初中数学专题 •动点+最值+轨迹•

初中数学专题•动点+最值+轨迹•一、直线运动Ⅰ.定角型1.在△ABC中，,得到，连接，则点运动过程中，的最小值是.（1）（2）2.如图，正方形的边长为2，动点从点出发，沿边向终点运动，以为边作正方形．求在点的整个运动过程中，点经过的路径长.3.如图，Rt△ABC中，．点是边上一动点，是延长线上一点，且，连接，过点作，连接，且．则当点从点运动到点时，点运动的路径长为. （3） （4）4.如图，在直角坐标系中，已知点，点B为直线上一动点，连接AB，以AB为底边向下做等腰Rt△ABC，，连接，则的最小值为．5.如图，已知点A是第一象限内横坐标为的一个定点，轴于点M，交直线于点．若点P是线段ON上的一个动点，∠APB=30°，BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动．求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是．6.如图，在中，，点P为AB边上一动点，连接CP，以CP为边向下作等腰Rt△ABC，连接BD，则BD的最小值为.7.如图，正方形的边长为4，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为．8.如图，已知点P（0，3），等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝2，BC边在x轴上滑动时，PA+PB的最小值是．9.如图，等腰直角三角形的斜边，点、分别是直角边和上的动点，以为斜边在的左下侧（包括左侧和下侧）作等腰直角三角形，连接，则线段的长度的最小值为．10.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=AC=4，M为AB中点，D是射线BC上的一动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接ED、ME，点D在运动过程中ME的最小值为．Ⅱ.将军饮马&对称1.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，在矩形内部有一动点P满足S△PAB＝3S△PCD，则动点P到点A，B两点距离之和PA+PB的最小值为．2.在平面直角坐标系中，长为2的线段CD（点D在点C右侧）在x轴上移动，A（0，2），B（0，4），连接AC，BD，则AC+BD的最小值为．3.如图，正方形ABCD的边长为2，延长AB至E，使得AB＝BE，连接CE，P为CE上一动点，分别连接PA、PB，则PA+PB的最小值为．4.如图，在正方形ABCD中，BC＝2，点P，Q均为AB边上的动点，BE⊥CP，垂足为E，则QD+QE的最小值为．5.如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝8cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是8cm，则∠AOB的度数是．6.如图，矩形ABCD中，AB＝2，对角线AC、BD交于点O，∠AOD＝120°，E为BD上任意点，P为AE中点，则PO+PB的最小值为．7.如图，O为坐标原点，△ABO的两个顶点A（6，0），B（6，6），点D在边AB上，AD＝5BD，点C为OA的中点，点P为边OB上的动点，则使四边形PCAD周长最小的点P的坐标为．8.如图，正方形ABEF的面积为4，△BCE是等边三角形，点C在正方形ABEF外，在对角线BF上有一点P，使PC+PE最小，则这个最小值的平方为．9.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，点D、E分别在边AC、AB上，AD＝14，点P是边BC上一动点，当PD+PE的值最小时，AE＝15，则BE为．10.如图，在平面直角坐标系中，△ABO的边OB在x轴上，∠OBA＝90°，∠AOB＝30°，AB＝3，点C是边AB的中点，点D在边OB上，且OD＝OB，点P为边OA上的动点，当四边形PDBC周长最小时，点P的横坐标为.11.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点B在原点，点A、C在坐标轴上，点D的坐标为（6，4），E为CD的中点，点P、Q为BC边上两个动点，且PQ=2，要使四边形的周长最小，则点P的坐标应为______．12.已知矩形，AB=4，BC=6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则的最小值为______．13.如图，矩形ABCD中，AD=2，AB=4，AC为对角线，E、F分别为边AB、CD上的动点，且EF⊥AC于点M，连接AF、CE，求AF+CE的最小值______．14.如图，矩形ABCD中，AB=10，BC=5，点E、F、G、H分别在矩形ABCD各边上，且AE=CG，BF=DH，则四边形EFGH周长的最小值为______．二、圆运动Ⅰ.瓜豆原理（主动点与从动点问题）1.如图，点在线段上，，以为圆心，长为半径作，点在⊙上运动，连接，以为腰作等腰Rt△ABC，使，三点为逆时针顺序，连接AC，则AC长的取值范围为.（8） （9）2.如图，已知△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，AC=2，以点C为圆心，1为半径作圆，点P为⊙C上一动点，连结AP，并绕点A顺时针旋转90°得到AP′，连结CP′，则CP′的取值范围是．3.如图，边长为2的正方形的顶点在一个半径为的圆上，顶点在该圆内，将正方形绕点A逆时针旋转，当点D第一次落在圆上时，点C运动的路线长为______．（10） (11)4.如图，⊙O的半径为6，AB是⊙O的弦，将线段BA绕点A逆时针旋转90°得到线段CA，当点A固定，点B在圆上运动时，则线段OC长度的最小为．5.如图，正方形中，，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，，连接，将线段绕点逆时针旋转90°得DF，连接．求线段长的最小值．6.如图，中，，以为边在外作正方形，交于点O，则线段AO的最大值为．7.如图，线段为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AB=4，BC=2，点P是⊙O上一动点，连接CP，以CP为斜边在PC的上方作，且使∠DCP=60°，连接OD，则OD长的最大值为．8.如图，己知圆中，,C是弧AB上的动点，以为边作正方形.当点C从点A移动至点B时，点D经过的路径长是．9.如图，在Rt中，是的中点，为边上一个动点，将线段绕点逆时针旋转90°，点的对应点为，则的最小值为．10.如图，四边形ABCD中，AB＝3，BC＝2，若AC＝AD且∠ACD＝60°，则对角线BD的长最大值为．11.中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=4,D为线段AB上一个动点，以BD为边在△ABC外作等边三角形BDE.若F为DE的中点，则CF的最小值为

_______.Ⅱ.线段中点轨迹为圆1.如图，已知点，⊙C的半径为，点P为⊙C上一动点，连接AP，若M为AP的中点，连接OM，则OM的最大值为．2.如图，点P（3,4），圆P半径为2，A（4,0），B（8,0），点是圆上的动点，点是的中点，则的最小值是_______．3.如图，在等腰中，，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点，当半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长为________．4.如图，半圆O的半径长为4，点P为直径AB上的一个动点.已知CP⊥AB，交半圆O于点C，若D为半圆O上的一动点，且CD＝3，点M是CD的中点，则PM的最大小值________．5.如图，正方形的边长为4，是边上一点，连接，过点做于点，点与关于对称，为的中点，则的最小值为________．6.如图，菱形的对角线与交于点，点、分别是和上的动点，且，点为的中点，已知，，连接、，面积的最大值为________．Ⅲ.隐圆（定线段对定角）1.如图，AB是半⊙O的直径，点C在半⊙O上，AB=5，AC=4．D是弧BC上的一个动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE．在点D移动的过程中，BE的最小值为．2.如图，在Rt△ABC中，BC＝AC＝2，点M是AC边上一动点，连接BM，以CM为直径的⊙O交BM于N，则线段AN的最小值为．3.如图，半径为2，圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上有一运动的点P从点P向半径OA引垂线PH交OA于点H，设△OPH的内心为I，当点P在弧AB上从点A运动到点B时，内心I所经过的路径长为____________.4.如图，直线分别与x轴、y轴相交与点M、N，边长为2的正方形一个顶点O在坐标系的原点，直线AN与MC相交与点P，若正方形绕着点O旋转一周，则点P到点（0，2）长度的最小值是________.5.如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是_________.6.如图，以正方形ABCD的边BC为一边向内部做一等腰△BCE，CE=BC，过E做EH⊥BC，点P是Rt△CEH的内心，连接AP，若AB=2，则AP的最小值为．7.如图，以G（0，1）为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，点E为⊙G上一动点，CF⊥AE于F，当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为．8.如图,矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上,点B的坐标为（7,3）,点E在边AB上,且AE=1,已知点P为y轴上一动点,连接EP,过点O作直线EP的垂线段,垂足为点H，在点P从点F（0，）运动到原点O的过程中，点H的运动路径长为．Ⅳ.隐圆（翻折类）1.如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，P、Q分别是直线BC、AB上的两个动点，AE=2，△AEQ沿EQ翻折形成△FEQ，连接PF、PD，则的最小值是_________．（四点共圆）6.在中,是边上一动点，于,于,的最小值为．22.如图,在中,AB=10 ,∠BAC=60°,∠B=45°,点D是BC边上一动点,连接AD,以AD为直径作☉O交边AB、AC于点E、F,连接OE、OF、DE、DF、EF.①求的值;②当AD运动到什么位置时,四边形OEDF是菱形,请说明理由;③点D运动过程中,求线段EF的最小值（定线段）18.如图，正方形和，连接．若绕点A旋转，当最大时，＝．Ⅴ.阿氏圆1.如图，在平面直角坐标系中，A(2，0)，B(0，2)，C(4，0)，D(3，2)，是外侧第一象限内一动点，且，求的最小值．2.如图，,圆C的半径是4，点D是圆C上的动点，连接,的最小值是______．3.如图，在中，，以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D．连接AD、BD、CD，则2AD+3BD的最小值是______．4.已知：扇形AOB中，∠AOB=90°，OA=3，点C,D分别在OA,OB上，OC=2,OD=DA.点P是AB上的一个动点。求PC+2PD的最小值是多少______．5.已知菱形ABCD的边长为4，∠B=60°，圆B的半径为2，点P是圆上一动点，的最小值______．6.如图，中，∠ACB=90°，AC=3,BC=4.圆C的半径为2，点P是圆C上一动点，的最小值______．7.如图，为边长为4的正方形，圆O内切于正方形，P是圆O上一动点，的最小值______．8.如图，，AC=4,BC=3.点D为△ABC内一点，且满足CD=2,求的最小值是______．9.如图，圆半径为1，AB为直径，AC,BD分别与半圆相切。AC=1,BD=2,P为弧AB上一动点，的最小值为______．Ⅵ.费马点10.在△MNG中，MN=6，∠M=75°，MG=，点O是△MNG内一点，则点O到三个顶点的距离和的最小值是______．11.四边形是正方形，是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．①当M点在何处时，的值最小，并说明理由；②当的最小值为时，求正方形的边长．Ⅶ.探究题1.已知关于的一元二次方程．[解决问题]（1）求证：不论取何值时，方程总有两个不相等的实数根．（2）若直线与函数的图象的一个交点的横坐标为2，求关于的一元二次方程的解．[问题拓展]（3）在（2）的条件下，将抛物线绕原点旋转，得到图象，点为轴上的一个动点，过点作轴的垂线，分别与图象、交于两点，当线段的长度最小时，求点的坐标．2.阅读理解：小明热爱数学，在课外书上看到了一个有趣的定理——“中线长定理”：三角形两边的平方和等于第三边的一半与第三边上的中线的平方和的两倍．如图1，在△ABC中，点D为BC的中点，根据“中线长定理”，可得：AB2+AC2=2AD2+2BD2．小明尝试对它进行证明，部分过程如下：解：过点A作AE⊥BC于点E，如图2，在Rt△ABE中，AB2=AE2+BE2，同理可得：AC2=AE2+CE2，AD2=AE2+DE2，为证明的方便，不妨设BD=CD=x，DE=y，∴AB2+AC2=AE2+BE2+AE2+CE2=…（1）请你完成小明剩余的证明过程；理解运用：（2）①在△ABC中，点D为