参数方程知识讲解及典型例题

./参数方程一、定义：在取定的坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个参数t的函数,即,其中,t为参数,并且对于t每一个允许值,由方程组所确定的点M〔x,y都在这条曲线上,那么方程组就叫做这条曲线的参数方程,联系x、y之间关系的变数t叫做参变数,简称参数．注意：参数方程没有直接体现曲线上点的横纵坐标之间的关系,而是分别体现了点的横纵坐标与参数间的关系。二、二次曲线的参数方程1、圆的参数方程：特殊：圆心是〔0,0,半径为r的圆：一般：圆心在〔x0,y0,半径等于r的圆：〔为参数,的几何意义为圆心角,Eg1：已知点P〔x,y是圆x2+y2-6x-4y+12=0上的动点,求：〔1x2+y2的最值；〔2x+y的最值；〔3点P到直线x+y-1=0的距离d的最值。Eg2：将下列参数方程化为普通方程〔1x=2+3cos〔2x=sin〔3x=t+y=3siny=cosy=t2+总结：参数方程化为普通方程步骤：〔1消参〔2求定义域2、椭圆的参数方程：中心在原点,焦点在x轴上的椭圆：〔为参数,的几何意义是离心角,如图角AON是离心角注意：离心率和离心角没关系,如图,分别以椭圆的长轴和短轴为半径画两个同心圆,M点的轨迹是椭圆,中心在〔x0,y0椭圆的参数方程：Eg：求椭圆=1上的点到M〔2,0的最小值。3、双曲线的参数方程：中心在原点,焦点在x轴上的双曲线：〔为参数,代表离心角,中心在〔x0,y0,焦点在x轴上的双曲线：4、抛物线的参数方程：顶点在原点,焦点在x轴正半轴上的抛物线：〔t为参数,p＞0,t的几何意义为过圆点的直线的斜率的倒数直线方程与抛物线方程联立即可得到。三、一次曲线〔直线的参数方程过定点P0〔x0,y0,倾角为的直线,P是直线上任意一点,设P0P=t,P0P叫点P到定点P0的有向距离,在P0两侧t的符号相反,直线的参数方程〔t为参数,t的几何意义为有向距离说明：①t的符号相对于点P0,正负在P0点两侧②｜P0P｜=｜t｜直线参数方程的变式：,但此时t的几何意义不是有向距离,只有当t前面系数的平方和是1时,几何意义才是有向距离,所以,将上式进行整理,得,让作为t,则此时t的几何意义是有向距离。Eg：求直线x=-1+3ty=2-4t,求其倾斜角.极坐标与参数方程练习题[基础训练A组]一、选择题1．若直线的参数方程为,则直线的斜率为〔A．B．C．D．2．下列在曲线上的点是〔A．B．C．D．3．将参数方程化为普通方程为〔A．B．C．D．4．化极坐标方程为直角坐标方程为〔A．B．C．D．5．点的直角坐标是,则点的极坐标为〔A．B．C．D．6．极坐标方程表示的曲线为〔A．一条射线和一个圆B．两条直线C．一条直线和一个圆D．一个圆二、填空题1．直线的斜率为______________________。2．参数方程的普通方程为__________________。3．已知直线与直线相交于点,又点,则_______________。4．直线被圆截得的弦长为______________。三、解答题1．已知点是圆上的动点,〔1求的取值围；〔2若恒成立,数的取值围。2．求直线和直线的交点的坐标,及点与的距离。3．在椭圆上找一点,使这一点到直线的距离的最小值。[综合训练B组]一、选择题1．直线的参数方程为,上的点对应的参数是,则点与之间的距离是〔A．B．C．D．2．参数方程为表示的曲线是〔A．一条直线B．两条直线C．一条射线D．两条射线3．直线和圆交于两点,则的中点坐标为〔A．B．C．D．4．圆的圆心坐标是〔A．B．C．D．5．与参数方程为等价的普通方程为〔A．B．C．D．6．直线被圆所截得的弦长为〔A．B．C．D．二、填空题1．曲线的参数方程是,则它的普通方程为__________________。2．直线过定点_____________。3．点是椭圆上的一个动点,则的最大值为___________。4．曲线的极坐标方程为,则曲线的直角坐标方程为________________。5．设则圆的参数方程为__________________________。三、解答题1．点在椭圆上,求点到直线的最大距离和最小距离。2．已知直线经过点,倾斜角,〔1写出直线的参数方程。〔2设与圆相交与两点,求点到两点的距离之积。极坐标与参数方程练习题答案[基础训练A组]一、选择题1．D2．B3．C4．C 5．C6．C二、填空题1．2．3．4．三、解答题1．解：〔1；〔22．3．[综合训练B组]一、选择题1．C