【人教A版】20版必修二621（数学）

6.2平面向量的运算6.2.1向量的加法运算1.向量加法的定义及其运算法则(1)向量加法的定义定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.(2)向量求和的法则(3)向量a，b的模与a+b的模之间的关系：|a|≤|a|+|b|.【思考】(1)向量求和的三角形法则中求和的两个向量的起点与终点是怎样连接的？和向量的起点与终点是怎样的？提示：求和的两个向量“首尾连接”，其和向量是从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量.(2)向量求和的平行四边形法则中“不共线”是否多余，去掉可以吗？提示：不能，因为如果两个向量共线，就无法以它们为邻边作出平行四边形，也不会产生和向量.(3)平行四边形法则中，求和的两个向量与和向量的起点有什么特点？和向量是怎样产生的？提示：求和的两个向量与和向量共起点，和向量是以求和的两个向量为邻边的平行四边形的对角线向量.2.向量加法的运算律交换律结合律a+b=b+a(a+b)+c=a+(b+c)【思考】(a+b)+(c+d)=(a+d)+(b+c)成立吗？提示：成立，向量的加法满足交换律和结合律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行.【素养小测】1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)(1)a+0=a. (

)(2)

(

)(3)

(

)(4)a+(b+c)=c+(a+b). (

)提示：(1)×.两个向量的和仍然是一个向量，所以a+0=a.(2)×.由向量加法的三角形法则知，=0.(3)√.(4)√.由向量加法的交换律、结合律知，a+(b+c)=(a+b)+c=c+(a+b).2.如图，在☉O中，向量是 (

)A.有相同起点的向量 B.共线向量C.模相等的向量 D.相等的向量【解析】选C.由题干图可知是模相等的向量，其模均等于圆的半径，故选C.3.若a表示“向东走8km”，b表示“向北走8km”，则|a+b|=________，a+b的方向是________.

【解析】如图所示，作=a，=b，则a+b=+=.所以|a+b|=||==8(km)，因为∠AOB=45°，所以a+b的方向是东北方向.答案：8km东北方向类型一向量的加法法则【典例】1.(2019·济宁高一检测)如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，F为线段DE延长线上一点，DE∥BC，AB∥CF，连接CD，那么(在横线上只填上一个向量)：①=________；②=________.

2.下列说法正确的是________.(填序号)

①若|a|=3，|b|=2，则|a+b|≥1；②若向量a，b共线，则|a+b|=|a|+|b|；③若|a+b|=|a|+|b|，则向量a，b共线.3.如图，已知三个向量a、b、c，试用三角形法则和平行四边形法则分别作向量a+b+c.【思维·引】1.利用相等向量与向量加法的三角形法则求解.2.利用向量a，b的模与a+b的模之间的关系作出判断.3.利用向量加法的三角形法则、平行四边形法则作图.【解析】1.如题干图，由已知得四边形DFCB为平行四边形，由向量加法的运算法则可知：答案：①②2.①正确，当两向量反向时，和向量的模最小为1；②中描述的只是向量同向时的情况，故不正确，反之正确，即③正确.答案：①③3.利用三角形法则作a+b+c，如图①所示，作=a，以A为起点，作=b，再以B为起点，作=c，则

==a+b+c.利用平行四边形法则作a+b+c，如图②所示，作=a，=b，=c，以、为邻边作▱OADB，则=a+b，再以、为邻边作▱ODEC，则

=a+b+c.【内化·悟】用三角形法则与平行四边形法则作三个或以上向量的和的方法是怎样的？提示：用分步作图的方法，即先作出其中两个向量的和，再作所得和向量与第三个向量的和，直至完成作图.【类题·通】1.向量求和的注意点(1)三角形法则对于两个向量共线时也适用.(2)两个向量的和向量仍是一个向量.(3)平行四边形法则对于两个向量共线时不适用.2.利用三角形法则的注意点要注意两向量“首尾顺次相连”，其和向量为“起点指向终点”的向量；利用平行四边形法则要注意两向量“共起点”，其和向量为共起点的“对角线”向量.【发散·拓】向量求和的多边形法则(1)已知n个向量，依次首尾相接，则由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量即为这n个向量的和，这称为向量求和的多边形法则.即(2)首尾顺次相接的若干向量求和，若构成一个封闭图形，则它们的和为0.【延伸·练】化简的结果等于

(

)A.0

B.

C.

D.【解析】选A.=0.【习练·破】如图，在正六边形ABCDEF中，点O为中心，=a，=b，求【解析】由向量的平行四边形法则，得

=a+b.在平行四边形ABCO中，

=a+a+b=2a+b.而=2=2a+2b，且=a+b，由三角形法则，得

=b+a+b=a+2b.【思维·引】利用向量加法的交换律使求和的各向量首尾相接，然后再利用加法法则求和.【解析】【内化·悟】1.如何进行多个向量相加或化简？提示：观察向量的起点与终点字母的特点，看是否具备“首尾相接”.2.这种解题操作的理论依据是什么？提示：向量加法的交换律与结合律.【类题·通】向量加法运算律的意义和应用原则(1)意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现恰当利用向量加法法则运算的目的.实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.(2)应用原则：利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序.【习练·破】化简：【解析】

【加练·固】在平行四边形ABCD中(如图)，对角线AC，BD交于点O，则①=________.

②=________.

③=________.

④=________.

【解析】①②③④=0.答案：①②③④0【思维·引】将互相平分利用向量表示，以此为条件推证使四边形为平行四边形的向量等式成立.【解析】如图，设四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC与BD互相平分，因此∥且||=||，即四边形ABCD是平行四边形.【素养·探】在用向量加法证明几何问题时，经常利用核心素养中的逻辑推理，通过对条件与结论的分析，确定论证思路及方法予以证明.若将本例改为：四边形ABCD中，求证四边形ABCD为矩形.【证明】因为四边形ABCD中，，所以四边形ABCD为平行四边形，如图.所以因为所以，即平行四边形对角线相等，故四边形ABCD为矩形.【类题·通】利用向量解决几何问题的方法用向量法证明几何问题的关键是把几何中的线段转化为向量，通过向量的运算得到结论，然后把向量问题还原为几何问题.【习练·破】如图所示，P，Q是△ABC的边BC上两点，且=0.求证：【证明】因为所以又因为=0，所以类型四航行中的向量加法问题【物理情境】在长江南岸的某渡口A处，江水以12.5km/h的速度向东流，“顺风号”渡船要以25km/h的速度，由南向北垂直地渡过长江，其航向应如何确定？【转化模板】1.—由题意可得渡船的实际垂直过江的速度是船的速度与水流速度的和，因此解决此问题可建立向量加法模型.2.—设表示水流速度，表示渡船的速度，