解：、最后再考虑配方法(配方法虽然可以解全部一元二次方程，但是有时候解题太麻烦)。例题精讲：1)、直接开平方法：直接开平方法就是用宜接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)*2=n(n>0)的方程，其解为x=m±Vn例1.解方程(1)(3x+l)*2=7(2)9x"2-24x+16二11分析：(1)此方程显然用直接开平方法好做，(2)方程左边是完全平方式(3x-4)*2,右边=11>0,所以此方程也可用直接开平方法解。⑴解:(3x+l)*2=7.•・(3x+l)"2二7A3x+1=±J7(注意不要丢解)•X—・•••••原方程的解为X1二...，x2二...(2)解：9x"2-24x+16二11•••(3x-4)"2二11A3x-4=±VII•x~・・・.••原方程的解为X1二...，x2二...配方法：例1用配方法解方程3x*2-4x-2=0解：将常数项移到方程右边3x"2-4x二2将二次项系数化为1：x*2-x=方程两边都加上一次项系数一半的平方：x*2-x+(厂2二+(厂2配方：(x-)"2二直接开平方得：x-=±/.x=・•・原方程的解为X1二,x2二.公式法：把一元二次方程化成a/2+bx+c的一般形式，然后把各项系数a,b,c的值代入求根公式就可得到方程的根。当b*2-4ac>0时，求根公式为xl=[~b+J(b"2-4ac)]/2a,x2二[-b-V(b"2-4ac)]/2a(两个不相等的实数根)当b"2-4ac二0时，求根公式为xl=x2=-b/2a(两个相等的实数根)当b"2-4ac<0时，求根公式为xl二[-b+J(4ac-b*2)i]/2a,x2=[-b-J(4ac~b"2)i]/2a(两个虚数根)(初中理解为无实数根)例3.用公式法解方程2/2-8x二-5解：将方程化为一般形式：2/2-8計5二0a=2,b二-&c=5b*2-4ac=(-8)2-4X2X5二64-40二24>0x=二=••・原方程的解为xl=,x2=.因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得的根，就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。例4.用因式分解法解下列方程：(x+3)(x-6)=-8(2)2x"2+3x=06x*2+5x-50=0(选学)(4)x*2-4x+4=0(选学)解：(x+3)(x-6)=-8化简整理得x"2-3x-10二0(方程左边为二次三项式，右边为零)(x-5)(x+2)二0(方程左边分解因式).•・x-5二0或x+2二0(转化成两个一元一次方程)Axl=5,x2二-2是原方程的解。解：2x*2+3x=0x(2x+3)=0(用提公因式法将方程左边分解因式).•.X二0或2x+3二0(转化成两个一元一次方程).・.xl二0,x2二-3/2是原方程的解。注意：有些同学做这种题目时容易丢掉沪0这个解，应记住一元二次方程有两个解。解:6x2+5x-50=0(2x-5)(3x+10)二0(十字相乘分解因式时要特別注意符号不要出错)2x-5=0或3x+10=0Ax1=5/2,x2=-10/3是原方程的解。解：x"2-4x+4二0(V4可分解为2・2,・•.此题可用因式分解法)(x-2)(x-2)=0.•・xl二2,x2二2是原方程的解。小结：一般解一元二次方程，最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般形式，同时应使二次项系数化为正数。直接开平方法是最基本的方法。公式法和配方法是最重要的方法。公式法适用于任何一元二次方程(有人称之为万能法)，在使用公式法时，一左要把原方程化成一般形式，以便确立系数，而且在用公式前应先计算判别式的值，以便判断方程是否有解。配方法是推导公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法解一元二次方程。但是，配方法在学习英他数学知识时有广泛的应用，是初中要求掌握的三种重要的数学方法之一，一泄要掌握好。(三种重要的数学方法：换元法，配方法，待定系数法)。21、分式方程分式方程是方程中的一种，且分母里含有未知数的方程叫做分式方程(fractional授谢授谢XXX授谢授谢XXXequation)^如果您需要使用本文档•请点击下载按钮下栽!如果您需婆使用木文档，请点击下载按钮下载!如果您需婆使用木文档，请点击下载按钮下载!授课：授课：XXX如果您需婆使用木文档，请点击下载按钮下载!如果您需婆使用木文档，请点击下载按钮下载!授课：授课：XXX例如100/x二95/x+0.35分式方程的解法：去分母｛方程两边同时乘以最简公分母(最简公分母:①系数取最小公倍数②出现的字母取最髙次幕③出现的因式取最髙次幕)，将分式方程化为整式方程;若遇到互为相反数时.不要忘了改变符号｝:②按解整式方程的步骤(移项，若有括号应去括号，注意变号，合并同类项，系数化为1)求岀未知数的值;③脸根(求岀未知数的值后必须验根，因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根).验根时把整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于0,这个根就是增根。否则这个根就是原分式方程的根。若解岀的根是增根，则原方程无解。如果分式本身约分了，也要带进去检验。在列分式方程解应用题时，不仅要检验所的解是否满足方程式，还要检验是否符合题意。一般的，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为零，因此要将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为零，则是方程的解.归纳：解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母，这也是解分式方程的一般思路和做法。例题：x/(x+l)=2x/(3x+3)+l两边乘3(x+l)3x=2x+(3x+3)3x=5x+32x=-3x=-3/2分式方程要检验经检验，x二-3/2是方程的解2/(x-1)=4/(x*2-l)两边乘(x+1)(x-1)2(x+l)=42x+2=42x=2x=l分式方程要检验把带入原方程，使分母为0,是增根。所以原方程2/x-l=4/X*2-l无解一窪要检验！！检验格式：把x二a带入最简公分母，若尸a使最简公分母为0,则a是原方程的增根.若x二a使最简公分母不为零，则a是原方程的根.注意：可凭经验判断是否有解。若有解，带入所有分母il•算：若无解，带入无解分母即可22、不等式一般的，用符号“V”(或"W”)，“〉”(或“鼻”)，连接的式子叫做不等式。不等式中可以含有未知数，也可以不含)不等式的性质：不等式的两边都加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变。不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。不等式的两边都乘以0,不等号变等号。不等式的基本性质(字母表示)性质1：如果a>b,那么a±c>b±c性质2：如果a>b,c>0,那么ac>bc(或a/c>b/c)性质3：如果a>b,c<0,那么ac<bc(或a/c<b/c)不等式的最基本性质如果x>y»那么yVx：如果y<x,那么x>y；(对称性)如果x>y»y>z：那么x>z；(传递性)如果x>y,而z为任意实数或整式，那么x+z>y+z：(加法则)如果x>y.z>0,那么xz>yz：如果x>y,z<0,那么xzVyz;(乘法则)如果x>y.z>0,那么xFz>yWz;如果x>y,z<0,那么xWzVyFz。如果x>y.m>n,那么x+m>y+n(充分不必要条件)如果x>y>0,m>n>0.那么xm>yn如果x>y>0,那么x的n次幕>y的n次慕(n为正数)如果由不等式的基本性质出发，通过逻辑推理，可以论证大量的初等不等式，以下是貝中比较有名的。解不等式可遵循的一些同解原理主要的有：不等式F(x)<G(x)与不等式G(x)>F(x)同解。如果不等式F(x)<G(X)的泄义域被解析式H(x)的宦义域所包含，那么不等式F(x)<G(x)与不等式F(x)+H(x)<G(x)+H(x)同解。如果不等式F(x)<G(x)的泄义域被解析式H(X)的泄义域所包含，并且H(x)>0,那么不等式F(x)<G(x)与不等式H(x)F(x)<H(x)G(x)同解；如果H(x)<0,那么不等式F(X)<G(X)与不等式H(x)F(x)>H(x)G(x)同解。不等式F(x)G(x)>0与不等式同解；不等式F(x)G(x)<0与不等式同解。注意事项符号：不等式两边都乘以或除以一个负数，要改变不等号的方向。确定解集：比两个值都大，就比大的还大：比两个值都小，就比小的还小：比大的大，比小的小，无解；比小的大，比大的小，有解在中间。三个或三个以上不等式组成的不等式组，可以类推。另外，也可以在数轴上确定解集：把每个不等式的解集在数轴上表示出来，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上而表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集。有几个就要几个。不等式两边相加或相减，同一个数或式子，不等号的方向不变。(移项要变号)授谢授谢XXX授谢授谢XXX如果您需婆使用木文档，请点击下载按钮下载!如果您需婆使用木文档，请点击下载按钮下载!授授i恥XXX不等式两边相乘或相除，同一个正数，不等号的方向不变。（相当系数化1,这是得正数才能使用）不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变。（三或XI个负数的时候要变号）不等式证明方法比较法比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用，比较法可分为差值比较法（简称为求差法）和商值比较法（简称为求商法）。⑴差值比较法的理论依据是不等式的基本性质：“a-b20a2b：a-b£OaWb”。其一般步骤为：①作差：考察不等式左右两边构成的差式，将苴看作一个整体：②变形：把不等式两边的差进行变形，或变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变形为一个或几个平方的和等等，英中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的变形手段；③判断：根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差的正负号，最后肯立所求证不等式成立的结论。应用范用：当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法。（2）商值比较法的理论依据是：“若a,bGR+,a/bMla^b：a/b£laWb”。其一般步骤为：①作商：将左右两端作商：②变形：化简商式到最简形式；③判断商与1的大小关系，就是判左商大于1或小于1。应用范用：当被证的不等式两端含有幕、指数式时，一般使用商值比较法。综合法利用已知事实（已知条件、重要不等式或已证明的不等式）作为基础，借助不等式的性质和有关立理，经过逐步的逻借推理，最后推出所要证明的不等式，其特点和思路是"由因导果”，从"已知”看"需知”,逐步推出"结论”。其逻辑关系为：AB1B2B3…BnB,即从已知A逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论B。分析法分析法是指从需证的不等式岀发，分析这个不等式成立的充分条件，进而转化为判泄那个条件是否具备，英特点和思路是"执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”。用分析法证明AB的逻辑关系为：BB1B1B3…BnA,书写的模式是：为了证明命题B成立，只需证明命题B1为真，从而有…，这只需证明B2为真，从而又有…，……这只需证明A为真，而已知A为真，故B必为真。这种证题模式告诉我们，分析法证题是步步寻求上一步成立的充分条件。反证法有些不等式的证明，从正而证不好说淸楚，可以从正难则反的角度考虑，即要证明不等式A>B,先假设AWB,由题设及其它性质，推出矛盾，从而肯泄A>B。凡涉及到的证明不等式为否定命题、惟一性命题或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等词语时，可以考虑用反证法。换元法换元法是对一些结构比较复杂，变量较多，变量之间的关系不甚明了的不等式可引入一个或多个变量进行代换，以便简化原有的结构或实现某种转化与变通，给证明带来新的启迪和方法。主要有两种换元形式。（1）三角代换法：多用于条件不等式的证明，当所给条件较复杂，一个变量不易用另一个变疑表示，这时可考虑三角代换，将两个变戢都有同一个参数表示。此法如果运用恰当，可沟通三角与代数的联系，将复杂的代数问题转化为三角问题根据具体问题，实施的三角代换方法有：①若x2+y2=l,可设x二co"）,y二sin（）：②若x2+y2Wl,可设x=rcos0,y=rsin0（O^r^l）:③对于含有的不等式，由于xW1,可设x二cos0:④若x+y+z二xyz,由tanA+1anB+1anC=tanAtan-BtanC知♦可设x二taaA,y=tanBtz二tanC,其中A+B+C二几。（2）增疑换元法：在对称式（任意交换两个字母，代数式不变）和给疋字母顺序（如a>b>c等）的不等式，考虑用增疑法进行换元，英目的是通过换元达到减元，使问题化难为易，化繁为简。如a+b二1,可以用a二l-t,b二t或a二1/2+t,b二1/2-1进行换元。放缩法放缩法是要证明不等式A<B成立不容易，而借助一个或多个中间变量通过适当的放大或缩小达到证明不等式的方法。放缩法证明不等式的理论依据主要有：（1）不等式的传递性：（2）等量加不等量为不等（3）同分子（分母）异分母（分子）的两个分式大小的比较。

如果您需要使用本文档如果您需要使用本文档•请点击下载按钮下栽!常用的放缩技巧有:如果您需婆使用木文档，请点击下载按钮下载!如果您需婆使用木文档，请点击下载按钮下载!授课：授课：XXX如果您需婆使用木文档，请点击下载按钮下载!如果您需婆使用木文档，请点击下载按钮下载!授课：授课：XXX①舍掉（或加进）一些项：②在分式中放大或缩小分子或分母：③应用均值不等式进行放缩。23、 一元一次不等式一元一次不等式左义：用不等号连接的，含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，系数不为0.左右两边为整式的式子叫做一元一次不等式（linearineqalitywithoneunknown）«解一元一次不等式的一般方法顺序：（1） 去分母（运用不等式性质2、3）（2） 去括号（3） 移项（运用不等式性质1）（4） 合并同类项。（5） 将未知数的系数化为1（运用不等式性质2、3）（6）有些时候需要在数轴上表示不等式的解集不等式的解集：一个有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。例如，不等式x-5^-1的解集为xW4：不等式x²>0的解集是所有非零实数。求不等式解集的过程叫做不等式。一元一次不等式的解集将不等式化为ax>b的形式⑴若a>0,则解集为x>b/a（2）若a<0,则解集为x<b/a24、 一元一次不等式组一般的，关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组。一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。求不等式组解集的过程，叫做解不等式组。解一元一次不等式组的步骤：（1） 求出每个不等式的解集；（2） 求出每个不等式的解集的公共部分；（一般利用数轴）（3） 用代数符号语言来表示公共部分。（也可以说成是下结论）解不等式组的口诀大大取大例如，x>2,x>3,不等式组的解集是X>3小小取小例如，x<2,x<3,不等式组的解集是X<2大小小大取中间例如，x<2,x>l,不等式组的解集是l<x<2小小大大无解例如，x<2,x>3,不等式组无解25、 平而直角坐标系在同一个平而上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平而直角坐标系，简称为直角坐标系。通常，两条数轴分别巻于水平位置与铅直位垃，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向。水平的数轴叫做X轴或横轴，铅直的数轴叫做Y轴或纵轴，X轴或Y轴统称为坐标轴，它们的公共原点0称为直角坐标系的原点。英文为CartesianCoordinatePlaneoX轴和Y轴把坐标平而分成四个象限，右上而的叫做第一象限，苴他三个部分按逆时针方向依次叫做第二象限、第三彖限和第四象限。象限以数轴为界，横轴、纵轴上的点及原点不属于任何象限。一般情况下，x轴和y轴取相同的单位长度。点的坐标建立了平而直角坐标系后，对于坐标系平而内的任何一点，我们可以确左它的坐标

（coordinate）。反过来，对于任何一个坐标，我们可以在坐标平而内确左它所表示的一个点。对于平而内任意一点C,过点C分别向X轴、Y轴作垂线，垂足在X轴、Y轴上的对应点a,b分别叫做点C的横坐标、纵坐标，有序实数对（orderedpair）（a,b）叫做点C的坐标。一个点在不同的象限或坐标轴上，点的坐标不一样。特殊位置的点的坐标的特点x轴上的点的纵坐标为零：y轴上的点的横坐标为零。第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等：第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数。在任意的两点中，如果两点的横坐标相同，则两点的连线平行于纵轴：如果两点的纵坐标相同，则两点的连线平行于横轴。点到轴及原点的距离点到x轴的距离为|y|；点到y轴的距离为lx：点到原点的距离为x的平方加y的平方再开根号：在平而直角坐标系中对称点的特点关于x成轴对称的点的坐标，横坐标相同，纵坐标互为相反数。（横同纵反）关于y成轴对称的点的坐标，纵坐标相同，横坐标互为相反数。（横反纵同）关于原点成中心对称的点的坐标，横坐标与横坐标互为相反数，纵坐标与纵坐标互为相反数。（横纵皆反）各象限内和坐标轴上的点和坐标的规律第一象限：（+,+）正正第二象限：（-，+）负正第三象限：（-，-）负负第四象限：（+,-）正负x轴正方向：（+,0）x轴负方向：（-，0）y轴正方向：（0,+）y轴负方向：（0,-）x轴上的点的纵坐标为0,y轴上的点的横坐标为0。注：以数对形式（x,y）表示的坐标系中的点（如2,-4）,“2”是x轴坐标，“-4”是y轴坐标。26、 变量在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量。变量用于开放句子，表示尚未淸楚的值(即变数)，或一个可代入的值(见函数)。这些变量通常用一个英文字母表示，若用了多于一个英文字母，很易令人混淆成两个变量相乘。n,m,x,y,z是常见的变量名字，其中n,m较常表示整数。27、 常量有些量的数值是始终不变的，我们称他们为常量。它们可以是不随时间变化的某些量和信息，也可以是表示某一数值的字符或字符串，常被用来标识、测量和比较。28、 函数在一个变化过程中，如果有两个变量x与y,并且对于x的每一个确左的值，y都有唯一确定值与其对应,那么我们就说x是自变量(independentariable).y是x的函数(function)函数是数学中的一种对应关系，是从非空数集A到实数集B的对应。简单地说，甲随着乙变,甲就是乙的函数。精确地说，设X是一个非空集合，Y是非空数集，f是个对应法则，若对X中的每个x,按对应法则f,使Y中存在唯一的一个元素y与之对应，就称对应法则f是X上的一个函数，记作y=f(x),称X为函数f(x)的定义域，集合{y|y=f(x),xGR}为其值域(值域是Y的子集)，x叫做自变量，y叫做因变量，习惯上也说y是x的函数。对应法则和定义域是函数的两个要素。注意：对应法则并不等同于函数，因为运算法则并不依赖于某个左义域，它可以作用于任何一个非空集合，如f()=2X+l,x={l,2},y={3,5},u={3,4},v={7,9}t则f(x)=y,f(u)二v。由此可见，对应法则是独立于特立定义域之外的一个运算法则。运算法则或者称对应法则可以作为算子独立存在如微分算子，而函数则必须有其特泄的左义域才有意义，否则不能称之为函数。与函数有关的概念：我们称数值发生变化的量叫变量。有些数值是不随变量而改变的，我们称他们为常量。自变量，函数一个与他量有关联的变量，这一量中的任何一值都能在他量中找到对应的固定值。因变量(函数)，随着自变量的变化而变化，且自变量取唯一值时，因变屋(函数)有且只有唯一一值与其相对应。函数值，在y是x的函数中，x确左一个值，Y就随之确泄一个值，当x取a时，Y就随之确泄为b,b就叫做a的函数值。设A和B是两个非空集合，如果按照某种对应关系f,对于集合A中的任何一个元素a,在集合B中都存在唯一的一个元素b与之对应，那么，这样的对应(包括集合A,B,以及集合A到集合B的对应关系f)叫做集合A到集合B的映射(Mapping),记作f：A-B。其中，b称为a在映射f下的象，记作：b二f(a);a称为b关于映射f的原象。集合A中多有元素的像的集合记作f(A)。则有：左义在非空数集之间的映射称为函数。(函数的自变疑是一种特殊的原象，因变量是特殊的象)29、 正比例函数一般地，两个变量x,y之间的关系式可以表示成形如尸kx(k为常数，且kHO)的函数，那么y就叫做x的正比例函数。正比例函数属于一次函数，但一次函数却不一左是正比例函数。正比例函数是一次函数的特殊形式，即一次函数y=kx+b中，若b=0,即所谓"y轴上的截距”为零，则为正比例函数。正比例函数的关系式表示为：y二kx(k为比例系数)当K>0时(一三象限)，K越大，图像与y轴的距离越近。函数值y随着自变量x的增大而增大.当KV0时(二四象限)，k越小，图像与y轴的距离越近。自变量x的值增大时，y授谢授谢XXX授谢授谢XXX如果您需要使用本文档•请点击下载按钮下栽!的值则逐渐减小.授课：授课：XXX如果您需婆使用木文档，请点击下载按钮下载!如果您需婆使用木文档，请点击下载按钮下载!授课：授课：XXX1） 泄义域：R（实数集）2） 值域：R（实数集）3） 奇偶性：奇函数4） 单调性：当k>0时，图像位于第一、三彖限，y随x的增大而增大（单调递增）：当k<0时，图像位于第二、四象限，y随x的增大而减小（单调递减）。5） 周期性：不是周期函数。6） 对称轴：直线，无对称轴。正比例函数解析式的求法设该正比例函数的解析式为y二kx（kHO）,将已知点的坐标带入上式得到k,即可求出正比例函数的解析式。另外，若求正比例函数与其它函数的交点坐标，则将两个已知的函数解析式联立成方程组，求岀其x,y值即可。正比例函数的图像正比例函数的图像是经过坐标原点（0,0）和怎点（x,kx）两点的一条直线，它的斜率是k,横、纵截距都为0。正比例函数图像的作法在X允许的范用内取一个值，根拯解析式求岀y值根据第一步求的x、y的值描出点做过第二步描出的点和原点的直线正比例函数的应用正比例函数在线性规划问题中体现的力量也是无穷的。比如斜率问题就取决于K值，当K越大，则该函数图像与x轴的夹角越大，反之亦然还有，y二kx是y二k/x的图像的对称轴。正比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种疑相对应的两个数的比值（也就是商）一立，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做成正比例关系.①用字母表示：如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的比值,（一定）正比例关系可以用以下关系式表示：正比例关系两种相关联的量的变化规律：对于比值为正数的，即y=kx（k>0）,此时的y与x,同时扩大，同时缩小，比值不变.例如：汽车每小时行驶的速度一泄，所行的路程和所用的时间是否成正比例？以上各种商都是一怎的，那么被除数和除数.所表示的两种相关联的量，成正比例关系.注意：在判断两种相关联的量是否成正比例时应注总这两种相关联的量，虽然也是一种量，随着另一种的变化而变化，但它们相对应的两个数的比值不一左，它们就不能成正比例.例如：一个人的年龄和它的体重，就不能成正比例关系，正方形的边长和它的而积也不成正比例关系。30、一次函数一次函数（linearfunction）,也作线性函数，在x,y坐标轴中可以用一条直线表示，当一次函数中的一个变量的值确泄时，可以用一元一次方程确定另一个变量的值。函数的基本概念：在一个变化过程中，有两个变量x和y,并且对于x每一个确定的值，在y中都有唯一确左的值与其对应，那么我们就说y是x的函数，也可以说x是自变量，y是因变量。表示为y=kx+b（kHO,k、b均为常数），当b=0时称y为x的正比例函数，正比例函数是一次函数中的特殊情况。可表示为y二kx°现在是初二教学本里最难的一章（当然有一些人例外），应用最广泛，知识最丰富的数学课题如果您需要使用本文档•请点击下载按钮下栽!相关性质函数性质：1） y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k即：y=kx+b（kHO）（k不等于0,且奴b为常数），当x增加m,k（x+m）+b=y+km,km/m=ka2） 当x=0时，b为函数在y轴上的点,坐标为（0,b）o3） 当b二0时（即y=kx）,一次函数图像变为正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数。4） 在两个一次函数表达式中：当两一次函数表达式中的k相同，b也相同时，两一次函数图像重合：当两一次函数表达式中的k相同，b不相同时，两一次函数图像平行：当两一次函数表达式中的k不相同，b不相同时，两一次函数图像相交；当两一次函数表达式中的k不相同，b相同时，两一次函数图像交于y轴上的同一点（0,b)o图像性质1） 作法与图形：通过如下3个步骤：（1） 列表.（2） 描点；［一般取两个点，根据“两点确定一条直线”的道理，也可叫“两点法”。（3） 连线，可以作出一次函数的图像一一一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。（通常找函数图像与x轴和y轴的交点分别是-k分之b与0,0与b）・2） 性质：（1）在一次函数上的任意一点P（x,y）,都满足等式：y二kx+b（kHO）。（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0,b）,与x轴总是交于（-b/k,0）正比例函数的图像都是过原点。3） 函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系。4） 4b与函数图像所在象限:y二也时（即b等于0,y与x成正比例）：当k>0时，直线必通过第一、三象限，y随X的增大而增大;当kVO时，直线必通过第二、四象限，y当kVO时，直线必通过第二、四象限，y随x的增大而减小。y二kx+b时：当当当当k>0,b>0,k>0,b<0,k<0,b>0,k<0,b<0,这时此函数的图象经过第一、这时此函数的图象经过第一、这时此函数的图象经过第一、这时此函数的图象经过第二、三象限:三、 四象限:二、 四象限:四象限:当b>0时，直线必通过第一、二象限；当bVO时，直线必通过第三、四象限。特别地，当b二0时，直线通过原点0（0,0）表示的是正比例函数的图像。这时，当k>0时，直线只通过第一、三象限，不会通过第二.四象限。当kvo时，直线只通过第二、四象限，不会通过第一.三象限。4）特殊位置关系：当平而直角坐标系中两直线平行时，其函数解析式中K值（即一次项系数）相等当平而直角坐标系中两直线垂直时，其函数解析式中K值互为负倒数（即两个K值的乘积为-1）31、 反比例函数一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y=k/x（k为常数，kHO）的形式，那么称y是x的反比例函数。因为y=k/x是一个分式，所以自变量X的取值范囤是XH0。而y=k/x有时也被写成xy=k或y=kx-&supl;。反比例函数表达式y=k/x英中X是自变量，Y是X的函数y=k/x=k•1/xxy=ky=k-x*（-1）（即：y等于x的负壹次方）y=k\x（k为常数且kHO）,xHO）反比例函数的自变量的取值范围①kHO;②在一般的情况下，自变量x的取值范用可以是不等于0的任意实数；③函数y的取值范围也是任意非零实数。反比例函数图象反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线（hyperbola）,反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交（KH0）。反比例函数性质当k>0时，图象分别位于第一、三象限，同一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，图象分别位于二、四象限，同一个象限内,y随x的增大而增大。k>0时，函数在x<0±同为减函数、在x>0上同为减函数；k<0时，函数在M0上为增函数、在x>0上同为增函数。定义域为x#0：值域为yHO。因为在y=k/x（k^O）中，x不能为0,y也不能为0,所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交。在一个反比例函数图象上任取两点P,Q,过点P,Q分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为SI,S2则S1=S2=|K|反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴y=xy=-x（即第一三，二四象限角平分线），对称中心是坐标原点。若设正比例函数y二mx与反比例函数y=n/x交于A、B两点（m、n同号），那么AB两点关于原点对称。设在平而内有反比例函数y=k/x和一次函数y二mx+n,要使它们有公共交点，则n²+4k•m2（不小于）0。反比例函数y二k/x的渐近线：x轴与y轴。反比例函数关于正比例函数y=x,尸-x轴对称，并且关于原点中心对称.反比例上一点m向x、y分别做垂线，交于q、w,则矩形mwq。（o为原点）的而积为|k|k值相等的反比例函数重合，k值不相等的反比例函数永不相交。k越大，反比例函数的图象离坐标轴的距离越远。32、 二次函数二次函数（quadraticfunction）是指未知数的最髙次数为二次的多项式函数。二次函数可以表示为f（x）二a/2+bx+c（a不为0）。其图像是一条主轴平行于y轴的抛物线。一般式如果您需婆使用木文档，请点击下载按钮下载!如果您需婆使用木文档，请点击下载按钮下载!授课：授课：XXX如果您需婆使用木文档，请点击下载按钮下载!如果您需婆使用木文档，请点击下载按钮下载!授课：授课：XXXy二ax"2+bx+c(aHO,a、b、c为常数)，顶点坐标为(-b/2a,4ac-b2/4a)；顶点式y二a(x+h)2;+k(aH0,a、h、k为常数)，顶点坐标为(~h,k)或(h,k)对称轴为x=-h或x二h,顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax“2;的图像相同，有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式：交点式y二a(x-xl)(x-x2)(aHO)[仅限于与x轴即y二0有交点A(xl,0)和B(x2,0)的抛物线，即b²-4ac>=0]:由一般式变为交点式的步骤：Vxl+x2=-b/axlx2=c/a/.y=ax2:+bx+c=a(x2;+b/ax+c/a)=a[(x*2;-(xl+x2)x+xlx2]=a(x-xl)(x-x2)重要槪念：a,b,c为常数，aHO,且a决定函数的开口方向。a>0时，开口方向向上：a〈0时，开口方向向下。a的绝对值可以决泄开口大小。a的绝对值越大开口就越小,a的绝对值越小开口就越大。求根公式x是自变量，y是x的二次函数xl,x2=[-b±(V(b"2-4ac))]/2a(即一元二次方程求根公式)求根的方法还有因式分解法和配方法二次函数与X轴交点的情况当厶二b“2-4ac>0时，函数图像与x轴有两个交点。当△二b"2-4ac二0时，函数图像与x轴有一个交点。当△二b"2-4ac<0时，函数图像与x轴没有交点。轴对称二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线x=h或者x=-b/2a对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图像的顶点P。特别地，当h二0时，二次函数图像的对称轴是y轴(即直线x二0)a,b同号，对称轴在y轴左侧b二0,对称轴是y轴a,b异号，对称轴在y轴右侧顶点二次函数图像有一个顶点P,坐标为P(h,k)当h二0时，P在y轴上：当20时，P在x轴上。h二-b/2ak=(4ac-b"2;)/4a开口二次项系数a决建二次函数图像的开口方向和大小。当a>0时，二次函数图像向上开口：当aVO时，抛物线向下开口。la越大，则二次函数图像的开口越小。33、 两点间的距离两点之间的距离：两点之间的线段的长度叫做这两点之间的距离。要强调两点之间的线段的长度叫两点间的距离，而不是两点间的线段，线段是图形，线段的长度是数值。34、 点到直线的距离从直线外一点到这条直线的垂线段长度，叫点到直线的距离3