相似三角形六大证明技巧

相似三角形相似三角形6大证明技巧第2讲相似三角形证明方法相似三角形证明方法之反A型与反X型模块一回顾相似三角形的判定方法总结：1.平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.2.三边成比例的两个三角形相似.（SSS）3.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.(SAS)4.两角分别相等的两个三角形相似.(AA)5.斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似(HL)模型一：反A型：如图，已知△ABC，∠ADE=∠C，若连CD、BE，进而能证明△ACD∽△ABE(SAS)试一试写出具体证明过程模型二：反X型：如图，已知角∠BAO=∠CDO，若连AD，BC，进而能证明△AOD∽△BOC.试一试写出具体证明过程应用练习：已知△ABC中，∠AEF=∠ACB，求证：（1）（2）∠BEO=∠CFO，∠EBO=∠FCO（3）∠OEF=∠OBC，∠OFE=∠OCB2.已知在

△ABC

中

,∠ABC=90∘,AB=3,BC=4.

点

Q

是线段

AC

上的一个动点

,

过点

Q

作

AC

的垂线交线段

AB(

如图

1)

或线段

AB

的延长线

(

如图

2)

于点

P.

(1)当点

P

在线段

AB

上时

,

求证：

△APQ

∽

△ABC

；(2)当

△PQB

为等腰三角形时，求

AP

的长。相似三角形证明方法相似三角形证明方法之射影定理与类射影模块一模型三：射影定理如图已知△ABC，∠ACB=90°，CH⊥AB于H，求证：，，，，试一试写出具体证明过程模型四：类射影如图，已知，求证：，试一试写出具体证明过程应用练习：1.如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。求证：

2.如图，在中，于，于，于，连EF，求证：∠AEF=∠C相似三角形证明方法之相似三角形证明方法之一线三等角模块一模型五：一线三等角如图，已知∠B=∠C=∠EDF，则△BDE∽△CFD（AA），试一试写出具体证明过程应用练习：1.如图，△ABC和△DEF两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合．将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．如图①，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：△BPE≌△CQE；（2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当BP=a，CQ=9a/2时，P、Q两点间的距离（用含a的代数式表示）2.△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，以D为顶点作∠MDN=∠B（1）如图（1）当射线DN经过点A时，DM交AC边于点E，不添加辅助线，写出图中所有与△ADE相似的三角形．

（2）如图（2），将∠MDN绕点D沿逆时针方向旋转，DM，DN分别交线段AC，AB于E，F点（点E与点A不重合），不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论．

（3）在图（2）中，若AB=AC=10，BC=12，当△DEF的面积等于△ABC的面积的时，求线段EF的长．3.如图，点在线段上，点、在同侧，，，。（1）求证：。（2）若，，点为线段上的动点，连接，作，交直线于点。①当点与、两点不重合时，求的值。②当点从点运动到的中点时，求线段的中点所经过的路径（线段）长。（直接写出结果，不必写出解答过程）比例式的证明方法比例式的证明方法之三点定型模块二通过前面的学习，我们知道，比例线段的证明，离不开“平行线模型”（A型，X型，线束型），也离不开上述的6种“相似模型”.但是“模型”只是工具，怎样选择工具，怎样使用工具，怎样用好工具，取决于我们如何思考问题.合理的思维方法，能让模型成为解题的利刃，让复杂的问题变简单。在本模块中，我们将学比例式的证明中，会经常用到的思维技巧.技巧一：三点定型法技巧二：等线段代换技巧三：等比代换技巧四：等积代换技巧五：证等量先证等比技巧六：几何计算技巧一：三点定型技巧一：三点定型横向与纵向观察所证线段比列式（如果是等积式，则将其化为等比式）的分子分母，三个字母即可确定三角形，从而证三角形相似即可。1.如图，在中，是斜边上的高，的平分线交于，交于．求证：．2.如图，平行四边形中，是延长线上的一点，交于，求证：．3.如图，中，，为的中点，交的延长线于，交于．求证：比例式的证明方法之比例式的证明方法之等线段代换模块二若三点定型法无法确定哪两个三角形相似，则考虑用等量代换替代其中线段，然后再用三点定型法确定三角形证相似，常用的方法有：等线段代换，等比代换，等积代换如图，在△ABC，AD平分∠BAC，AD的垂直平分线交AD于E，交BC的延长线于F，求证：证明:连接AF,

是的平分线,

,

是AD的垂直平分线,

(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等),

(等边对等角),

,,

,

又,

,如图，四边形是平行四边形，点在边的延长线上，交于，．求证：．如图，△ACB为等腰直角三角形，AB=AC，∠BAC=90°，∠DAE=45°，求证：如图，中，，是中线，是上一点，过作，延长交于，交于．求证：．比例式的证明方法之比例式的证明方法之等比代换模块二如图，平行四边形中，过作直线、于，、交的延长线于，求证：．【解题方法提示】要证OB2=OF·OE，即证=，接下来你有思路了吗？因为AB∥CE，由平行线分线段成比例定理，可得=；同理因为AF∥BC，可得=，由等式的传递性，问题即可得证.证明：∵AB∥CE，∴=.∵AF∥BC，∵=，∴=，∴OB2=OE·OF．如图，在中，已知时，于，为直角边的中点，过、作直线交的延长线于．求证：．如图，在中（AB＞AC）的边上取一点，在边上取一点，使，直线和的延长线交于点．求证：例8.（1）如图1，在△ABC中，点D、E、Q分别在AB、AC、BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P，求证：=；

（2）如图，△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG，AF分别交DE于M，N两点．

①如图2，若AB=AC=1，直接写出MN的长；

②如图3，求证：MN2=DM•EN．

比例式的证明方法之比例式的证明方法之等积代换模块二如图，中，、是高，于、交于、交的延长线于．求证：．如图，在中，，为中点，，为垂足，求证：．在Rt△ABC中，AD⊥BC，P为AD中点，MN⊥BC，求证11.如图，已知△ABC中，AD，BF分别为BC，AC边上的高，过D作AB的垂线交AB于E，交BF于G，交AC延长线于H。求证：DE2=EG•EH比例式的证明方法之比例式的证明方法之证等量先证等比模块二已知，平行四边形ABCD中，E、F分别在直线AD、CD上，EF//AC，BE、BF分别交AC于M、N.，求证：AM=CN.已知如图AB=AC，BD//AC，AB//CE，过A点的直线分别交BD、CE于D、E.求证：AM=NC，MN//DE.如图，△ABC为等腰直角三角形，点P为AB上任意一点，PF⊥BC，PE⊥AC，AF交PE于N，BE交PF于M.，求证：PM=PN，MN//AB.如图，正方形BFDE内接于△ABC，CE与DF交于点N，AF交ED于点M，CE与AF交于点P.求证：（1）MN//AC；（2）EM=DN.（※）设E、F分别为AC、AB的中点，D为BC上一点，P在BF上，DP//CF，Q在CE上，DQ//BE，PQ交BE于R，交CF于S，求证：（※）如图，梯形ABCD的底边AB上任取一点M，过M作MK//BD，MN//AC，分别交AD、BC于K、N，连KN，分别交对角线AC、BD于P、Q，求证：KP=QN.比例式的证明方法之比例式的证明方法之几何计算模块二（2016年四月调考）如图，在△ABC中，AC＞AB，AD是角平分线，AE是中线，BF⊥AD于G，交AC于点M，EG的延长线交AB于点H.（1）求证：AH=BH，（2）若∠BAC=60°，求的值.（2016七一华源）如图：正方形ABCD中，点E、点F、点G分别在边BC、AB、CD上，∠1＝∠2＝∠3＝α.求证：（1）EF＋EG＝AE（2）求证：CE＋CG＝AF比例式的证明方法之比例式的证明方法之动点问题模块二运动问题中经常涉及没有明确对应关系的相似三角形，此时分类讨论思想在动态问题中尤其重要，应充分考虑所有可能出现的情况避免遗漏。利用相似三角形对应边成比列为等量关系，建立方程求解，进而解决问题。1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒．

（1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；

（2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值．

2.如图，在△ABC中，ABC＝90°，AB=6m，BC=8m，动点P以2m/s的速度从A点出发，沿AC向点C移动．同时，动点Q以1m/s的速度从C点出发，沿CB向点B移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t秒．

（1）①当t=2.5s时，求△CPQ的面积；

②求△CPQ的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数解析式；

（2）在P，Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，求出t的值．

3.如图1，在Rt△ABC中，ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边AB上运动，DE平分CDB交边BC于点E，EM⊥BD，垂足为M，EN⊥CD，垂足为N．

（1）当AD＝CD时，求证：DE∥AC；

（2）探究：AD为何值时，△BME与△CNE相似？

4.如图所示，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，当P点到达B点时，Q点随之停止运动．设运动的时间为x．

（1）当x为何值时，PQ∥BC？

（2）△APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能说明理由．5.如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从A开始向点B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0＜t＜6）。（1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？

（2）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？模型三：射影定理如图已知△ABC，∠ACB=90°，CH⊥AB于H，求证：，，，，试一试写出具体证明过程模型四：类射影如图，已知，求证：，试一试写出具体证明过程应用练习：1.如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。求证：

2.如图，在中，于，于，于，连EF，求证：∠AEF=∠C相似三角形证明方法之相似三角形证明方法之一线三等角模块一模型五：一线三等角如图，已知∠B=∠C=∠EDF，则△BDE∽△CFD（AA），试一试写出具体证明过程应用练习：1.如图，△ABC和△DEF两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合．将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．如图①，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：△BPE≌△CQE；（2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当BP=a，CQ=9a/2时，P、Q两点间的距离（用含a的代数式表示）2.△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，以D为顶点作∠MDN=∠B（1）如图（1）当射线DN经过点A时，DM交AC边于点E，不添加辅助线，写出图中所有与△ADE相似的三角形．

（2）如图（2），将∠MDN绕点D沿逆时针方向旋转，DM，DN分别交线段AC，AB于E，F点（点E与点A不重合），不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论．

（3）在图（2）中，若AB=AC=10，BC=12，当△DEF的面积等于△ABC的面积的时，求线段EF的长．3.如图，点在线段上，点、在同侧，，，。（1）求证：。（2）若，，点为线段上的动点，连接，作，交直线于点。①当点与、两点不重合时，求的值。②当点从点运动到的中点时，求线段的中点所经过的路径（线段）长。（直接写出结果，不必写出解答过程）比例式的证明方法之比例式的证明方法之三点定型模块二通过前面的学习，我们知道，比例线段的证明，离不开“平行线模型”（A型，X型，线束型），也离不开上述的6种“相似模型”.但是“模型”只是工具，怎样选择工具，怎样使用工具，怎样用好工具，取决于我们如何思考问题.合理的思维方法，能让模型成为解题的利刃，让复杂的问题变简单。在本模块中，我们将学比例式的证明中，会经常用到的思维技巧.技巧一：三点定型法技巧二：等线段代换技巧三：等比代换技巧四：等积代换技巧五：证等量先证等比技巧六：几何计算技巧一：三点定型技巧一：三点定型横向与纵向观察所证线段比列式（如果是等积式，则将其化为等比式）的分子分母，三个字母即可确定三角形，从而证三角形相似即可。1.如图，在中，是斜边上的高，的平分线交于，交于．求证：．2.如图，平行四边形中，是延长线上的一点，交于，求证：．3.如图，中，，为的中点，交的延长线于，交于．求证：比例式的证明方法之比例式的证明方法之等线段代换模块二若三点定型法无法确定哪两个三角形相似，则考虑用等量代换替代其中线段，然后再用三点定型法确定三角形证相似，常用的方法有：等线段代换，等比代换，等积代换如图，在△ABC，AD平分∠BAC，AD的垂直平分线交AD于E，交BC的延长线于F，求证：证明:连接AF,

是的平分线,

,

是AD的垂直平分线,

(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等),

(等边对等角),

,,

,

又,

,如图，四边形是平行四边形，点在边的延长线上，交于，．求证：．如图，△ACB为等腰直角三角形，AB=AC，∠BAC=90°，∠DAE=45°，求证：如图，中，，是中线，是上一点，过作，延长交于，交于．求证：．比例式的证明方法之比例式的证明方法之等比代换模块二如图，平行四边形中，过作直线、于，、交的延长线于，求证：．【解题方法提示】要证OB2=OF·OE，即证=，接下来你有思路了吗？因为AB∥CE，由平行线分线段成比例定理，可得=；同理因为AF∥BC，可得=，由等式的传递性，问题即可得证.证明：∵AB∥CE，∴=.∵AF∥BC，∵=，∴=，∴OB2=OE·OF．如图，在中，已知时，于，为直角边的中点，过、作直线交的延长线于．求证：．如图，在中（AB＞AC）的边上取一点，在边上取一点，使，直线和的延长线交于点．求证：例8.（1）如图1，在△ABC中，点D、E、Q分别在AB、AC、BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P，求证：=；

（2）如图，△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG，AF分别交DE于M，N两点．

①如图2，若AB=AC=1，直接写出MN的长；

②如图3，求证：MN2=DM•EN．

比例式的证明方法之比例式的证明方法之等积代换模块二如图，中，、是高，于、交于、交的延长线于．求证：．如图，在中，，为中点，，为垂足，求证：．在Rt△ABC中，AD⊥BC，P为AD中点，MN⊥BC，求证11.如图，已知△ABC中，AD，BF分别为BC，AC边上的高，过D作AB的垂线交AB于E，交BF于G，交AC延长线于H。求证：DE2=EG•EH比例式的证明方法之比例式的证明方法之证等量先证等比模块二已知，平行四边形ABCD中，E、F分别在直线AD、CD上，EF//AC，BE、BF分别交AC于M、N.，求证：AM=CN.已知如图AB=AC，BD//AC，AB//CE，过A点的直线分别交BD、CE于D、E.求证：AM=NC，MN//DE.如图，△ABC为等腰直角三角形，点P为AB上任意一点，PF⊥BC，PE⊥AC，AF交PE于N，BE交PF于M.，求证：PM=PN，MN//AB.如图，正方形BFDE内接于△ABC，CE与DF交于点N，AF交ED于点M，CE与AF交于点P.求证：（1）MN//AC；（2）EM=DN.（※）设E、F分别为AC、AB的中点，D为BC上一点，P在BF上，DP//CF，Q在CE上，DQ//BE，PQ交BE于R，交CF于S，求证：（※）如图，梯形ABCD的底边AB上任取一点M，过M作MK//BD，MN//AC，分别交AD、BC于K、N，连KN，分别交对角线AC、BD于P、Q，求证：KP=QN.比例式的证明方法之比例式的证明方法之几何计算模块二（2016年四月调考）如图，在△ABC中，AC＞AB，AD是角平分线，AE是中线，BF⊥AD于G，交AC于点M，EG的延长线交AB于点H.（1）求证：AH=BH，（2）若∠BAC=60°，求的值.（2016七一华源）如图：正方形ABCD中，点E、点F、点G分别在边BC、AB、CD上，∠1＝∠2＝∠3＝α.求证：（1）EF＋EG＝AE（2）求证：CE＋CG＝AF运动问题中经常涉及没有明确对应关系的相似三角形，此时分类讨论思想在动态问题中尤其重要，应充分考虑所有可能出现的情况避免遗漏。利用相似三角形对应边成比列为等量关系，建立方程求解，进而解决问题。1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个