2024届一轮复习人教A版 第3章导数及其应用第2节导数的应用第1课时导数与函数的单调性 课件（57张）

第二节导数的应用第三章导数及其应用考试要求：1．结合实例，借助几何直观了解函数单调性和导数的关系．2．能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．3．会用导数求函数的极大值、极小值．4．会求闭区间上函数的最大值、最小值．第1课时导数与函数的单调性必备知识·回顾教材重“四基”01一、教材概念·结论·性质重现函数的单调性与导数的关系条件恒有结论函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导f′(x)>0y＝f(x)在区间(a，b)上_________f′(x)<0y＝f(x)在区间(a，b)上_________f′(x)＝0y＝f(x)在区间(a，b)上是_________单调递增单调递减常数函数若函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递增，则f′(x)≥0，所以“f′(x)≥0在区间(a，b)上成立”是“y＝f(x)在区间(a，b)上单调递增”的充分不必要条件．34512二、基本技能·思想·活动经验1．判断下列说法的正误，对的画“√”，错的画“×”．(1)若函数f(x)在区间(a，b)上单调递增，那么一定有f′(x)>0. (

)(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，那么f(x)在此区间内不具有单调性． (

)(3)若在区间(a，b)内f′(x)≤0且f′(x)＝0的根为有限个，则f(x)在区间(a，b)上单调递减． (

)×√√

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345125．函数f(x)＝x3＋ax2－ax在R上单调递增，则实数a的取值范围是_________．[－3，0]

解析：f′(x)＝3x2＋2ax－a≥0在R上恒成立，即4a2＋12a≤0，解得－3≤a≤0，即实数a的取值范围为[－3，0].34512关键能力·研析考点强“四翼”考点1求函数的单调区间——基础性02考点2讨论函数的单调性——综合性考点3函数单调性的应用——应用性

考点1求函数的单调区间——基础性2．函数f(x)＝x·ex－ex+1的单调递增区间是(

)A．(－∞，e)

B．(1，e)C．(e，＋∞) D．(e－1，＋∞)D

解析：由f(x)＝x·ex－ex+1，得f′(x)＝(x＋1－e)·ex.令f′(x)>0，解得x>e－1，所以函数f(x)的单调递增区间是(e－1，＋∞)．

解答T1要注意，求单调区间的前提是求定义域；T3是新定义问题，理解定义是关键，根据定义，“快增区间”即函数y＝f(x)的增区间与函数y＝f′(x)的增区间的交集．

考点2讨论函数的单调性——综合性

例1

(2021·全国乙卷)已知函数f(x)＝x3－x2＋ax＋1.(2)求曲线y＝f(x)过坐标原点的切线与曲线y＝f(x)的公共点的坐标．

与y＝f(x)＝x3－x2＋ax＋1联立，得x3－x2＋ax＋1＝(a＋1)x，化简得x3－x2－x＋1＝0.由于切点的横坐标1必然是该方程的一个根，所以(x－1)是x3－x2－x＋1的一个因式，所以该方程可以分解因式为(x－1)(x2－1)＝0，解得x1＝1，x2＝－1，f(－1)＝－1－a.综上，曲线y＝f(x)过坐标原点的切线与曲线y＝f(x)的公共点的坐标为(1，a＋1)和(－1，－1－a)．

1．研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．2．划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点．1．讨论函数g(x)＝(x－a－1)ex－(x－a)2的单调性．解：g(x)的定义域为R，g′(x)＝(x－a)ex－2(x－a)＝(x－a)(ex－2)．令g′(x)＝0，得x＝a或x＝ln2.①当a>ln2时，x∈(－∞，ln2)∪(a，＋∞)时，g′(x)>0，x∈(ln2，a)时，g′(x)<0；②当a＝ln2时，g′(x)≥0恒成立，所以g(x)在R上单调递增；③当a<ln2时，x∈(－∞，a)∪(ln2，＋∞)时，g′(x)>0，x∈(a，ln2)时，g′(x)<0.综上，当a>ln2时，g(x)在(－∞，ln2)，(a，＋∞)上单调递增，在(ln2，a)上单调递减；当a＝ln2时，g(x)在R上单调递增；当a<ln2时，g(x)在(－∞，a)，(ln2，＋∞)上单调递增，在(a，ln2)上单调递减．

考向1利用函数的单调性解不等式例2已知f′(x)是定义域为R的函数f(x)的导函数，若对任意实数x都有f′(x)＞f(x)－1，且有f(1)＝2，则不等式f(x)－1＞ex-1的解集为_________．考点3函数单调性的应用——应用性

解与抽象函数有关的不等式，要充分挖掘条件关系，恰当构造函数．题目中若存在f(x)与f′(x)的不等关系时，常结合这种关系的特点构造新函数，利用新函数的单调性求解不等式．

利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件构造辅助函数，把比较大小问题转化为先利用导数研究函数的单调性，进而由单调性比较大小．

根据函数单调性求参数的解题策略(1)已知函数的单调性求参数的取值范围，应用条件f′(x)≥0或f′(x)≤0，x∈(a，b)恒成立，解出参数．应注意此时式子中的等号不能省略，否则容易漏解．(2)如果能分离参数，则尽可能分离参数后转化为求函数最值问题．(3)若函数在区间(a，b)上不单调，则转化为f′(x)＝0在(a，b)上有异号解．

03一题N解·深化综合提“素养”若函数f(x)＝x3－ax2＋1在区间[1，2]上单调递减，求实数a的取值范围．[四字程序]读想算思求实数a的取值范围1．利用导数研究函数单调性的方法．2．从什么角度列不等式求取值范围1．求f′(x)．2．解不等式f′(x)≤0转化与化归、数形结合读想算思f(x)在[1，2]上单调递减由函数f(x)在区间[a，b]上单调递增(减)可知f′(x)≥0(f′(x)≤0)在区间[a，b]上恒成立，列出不等式f′(x)＝3x2－2ax

＝x(3x－2a)1．函数最值．2．不等式恒成立．3．一元二次不等式、一元二次方程和二次函数之间的关系

1．本题考查函数的单调性与导数的关系，解法较多，基本解题策略是转化为不等式恒成立问题，即“若函数f(x)在区间D上单调递增，则f′(x)≥0对x∈D恒成立；若函数f(x)在区间D上单调递减，则f′(x)≤0对x∈D恒成立”或利用集合间的包含关系处理：若y＝f(x)在区间D上单调，则区间D是相应单调区间的子集．2．基于课程标准，解答本题一般需要运算求解能力、推理论证能力．本题的解答体现了逻辑推理、数学运算的核心素养．3．基于高考数学评价体系，本题利用函数的单调性与导函数的关系，将所求问题转化为熟悉的数学模型，解题过程需要知识之间的转化，体现了综合性．

2．已知函数f(x)＝x3－kx在(－3，1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是_________．(0，27)

解析：(方法一：间接法)若f(x)＝x3－kx在(－3，1)上是单调递增函