抽样误差区间估计

医学统计学

—MedicalStatistics彭志行DepartmentofEpidemiology&BiostatisticsSchoolofPublicHealthNanjingMedicalUniversityReview:□统计资料的整理与描述□频数分布和描述集中位置的指标□描述离散趋势的指标□正态分布的特征及曲线的面积规律□标准正态分布□正态分布的应用4.1抽样误差和抽样分布SamplingErrorandSamplingDistribution主要内容□抽样误差抽样误差的重要性抽样误差的定义抽样误差的规律性□标准误标准误的定义标准误的计算标准误的意义标准误的作用□

t分布t分布的演化t分布的图形t分布的性质抽样误差的重要性既然有误差，为什么还要抽样？□无限总体的客观存在□试验研究的成本效益问题（costeffect)总体同质个体、个体变异总体参数未知样本代表性、抽样误差随机抽样样本统计量已知统计推断风险抽样误差的重要性

抽样误差的定义假如事先知道某地七岁男童的平均身高为119.41cm。为了估计七岁男童的平均身高（总体均数），研究者从所有符合要求的七岁男童中每次抽取100人，共计抽取了五次。μ＝119.41cmσ=4.38cm抽样误差的定义五次抽样得到了不同的结果，原因何在？个体变异随机抽样不同男童的身高不同每次抽到的人几乎不同抽样误差抽样误差的定义【定义】由于个体变异的存在，在抽样研究中产生样本统计量和总体参数之间的差异，称为抽样误差（samplingerror）。各种参数都有抽样误差，这里我们以均数为研究对象抽样误差的表现抽样误差的表现样本均数和总体均数间的差别样本均数和样本均数间的差别抽样误差□只要有个体变异和随机抽样研究，抽样误差就是不可避免的。□抽样误差有自己的客观规律，统计学就是拨开抽样误差之雾来洞察客观规律的利器。抽样误差的规律性

既然抽样误差是有规律的，那么到底它的分布规律到底是怎样的？

□从正态总体中随机抽样，其样本均数服从正态分布;□从任意总体中随机抽样，当样本含量足够大时，其样本均数的分布逐渐逼近正态分布；□样本均数之均数的位置始终在总体均数的附近；□随着样本含量的增加，样本均数的离散程度越来越小，表现为样本均数的分布范围越来越窄，其高峰越来越尖。中心极限定理（centrallimittheorem)的表现标准误的定义□样本统计量（如均数）也服从一定的分布；□与描述观测值离散趋势的指标类似，我们使用样本统计量的标准差来衡量抽样误差的大小。又称标准误(standarderror,SE)。□所以样本均数的标准差，称为均数的标准误标准误的计算□计算公式为其中，σ为总体标准差，n为抽样的样本例数□在研究工作时，由于总体标准差常常未知，可以利用样本标准差近似估计标准误的计算【例9】根据7岁男童的身高资料，在已知总体标准差时，标准误为4.38/10=0.438cm而若以第一次抽样的样本标准差来代替总体标准差，则标准误为4.45/10=0.445cm标准误的意义□反映了样本统计量（样本均数，样本率）分布的离散程度，体现了抽样误差的大小。□标准误越大，说明样本统计量（样本均数，样本率）的离散程度越大，即用样本统计量来直接估计总体参数越不可靠。反之亦然。□标准误的大小与标准差有关，在例数n一定时，从标准差大的总体中抽样，标准误较大；而当总体一定时，样本例数越多，标准误越小。说明我们可以通过增加样本含量来减少抽样误差的大小。标准误的作用标准误的用途□衡量样本统计量代表总体参数的可靠性；□估计总体参数的可信区间；□进行假设检验。标准误、标准差的区别和联系区别1、意义上标准差描述个体值之间的变异，即观察值之间的离散程度；而标准误是描述统计量的抽样误差，即样本统计量和总体参数的接近程度；2、用途上标准差常用于表现观察值的波动范围；标准误常表示抽样误差的大小，估计总体参数的可信区间。3、标准差、标准误与样本含量标准差是随着样本含量的增多，逐渐趋于稳定。标准误是随着样本含量的增多，逐渐减少。联系首先，标准差和标准误都是变异指标，说明个体之间的变异用标准差，说明统计量之间的变异用标准误。其次，当样本含量不变时，标准差大，标准误亦越大，均数的标准误与标准差成正比。样本均数的抽样分布规律中心极限定理从均数为μ，标准差为σ的正态总体中随机抽样，样本均数服从均数为μ，标准差为的正态分布。从均数为μ，标准差为σ的任意总体中随机抽样，当样本含量足够大时，样本均数近似服从均数为μ，标准差为的正态分布。t分布的演化根据中心极限定理的内容，当样本含量足够大时，对从均数为μ，标准差为σ的任意总体中随机抽样所得的样本均数进行标准化变换，有□由于总体标准差往往是未知的，此时往往用样本标准差代替总体标准差，

这里，ν为自由度（degreeoffreedom,df)，取值为n-1，□由W.S.Gosset提出。t分布的演化

f(t)

=∞(标准正态曲线)

=5

=10.10.2-4-3-2-1012340.3自由度分别为1、5、∞时

t分布的图形t分布的性质□t分布为一簇单峰分布曲线，以0为中心，左右对称。□分布的高峰位置比u分布低，尾部高。即相同的尾部面积对应的界值，比u分布大。例如:P=0.05,u=1.64,而自由度为10的t分布界值，t=1.812。□t分布与自由度

有关，自由度越小，t分布的峰越低，而两侧尾部翘得越高；自由度逐渐增大时，t分布逐渐逼近标准正态分布；当自由度为无穷大时，t分布就是标准正态分布。□每一自由度下的t分布曲线都有其自身分布规律。t界值表每一自由度下的t分布曲线都有其自身分布规律，这个规律可见于t界值表。表上的阴影部分，表示t

,

以外的尾部面积占总面积的百分数，即概率P。表中数据表示

与

确定时相应的t界值（criticalvalue），常记为t

,

。例如，当

=10，单尾概率

=0.05时，查表得单尾t0.05，10=1.812，表明，按t分布的规律，从正态分布总体中抽取样本含量为n=11的样本，则由该样本计算的t值大于等于1.812的概率为0.05，或者小于等于-1.812的概率亦为0.05，可表示为：P(t≤-1.812)=0.05或P(t≥1.812)=0.05例如，当

=10，双尾概率

=0.05时，查表得双尾t0.05,10＝2.228，表明，按t分布的规律，从正态分布总体中抽取样本含量为n=11的样本，则由该样本计算的t值大于等于2.228的概率为0.025，小于等于-2.228的概率亦为0.025。可表示为：P(t≤-2.228)+P(t≥2.228)＝0.05或：P(-2.228<t<2.228)=1-0.05=0.95。从t分布图不难看出：①在相同自由度时∣t∣值越大，概率P越小；②在相同t值时，双尾概率P为单尾概率P的两倍。如双尾t0.10，10=单尾t0.05，10=1.812。t界值表单侧：P(t<=-tα,ν)=α或

P(t>=tα,ν)=α双侧：

P(t<=-tα,ν)+P(t>=tα,ν)=α

即:P(-tα,ν<t<tα,ν)=1-α【例10】查t界值表得t值表达式

t0.05,10=2.228(双侧）

t0.05,10=1.812(单侧）-tt0小结□抽样误差的定义和表现□抽样误差的规律：中心极限定理□标准误的定义及其意义□t分布的演化、图形、特征及意义4.2区间估计和可信区间IntervalEstimationandConfidenceInterval主要内容□统计推断□点估计□区间估计区间估计的实质可信区间的定义总体均数可信区间的计算□正确理解可信区间的含义统计推断所谓统计推断(statisticalinference)，是指如何抽样，以及如何用样本性质推断总体特征。

参数估计(parameterestimation)

假设检验(hypothesistesting)统计推断的思路总体个体、个体变异总体参数未知样本代表性、抽样误差随机抽样样本统计量已知统计推断风险参数估计

□点估计（PointEstimation)Touseanumbertoestimatetheparameter.□区间估计(IntervalEstimation)Toobtainarangesoastoincludetheparameter.(1)点估计用样本统计量作为总体参数的估计例如：用样本均数作为总体