2022年浙江省嘉兴市海宁中学高三数学理联考试卷含解析

2022年浙江省嘉兴市海宁中学高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.过椭圆右焦点F斜率为1的直线交椭圆于A，B两点，向量共线，则该椭圆的离心率为

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B2.已知直线l过抛物线的焦点F，与抛物线交于A、B两点，与其准线交于点C.若点F是AC的中点，则线段BC的长为（

)A. B.3 C. D.6参考答案：C【分析】由题意结合抛物线的定义和性质首先求得直线AB的方程，然后联立直线方程与抛物线方程可得点B的坐标，进一步整理计算即可求得最终结果.【详解】如图，A在准线上的射影为E，B在准线上的射影为H，由抛物线y2=8x，得焦点F（2，0），∵点F是的AC中点，∴AE=2p=8，则AF=8，∴A点横坐标为6，代入抛物线方程，可得.，则AF所在直线方程为.联立方程：可得：，，则.故.故选：C.【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程，抛物线的几何性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3.若椭圆和圆为椭圆的半焦距),有四个不同的交点,则椭圆的离心率的取值范围是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A4.定义一种运算“*”：对于自然数n满足以下运算性质：（i）1*1=1，（ii）（n+1）*1=n*1+1，则n*1等于（）A．n B．n+1 C．n﹣1 D．n2参考答案：A【考点】函数的值．【分析】根据定义中的运算法则，对（n+1）*1=n*1+1反复利用，即逐步改变“n”的值，直到得出运算结果．【解答】解：∵1*1=1，（n+1）*1=n*1+1，∴（n+1）*1=n*1+1=（n﹣1）*1+1+1=（n﹣2）*1+3=…=[n﹣（n﹣1）]*1+n=1+n，∴n*1=n．故选A．5.某程序框图如图所示,该程序运行后输出的的值是()A.5

B.6

C.7

D.8参考答案：C

6.“”是“直线与圆相切”的A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

参考答案：A略7.设为平面向量，则是的

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；向量的模；平行向量与共线向量．A2F2

【答案解析】C

解析：∵?=，若a，b为零向量，显然成立；若?cosθ=±1则与的夹角为零角或平角，即，故充分性成立．而，则与的夹角为为零角或平角，有．因此是的充分必要条件．故选C．【思路点拨】利用向量的数量积公式得到

?=，根据此公式再看与之间能否互相推出，利用充要条件的有关定义得到结论．8.已知双曲线的渐近线方程为，焦距为，则该双曲线的标准方程是（

）A．

B．

C．或

D．或参考答案：C9.已知函数在上可导，则“”是“为函数的极值”的（

）A.充分不必要条件

B.充要条件C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：C由“”不可以推出“为函数的极值”，同时由“为函数的极值”可以推出“”，所以“”是“为函数的极值”的必要不充分条件．故答案选C．10.下列结论中正确的是（

）①命题：的否定是；②若直线上有无数个点不在平面内，则；③若随机变量服从正态分布，且，则；④等差数列的前n项和为，若，则A．①②

B．②③

C．③④

D．①④参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图所示，在△ABC中，AD是高线，是中线，DC=BE,DGCE于G,

EC的长为8，则EG=__________________．参考答案：4解：连接DE，则DE=AB=BE=DC．∴DG平分EC，故EG=4．12.下面有5个命题：①函数的最小正周期是．②终边在轴上的角的集合是．③在同一坐标系中，函数的图象和函数的图象有3个公共点．④把函数的图象向右平移得到的图象．⑤函数在上是减函数．其中，真命题的编号是___________（写出所有真命题的编号）参考答案：答案：①④解析：①，正确；②错误；③，和在第一象限无交点，错误；④正确；⑤错误．故选①④．13.以初速度40,垂直向上抛一物体，时刻的速度（的单位是）为，则该物体达到最大高度为

.米

参考答案：8014.的展开式中各项系数之和为81，则展开式中x的系数为_______．参考答案：24【分析】先由题意求出，再由二项展开式的通项公式，即可求出结果.【详解】因为的展开式中各项系数之和为81，所以，解得，因此的展开式的通项是，由得，所以，展开式中的系数为.故答案为24【点睛】本题主要考查求指定项的系数，熟记二项式定理即可，属于常考题型.15.若，则_______．参考答案：0略16.（x2﹣）9的二项展开式中，含x3项的系数是．参考答案：﹣126【考点】二项式系数的性质．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的指数等于3，求出r的值，即可求得展开式中含x3项的系数．【解答】解：（x2﹣）9的二项展开式中，通项公式为Tr+1=?（﹣1）r?x18﹣3r，令18﹣3r=3，求得r=5，故展开式中含x3项的系数为﹣=﹣126．故答案为：﹣126．【点评】本题主要考查了二项式定理的应用问题，利用展开式的通项公式求二项式系数，是基础题．17.正三角形ABC的三个顶点都在半径为2的球面上，球心O到平面ABC的距离为1，点D是线段BC的中点，过D作球O的截面，则截面面积的最小值为

．参考答案：考点：球内接多面体．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：设正△ABC的中心为O1，连结O1O、O1C、O1D、OD．根据球的截面圆性质、正三角形的性质与勾股定理，结合题中数据算出OD=．而经过点D的球O的截面，当截面与OD垂直时截面圆的半径最小，相应地截面圆的面积有最小值，由此算出截面圆半径的最小值，从而可得截面面积的最小值．解答： 解：设正△ABC的中心为O1，连结O1O、O1C、O1D、OD，∵O1是正△ABC的中心，A、B、C三点都在球面上，∴O1O⊥平面ABC，结合O1C?平面ABC，可得O1O⊥O1C，∵球的半径R=2，球心O到平面ABC的距离为1，得O1O=1，∴Rt△O1OC中，O1C==．又∵D为BC的中点，∴Rt△O1DC中，O1D=O1C=．∴Rt△OO1D中，OD==．∵过D作球O的截面，当截面与OD垂直时，截面圆的半径最小，∴当截面与OD垂直时，截面圆的面积有最小值．此时截面圆的半径r===，可得截面面积为S=πr2=．故答案为：点评：本题已知球的内接正三角形与球心的距离，求经过正三角形中点的最小截面圆的面积．着重考查了勾股定理、球的截面圆性质与正三角形的性质等知识，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）已知函数f（x）=ln（x+a）﹣x2﹣x在x=0处取得极值．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若关于x的方程f（x）=﹣x+b在区间（0，2）有两个不等实根，求实数b的取值范围；（3）对于n∈N+，证明：．参考答案：【分析】（1）求导，f′（0）=0，求得a的值，写出函数及导函数表达式，f′（x）＞0，求得f（x）的单调递增区间，；由f′（x）＜0，求得函数单调递减区间；（2）构造辅助函数g（x）=f（x）﹣（﹣x+b），求导，令g′（x）=0，求得x的值，即可求得g（x）的单调区间，求得g（x）的两个零点，实数b的取值范围；（3）由（1）可知当x≥0时ln（x+1）≤x2+x（当且仅当x=0时等号成立），可得到ln＜，求得前n项不等式，采用累加法及对数函数的性质，即可证明不等式成立．【解答】解：（1）由已知得f′（x）=﹣2x﹣1=，…（1分）∵f′（0）=0，∴=0，∴a=1．∴f（x）=ln（x+1）﹣x2﹣x（x＞﹣1），…（2分）于是f′（x）==（x＞﹣1），由f′（x）＞0得﹣1＜x＜0；由f′（x）＜0，得x＞0，∴f（x）的单调递增区间是（﹣1，0），单调递减区间是（0，+∞）．…（4分）（2）令g（x）=f（x）﹣（﹣x+b）=ln（x+1）﹣x2+x﹣b，x∈（0，2），则g′（x）=﹣2x+=﹣，令g′（x）=0，得x=1或x=﹣（舍），当0＜x＜1时，g′（x）＞0；当1＜x＜2时g′（x）＜0，即g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，2）上单调递减．…（7分）方程f（x）=﹣x+b在区间（0，2）有两个不等实根等价于函数g（x）在（0，2）上有两个不同的零点．∴，即亦即，∴ln3﹣1＜b＜ln2+，故所求实数b的取值范围为{b丨ln3﹣1＜b＜ln2+}．…（9分）证明：（3）由（1）可得，当x≥0时ln（x+1）≤x2+x（当且仅当x=0时等号成立），设x=，则ln（1+）＜+，即ln＜

①…（10分）∴＞ln，＞ln，＞ln，…，＞ln，将上面n个式子相加得：+++…+＞ln+ln+ln+…+ln=ln（n+1），故：．…（12分）【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程的实数根转化为函数图象与x轴的交点的问题，同时考查了利用构造函数法证明不等式，考查了推理能力与计算能力，是一道综合题，属于难题．19.已知函数f（x）=，g（x）=af（x）﹣|x﹣1|．（Ⅰ）当a=0时，若g（x）≤|x﹣2|+b对任意x∈（0，+∞）恒成立，求实数b的取值范围；（Ⅱ）当a=1时，求g（x）的最大值．参考答案：【考点】3H：函数的最值及其几何意义；3R：函数恒成立问题．【分析】（Ⅰ）当a=0时，若g（x）≤|x﹣2|+b对任意x∈（0，+∞）恒成立，﹣b≤|x﹣1|+|x﹣2|，求出右边的最小值，即可求实数b的取值范围；（Ⅱ）当a=1时，g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减，即可求g（x）的最大值．【解答】解：（Ⅰ）当a=0时，g（x）=﹣|x﹣1|，∴﹣|x﹣1|≤|x﹣2|+b，∴﹣b≤|x﹣1|+|x﹣2|，∵|x﹣1|+|x﹣2|≥|x﹣1+2﹣x|=1，∴﹣b≤1，∴b≥﹣1…（Ⅱ）当a=1时，…（6分）可知g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减…（8分）∴g（x）max=g（1）=1．…（10分）【点评】本题考查绝对值不等式，考查函数的最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20.已知抛物线：的焦点为，圆：，过作垂直于轴的直线交抛物线于、两点，且的面积为6.（1）求抛物线的方程和圆的方程；（2）若直线、均过坐标原点，且互相垂直，交抛物线于，交圆于，交抛物线于，交圆于，求与的面积比的最小值.参考答案：（1）因为抛物线焦点F坐标为,则，联立∴或，故，∴，即，∴抛物线方程为：.圆方程为：，(注:错一个不给分)（2）解法一：显然、的斜率必须存在且均不为0，设的方程为，则方程为.(注:末说明斜率不给分)由得，或∴同理可求得.由得，或∴.同理可求得.∴.当且仅当时，与的面积比的取到最小值4.解法二：显然、的斜率必须存在且均不为0，设的方程为，则方程为.(注:末说明斜率不给分)由得=0，或同理可求得.则.设到、的距离分别为、，则；.则.∴.当且仅当时，与的面积比的取到最小值4.21.已知函数．（1）若曲线在和处的切线互相平行，求的值；（2）求的单调区间；参考答案：①当时，，，在区间上，；在区间上，故的单调递增区间是，单调递减区间是．

---------8分②当时，，在区间和上，；在区间上，故的单调递增区间是和，单调递减区间是．

--------10分

22.如图，在四棱锥A﹣CDEF中，四边形CDFE为直角梯形，CE∥DF，EF⊥FD，AF⊥平面CEFD，P为AD中点，EC=FD．（Ⅰ）求证：CP∥平面AEF；（Ⅱ）设EF=2，AF=3，FD=4，求点F到平面ACD的距离．参考答案：【考点】MK：点、线、面间的距离计算；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（I）如图所示，取AF的中点Q，连接PQ，QE．利用三角形中位线定理可得：PQ∥FD，PQ=FD，又CE∥DF，EC=FD．可得四边形CEQP是平行四边形，于是CP∥EQ，利用线面平行的判定定理可得CP∥平面AEF．（II）设点F到平面ACD的距离为h．取FD的中点M，则ECFM，利用正方形的判定定理可得四边形CEMF是正方形，可得CD⊥CF，利用三垂线定理可得：CD⊥AC．利用VA﹣CDF=VF﹣ACD，即可得出．【解答】（I）证明：如图所示，取AF的中点Q，连接PQ，QE．又P为AD中点，∴PQ∥FD，PQ=FD，又CE∥DF，EC=FD．∴PQEC，∴四边形CEQP是平行