第04讲 常用逻辑用语（4种题型）（教师版）

第04讲常用逻辑用语（4种题型）3【知识梳理】一.命题的有关概念在初中时已经知道，用自然语言、符号或式子表达，且可以判断其真假的语句叫做命题（pr。p。sition）.命题通常用陈述句表述.其含义判断为真的命题叫做真命题，判断为假的命题叫做假命题.例如，〃4能被2整除〃是真命题，〃3能被2整除〃是假命题.■、定义如果命题“若。•则丁是真命题•那么我们就称a推出凡记作（或fur）.✓因为子集关系满足传递性•所以推出关系也满足传递性：若a=>8且住>7,则any.它是证明和逻辑推理的基础.二.充分条件与必要条件1、判断：当命题“若〃则”'为真时，可表示为〃=/称〃为9的充分条件，q是P的必要条件.事实上，与“〃今/等价的逆否命题是它的意义是：若4不成立，则P一定不成立.这就是说，4对于〃是必不可少的，所以说q是p的必要条件.例如：p：x>2；q：x>0.显然xCp,则龙口.等价于则x住p一定成立.2、充要条件：如果既有又有"q=p”，则称条件〃是q成立的充要条件，或称条件乡是〃成立的充要条件，记作〃与q互为充要条件.【解题方法点拨】充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可.证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系.判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可.判断充要条件的方法是：①若p=q为真命题且q=p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若pnq为假命题且qnp为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p=q为真命题且q=p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p=q为假命题且q=p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件.条件？请证明你的结论.【分析】先举实例判断充分性不成立，再利用一元二次方程的判别式证明必要性成立.【解答】解：关于x的方程/+云+。=0（4W0）有实数根是〃cVO必要不充分条件.证明：①证充分性不成立，当4=1,匕=-4,c=3时，此时方程以2+区+'=0=，-4工+3=0,方程的实数根为1或3,但此时ac=3>0,・••充分性不成立，②证必要性成立，当ac<0时<则A=b2-4«c>0恒成立，・•・方程。f+Ax+c=O（aWO）有实数根，，必要性成立.综上，关于x的方程q/+/zx+c=O（qWO）有实数根是acVO必要不充分条件.【点评】本题考查了一元二次方程有实数根的判断，充要条件的证明，属于中档题.题型四.充要条件例4.（2021秋•金山区校级月考）设〃6Z,求证：“〃是偶数”是“（〃+1）2是奇数”的充要条件.【分析】根据充分必要条件的定义判断即可.【解答】证明：若〃6Z,〃是偶数，则〃+1是奇数，（/1）2是奇数，是充分条件，若坯Z,（〃+1）2是奇数，则〃+1是奇数，则〃是偶数，是必要条件，故：“〃是偶数”是“（〃+1）2是奇数”的充要条件.【点评】本题考查了充分必要条件，考查转化思想，是基础题.【变式1］（2021秋•浦东新区校级月考）已知命题a：1WxW2,命题依iWxWa.（1）若a是0必要非充分条件，求实数。的取值范围；（2）求证：是a=p成立的充要条件.【分析】（1）设A={x|lWx<2},8={x|1Wx〈q},由a是0必要非充分条件，得到8是A的真子集,分类讨论，求出实数。的取值范围；（2）分别证明充分性和必要性即可.【解答】解：（1）设A={x|l〈xW2},B={x|lWxWa},若a是B必要非充分条件，则8是A的真子集，当3=0时，a<\,此时满足B是人的真子集，符合题意，当3W0时，若3是A的真子集，则（软］1,解得1—V2,Ia<2综上所述实数a的取值范围为证明：(2)充分性(若心2,则a").若a22,贝WxW2}G{x|lWxWa},所以命题a：可得出命题氏IWxWq,故充分性成立，必要性(若a=p,则。22).若命题a：可得出命题依则{mWxW2}U{x|l〈xWa},所以。22,故必要性成立，综上所述：是成立的充要条件.【点评】本题考查了充分必要条件，考查了参数的取值范围，考查了运算求解能力，属于中档题.【变式2](2021秋•徐汇区校级月考)已知集合4={41=根2-〃2,m,〃£Z}.(1)由于8=32-12,所以&属于集合人判断以io是否属于集合人(2)已知集合3={小=22+1,依Z},证明：“一②的充分条件是“xEB”；但不是“一②的必要条件；(3)写出所有满足集合4的偶数.【分析】(1)直接利用关系式的变换判断元素和集合的关系；(2)利用关系式的恒等变换，进一步求出充分性和必要性；(3)利用关系式的变换求出满足条件的集合.【解答】解：(1)由于9=52-42,所以9B4,假设10=加之-〃2,m,〃ez,则{|词+|川}(\m\-\n\)=10,且|词+|川＞|刑-|川＞0,由于10=1义10X2X5,所以(下|+|"=10或(回+m=5,显然均无整数解，Ilm|+|n|=lIIml+|n1=2所以lOgA；证明：(2)集合3={x|x=2"l,依Z},则恒有2Hl=(Z+l)2-比所以2攵+1C4,即一切奇数都属于A;又8C4,所以X6A的充分非必要条件是解：(3)集合A={x|x=/%2-川}(m,〃eZ),m2-n2=(m+n)(m-n)成立，①当相和〃同为奇数和偶数时，〃z-〃，m+"均为偶数,所以(m+n)(m-n)为4的倍数，②当m和n一奇一偶时,m+n和m-n均为奇数，所以(m+n)(m-n)为奇数，综上所述：所有满足集合A的偶数为必(蛇Z).【点评】本题考查的知识要点：元素和集合的关系的判断，充分条件和必要条件，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题.题型五、反证法例5.（2022秋•徐汇区校级期中）用反证法证明命题“如果/反N,必可被5整除，那么小人中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为（ ）A.a,b都能被5整除 B.a,匕都不能被5整除C.a,b不都能被5整除 D.。不能被5整除【分析】反设是一种对立性假设，即想证明一个命题成立时，可以证明其否定不成立，由此得出此命题是成立的.【解答】解：由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证.命题bEN,如果必可被5整除，那么匕至少有1个能被5整除”的否定是“如果m旄N,ab可被5整除，那么①b都不能被5整除”.故选：B.【点评】本题主要考查反证法的应用，结合反证法的定义和步骤是解决本题的关键，属于基础题.【变式1]（2022秋•黄浦区校级期中）用反证法证明命题“任意三角形最多有一个钝角”的第一步应假设（）A.任意三角形都没有钝角B.存在一个三角形恰有一个钝角C.任意三角形都有两个钝角D.存在一个三角形至少有两个钝角【分析】根假设法的步骤可知，第一步应该假设结论不成立.【解答】解：第一步应假设结论不成立，则应该假设存在一个三角形至少有两个钝角.故选：D.【点评】本题主要考查反证法的应用，属于基础题.【变式2]（2022秋•徐汇区校级月考）用反证法证明命题“若x+yW5,则S2或产3”为真命题时，第一个步骤是假设x=2且y=3.【分析】根据反证法的概念即可求解.【解答】解：根据反证法可知证明命题“若x+yW5,则xW2或yW3”为真命题时，第一个步骤是：假设原命题结论不成立，写出结论的否定，即假设x=2且y=3.故答案为：假设x=2且y=3.【点评】不通过考查反证法的概念，属基础题.【变式3】（2022秋•青浦区校级期末）已知小旅R,用反证法证明命题：“若。2+必=0,则。、。全为零”时的假设是a,小不全为0.【分析】把要证结论否定即可.【解答】解：用反证法证明命题：若小旅R,且。2+必=0,则办全为0时,要做的假设是证明结论的反面，即办。不全为①故答案为：a,b不全为0.【点评】本题考查反证法的定义，属于基础题.【变式4]（2021秋•青浦区期末）用反证法证明命题“已知x,）£R+,且x+y>2,求证：上曳与工工中至yx少有一个小于2”时，应首先假设“上区与工工都大于2yx【分析】用反证法证明命题时，应首先假设结论不成立，由此得出答案.【解答】解：用反证法证明命题“已知光，）eR+,且x+y>2,求证：上曳与2空中至少有一个小于2"yx时，应首先假设结论不成立，即“上曳与工工都大于2”.yx故答案为：上工与工工都大于2.yx【点评】本题考查了用反证法证明命题时的基本步骤，是基础题.【变式5]（2022秋•浦东新区校级期中）用反证法证明命题“设a,bCR,则方程&〔x2+b逐+c[=0与布x2+b/+c广0至少有一个实根”时要做的假设是 假设a,%R，方程&门2+ 0与&2、2+匕2>+12=0都没有实根—•【分析】根据反证法假设方程都没有根即可.【解答】解：用反证法证明命题”设mb£R,则方程1X2+1>1%+5=0与&9^2+69^+09=0至少有一个实根”时要做的假设是，假设小"CR，方程&逆2+1>1%+5二0与&2>2+62>+。2=0都没有实根.故答案为：假设mbER,方程x?+b1x+j=0与apxZ+bpx+Cs^O者B没有实根.1 1 L乙 乙 乙【点评】本题主要考查反证法的应用，属于基础题.【变式6】(2022秋•普陀区校级期末)设〃CZ.用反证法证明：若/是奇数，则〃是奇数.【分析】假设〃不是奇数，然后推导出〃3为偶数，与已知矛盾，即得证.【解答】证明：假设〃不是奇数，则〃是偶数，设『2k,比Z,则/=8好，因为攵GZ,则正GZ,所以8户是偶数，即/为偶数，这与已知/为奇数矛盾，所以假设不成立，即〃是奇数.【点评】本题考查反证法的运用，属于基础题.【变式7](2022秋•黄浦区校级期中)(1)已知mb,ceR,证明：若4+0+cVl,则o,b,。中至少有一个小于2；3(2)已知〃，b,cGR,判断“〃+什c<l”是％,Ac中至少有一个小于』”的什么条件？并说明理由.3【分析】(1)利用反证法即可证明；(2)利用充分条件、必要条件的定义即可得出结果.【解答】解：(1)证明：假设2冶，b>|，c>!则a+b+c^1,这与o+b+cV1矛盾，所以历b,。中至少有一个小于」；3(2)由(1)可得a+b+cVl=4,b,c中至少有一个小于13反之不一定成立，例如：4=0,b」，c=2,则a+O+c>l,2所以“a+0+cVl”是“ci,b,c中至少有一个小于的充分非必要条件.3【点评】本题考查了反证法证明不等式、充分条件、必要条件的定义，属于基础题.【变式8](2022秋•奉贤区校级月考)(1)已知机是实数，集合A={1,2,m+7},3={0,6}.求证：um=-1”是“AA3={6}”的充要条件；(2)设〃CZ.用反证法证明：若后是奇数，则〃也是奇数.【分析】(1)先证充分性，再证必要性即可.（2）利用反证法的定义证明即可.【解答】证明：（1）先证充分性（即证加=-i=An3={6}）,当"2=-1时，A={1,2,6）,又因为8={0,6},所以An3={6},再证必要性（即证AGB={6}n〃z=-1）,当AG3={6}时，由6GA,得小+7=6,因此加=-1,综上所述，根=-1是AAB={6}的充要条件.（2）假设结论〃是奇数不成立，即假设〃是偶数，由〃是偶数，可设〃=2左，依Z,因为〃2=（2攵）2=2.（2斤），这说明"2是偶数，与已知条件〃2是奇数矛盾，所以，假设不成立，即〃是奇数.【点评】本题考查了充要条件的证明，反证法的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题台【过关检测】一、单选题（2020•上海）用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度"时:反设正确的是（）.A.假设三内角都不大于60度；B.假设三内角至多有两个大于60度；C.假设三内角至多有一个大于60度；D.假设三内角都大于60度.【答案】D【分析】本题的解题关键就是找出“至少有一个不大于”的对立面，就是“全部都大于”.【详解】根据反证法的步骤可知，假设是对原命题结论的否定，“至少有一个”的否定为“一个也没有”即“三角形三个内角都大于60度”，故选D.（2020・上海高一专题练习）原命题：“设外b、c£R,若a>b,则/>加”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有（ ）A.0个 B.1个 C.2个 D.4个【答案】C【分析】分别判断原命题和逆命题的真假，再根据命题的等价性判断否命题和逆否命题的真假.【详解】由条件可知，当c=O时，必=bc?，故原命题不正确，根据命题的等价性可知I,逆否命题也不正确，逆命题是：“设a、b、eRR,若〃/〉历2,则Q”，，，由m2〉a2,可知天〉0,根据不等式的性质可知故逆命题正确，那么否命题也正确.故选：C.（2020•上海市奉贤区奉城高级中学）条件甲/=1；条件乙：工二1,则甲是乙的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【分析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】当d=i时，有工=±1,不一定有尤=1.但元=1时，一定有x2=B所以〃是4的必要不充分条件.故选：B..（2020•上海）ax=r是“/一4x+3=0”的A,充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【分析】将x=l代入f—4x+3=0可判断充分性,求解方程V—4%+3=0可判断必要性，即可得到结果.【详解】将x=l代入f—4x+3=0中可得1—3+2=0,即“x=l”是—4x+3=0”的充分条件；由V—4x+3=0可得（x—l）（x—3）=0,即x=l或x=3,所以“x=l”不是“V一41+3=0”的必要条件,故选:A.【点睛】本题考查充分条件和必要条件的判定，属于基础题..（2020・上海高一专题练习）可以作为“若〃，b£R,则a+b>0"的一个充分而不必要条件的是（）A.ab>0B.。>0或Z?>0 C.。>0且Z?>0 D.A.ab>0【答案】c【分析】利用充分不必要条件的定义，根据推出关系，依次判断选项.【详解】A.〃Z7>0,只能推出4,匕同号，不能推出一定是正数，故不是充分条件，故A不正确；B.a=-4,Z;=3,满足〃>0或Z?>0,但此时〃+Z?<0,故B不正确；C.〃>0且Z?>0,能推出a+h>Q,反过来，。=4,/?=一3,满足〃+〃>0,但不能推出〃>0且Z?>0,所以〃>0且〃>0是〃+〃>0的一个充分而不必要条件，故C正确；D.Q=-3/=-4,满足4b>1,但不能推出a+b>0,所以不是充分条件，故D不正确.故选：C.（2020・上海高一专题练习）已知。"，的。为实数，且.贝1J“。>人”是“a—c>b—d”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【分析】利用必要不充分条件的定义判断即可.【详解】推不出+d；但a-c>b-d=a>b+c-d>b,故选：B.（2020•上海高一专题练习）设必8两个实数，能推出6中至少有一个大于1”的条件是（）A.a+6>l B.a+b=2 C.ab>l D.a+Z?>2【答案】D【分析】分别举反例排除选项A,B,C选项，可得答案.【详解】对于A,若。=l，b=-9则4+因此A推不出；2 3对于B,若〃 = 则〃+人=2,故B推不出；对于C,若。=-2,b=-3,则">1,故C推不出；对于D,a+b>2,满足；力中至少有一个大于1”的条件，利用反证法；若女,1,贝1J〃+右，2与已知〃+〃〉2矛盾，因此假设不正确.故原结论正确.故选：D.（2020•上海高一专题练习）有下列四个命题：①“若x+y=O,则互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若”1,则f+2x+q=0有实根”的逆否命题；④“等边三角形的三个内角相等"逆命题；其中真命题的个数为（ ）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【分析】利用逆命题的定义判断①和④，利用否命题的定义判断②，由原命题和逆否命题的关系判断③.【详解】①的逆命题为“若工，>互为相反数，则x+y=。"，为真命题；②的否命题为“不全等的三角形，面积一定不等"，为假命题；③为真命题，时，一元二次方程的判别式△=4—4420,故有实根，原命题为真，从而它的逆否命题为真命题；④为真命题，“逆命题为三个内角都相等的三角形是等边三角形”故选：C\x>3x+y>6（2020•上海高一专题练习）\个是《八成立的（ ）〔>>3 [x-y>9A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【分析】充分性显然成立，通过反例可得必要性不成立.【详解】充分性显然成立，必要性可以举反例：x=10,y= 显然必要性不成立.故选：A（2020•上海市控江中学高一期中）是“|〃+4=同+。|”的（ ）条件.A.充分非必要 B.必要非充分C.充要 D.既非充分又非必要【答案】c【分析】本题可依次对“abNO”是否是“|〃+方|=|〃|+。|”的充分条件以及“N0”是否是u\a^-b=u\a^-b=4-”的必要条件进行判断，即可得出结果.【详解】ab＞0,即“ab*是“|。+4=14+IM”的充分条件,Q+目=同+同,即a+闿2=（问+Z?）2,a1+b2+2ab=a2+b2+26z|?|Z?|,ab-a?|Z?|,ah>0,ah＞0^是“|。+〃|=|。|+例"的必要条件,故"ab*是"\a+b\=\a\+\b\"的充要条件,故选：C.11.（2020•上海师范大学附属中学闵行分校高一期中）设%加生，仇均为非零常数，不等式a.h）条件axx+bx＜0,。2工+4＜。的解集分别为例，N,则“d二寸”是“M=N”的（）条件2 2A.充分非必要 A.充分非必要 B.必要非充分 C.充要D.既非充分也非必要【答案】B【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断.a.b、,【详解】充分性：y则4=他出=屹,则qx+4＜。等价于左（421+力2）＜0，当左＜0时，等价于。21+打＞°，则ATN,故充分性不成立；。b00h必要性：若…则-即「力故必要性成立，故“『『是“―"的必要非充分条件.故选：B.二、填空题12.（2020・上海高一专题练习）命题“面积不相等的两个三角形不全等”的逆否命题是【答案】两个全等的三角形的面积相等⑤判断命题P与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题P与命题q的关系.【命题方向】充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广.三.反证法反证法：假设结论的反面成立，在已知条件和“否定结论”这个新条件下，通过逻辑推理，得出与公理、定理、题设、临时假设相矛盾的结论或自相矛盾，从而断定结论的反面不能成立，即证明了命题的结论一定正确，这种证明方法就叫反证法.【解题思路点拨】用反证法证题时，首先要搞清反证法证题的方法，其次注意反证法是在条件较少，不易入手时常用的方法，尤其有否定词或含“至多”“至少”等词的问题中常用.使用反证法进行证明的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等..证明思路：肯定条件，否定结论一推出矛盾一推翻假设，肯定结论.反证法的一般步骤：(1)分清命题的条件和结论；(2)作出与命题结论相矛盾的假设；(3)由假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果；(4)断定产生矛盾的原因，在于开始所作的假设不真，于是原结论成立，从而间接地证明命题为真.四.反证法与放缩法证明不等式放缩法在证明不等式时，有时我们要把所证不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的.这种方法称为放缩法.反证法的步骤.作出否定结论的假设；.进行推理，导出矛盾；.否定假设，肯定结论.【关键要点点拨】放缩法证明不等式的主要理论依据【分析】由逆否命题定义可直接得到结果.【详解】由逆否命题的定义可知原命题的逆否命题为：两个全等的三角形的面积相等.故答案为：两个全等的三角形的面积相等.（2020•上海市洋泾中学）若“x=2”是“f—2工+0=0”的充分条件，则。=.【答案】0【分析】将九=2代入犬―2x+c=0即可得解.【详解】因为“％=2”是“d—2%+c=0”的充分条件，所以％=2是f-2冗+。=0的根，所以4—4+c=0,即。=0.故答案为：0【点睛】关键点点睛：理解充分条件的概念是解题关键.（2020•上海市松江二中高一期中）若则是“V〉>2”的条件.（从“充要、充分不必要、必要不充分、既不充分也不必要”四种关系中选择）【答案】既不充分也不必要【分析】根据充分条件和必要条件的定义及判定方法，进行判定，即可求解.【详解】当x=l,y=-2时，满足x>y,但丁>,2不成立，即充分性不成立；当x=-2,y=l时，满足V>y2,但工>丁不成立，即必要性不成立，所以“工>丁”是“Y〉,2”的既不充分也不必要条件.故答案为：既不充分也不必要（2020•华东师范大学第一附属中学）设集合A=[l,2],B={x\m+l<x<2m+4},且是的充分不必要条件，则实数优的取值范围是.【答案】[-1,0]【分析】根据题中条件，得到A是B的真子集，由此列出不等式求解，即可得出结果.【详解】因为“xeA”是“xeB”的充分不必要条件，所以A=[l,2]是3={%|〃+14%《2"+4}的真子集,m+1<1则（2根+422 ,解得TKmWO.m+1<2m+4故答案为：[—1,0].【点睛】结论点睛：由充分条件与必要条件求参数时，一般可根据如下规则求解：（1）若〃是q的必要不充分条件，则q对应集合是〃对应集合的真子集；（2）〃是q的充分不必要条件，则〃对应集合是4对应集合的真子集；（3）〃是夕的充分必要条件，则〃对应集合与q对应集合相等；（4）〃是q的既不充分又不必要条件，夕对的集合与p对应集合互不包含.（2020•上海高一单元测试）命题“若。力都是奇数，则Q+分是偶数”的否命题是【答案】若。力不都是奇数，则G+力不是偶数【分析】根据否命题的定义求解可得答案.【详解】命题“若。力都是奇数，则4+方是偶数”的否命题是：若。力不都是奇数，则Q+力不是偶数.故答案为：若不都是奇数，则Q+方不是偶数【点睛】关键点点睛：掌握否命题的定义是解题关键.（2020•上海高一单元测试）写出“〃+匕=3”的一个充分非必要条件【答案】a=l,b=2.【分析】根据条件直接写出结果.【详解】“〃+人=3”的一个充分非必要条件是。=11=2.故答案为：a=1/=2.（2020•上海市金山中学）“。=0”是“关于工的方程分=人无解”的条件.【答案】必要不充分【分析】根据充分条件与必要条件的概念，直接判定，即可得出结果.【详解】若a=O,人=0时，关于工的方程公=人有无数个解；因此由“。=0”不能推出“关于工的方程依=人无解”；若关于工的方程办=〃无解，则a=O；因此“a=O”是“关于x的方程"=人无解”的必要不充分条件.故答案为：必要不充分.【点睛】结论点睛：充分与必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：(1)若〃是q的必要不充分条件，则q对应集合是〃对应集合的真子集；〃是夕的充分不必要条件，则〃对应集合是4对应集合的真子集；〃是夕的充分必要条件，则〃对应集合与q对应集合相等；〃是9的既不充分又不必要条件，q对的集合与P对应集合互不包含.(2020•上海高一单元测试)给出下列四个命题：(1)若a>b,c>d,则a——c；(2)若a2x>a2y9则x>y；(3)若a>b,则 >—；(4)—<—<0,则ab</.其中正确命题是a-baab.(填所有正确命题的序号)【答案】⑴(2)(4)【分析】根据不等式的性质，以及特殊值验证，逐项判断，即可得出结果.【详解】(1)若c〉d,则a+c>〃+d,因此a-d>b-c,即(1)正确；(2)若/x〉/〉，根据不等式性质，可得x>y；即(2)正确；(3)若a=l,b=-l,满足但不满足一(3)错误；a-ba(4)若工<工<0,则人<。<0,因止匕"一〃2=〃(々一〃)vO, ab<b2;故(4)正确；ab故答案为：(1)(2)(4)【点睛】本题主要考查判定命题的真假，考查由不等式性质判定所给结论是否正确，属于基础题型.(2020•上海格致中学高一月考)写出。>2的一个必要非充分条件.【答案】a>\【分析】根据必要非充分条件的定义，知：而〃>1不一定有a〉2,即。>1是a>2的一个必要非充分条件.【详解】6Z>26Z>1,而。>2今。>1,，a>1是a>2的一个必要非充分条件.故答案为：a>\【点睛】本题考查了必要非充分条件，根据定义法写出一个必要非充分条件，属于简单题.(2020・上海高一专题练习)若x«2,5］和xe{x|x<1或x>4}都是假命题，则工的范围是【答案】[1,2)【分析】先由x«2,5]和％e{x[x<1或%>4}都是假命题，求出x的范围，取交集即可.【详解】若尤«2,5]为假命题，则有或%>5}若xe{x[x<1或x>4}是假命题，则xe{x|14x44}所以工的范围是l〈xv2即x的范围是[1,2)胡答案为：[L2)(2020•上海市控江中学高一期中)设。：2Vx<4,P：x>m,。是p的充分条件，则实数加的取值范围是.【答案】(f,2]【分析】根据充分条件的定义求解.【详解】a是△的充分条件，则满足2Vx<4的x值一定满足工>相，因此有加42.故答案为：[一8,2].(2020•上海市嘉定区第一中学高一月考)设有两个命题；①方程/+公+9=0没有实数根；②实数。为非负数；如果这两个命题中有且只有一个是真命题，那么实数。的取值范围是.【答案】(-6,0)。[6,”)【分析】分别根据两个命题为真命题时求出，的范围，再分两种情况讨论求解可得结果.【详解】方程/+改+9=0没有实数根等价于八二片一36<0,即-6<〃<6,实数a为非负数，即[-6<a<6若①为真命题，则②为假命题，所以《八 ，得-6<。<0；_ _ \a<-6或a>6若①为假命题，则②为真命题，所以《八 ，得〃26.[a>0所以实数。的取值范围是(一6,0)u[6,+8).故答案为：(-6,0)d[6,+8)【点睛】关键点点睛：分别根据两个命题为真命题时求出々的范围是解题关键.（2020•上海格致中学高一期中）命题若a+b<4,则。<2或bW2”是命题.（填“真”或“假”）【答案】真【分析】先写出逆否命题，然后根据逆否命题的真假判断原命题的真假.【详解】因为逆否命题为：“。36尺，若〃22且b〉2,则〃+显然且Z?>2时，a+/?24满足，所以逆否命题为真命题，所以原命题为真命题，故答案为：真.三、解答题（2020•上海）试说出下列命题的反面：a是实数；（2）a大于2；a小于2；（4）至少有2个；（5）最多有一个；（6）两条直线平行.【分析】根据命题的否定直接求解即可【详解】（1）a不是实数. （2）a小于等于2.a大于等于2. （4）至多有1个（5）最少有两个 （6）两条直线不平行.（2020•上海奉贤区致远高级中学高一月考）设。：3（x<5, 若。是A的充分条件，则实数"的取值范围【答案】［5,+8）【分析】由题意有尸，即可求实数"的取值范围.【详解】a是4的充分条件，即an",:.ajB,而a=［3,5）,^=（-oo,m）,：.m>5,故实数"的取值范围［5,+cc）.【点睛】本题考查了由充分条件求参数范围，应用了集合的包含关系，属于简单题.（2020•上海高一单元测试）写出命题：“若%>1,则九〉0”的逆命题、否命题、逆否命题，并指出各个命题的真假.【答案】逆命题：若x〉O,则x>l；假命题.否命题：若则x<0；假命题.逆否命题：若x<0,则x<l；真命题【分析】由逆命题、否命题、逆否命题的定义直接写出结果并判断.【详解】逆命题：若x>0,则x>l；当工=工时，满足条件，但结果不成立，所以它是假命题.2否命题：若xWl,则xWO；当工=工时，满足条件，但结果不成立，所以它是假命题.2逆否命题：若xWO,则真命题【点睛】本题考查了四种命题形式及其真假判断，属于基础题.（2020・上海高一专题练习）（充分必要条件的判断）指出下列各组命题中，夕是°的什么条件？（1）在△/%中，p：A>B,q：BOAC；（2）已知才、yGR,0：（『1尸+（尸2尸=0,q：（『1）（尸2）=0【答案】（1）夕是q的充要条件；（2）夕是q的充分不必要条件.【分析】（1）利用充要条件的定义求解即可；（2）分别解方程，利用充分不必要条件的定义求解即可.【详解】（1）.ABC中，可得即夕是°的充要条件；（2）（『1尸+（厂2）2=0解得x=l且>=2；（『1）（广2）=0解得x=l或y=2；即0是。的充分不必要条件.（2020・上海高一专题练习）求证：关于1的方程d+2改+5=0有实数根，且两根均小于2的一个充分条件是〃22且陶<4.【分析】由AZO确定方程有实数根，结合二次函数性质分析，知要证两根都小于2,只需/（2）>0,通过证明/（2）>0在aN2且网<4时成立，使得充分条件得证.【详解】当［22且同<4时，由题设有：A=4（/—b”4（4-〃）N0,・,・原方程有实数根.函数〃x)=*+2“r+/?的图象为开口向上的抛物线，对称轴为.一qW—2<2,因此要证两根都小于2,只需"2)>0即可.又〃2)=4+4a+bN4+4x2+Z?=12+Z?,同<4,.・.T<Z?44,.・・/(2)=12+〃N12—4=8>0,・••方程的两根都小于2，，关于x的方程x2+2ax+b=Q有实数根，且两根均小于2的一个充分条件是。>2且同<4.(2020・上海高一专题练习)设口，是方程/—依+〃=()的两个实根，试分析。>2">1是两根。，4均大于1的什么条件？【答案】必要不充分条件【分析】根据充分条件与必要条件的概念判断即可.【详解】解：根据题意，只需研究>2">1是的什么条件即可.⑴研究9np的真假性：若 根据韦达定理得：a=a+/3>2,b=aB>\,:.qnp.⑵研究，=4的真假性：根据题意，取。=4,尸=工，它满足〃=。+/>2,,但£>1不成立.2所以若P,则9是假命题.综上可知："2">1是。>1/>1的必要不充分条件.【点睛】本题考查充分条件与必要条件的概念，解题的关键在于取特殊值，举反例，达到论证效果.考查逻辑推理能力，是基础题.(2020•上海市奉贤区奉城高级中学高一期末)已知命题〃：关于x方程d+4x+m-1=0有两个不相等的负根，命题关于x的方程4Y+4x+|m—2|=。无实数根.(1)若命题〃是真命题，求加的取值范围；(2)若命题〃，4中有且仅有一个是真命题，求加的取值范围.【答案】⑴(1,5)；(2)S，1)U(1,3]U[5收).【分析】(1)根据命题为真，得到方程有两不等负根，由此列出不等式求解，即可得出结果；(2)先求出q为真命题时，加的范围，再由题中条件，得到〃，4一真一假，由此可求出结果.【详解】(1)若命题〃是真命题，则关于1方程/+4%+机—1=0有两个不相等的负根，A=16-4(m-l)>0所以只需1-4<0 ,解得1<5,m-1>0即m的取值范围为(1,5)；(2)若4为真命题，即关于X的方程4d+4x+m—2=0无实数根,则△=16—16加一2V0,ipm-2>1,解得：根>3或m<1；若夕为假命题，则小3；由(1)知，〃是真命题时，1<根<5；所以，为假命题时，相£1或根25；因为命题〃，令中有且仅有一个是真命题，1<m<5当〃为真命题，4为假命题时，由< 可得1<相43；l<m<3当q为真命题，〃为假命题时，只需求(y,l)u(3,y)与(txU]U[5,4w)的交集，即(-oo,1)U[5,-fw);综上，优的取值范围为(―8,1)J(1,3]J[5,48).(2020•上海市青浦高级中学高一月考)已知命题P：方程4/—4(根-2)x+l=0有两个不相等的负根；命题，方程f+33+4=0无实根若命题〃与4一真一假，求实数机的取值范围.[ 4[ 4【答案】一巴一可4 4【分析】先由已知条件求出〃为真时，有机<1,4为真时，有一—<加<一，再由命题〃与q一真一假,3 3分情况求解即可・、工〜.ah-++*、r+r-tiA=16(/7?—2)—16>0【详解】解：右〃为真，则〈I),解得m<1,m-2<04 4若q为真，则八二少先?—i6<o,解得—彳<用<7，3 3而命题，与q—真一假，共有两种情况，m<\4m>—m<\4m>—3①〃真4假，则①〃真4假，则m<——3m>14②〃假q真，则14 4,所以14根<7；TOC\o"1-5"\h\z——<m<—3\o"CurrentDocument"3 3（ 4综上，实数加的取值范围是-8,一1【点睛】此题考查由命题的真假求参数范围，考查一元二次不等式的解法，考查计算能力，属于基础题（2020•上海）设。,仇。均为正实数，反证法证明：〃+,力+工,。+,至少有一个不小于2.bca【分析】假设结论反面成立，即〃+,力+工,。+，全部小于2.然后推理出矛盾结论.bca【详解】证明：假设q+ +全部小于2.即q+!<2/+L<2,c+」<2,bca bca则Q+』+b+'+c+L<6,①bca乂aT}rh-\Fed—=(qh—)+(/?H—)+(cd—)>2.x—+2.//?x—+2./cx—=6,当且仅当bcaabc\a\b\ca=b=c=l时等号成立,与①矛盾，所以假设错误.原命题为真.所以〃 c+工至少有一个不小于2.bca【点睛】本题考查反证法.掌握反证法这个方法是解题基础.反证法是假设结论的反面成立，然后作为条件进行推理，得出矛盾的结论，可与已知条件矛盾，可能推理过程得出矛盾的结论，可与已知的定义、定理、公理等矛盾.从而说明假设错误，原命题正确.（1）不等式的传递性；（2）等量加不等量为不等量；（3）同分子（分母）异分母（分子）的两个分式大小的比较.[注意]放缩要适度，“放”和“缩”的方向与“放”和“缩”的量的大小是由题目分析，多次尝试得出.一【考点剖析】题型一.命题的有关概念例1.（2022秋•奉贤区校级期中）“所有偶数都不是素数”是假命题.（填“真”或“假”）【分析】由2既是偶数又是素数，即可求解.【解答】解—：所有偶数都不是素数，是错的，例如2既是偶数又是素数.故答案为：假.【点评】本题主要考查全称量词和全称命题，属于基础题.【变式】（2021秋•普陀区校级期中）已知。是常数，命题p：存在实数x,使得同-。〈0,若命题p是假命题，则实数〃的取值范围为 （-8,0].【分析】写出命题p的否定命题「p,根据「p是真命题求出。的取值范围.【解答】解：命题p：存在实数先使得因-。<0,它的否定命题是「P：对任意实数x,kl-且是真命题，所以aW|x|对任意实数x都成立，所以实数。的取值范围是（-8,0].故答案为：（-8,0].【点评】本题考查了四种命题的应用问题，是基础题.题型二.充分条件例2.（2022秋•青浦区校级月考）已知a：x<3m7或不>-m，0：xW2或无>3,若a是0的充分条件,求实数机的取值范围.【分析】根据充分与必要条件的概念，建立不等式即可求解.【解答】解：Va：x<3〃z-1或%》-p：xW2或x>3,又a是0的充分条件，/.{x\x<3m-1或X，-/%}U{x|xW2或x>3},.[3m-l<2.一「[-m>3・••实数〃2的取值范围为（-8,-3）.【点评】本题考查充分与必要条件的概念，不等式思想，属基础题.【变式1】.（2022秋•普陀区校级期末）设p：x<5,gx<6,那么p是^成立的（ ）条件.A.充分不必要 B.必要不充分C.充要 D.既不充分也不必要.【分析】根据已知条件，结合充分条件、必要条件的定义，即可求解.【解答】解：xV5能推出xV6,充分性成立，x<6不能推出x<5,必要性不成立，故〃是夕成立的充分不必要条件.故选：A.【点评】本题主要考查充分条件、必要条件的定义，属于基础题.【变式2】（2022秋•闵行区期末）已知集合4={幻，8={/},则“x=l”是=的（ ）A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.既非充分又非必要条件【分析】利用集合的相等求出工再利用充要条件的定义判定即可.【解答]解：若A= 则x=/,.・.x=0或％=1,Ax=l是A=8的充分不必要条件，故选：A.【点评】本题考查了集合的相等，充要条件的判定，属于基础题.【变式3]（2022秋•金山区期末）设则“|x-1|V2”是“- 的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【分析】解不等式以-1|<2得-1VxV3,然后判断充分性和必要性即可.【解答】解：解不等式|九-1|<2得-l<x<3,当-l<x<3时，-1VxV5一定成立，但是当-l〈xV5时，-1〈犬<3不一定成立，所以“以-1|<2”是“-14<5”的充分不必要条件.故选：A.【点评】本题主要考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题.【变式4]（2022秋•长宁区期末）如图，点D、E分别为△ABC的边AB.AC上的一点，若C.充要条件a:果嗡，6sDE"BC，则0是a的（ ）C.充要条件B.必要非充分条件D.既非充分又非必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可得出结论.【解答】解：・.・改=些，且无法推出ABBC・••无法推出DE//BC,不是0的充分条件，■:DE//BC,：.ZADE=AABC./AED=/ACB,ABBC是0的必要条件，・・・B是a的充分不必要条件.故选:故【点评】本题考查充分条件、必要条件、充要条件、三角形相似等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.【变式5】（2022秋•普陀区校级期末）已知集合a二{%|上乙<1}，集合3={川仅-〃其2}.x"*"2（1）当〃=-1时，求AU&（2）若“XC8”是“xWA”的充分条件，求实数。的取值范围.【分析】（1）解出集合4B,进而求AU&（2）先求出CuA,利用集合的包含关系列不等式，即可求解.【解答】解：（1）A=[x 1]={x|-2<x<2]5={x||x-a|W2}=3〃-2WxW〃+2}.x+乙当a=-1时，B={x\- }.因为A={x|-2<x<2},所以AU8={x|-3WxV2}.（2）因为A={x|-2VxV2},所以出CuA={x|xW-2或x22}.因为“xEB”是的充分条件，所以尤CuA,所以q+2W-2或q-2N2,解得：aW-4或所以实数a的取值范围为{祢/W-4或心4}.【点评】本题考查集合的运算，属于基础题.【变式6】（2022秋•浦东新区校级月考）已知集合A={x|3-〃WxW3+〃},”{小W0或％24}.（1）当4=1时，求（2）若。>0,且“尤A”是的充分不必要条件，求实数。的取值范围.【分析】（1）先化简，再运算即可得解；（2）根据题意可得A是Cr8,从而可得到不等式组，解得即可.【解答】解：（1）・.・〃=1时，4=[2,4],又或x24},：.A（1B={4}；（2）・・・3={x|xW0或x24},ACrB=（0,4）,又“x€A”是“x€CrB”的充分不必要条件，・・・A星CrB，又〃>0,，AW0,3-a>03+a<4,：.0<a<l9♦软>0故实数。的取值范围为（0,1）.【点评】本题考查集合的基本运算，充分条件和必要条件的应用，属于基础题.【变式7]（2022秋•浦东新区校级月考）命题p：集合M={x\x<-2或x>3},命题q：集合r」x-640,,N={x|{x+a>0（a<6））-（1）若。=-3时，判断集合M与N的关系；（2）若4>0且MCN={R3VxW6},求实数a的取值范围；（3）若三是的充分不必要条件，求实数。的取值范围.【分析】（1）若。=-3,则N={x[3<x<6},即可判断M与N的关系；（2）先化简集合M再通过集合交运算的性质，即可得到答案；（3）p是M的补集，再通过{x|-2Wx<3}是{x|-a<xW6,i<6}的真子集，即可得出答案.【解答】解：(1)若。=-3,贝UN={x[3<xW6},又Af={x[x<-2或x>3},：.NJM,,(2)由题意得：N={x|-qVxW6,0VqW6},又因为MGN={x|3<x<6},所以-。三-2,得2；（3）因为p是g的充分不必要条件，即{x|-2WxW3}是{x|-aVxW6,〃W6}的真子集，所以（-呼=解得:2<后6.U<6【点评】从集合角度考虑是解决本题的关键，属于基础题.【变式8]（2022春•普陀区校级月考）已知集合尸={x||x-1|V3},。={邛」-2«加+2,mER].若产的充分非必要条件为Q,求实数m的取值范围.【分析】根据充分必要条件的定义得到关于加的不等式组，解出即可.【解答】解：P={x\\x-1|<3}=