华中科技大学微积分下复习笔记

文档说明：本文档为作者自己整理的微积分（下）有关重积分的复习笔记，包含两部分——基本公（基于华中科技大学微积分课本和题型汇（基于华中科技大学微积分学习辅导）,请勿用作商用，若文中有打错的字还请多多包涵。基本公式二重积分相关1） D上连续函数一定可积2） 线性性、可加性、比较性、估值定理： ，则积分中值定理：若f在D上连续，则存在PeD，使得—次积分的中值定理：若f（x）在［a,b］上连续，g（x）不变号，则有 使得，如果g（x）=1，绝对值性质：3） 计算X型区域的逐次积分：Y型区域的逐次积分：矩形区域的逐次积分：［a,b；c,d］的意思是a<x<b，c<y<d极坐标代换： （不要忘记r）*一般的重积分换元，记得乘J， ——三重积分相关1）“先一后二”投影法：以xy型区域为例，D为投影到xy平面所得。，之后根据D是x型区域还是y型，继续进行积分。!用投影法的时候一定注意z的上下限，大多数时候不会上下限都是常数2） “先二后一”截面法：V在平面x=a,x=b之间，用平面Z=z截，截面在xy平面上的投影是Dz。 。特殊地，当f只跟z有关系时，，S（z）是Dz的面积。3） 柱面坐标代换： ， ，4）球面坐标代换： ，其中 是矢量与轴正向的夹角,是平面上投影的极角，应用1） 平面的面积：2） 曲顶柱体的体积：3） 空间区域的体积：4） 曲面的面积：（要求曲面函数的偏导数连续，而且这里的D指的是曲面在xy平面上的投影）5） 质量和重心（对于质量均匀的物体，重心也叫作形心）：二元。具有面密度密度 的平面薄板， ，三元。一立体V的密度为，，y,z类似。对称问题二元：积分区域D关于x或者y对称，如果被积函数是关于x的奇函数，则为0；如果偶函数，则积分乘2关于x=y对称，也称关于x,y轮换对称，则①积分次序可换；②比如，D是以(0,1)(1,0)(0,0)为定点的三角形。三元：比如关于平面OX对称，如果被积函数是关于z的奇函数，则为0；如果是偶函数，则两倍。关于x=y=z对称，①积分次序可交换；②需注意：先考虑一下是用对称性研究整个被积函数，还是把被积函数拆开之后在研究，比如 ，D:|x|+|y|《1，显然把被积函数拆开之后研究更好。常用其他结论1)各类面积、体积公式椭圆面积公式：S=兀圆周率)xaxb椭球的体积：- ；椭球的表面积： -球的体积：- ；球的表面积：旋转曲面如 绕z轴旋转一圈，得到的曲面是题型汇总普通的二重积分计算直角坐标系!提出来的常数别忘了对于没有被积函数的积分区域，不可以忽略。比如 一，其中D=x2+y2，虽然y<0的部分没有一，但是dy的积分下限不可以写0对于 和 ，dt不一样遇到 型的积分用分部积分做，理解成极坐标系常见的直角坐标系函数和极坐标函数互换：y=1-x(第一象限) X2+(y-a)2=a2 r=2asin0(x-a)2+y2=a2 r=2acos0 ，不管a是正的还是负的。Wallis公式：_ _ 为偶数——为奇数被积函数中出现了-，同样适用极坐标代换，比如 -如果出现 ，D是个圆，就等于AS圆，圆的面积要带n，而且要看-下是不是整圆。交换积分次序1） 需注意：可能需要划分一下区域才可以转换2） 遇到一些被积函数不可积的（如一—— ），可能需要交换积分次序3）遇到被积函数非常复杂的（如 ），可能需要还原为二重积分之后，再用极坐标做；再如- ，可能需要还原为二重积分之后，再用直角坐标系做。4）明显的原式先积某一个变量会比之前更简便一点比如， 里不含x，所以先对x积分会更好一点。普通的三重积分计算1） 需注意：！原函数一定写全了，尤其是用柱面坐标和球面坐标的时候。写原函数的时候不要随便代换字母，比如 ，V是第一象限由z=x2+y2和X2+y2围成，不要把原函数里的x2+y2换成z，应为在积分区域并不是处处满足z=x2+y2积分区域一定要想对了，比如 与 围成。2） 利用对称性化简当被积函数中出现了绝对值时，比如被积函数中有一部分超级复杂，比如 V是x2+y2<R，0<z<H，V关于Oxz平面对称， 是y的奇函数，所以这块等于0被积函数是个球面时，要想到轮换对称，半球面也行（扩充成1/2个整球面）3） 求分段函数的重积分（识别潜在的分段函数，然后根据要求分割积分区域）a.带绝对值的。如，D={(x,y)|0<x<n,0<y<n-x}。根据a.带绝对值的。如cos(x+y)=0，即cos(x+y)=0，即，划分积分区域。[x]型的。 ， 表示不超过 的最大整数。Max（｝或min（｝型的。这类题有时候划分过一次积分区域后，还要根据区域可加性再化简一次才能做。需注意:!分段求之后别忘了加起来；大于还是小于一定想清楚了有些题可以利用交换x,y来化简。如 D=[0,n;0,n],,交换x,y之后，4）极坐标小技巧对于x2+y2=1,z=1，这一张平面，可表示为——对于x2+y2+（z-1）2=1这个球，可表示为，！注意没有负号利用重心计算重积分1）概述： ， ，当被积函数是一次函数而且积分区域形状规则时，可以找出它的形心，然后根据形心反推积分的值。2） 有时候我们没法知道形心具体在哪个点，只能知道或者3） 椭球的重心就是中心。不等式或等式的证明问题1）常用公式或结论a.另 ，则 ，此时F（a）=0*当这种方法出现在二重积分上的时候： F’（x）对一层积分起效，如,求F’（t）。 ，所以。这个题也告诉我们极坐标也能应用这个公式。a2+b2^2ab在函数上的应用， 。。轮换对称，有时积分区域不满足轮换对称，就扩充积分区域。交换积分次序，还可以进行x,y互换。把不等式问题转化为函数大于0（或小于0），讨论函数单调性和最值点，但一定注意证明的严谨，比如特殊点的函数值是否存在等。重积分的应用问题1） 求面积（见公式）2） 求体积（见公式）复杂函数的分析研究对称性①关于坐标平面的对称。如 ，把-x,-y,-z代入之后发现方程不变，证明它关于三个坐标平面对称，求体积的时候就可以只求第一象限，然后乘8研究投影或截痕在坐标平面或平行于坐标平面上的投影。另某个变量为0或常数。在特殊平面上的投影。如z=xy，当x=y时，z=x2，所以函数在x=y平面上是一个抛物线，同理研究x=-y。两个曲面围起来的部分的体积，原理是柱面体积公式。求出D,然后求由曲面z1=z(x,y)和z2=z(x,y)所围立体的体积。利用z1求出D,然后求质量或重心分析实际问题要注意如何建系如％是半径为R的球的表面上的一个定点此匕球任一点的密度与该电到P0点的距离的平方成正比以P0点为原点建系更好则球的方程时求重心的时候，先用对称性分析一下。其他计算技巧根据积分上下限化简三角函数时， ，但是确定积分类型时，可以将后积需要分部积分的变量。如 化简成，比 更好做快速计算：，三重积分的积分方法适用辨析投影法适用于底曲面和顶曲面方程z=z(x,y)与z=z(x,y)比较好写的时候，比如V由曲面z=xy及平面y=x，x=1，z=0围成被积函数很难用极坐标代换的，比如截面法适用于①D容易用z表达，比如圆锥、三角锥(尤其