变形-工程力学课件

第7章杆的变形分析刚度计算ll'd'd7.1.1拉压杆的变形和应变

纵向变形反映变形的大小。PP轴向线应变（线应变、应变）反映了杆件横截面上任一点沿轴向的变形程度。7.1轴向拉压杆的变形1第7章杆的变形分析刚度计算ll'd'd7.1.1

横向变形（了解）横向线应变实验表明：横向变形第7章杆的变形分析刚度计算7.1.1拉压杆的变形和应变7.1轴向拉压杆的变形2横向变形（了解）横向线应变实验表明：横向变形第7章杆的7.1.2胡克定律实验证明：在弹性范围内材料拉压时的胡克定律。拉压杆的胡克定律EA：杆的抗拉(压)刚度。反映了杆抵抗拉压变形的能力。当轴力、截面分段不同时，分别计算变形，再求代数和。轴力要代入符号。37.1.2胡克定律实验证明：在弹性范围内材料拉压时的胡克定例：阶梯杆直径分别为A1=4cm2，A2=8cm2，材料为Q235钢，E=200GPa

，求杆的总变形和最大轴向线应变。40kN8kN20kN200200FN2=－20kNFN1=40kN解：(1)分段求轴力，画轴力图。（2）分别计算变形，求代数和。FNx40kN20kN112260kN（3）计算最大线应变。BAC4例：阶梯杆直径分别为A1=4cm2，A2=8cm2，材料为7.2圆轴扭转时的变形与刚度计算相距l的两横截面的相对扭转角:在长为l的轴上MT、GIP均为常量时：

的单位为radGIP称为圆轴的抗扭刚度。反映了圆轴抵抗扭转变形的能力。7.2.1圆轴扭转时的变形若轴上各段MT、G和IP不同时，轴的总扭转角为MTi代入符号57.2圆轴扭转时的变形与刚度计算相距l的两横截面的圆形截面的极惯性矩和扭转截面模量yzDd抗扭转截面系数6圆形截面的极惯性矩和扭转截面模量yzDd抗扭转截面系数6解：（1）画扭矩图：0.8kNm1.5kNm例7.2阶梯轴如图，已知AB段直径d1=40mm，BC段直径d2=70mm。材料的剪切弹性模量G=80GPa。求钢轴A、C两个截面的相对扭转角。0.8m1mBAC0.8kNm2.3kNm1.5kNmMTx（2）求A、C两个截面的相对扭转角7解：（1）画扭矩图：0.8kNm1.5kNm例7.2阶梯轴

单位为rad

m刚度条件：7.2.2圆轴扭转时的刚度计算[

]根据载荷性质和工作条件等因素确定。对精密稳定传动对一般传动对精度要求不高传动[

]

＝0.5

m[

]

＝1

m[

]

＝2

m刚度计算：1、刚度校核；2、设计截面；3、确定许可载荷。工程实际中[

]

常用单位为

m注意：单位：N—m8单位为radm刚度条件：7.2.例题

受扭圆轴承受的外力偶矩如图所示，已知轴的直径d=80mm，材料的许用切应力[τ]=40MPa，G=80GPa，[

]=1°/m。试校核轴的强度和刚度。2kNm2kNm2kNm6kNm2kNm4kNm2kNm解：（1）画扭矩图（2）校核强度：强度满足要求。（3）刚度校核刚度满足要求。x

MT9例题受扭圆轴承受的外力偶矩如图所示，已知轴的直径d=例7.3传动轴为钢制实心轴，

[t]=60MPa，G=80GPa，

[

]=1.5

/m。要求按强度和刚度条件设计轴的直径。95Nm287Nm

286NmxMT95Nm解：（3）由刚度条件：（2）由强度条件：D≥34mm取：D

＝34mm（1）画扭矩图刚度条件起决定作用。ACDB286Nm573Nm192Nm10例7.3传动轴为钢制实心轴，[t]=60MPa，G=807.3梁的弯曲变形和刚度计算为保证弯曲构件正常的工作，不但要求构件具有足够的强度，在某些情况下，还要要求构件有足够的刚度，即弯曲变形不应过大，否则，将影响正常工作。l电葫芦爬坡，出现振动、噪音。117.3梁的弯曲变形和刚度计算为保证弯曲构件正齿轮轴变形将导致齿轮不能正常啮合、齿面磨损、轴与轴承配合不好，出现噪音。P1P2轧辊钢板轧钢轧辊变形，钢板沿宽度方向的厚度不均。齿轮轴12齿轮轴变形将导致齿轮不能正常啮合、齿面磨损、轴与轴承配合不好F利用弯曲变形缓冲、减震汽车叠板弹簧求解静不定梁则必须考虑梁的变形。测力矩扳手13F利用弯曲变形缓冲、减震汽车叠板弹簧求解静不定梁则必须考虑梁（1）挠曲线：弯曲后的梁轴线。（弹性曲线）对于平面弯曲，当外力位于梁纵向对称面内时，梁轴线在该平面内弯成一条平面曲线。P随梁的变形，横截面发生位移：（2）挠度：横截面绕中性轴产生的角位移，称为转角

。某截面的形心在垂直于原轴线方向的位移为截面的挠度

。

7.3.1梁弯曲变形的基本概念——挠度和转角（3）转角：

截面形心的水平位移忽略不计14（1）挠曲线：弯曲后的梁轴线。（弹性曲线）对于平P在纵向对称面内建立坐标系挠曲线方程挠度：向上为正。转角：逆时针为正。

(通常=0.01745弧度)挠度和转角的关系：

=f(x)讨论弯曲变形的关键在于：建立梁的挠曲线方程。（4）挠度和转角的关系（挠度方程）

x

x15P在纵向对称面内建立坐标系挠曲线方程挠度：向上为正。转角：逆挠曲线的微分方程挠曲线近似微分方程

因为讨论小变形，1o=0.0175(弧度)弯曲变形基本公式中性层曲率半径ρ：即为轴线的曲率半径。对于平面曲线，曲率为：7.3.2挠曲线近似微分方程引入曲率：16挠曲线的微分方程挠曲线近似微分方程因为讨论小

xM>0

xM<0

0<0

''与M的符号总是相同。挠曲线近似微分方程对于等直梁：符号的处理17xM>0xM<00<0''与M的符号总是相同。7.3.3积分法求梁的变形每段梁有C、D两个积分常数。挠曲线近似微分方程转角方程挠曲线方程根据支座处、分段处梁的已知位移情况，在规定坐标系中的数学表示式称为边界条件。187.3.3积分法求梁的变形每段梁有C、D两个积分常数。mmx

x

x

m图示各梁的材料、几何尺寸完全相同，受力如图。mxxx挠曲线方程不同。弯矩方程相同曲率相同挠曲线近似微分方程相同受力相同m原因：梁的约束条件不同。在图示坐标系中：m19mmxxxm图示各梁的材料、几何尺寸完全相同，受力如图BqAl边界条件支座处：满足支座约束特点。积分法的重点：写边界条件。边界条件的个数应等于梁段数的2倍。分段处：构件不折断，不开裂。（连续光滑条件）例：写出下列梁的边界条件。建立坐标系x

，根据外力，梁分一段。x＝0，x＝l，A点：B点：x

x20BqAl边界条件支座处：满足支座约束特点。积分法的重点：写边CqABlx

例7.4简支梁抗弯刚度为EI，求其挠度和转角方程、跨中点挠度和A截面的转角。（1）列出弯矩方程（2）列出挠曲线微分方程并积分（3）确定积分常数解：x0≤x≤lx＝0，x＝l，A点：B点：梁的挠度和转角方程（4）求指定截面的挠度和转角为梁的最大挠度和转角。21CqABlx例7.4简支梁抗弯刚度为EI，求其挠度和转角方7.3.4叠加法材料力学讨论的是线弹性小变形，反力、内力、应力、变形都是载荷的线性齐次函数，所以在计算反力、内力、应力、变形等都可以应用叠加法。叠加法：几个载荷共同作用下所引起的某一物理量，等于各载荷单独作用时所引起的该物理量的总和。利用叠加法求挠度和转角时，可查阅P129表格。227.3.4叠加法材料力学讨论的是线弹性小变解叠加lABm=ql2Cq单独作用m单独作用求梁中点C的挠度和B截面的转角。例BqAlm=ql2CBqAlC例7.5自习23解叠加lABm=ql2Cq单独作用m单独作用求梁中点C的挠度例求悬臂梁B端的挠度和转角。CBAq

lqBAq1=qBA解叠加q1单独作用将载荷等效变换q2单独作用由受力可知B点挠度转角最大。aqqBAq2=q24例求悬臂梁B端的挠度和转角。CBAqlqBA刚度条件滑动轴承处安装齿轮处向心轴承处吊车梁

l为梁的跨度。

普通机床主轴l为支撑的跨度。l1rad=57.3°7.3.5梁的刚度设计25刚度条件滑动轴承处安装齿轮处向心轴承处吊车梁l为梁的跨度例7.7起重20kN的单梁吊车，由No.28b工字钢制成，q=47.9kg/m，Iz=7480cm4，l=9m。已知[

]=l/500，[

]=170MPa，E=210GPa。要求：校核其强度和刚度。解：受力情况：q=479N/mF=20kN梁的最大应力：q单独作用时，梁中点有最大弯矩F单独作用时，梁中点有最大弯矩叠加：<[

]强度满足要求26例7.7起重20kN的单梁吊车，由No.28b工字钢制成，例7.7起重20kN的单梁吊车，由No.28b工字钢制成，q=47.9kg/m，Iz=7480cm4，l=9m。已知[

]=l/500，[

]=170MPa，E=210GPa。要求：校核其强度和刚度。解：计算简图受力情况：q=479N/mF=20kN

CF+

Cq叠加得梁的最大挠度为：

max＝

CF+

Cq=21.94mm>刚度不满足要求.q单独作用F单独作用需要加大截面，选定后需要校核刚度。27例7.7起重20kN的单梁吊车，由No.28b工字钢制成，q例7.7起重20kN的单梁吊车，由No.28b工字钢制成，q=47.9kg/m，Iz=7480cm4，l=9m。已知[

]=l/500，[

]=170MPa，E=210GPa。要求：校核其强度和刚度。解：受力情况：q=479N/mF=20kN梁的最大应力：梁中点的最大弯矩<[

]强度满足要求梁的最大挠度为：>刚度不满足要求需要加大截面，选定后需要校核刚度。整理说明：在很多情况下，构件自重对强度、变形的影响与载荷的影响相比很小，所以常常忽略重力。28例7.7起重20kN的单梁吊车，由No.28b工字钢制成，7.4提高梁弯曲强度和刚度的措施弯曲正应力强度条件提高梁弯曲强度可从以下几个方面考虑：1、合理安排梁的受力(降低最大弯矩）2、选用合理的截面(增大弯曲截面系数）3、采用变截面梁297.4提高梁弯曲强度和刚度的措施弯曲正应力强度条件提高7.4.1合理安排梁的受力(降低最大弯矩）（1）合理安排载荷PPbal307.4.1合理安排梁的受力(降低最大弯矩）（1）合理安排载荷（2）分散载荷(从使用方面考虑)若：PPP31（2）分散载荷(从使用方面考虑)若：PPP31l32l32ll0.2l0.2l（3）调整支座位置（从设计角度）合理的支座位置应使最大正弯矩和最大负弯矩数值相等。合理布置支座位置，使Mmax尽可能小。移动支座后，可降低梁内的最大弯矩。33ll0.2l0.2l（3）调整支座位置（从设计角度）合理的支双杠xxl当人在两支座中点时，当人在自由端点时，合理的设计应使：龙门吊车34双杠xxl当人在两支座中点时，当人在自由端点时，合理的设计应（1）在面积相等（即用材相等）的情况下，尽量增大抗弯截面系数。7.4.2合理选用截面的形状即用最少的材料获取最好的抗弯效果。yzbhPP显然，

矩形截面梁竖放比平放抗弯效果好。35（1）在面积相等（即用材相等）的情况下，尽量增大抗弯截面系数中性轴处应力为零，离中性轴最远的上下边缘应力最大。从理论上讲，可将材料布置的离中性轴远些。z36中性轴处应力为零，离中性轴最远的上下边缘应力最大。从理论上讲h当截面形状不同时，可以用Wz/A的比值来衡量截面形状的合理性和经济性。(0.29~0.31)h(0.27~0.31)h0.205h0.125h0.167hyzbhyzhyzhdyzh37h当截面形状不同时，可以用Wz/A的比值来衡量截（2）在满足所需抗弯截面系数的前提下，选择适当截面，尽量减少面积，以达到减轻自重节约材料的目的。d=137250000395020b号h＝20025000010400b=72h=144250000yzh要求的Wz（mm3）截面形状所需尺寸（mm）yzh14800截面面积（mm2）yzbh38（2）在满足所需抗弯截面系数的前提下，选择适当截面，尽量减少采用关于中性轴对称的截面采用关于中性轴不对称的截面塑性材料脆性材料可调整各部分尺寸，使（3）合理的截面形状要符合材料的力学性能yzyzyzyzy1y2zy理想情况：39采用关于中性轴对称的截面采用关于中性轴不对称的截面塑性材料脆7.4.3采用变截面梁变截面梁:截面尺寸沿梁轴线变化的梁等强度梁:各个截面上的最大应力都等于材料的许用应力设截面宽度不变，高度随截面位置变化，则：由得例:设计等强度矩形截面悬臂梁。xPx挑出阳台由得407.4.3采用变截面梁变截面梁:截面尺寸沿梁轴线变化的梁等强由于等强度梁加工困难，因此采用近似的、便于加工的变截面梁。P摇臂钻床P2P1齿轮轴汽车叠板弹簧P鱼腹梁41由于等强度梁加工困难，因此采用近似的、便于加工的变截面梁。1、选择合理截面形状，增大惯性矩2、改善梁的受力和支座位置3、减小梁的长度4、增加支座（约束）5、预加反弯度要提高梁的弯曲刚度，应从影响变形、位移的因素入手。7