2024届湖南省长沙雅礼中学高一数学第一学期期末达标检测模拟试题含解析

2024届湖南省长沙雅礼中学高一数学第一学期期末达标检测模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．定义在上的函数满足，且当时，，若关于的方程在上至少有两个实数解，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.2．已知，，则下列不等式中恒成立的是（）A. B.C. D.3．已知命题，则p的否定为（）A. B.C. D.4．已知函数，，的零点分别，，，则，，的大小关系为（）A. B.C. D.5．函数的定义域为（）A. B.C. D.6．函数（且）与函数在同一坐标系内的图象可能是（）A. B.C. D.7．已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A.若则 B.若则C.若则 D.若则8．已知平面向量，，且，则实数的值为（）A. B.C. D.9．如图，正方体中，①与平行；②与垂直；③与垂直以上三个命题中，正确命题的序号是（）A.①② B.②③C.③ D.①②③10．如图，在正四棱柱中，，点为棱的中点，过，，三点的平面截正四棱柱所得的截面面积为（）A.2 B.C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知函数（且）过定点P，且P点在幂函数的图象上，则的值为_________12．过点P(4,2)并且在两坐标轴上截距相等的直线方程为（化为一般式）________.13．已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值是___________.14．函数的单调递增区间为______.15．已知函数的定义域和值域都是集合，其定义如表所示，则____________．x01201216．若，则的最小值为__________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知函数，且.（1）求实数a的值；（2）判断函数在上的单调性，并证明.18．计算下列各式：（1）；（2）19．设是定义在上的偶函数，的图象与的图象关于直线对称，且当时，（）求的解析式（）若在上为增函数，求的取值范围（）是否存在正整数，使的图象的最高点落在直线上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由20．已知函数.（1）求函数的定义域；（2）设，若函数在上有且仅有一个零点，求实数的取值范围；（3）设，是否存在正实数，使得函数在内的最大值为4？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.21．如图，在三棱柱中，侧棱平面，、分别是、的中点，点在侧棱上，且，，求证：（1）直线平面；（2）平面平面.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解题分析】把问题转化为函数在上的图象与直线至少有两个公共点，再数形结合，求解作答.【题目详解】函数满足，当时，，则当时，，当时，，关于的方程在上至少有两个实数解，等价于函数在上的图象与直线至少有两个公共点，函数的图象是恒过定点的动直线，函数在上的图象与直线，如图，观察图象得：当直线过点时，，将此时的直线绕点A逆时针旋转到直线的位置，直线(除时外)与函数在上的图象最多一个公共点，此时或或a不存在，将时的直线(含)绕A顺时针旋转到直线(不含直线)的位置，旋转过程中的直线与函数在上的图象至少有两个公共点，此时，所以实数的取值范围为.故选：C【题目点拨】方法点睛：图象法判断函数零点个数，作出函数f(x)的图象，观察与x轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数.2、D【解题分析】直接利用特殊值检验及其不等式的性质判断即可.【题目详解】对于选项A，令，，但，则A错误；对于选项B，令，，但，则B错误；对于选项C，当时，，则C错误；对于选项D，有不等式的可加性得，则D正确，故选：D.3、D【解题分析】全称命题的否定为存在命题，利用相关定义进行判断即可【题目详解】全称命题的否定为存在命题，命题，则为.故选：D4、A【解题分析】判断出三个函数的单调性，可求出，，并判断，进而可得到答案【题目详解】因为在上递增，当时，，所以；因为在上递增，当时，恒成立，故的零点小于0，即；因为在上递增，当时，，故，故．故选：A．5、B【解题分析】根据函数的解析式有意义，列出不等式，即可求解.【题目详解】由题意，函数有意义，则满足，解得且，所以函数的定义域为.故选：B.6、C【解题分析】分，两种情况进行讨论，结合指数函数的单调性和抛物线的开口方向和对称轴选出正确答案.【题目详解】解：当时，增函数，开口向上，对称轴，排除B,D；当时，为减函数，开口向下，对称轴，排除A,故选:C.【题目点拨】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.7、D【解题分析】A项，可能相交或异面,当时，存在，，故A项错误；B项，可能相交或垂直,当

时，存在，，故B项错误；C项，可能相交或垂直,当

时，存在，，故C项错误；D项，垂直于同一平面的两条直线相互平行，故D项正确,故选D.本题主要考查的是对线，面关系的理解以及对空间的想象能力.考点：直线与平面、平面与平面平行的判定与性质；直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质.8、C【解题分析】根据垂直向量坐标所满足的条件计算即可【题目详解】因为平面向量，，且，所以，解得故选：C9、C【解题分析】根据线面平行、线面垂直的判定与性质，即可得到正确答案【题目详解】解：对于①，在正方体中，由图可知与异面，故①不正确对于②，因为，不垂直，所以与不垂直，故②不正确对于③，在正方体中，平面，又∵平面，∴与垂直.故③正确故选：C【题目点拨】此题考查线线平行、线线垂直，考查学生的空间想象能力和对线面平行、线面垂直的判定与性质的理解与掌握，属基础题10、D【解题分析】根据题意画出截面，得到截面为菱形，从而可求出截面的面积.【题目详解】取的中点，的中点，连接，因为该几何体为正四棱柱，∴故四边形为平行四边形，所以，又，∴，同理，且，所以过，，三点平面截正四棱柱所得的截面为菱形，所以该菱形的面积为.故选：D二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、9【解题分析】由指数函数的性质易得函数过定点，再由幂函数过该定点求解析式，进而可求.【题目详解】由知：函数过定点，若，则，即，∴，故.故答案为：9.12、或【解题分析】根据直线在两坐标轴上截距相等，则截距可能为也可能不为，再结合直线方程求法，即可对本题求解【题目详解】由题意，设直线在两坐标轴上的截距均为，当时，设直线方程为：，因为直线过点，所以，即，所以直线方程为：,即：，当时，直线过点，且又过点，所以直线的方程为，即：，综上，直线的方程为：或.故答案为：或【题目点拨】本题考查直线方程的求解，考查能力辨析能力，应特别注意，截距相等，要分截距均为和均不为两种情况分别讨论.13、【解题分析】根据一元二次不等式解集的性质，结合基本不等式、对钩函数的单调性进行求解即可.【题目详解】因为关于的不等式的解集为，所以是方程的两个不相等的实根，因此有，因为，所以，当且仅当时取等号，即时取等号，，设，因为函数在上单调递增，所以当时，函数单调递增，所以，故答案为：14、【解题分析】首先将函数拆分成内外层函数，根据复合函数单调性的判断方法求解.【题目详解】函数分成内外层函数，是减函数，根据“同增异减”的判断方法可知求函数的单调递增区间，需求内层函数的减区间，函数的对称轴是，的减区间是，所以函数的单调递增区间为.故答案为：【题目点拨】本题考查复合函数的单调性，意在考查基本的判断方法，属于基础题型，判断复合函数的单调性根据“同增异减”的方法判断，当内外层单调性一致时为增函数，当内外层函数单调性不一致时为减函数，有时还需注意定义域.15、【解题分析】根据表格从里层往外求即可.【题目详解】解：由表可知，.故答案为：.16、【解题分析】整理代数式满足运用基本不等式结构后，用基本不等式求最小值.【题目详解】∵∴当且仅当，时，取最小值.故答案为:【题目点拨】用基本不等式求最值要注意“一正、二定、三相等”，若不能取等，则要改变求最值的方法.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）增函数，证明见解析【解题分析】（1）根据，由求解；（2）利用单调性的定义证明.【小问1详解】解：∵，且，∴，∴；【小问2详解】函数在上是增函数.任取，不妨设，则，，∵且，∴，，，∴，即，∴在上是增函数.18、（1）-37（2）0【解题分析】（1）利用对数的性质以及有理数指数幂的性质，算出结果；（2）利用诱导公式算出三角函数值试题解析：（1）原式；（2），，所以原式19、（1）；（2）；（3）见解析.【解题分析】分析：（）当时，，；当时，，从而可得结果；（）由题设知，对恒成立，即对恒成立，于是，，从而；（）因为为偶函数，故只需研究函数在的最大值，利用导数研究函数的单调性，讨论两种情况，即可筛选出符合题意的正整数.详解：（）当时，，；当时，，∴，（）由题设知，对恒成立，即对恒成立，于是，，从而（）因为为偶函数，故只需研究函数在的最大值令，计算得出（）若，即，，故此时不存在符合题意的（）若，即，则在上为增函数，于是令，故综上，存在满足题设点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数奇偶性的应用及利用单调性求参数的范围，属于中档题.利用单调性求参数的范围的常见方法：①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的;②利用导数转化为不等式或恒成立问题求参数范围.20、（1）；（2）；（3）存在，.【解题分析】（1）根据对数函数的定义域列不等式求解即可.（2）由函数的单调性和零点存在定理，列不等式求解即可.（3）由对勾函数的性质可得函数的单调区间，利用分类讨论的思想讨论定义域与单调区间的关系，再利用函数的最值存在性问题求出实数的值.【题目详解】（1）由题意，函数有意义，则满足，解得，即函数的定义域为.（2）由，且，可得，且为单调递增连续函数，又函数在上有且仅有一个零点，所以，即，解得，所以实数的取值范围是.（3）由，设，则，易证在为单调减函数，在为单调增函数，当时，函数在上为增函数，所以最大值为，解得，不符合题意，舍去；当时，函数在上为减函数，所以最大值为，解得，不符合题意，舍去；当时，函数在上减函数，在上为增函数，所以最大值为或，解得，符合题意，综上可得，存在使得函数的最大值为4.【题目点拨】本题考查了对数函数的定义域问题、零点存在定理、对勾函数的应用，考查了理解辨析的能力、数学运算能力、分类讨论思想和转化的数学思想，属于一般