运动约束下少自由度并联机构的辨识

运动约束下少自由度并联机构的辨识

少自由度联合组织具有高刚性、高精度、灵活性和承载能力等优点，同时减少了大倾角联合组织的工作量小、运动代理多、制造和设备难度大的问题。尤其是少自由度联合组织的优点，最好结合了连接和联合组织的优点。它非常适合于航空航天、航空航天、汽车等领域复杂自由曲线的机械机械。这座设备具有广阔的应用空间和前景。虽然少自由度并联机构具有众多优点,但其非线性和强耦合的复杂运动学特点并没有根本改变,特别是精度方面的非线性性和复杂性更是成为其在机床领域应用需要解决的关键问题之一。运动学标定是并联机构后验的精度研究环节,解决了机构制造装配完成后运动学模型的误差辨识和补偿,是提高并联机构运动学精度的重要方法之一。在少自由度并联机构中,最具代表性的3-PRS机构结构简单,制造装配容易,因此成为众多学者的研究重点之一,但此前的标定研究并没有充分考虑少自由度并联机构的运动约束对精度和辨识的影响。本文旨在研究3-PRS机构的误差运动学和标定方法,为3-PRS机构的精度保证提供理论基础和工程指导。首先,建立了3-PRS机构全误差模型,推导误差运动学和辨识方程组。然后再此基础上使用遗传算法进行测量位姿的选择,以达到较好的辨识性能。最后对3-PRS机构进行了误差辨识仿真,对仿真结果进行了比对分析,提出一种评价误差辨识能力的指标并对其有效性进行了验证。13-ps机构误差检测1.13建立过渡系的建立图1为3-PRS机构完整的运动学模型图。如图1所示,静坐标系{O}为机床坐标系,原点为静平台中心,X轴指向其中一条支链,另这条支链编号为1,Y轴在静平台平面内,Z轴竖直向上。为了分析方便,建立过渡静坐标系{Oi},该坐标系为{O}绕Z轴旋转βi角度形成,Xi始终指向第i条支链的立柱。静坐标系{Oi}对{O}的旋转矩阵为:Ri=[cosβi-sinβi0sinβicosβi0001]‚βi=2π3×(i-1)‚i=1,2,3.Ri=⎡⎣⎢cosβisinβi0−sinβicosβi0001⎤⎦⎥‚βi=2π3×(i−1)‚i=1,2,3.动坐标系{O′}固定在动平台上,原点在动平台的中心,X′轴指向第一条支链的球铰中心,Z′垂直于动平台向上。动坐标系{O′}对静坐标系{O}的旋转矩阵为R,位置向量为r。同静坐标系{Oi},建立过渡动坐标系{O′i},因此动坐标系{O′i}对{O′}的旋转矩阵也为Ri。第i条支链的球铰链中心在对应动坐标系{O′i}下铰链点的位置向量为ai。通过建立过渡坐标系,使第i条支链在对应下标为i的坐标系下运动学分析完全相同,便于运动方程组和误差量的统一表达。固定坐标系{Bi}原点在第i根立柱与静平台的交点上,ZBi轴沿立柱向上,XBi轴在静平台内沿坐标系{Oi}原点与坐标系{Bi}原点的连线向外。坐标系{Bi}对过渡系{Oi}的旋转矩阵为RBi,位置向量为bi。动坐标系{Ci}建立在转动副上,其原点在第i条支链的立柱与转动副轴线的交点上,YCi轴沿转动副轴线方向,XCi轴与静平台平行。坐标系{Ci}对坐标系{Bi}的旋转矩阵为RCi,位置向量为qie3,e3=T。坐标系{Ci}原点到转动杆和转动副转轴的交点的向量为eie2,其中e2=T。在坐标系{O}下,转动副摆杆的向量为liωi,其中li为杆长,ωi为单位向量。1.23转动副轴线向量的约束根据上述建立的运动学模型,如图2所示,建立向量闭环方程组r=Ri(bi+RBi(qie3+eiRCie2))+liωi-RRiai,或r=Ri(bi+qiRBie3+eiRBiRCie2)+liωi-RRiai.(1)其中‖ωi‖=1,i=1,2,3,下同。转动杆向量始终与转动副轴线向量垂直,转动副轴线向量在坐标系{O}下的表达为RiRBiRCie2,上述方程组两边同时点乘该向量得到约束方程组:r⋅RiRBiRCie2=bi⋅RBiRCie2+qie3⋅RCie2+ei-RRiai⋅RiRBiRCie2.(2)有约束方程组可以看出,如果RCie2·e3=0,即坐标系{Ci}的XCiYCi平面和坐标系{Bi}的XBiYBi平面向平行,约束方程组解耦,伴生运动可以由目标运动求出。由式(1)可以得到运动学方程组∥r-Ri(bi+qiRBie3+eiRBiRCie2)+RRiai∥=li.(3)联立式(2)、(3)可以得到一般情况下的运动学非线性方程组,可以在已知三个任意位姿变量时同时解出另外三个位姿变量和关节变量。而在RCie2·e3=0的特殊情况下,式(2)、(3)可分别独立求解。1.33运动约束辨识方程运动学标定是以机构的理想模型为基础,通过测量运动终端的位姿误差,得到所有驱动关节变量和机构参数的误差。首先,根据完整的运动学模型,得到理想运动学模型的向量闭环方程组r=Ri(b0+qi0RBie3+ei0RBiRCie2)+li0ωi-RRiai0.(4)其中下标为0的项为模型的理论值,对式(4)作一阶摄动(微分)得到误差映射方程组:Δr+θ×Riai0=Ri(Δbi+Δqie3+qi0θBi×e3+Δeie2+ei0(θBi+θCi)×e2)+Δliωi+li0Δωi-RRiΔai.(5)其中Δr和θ分别为终端位置误差和姿态误差。上式两端同时点乘向量ωi,整理得到ωTiΔr+(ωi×Ria0)Tθ=Δli+ΔqiωTiRie3+ΔeiωTiRie2-ωTiRRiΔai+ωTiRiΔbi+(Ri(qi0e3+ei0e2)×ωi)TRiθBi+ei0(Rie2×ωi)TRiθCi.(6)式(6)为运动学辨识方程组。其次,根据完整的约束方程式(2),通过一阶摄动得到约束辨识方程组(Rie2)ΤΔr+(Ri(ai0×e2))Τθ=Δbi⋅e2+Δei-(Rie2)ΤRRiΔai+qi0eΤiθCi+[(e2×bi0)Τ-(Rie2×(RRiai0+r))ΤRi]θBi.(7)式(6)、(7)共同构成了包含运动约束的完整辨识方程组,可以辨识3-PRS机构的全部而不是部分误差源。该式中带有Δ符号的量均为待辨识的误差量,每条支链总共有15个,但其中存在相互冗余的误差源,因此需要将其去除。观察式(6),误差量Δqi、Δei对应的系数分别与误差量Δbiz、Δbiy相重复,因此将误差源Δbiz、Δbiy去除,对应的列去除。另外通过计算,θCiy项对应的系数为0,也将其去除。最终由式(6)可以辨识的项为Δli,Δqi,Δaix,Δaiy,Δaiz,Δbix,θBiy。同样观察式(7),去掉系数为0的项,最终由式(7)可以辨识的项为Δei,Δaix,Δaiy,Δaiz,θBix,θBiy,θBiz,θCix。每条支链总共存在11个独立的误差源,同时,除Δai在式(6)、(7)中同时存在以外,其余误差源均互为补充,也即运动学方程组和约束方程组互为补充关系的体现。2机构的输入和输出之间的非线性映射替代测量位姿选择的目的是提高辨识矩阵的可辨识性,使辨识结果可信。可辨识性是指由终端测量结果计算得到的机构误差于真实误差的一致程度。一般来说,测量位姿选择的好坏直接影响辨识结果的可信度,测量位姿选择不慎,可能会使辨识结果与真值偏差很大,造成精度降低。影响辨识性的主要原因是由于机构的输入和输出之间的非线性映射由一阶的线性映射代替所造成的。测量位姿的选择就是要减小辨识矩阵的条件数,使高阶残差对辨识结果的影响减到最小,并且使在测量中引入的误差对辨识结果的影响也尽量小,这样才能使结果真实可信。如果辨识结果与真实误差之间的距离在一次辨识结束后是减小的,进行多次迭代辨识后,结果总能收敛到真实值。常用的测量位姿选择指标是辨识矩阵的条件数,因此,其具有参数数量多,优化空间大,非线性强等特点,传统的线性优化算法一般很难适用于测量位姿的选择。下面使用遗传算法进行位姿选择的优化。为了完成误差辨识,共需选择7个测量位姿,因此存在21个位姿参数,将其作为遗传算法待优化参数,并将在该测量位姿下的辨识矩阵条件数作为适应度指标,遗传算法优化过程如图3所示。经过2000步的运算,使所选测量位姿的辨识矩阵的条件数减小到3315。优化的测量位姿如表1所示。33误差测量位姿测量误差辨识仿真3-PRS机构误差辨识仿真的目的是通过计算模拟实际机构的运动情况,进行辨识方法的验证和可行性的评价。误差辨识仿真的算法为:1)通过完整的运动学误差模型得到机构的正、逆解,给定机构的误差值;2)对于一组目标位姿,首先用理想模型进行逆解,然后将结果带入到完整的运动学误差模型的正解中,即可得到实际的终端位姿与理想位姿之间的误差;3)计算所选测量位姿的辨识矩阵条件数,选择合适的测量位姿;4)对所选的测量点进行计算,得到终端误差和辨识矩阵;5)通过求解辨识矩阵得到机构的误差,与给定的误差值相比较,评价辨识结果的可信度和收敛性。如果不满足要求,则返回步骤3)重新选择测量位姿,否则结束辨识仿真计算。算例选择表1所示的测量位姿,首先设定一组支链误差值,与通过辨识仿真得到的误差值进行比较,结果如表2所示。在仿真中,加入±0.01mm或±0.01°的终端测量误差,以观察辨识算法的抗干扰性能。可以看出,辨识结果除前两项外,均与给定值相差很小,能够快速收敛到真实值。为了验证参数辨识对终端误差的改善作用,将辨识参数带入运动学计算,验证标定前后的终端误差。由于在实际使用中,刀尖点的位置误差决定了机床的加工精度,且由于其耦合了转动误差,难以保证。因此,图4反映了刀尖点在标定前后的位置误差改进情况,其中,刀具长度等于动平台半径。由图4可以看出,标定后终端综合误差改进约70%,参数辨识的结果有效。4方向向量和驱动边缘向量的角度向量小由上述仿真过程可以看出,存在两项误差不能很好的收敛到各自的真值,其原因为:该两项误差的辨识系数列向量分别为驱动导轨的方向向量和转动杆的方向向量,由机构的几何参数可知,转动杆接近竖直位置,因此其方向向量和驱动导轨的方向向量夹角较小,该两项误差所对应的系数列向量接近,这两项误差的辨识能力变差,但是这两项误差的和与所给定误差之和依然非常接近。根据上述分析,提出误差的辨识能力指标:辨识矩阵经过归一化处理后,计算任意两列向量的点积,该点积结果的范围为,越接近1,则该两列向量对应的误差项越难以辨识,反之,越接近0,则该误差项越容易分别辨识。上例中,经过归一化的辨识矩阵中Δl和Δq的对应归一化系数向量如表3所示。可以看到,两项误差对应列向量非常接近,其点积非常接近1,因此很难将其分别辨识,此时需要将其两项合理的加以分配。5误差辨识仿真验证本文对3-PRS机构的完整误差运动学进行分析,在此基础上得到误差辨识方程组,通过去除冗余参数,得到最简化的误差辨识模型,并在