复合函数的单调性

函数的值域与函数的单调性我们将复习函数的值域与函数的单调性两局部容．通过本专题的学习，同学们应掌握求函数值域的常用方法；掌握函数单调性的定义，能用定义判定函数的单调性；会判断复合函数的单调性；了解利用导数研究函数单调性的一般方法．[知识要点]一．函数的值域求函数值域的方法主要有：配方法、判别式法、换元法、根本不等式法、图象法，利用函数的单调性、利用函数的反函数、利用函数的值域、利用导数求值域等．二．函数的单调性1．定义如果对于给定区间上的任意两个自变量的值*1、*2，当*1<*2时,都有f(*1)<f(*2)，则就称f(*)在这个区间是增函数；如果对于给定区间上任意两个自变量的值*1、*2，当*1<*2时，都有f(*1)>f(*2)，则就称f(*)在这个区间上是减函数．如果y=f(*)在*个区间上是增函数或减函数，就说y=f(*)在这一区间上具有严格的单调性，这一区间叫做f(*)的单调区间．注：在定义域的一点处，这个函数是增函数还是减函数呢？函数的单调性是就区间而言，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因而没有增减变化，所以不存在单调性问题．2．函数单调性的运算规律在共同的定义域上，设“f型〞是增函数，“g型〞是减函数，则：〔1〕f1(*)+f2(*)是增函数；〔2〕g1(*)+g2(*)是减函数；〔3〕f(*)-g(*)是增函数；〔4〕g(*)-f(*)是减函数．[典型例题]一．函数值域的求法〔一〕配方法例1．解：例2求函数y=2*+2-3×4

*(-1≤*≤0)

的值域解y=2*+2-3·4*=4·2*-3·22*令2*=t例3．解：∴函数定义域为[3,5]例4．假设实数*、y满足*2+4y2=4*，求S=*2+y2的值域解：∵4y2=4*-*2≥0∴*2-4*≤0，即0≤*≤4∴当*=4时，Sma*=16当*=0时，Smin=0∴值域0≤S≤16例5．函数y=f(*)=*2+a*+3在区间*∈[-1,1]时的最小值为-3，数a的值．分析：的位置取决于a，而函数的自变量*限定在[-1，1]，因此，有三种可能性，应分别加以讨论．解：综合〔1〕〔2〕〔3〕可得：a=±7〔二〕判别式法例6．解由得(2y-1)*2-(2y-1)*+(3y-1)=0(*)〔2〕假设2y-1≠0，则∵*∈R∴Δ=(2y-1)2-4(2y-1)(3y-1)≥0即(2y-1)(10y-3)≤0 例7．解由得(y-1)*2+(y-4)*-(6y+3)=0(*)①假设y=1，代入〔*〕式-3*-9=0∴*=-3，此时原函数分母*2+*-6的值为0∴y≠1②假设y≠1，则∵*∈R∴Δ=(y-4)2+4(y-1)(6y+3)≥0化简可得(5y-2)2≥0，则y∈R说明：m(y)*2+n(y)*+p(y)=0的形式，再利用*∈R，由Δ≥0求出y的取值围，但需注意两点：〔1〕要分m(y)=0和m(y)≠0两种情况讨论，只有m(y)≠0时，才可利用判别式；〔2〕在求出y的取值围后，要注意“=〞能否取到．〔三〕换元法例8．解：∴yma*=1，ymin=-23∴原函数值域

-23≤y≤1例9．解：〔四〕利用函数的单调性例10．解：例11．解：调递减说明在利用函数的单调性求值域时，应注意如下结论：在共同定义域上，设“f型〞是增函数，“g型〞是减函数，则〔1〕f1(*)+f2(*)是增函数；〔2〕g1(*)+g2(*)是减函数；〔3〕f(*)-g(*)是增函数；〔4〕g(*)-f(*)是减函数．但当两个单调函数之间的运算符号为“*〞、“÷〞时，则不具有这种规律．〔五〕根本不等式法这种方法是利用如下的“根本不等式〞和与“复数的模〞有关的不等式求函数值域．例12．解：例13．解：∵y≥0例14．解：又y是*的连续函数〔六〕利用原函数的反函数如果一个函数的反函数存在，则反函数的定义域就是原函数的值域．例15．解y·10*+y·10-*=10*-10-*即y·102*+y=102*-1∴1+y=(1-y)·102*〔七〕利用函数的值域例16．解利用三角函数的值域来求值域，把函数式去分母变形得：ycos*-sin*=1-3y〔八〕图象法例17．解：由图象知：值域为y≥3〔九〕利用导数求值域此种方法在本学期学习导数的应用时已作了详尽的阐述，这里就不再多说了．二．函数的单调性〔一〕函数单调性的判定1．利用函数的单调性例1假设y=(2k+1)*+b是R上的减函数，则有〔〕解：选D说明：函数y=k*+b，当k>0时是增函数；k=0时是常函数；k<0时是减函数．例2．减区间是__________________．解：减区间是〔-∞,-1〕和〔-1,+∞〕．说明：函数的两个单调区间之间可以用“，〞或“和〞字连接，而不能用符号“∪〞连例3函数f(*)=4*2-m*+5，当*∈(-2,+∞)时是增函数，则m的取值围是_________；当*∈(-2,+∞)时是增函数，当*∈(-∞,-2)时是减函数，则f(1)=________________.解：∴m=-16∴f(1)=4+16+5=252．利用定义判定或证明函数的单调性例4根据函数单调性的定义证明函数f(*)=-*3+1在R上是减函数．证明在〔-∞,+∞〕上任取*1、*2，且*1<*2，则f(*2)-f(*1)=*13-*23=(*1-*2)(*12+*1*2+*22)∵*1<*2∴*1-*2<0当*1*2<0时，有*12+*1*2+*22=(*1+*2)2-*1*2>0当*1*2≥0时，有*12+*1*2+*22>0∴f(*2)-f(*1)=(*1-*2)(*12+*1*2+*22)<0即f(*2)<f(*1)所以函数f(*)=-*3+1在(-∞,+∞)上是减函数说明-f(*1)的符号；同学们也不妨应用导数的知识来解决此题．〔2〕用定义证明或判断函数的单调性，要注意步骤清晰，讨论严密．例5．解〔1〕i〕设*1，*2∈〔0，1]，且*1<*2，∵*1-*2<0,0<*1*2<1∴f(*1)-f(*2)>0即f(*1)>f(*2)ii〕设*1，*2∈[1,+∞)，且*1<*2∴由(1)中讨论可知y当*≥0时单调递增，当*=0时，∴当*=0时，y有最小值说明(2)中函数最值不能用根本不等式求，因为不存在使的*；同理可证：3．利用图象讨论函数的单调性例6作函数f(*)=|*2-1|+*的图象，并根据图象讨论函数的单调性．解由图象，〔二〕复合函数的单调性例7．解∵-*2-2*+3≥0∴*2+2*-3≤0∴(*-1)(*+3)≤0∴-3≤*≤1则当*∈[-3,-1]时，u=-*2-2*+3单调递增当*∈[-1,1]时，u=-*2-2*+3单调递减例8．解：例9f(*)=8+2*-*2,g(*)=f(2-*2),讨论g(*)的增减性．解：g(*)=8+2(2-*2)-(2-*2)2=8+4-2*2-4+4*2-*4=-*4+2*2+8=-(*2-1)2+9g’(*)=-4*3+4*=-4*(*+1)(*-1)令

g’(*)>0，得*≤-1

或

0≤*≤1令

g’(*)<0，得-1≤*≤0或*≥1∴g(*)的单调递增区间是(-∞,-1]和[0,1]g(*)的单调递减区间是[-1,0]和[1,+∞)〔三〕函数单调性的应用例10．的取值围．解：时，f(*)在R上单调递增，得0<a<1．综上，a的取值围是a∈(0,1)∪(2,+∞)例11．区间[0,+∞)是单调函数．解：〔1〕当a≥1时，又*1-*2<0∴f(*1)-f(*2)>0即f(*1)>f(*2)所以，当a≥1时，函数f(*)在[0，+∞)上是单调减函数．f(*1)=1，f(*2)=1，即f(*1)=f(*2)，所以函数f(*)在区间[0,+∞)上不是单调函数．综上，当且仅当a≥1时，函数f(*)在区间(0,+∞]上是单调函数．例12定义在R+上的函数f(*)满足①f(2)=1，②f(*y)=f(*)+f(y)③当*>y时，有f(*)>f(y)，如果f(*)+f(*-3)≤2，求*的取值围．解f(*)+f(*-3)=f(*2-3*)≤2=2f(2)=f(2)+f(2)=f(4)由③知*2-3*≤4∴*2-3*-4≤0又∵f(*)定义域为*>0[练习题]值域与最值A组一．选择题1．I=R，函数y=lg*的值域为P，y=a*〔a＞0且a≠1〕的值域为M，则以下等式中不正确的选项是〔〕〔A〕〔IM〕∩P=φ 〔B〕M∪P=P〔C〕P∪〔IM〕=R 〔D〕P∩M=M5．函数y=f(*)的值域是[-2，2]，则函数y=f(*+1)的值域是〔〕〔A〕[-1，3] 〔B〕[-3，1]〔C〕[-2，2]〔D〕[-1，1]二．填空题6．假设*+2y=4，*＞0，y＞0，则lg*+lgy的最大值是___________围是_________8．f(*)=a*2–c〔a≠0〕，如果-4≤f(1)≤-1，-1≤f(2)≤5，则f(3)的取值围是___________三．解答题B组一．选择题1．函数y=-*2–2*+3〔-5≤*≤0〕的值域是〔〕〔A〕〔-∞，4] 〔B〕[3，12] 〔C〕[-12，4] 〔D〕[4，12]〔A〕〔-∞，+∞〕 〔B〕〔-∞，0〕∪〔0，+∞〕〔C〕〔-∞，0〕 〔D〕〔0，+∞〕〔A〕6 〔B〕12 〔C〕16 〔D〕245．函数y=*(*–2)的定义域为[a，b]，值域为[-1，3]，则点〔a，b〕的轨迹是右图的〔A〕点H〔1，3〕和F〔-1，1〕 〔B〕线段EF，GH〔C〕线段EH，FG 〔D〕线段EF，EH6．函数f(*)=2*–1，g(*)=1–*2，构造函数F(*)，定义如下：当|f(*)|≥g(*)时，F(*)=|f(*)|，当|f(*)|＜g(*)时，F(*)=-g(*)，则F(*)〔〕〔A〕有最小值0，无最大值 〔B〕有最小值-1，无最大值〔C〕有最大值1，无最小值 〔D〕无最小值，也无最大值二．填空题7．实数*，y满足*y＞0且*2y=2，则*y+*2的最小值是___________8．设*，y∈R+，*+y+*y=2，则*+y的取值围是____________三．解答题〔1〕数b、c的值〔2〕判断函数F(*)=lgf(*)在*∈[-1，1]上的单调性，并给出证明.13．f(*)是定义在R上的奇函数，且满足如下两个条件：①对于任意的*、y∈R，有f(*+y)=f(*)+f(y)②当*＞0时，f(*)＜0，且f(1)=-2求函数f(*)在[-3，3]上的最大值和最小值.函数的单调性A组一．选择题〔共20分〕1．函数f(*)在R上是增函数，假设a+b＞0，则〔〕A．f(a)+f(b)＞f(-a)+f(-b) B．f(a)+f(b)＞f(-a)–f(-b)C．f(a)+f(-a)＞f(b)+f(-b) D．f(a)+f(-a)＞f(b)–f(-b)A．(0，2] B．〔1，2] C．〔-1，0] D．〔1，+∞〕3．假设a＞1，且a-*+logay＜a-y+loga*，则*、y之间关系为〔〕A．*＞y＞0 B．*=y＞0 C．y＞*＞0 D．不确定，与a值有关4．F(*)=f(*)–f(-*)，其中lgf(*)+*=0，则F(*)是〔〕A．单调递增的奇函数 B．单调递增的偶函数C．单调递减的奇函数 D．单调递减的偶函数二．填空题〔共20分〕6．假设f(*)=(m–1)*2+m*+3〔*∈R〕是偶函数，则f(*)的增区间是___________7．f(*)是定义在R上的偶函数，且在[0，+∞)上单调递增，则使f(-2)≤f(a)的实数a的取值围是___________减区间为___________三．解答题〔共15分〕B组1．函数f(*)=log2*，且函数g(*)的图象与f(*)的图象关于直线y=*对称，则函数g(*2)是〔〕 〔A〕奇函数，且在〔0，+∞〕上单调递减 〔B〕奇函数，且在〔-∞，0〕上单调递减〔C〕偶函数，且在〔0，+∞〕上单调递增〔D〕偶函数，且在〔-∞，0〕上单调递增2．f(*)=*2+cos*，则〔〕的解集是〔〕①函数y=f(*)的图象关于y轴对称 ②在区间〔-∞，0〕上，f(*)是减函数③函数f(*)的最小值是lg2 ④在区间〔1，+∞〕上，f(*)是增函数其中正确命题是〔〕〔A〕①② 〔B〕②④ 〔C〕①③④ 〔D〕仅③正确6．定义域为R的偶函数y=f(*)的一个单调递增区间是〔2，6〕，则函数y=f(2–*)的〔〕〔A〕对称轴为*=-2且一个单调递减区间是〔4，8〕〔B〕对称轴为*=-2且一个单调递减区间是〔0，4〕〔C〕对称轴为*=2，且一个单调递增区间是〔4，8〕〔D〕对称轴为*=2，且一个单调递增区间是〔0，4〕二．填空题10．教师给出一个函数y=f(*)，四个学生甲、乙、丙、丁各指出这个函数的一个性质：甲：对于*∈R，都有f(1+*)=f(1–*)；乙：在〔-∞，0]上函数递减；丙：f(0)不是函数的最小值；丁：在〔0，+∞〕上函数递增如果其中恰有3人说得正确，请写出这样一个函数：_________________三．解答题〔I〕判断函数的单调性，并加以证明单调性.13．设函数f(*)是定义在〔-∞，+∞〕上的增函数，如果不等式f(1–a*–*2)＜f(2–a)对于任意*∈[0，1]都成立，数a的取值围.14．f(*)=*2+c，且f(f(*))=f(*2+1)〔1〕设g(*)=f(f(*))，求g(*)的解析式并在〔-1，0〕是增函数？[练习题答案及提示]值域与最值A组一．选择题1．A 2．D 3．B 4．D 5．C二．填空题6．lg2三．解答题11．用换元法故当t=1时y有最大值4即y的值域为〔-∞，4]∴所求函数值域为〔0，1].B组一．选择题1．C 2．B 3．A 4．C 5．D 6．B二．填空题7．3三．解答题当y–2≠0时，由*∈R，有△=b2–4(2–y)(c–y)≥0，即4y2–4(2+c)y+8c–b2≤0当y–2=0时，将b=-2，c=2代入〔*〕式中，得*=0∴b=-2，c=2为所求∵|*1|≤1，|*2|≤1，*1＜*2∴|*1*2|＜1即1–*1*2＞0而*2–*1＞0∴u1–u2＞0即u1＞u2由于u＞0∴lgu1＞lgu2即F(*1)＞F(*2)故F(*)在*∈[-1，1]上是减函数.13．设0≤*1＜*2≤3，则由条件〔1〕得f(*2)=f[(*2–*1)+*1]=f(*2–*1)+f(*1)即f(*2–*1)=f(*2)–f(*1)∵*2–*1＞0，由条件〔2〕得f(*2–*1)＜0∵f(*2)–f(*1)＜0即f(*1)＞f(*2)∴f(*)在[0，3]上是减函数又f(*)为奇函数∴f(*)在[-3，0]上也是减函数从而f(*)在[-3，3]上是减函数∴f(*)ma*=f(-3)=-f(3)=-f(1+2)=-f(1)–f(1+1)