链式法则的一般形式

链式法则的一般形式 若u=f(x1,…,x),x.=申.(t1,…,t),(i=1,…,n),则TOC\o"1-5"\h\z1nii1 mu=£u(x.),即学=2学牛(j=1,…,m).总之，复合函数对自变量的偏导数tj xi i“ dt oxoti=1 j i=1 ij等于所有对中间变量的偏导数与中间变量对自变量的偏导数之积的和.特例:申(t)=f(tx)=f(tx「…，tx”),申'(t)=x1D]f(tx)+…+x”Dnf(tx).*△(齐次函数的Euler公式)(p.123.6对三元函数)若存在k使f:R«-R满足f(tx)=tkf(x)(t>0,xUR”.书上的定义中k>0,tuR),则称f为k次齐次函数•证明：可微函数f是k次齐次函数ox]D1f+…+xnDnf(=(gradf,x))=kf.(*)证nf(tx)=tkf(x).两端对t求导，得x]D]f(tx)+…+x”D”f(tx)=ktk-]f(x).令t=1得(*).u设申(t)=f(tx)/tk,(即证申(t)=f(x).由申(1)=f(x),只要证申(t)=申(1),即证申常值)，贝呦可微,申'(t)=丄(tk(x1D1f(tx)+…+xDf(tx))-ktk-1f(x))=丄12k 1 1 nn tk+1(tx1D]f(tx)+…+tx”Dnf(tx)-kf(tx))(以tx.代条件(*)中的x.)=0,故申常值,申(t)=申=f(x),f(tx)=tkf(x). y y*Euler公式的应用.(1)证明u=xf(兰)+yg(兰)满足x2u+2xyu+y2u=0.x x xx xyyyp.143.3(2).解(1)(u是一次齐次函数)用两次Euler公式.(2)u是1+2+•••+(n-1)=力n(n+1)次齐次函数.补充练习△u=x3siny+y3sinx,求—.(-6(cosx+cosy)ox3oy3u=exyz,求uxyz.(exyz(1+3xyz+x2y2z2))u=(x-心(y-b)q,求筈計(P!q!)x+yu=x+yu=—x-y,求0p+qW0xp0yq2(-1)p(p+q-l)!(qx+py)(x-y)p+q+1证明z=xnf(丄)满足方程xzx+2yz=nz.x2 xy证明z=yf(x2-y2)满足方程y12zx+xyzy=xz.111已矢廿u=12x4- x3(y+z)+-jx2yz+f(y-x,z-x),化简u*+uy+u?.(xyz)△证明u=屮(x—at)+屮(x+at)满足u=a2u.△证明△证明u=x申(x+y)+y屮(x+y)满足u-2u+u=0. xx xyyy △设u=Inx,v=In(y+Jl+y2),以u,v为自变量变换方程xz+小+y2z=xy.xy(z+z=eushv)uvTOC\o"1-5"\h\z△设x=rcos屮,y=rsin牡变换(1)xu—yu;(2)xu=yu;(3)x2u+2xyu+y2y x x y xx xyu. ((1)u;(2)ru;(3)r2u.)yy 屮 r rr7△设x=rsinOcos屮,y=rsinOsin屮,z=rcosO,变换u2+u2+u2. (u2+r-2w2+(rxyz r OsinO)-2u『)七.方向导数与梯度偏导数是函数沿坐标轴方向的变化率,方向导数是函数沿任意方向的变化率.t等

等.a设f:D(uRn)fR,aUD°,l为方向(111=1)若极限limf(a+〃)_f⑷存在，则称tt等

等.a之为f在a沿方向1的方向导数，记为Df(a),f(a),g(a),雪等.11 01 01aex若记g(t)=f(a+t1),则Df⑷=g'(0).设1=(1],…，1”),a=@],…，a”)，则g(t)=f(a+t1)=f(a1+弘,…,an+t1”).由链式法则(u=f(x),x=a+t1),当f在a可微时,g'(t)

=lf(a+tl)+…+lf(a+tl),f(a)=lf(a)+…+lf(a).因此,若设gradf(a)1xnxl1xnx■yV’ ■yV ■yV’ ■yV1n1n=(f (a),…,f (a)) (= (Df⑷，…,D“ f⑷))，则f(a)=gradf(a) -lWlgradf(a)l,等号x1 xn 1nlogradf(a)=cl,即l= .称gradf⑷为f在a处的梯度(向量).这证明了下列lgradf(a)l命题若f在a可微，则f沿任何方向的导数都存在，且f(a)=gradf(a)-l.方向导数沿梯度方向达到最大值Igradf(a)l,沿梯度相反方向达到最小值-lgradf(a)l.(换言之，沿梯度方向,函数的变化率最大.)特例：①偏导数.取l=ei=(0,…,0,1,0,…,0),有gradf(a)-l=f”(a).②二元：l=i(cos。,sin。).③三元：l=(cosa,cosp,cosy).n元：l=(cos(l,xj,…，cos(l,x”)).注1所有方向导数存在(称为弱可微)冷连续. "例f(X,y)=<前已证明lim f(x,y)例f(X,y)=<前已证明lim f(x,y)不存在，故在(0,0)不连(X,y)t(0,0)x4+y20, (x,y)=(0,0).0,sin。=0,计,sin。工0.、sin。续.(因而不可微，不能用上述命题求方向导数0,sin。=0,计,sin。工0.、sin。Df(0,0)=limf(tcos。，tsin。)一f(0，0)=lim co讦sin。。l tTO t tTO12CoS4。+sin2。：+y，害;(，fx(0,0)=1=fy：+y，害;(，fx(0,0)=1=fy(0,0).当cos。工0,sin。工0时，方向导数Hm八… =lim◎不存在.tT0 t tT0 t△p.125例1.方向向量(3,-3,3),鲁(1,1,1)=(1,2y,3z2)-(；,-；,；)△(p.127.6(3))证明:grad(uv)=ugradv+vgradu.(3"")=v+uf(tcos。,tsin。)一f(0,0)=1=3.(1丄1)dx '8x' 8x，) i i i△求Dvf(0,0),若f(x,y)=』x2一y2|,v=(cos。,sin。),0W。W2兀.解g(t)=f(tcos。,tsin。)=111Jcos2。I.v=(±乎,±乎)时Dvf(0,0)=g'(0)=0.在其它方向,g-'(0)= ■llcos20I,盯(0)=Jlcos2。I,方向导数不存在.(注.书上定义的是单侧方向导数,=g+'(0),是存在的.)△(p.127.10)设f可微,l1，l2UR2线性无关.若fl=fl=0,则f常值.八.中值定理与Taylor公式前已接触过f(x,y)一f(a,b)=fx(g,y)(x-a)+厶(a,H)(y一b),g在a,x之间,耳在b,y之间，条件是f在点(a,b)附近有偏导数. '在求方向导数时已经知道，在连接点(a,b)与(a+h,b+k)的线段(x,y)=(a+th,b+tk)(0WtW1)上f是一元函数申(t)=f(a+th,b+tk)(0WtW1).对它用一元函数中值定理，有(为使申可微，需条件f可微)申(1)―申(0)=申'(。)(0＜。＜1),即(注意申'(t)=fx(a+th,b+tk)h+fy(a+th,b+tk)k)f(a+h,b+k)一f(a,b)=f(a+Oh,b+Ok)h+f(a+Oh,b+Ok)k (*)为保证连接任何(a+h,b+k)与(a,b)的线段在f的定义域内，要求f的定义域是凸的.这样,有中值定理设D为R2的凸开域,f在D内可微，则对D内任意两点(a,b),(a+h,b+k)有。

u(0,1)使(*)式成立.证设申(t)=f(a+th,b+tk),则申在［0,1］上可微，….注1若记x0=(a,b),x=(a+h,b+k),连接x0,x的线段为g=(a+0h,b+Ok),则结论成为3ger使f(x)-f(x0)=gradf(g)-(x-x°).这对n元函数当然也成立.注2凸域可减弱为星形域.推论设D,f同上(可以是n元函数).(1)若推论设D,f同上(可以是n元函数).(1)若3M^0VxUD|gradf(x)IWM,则Vx,x°UD,If(x)-f(x0)KMIb-aI；(2)若gradf=0,则f常值.用同样的思想可以求多元函数的Taylor公式.为使符号简单，下面只对二元函数讨论.RR设申(t)=f(a+th,b+tk)(0WtW1),则®'(t)——(^―+k—)f(a+th,b+tk),Rx Ry9〃(t)——h(―h+ k)+k(h+^—^k)=(h—+k―y)2f(a+th,b+tk),―x2 ―x—y ―y―x ―y2 ―x ―y一般地,用数学归纳法可得9(m)(t)=(h£+k—)mf(a+ th, b+tk)=为Cihm-iki—m f(a +th,b+tk).—x卽 i——0m —xm-i如9(n)(0),9(n+1)(°)得• +(n+1)!，得(h丄+k』)n+1f(a+Oh,b+°k).n!f(a+h'b+k)=f(a'b)+三k!(哙+k各)kf(a'b)+(n+1)厂抵为使混合偏导数相等「要求所有n+1阶偏导数都是连续的，即fUC(n+1).Peano余项是o存+k2)n/2,这时只要fUC(n).一 月R*注对n元函数，上面公式中,(h,k)以h=(人,…,h)代替,h—+k、即(h,k)-grad1n Rx Ry现在是h-grad,即h"+…+hD,由多项式展开定理，有1 1 nn(hD+…+hD)m=为h…hD1 1 nn ST^kZ］，…,Zr=1Taylor公式是f(a+h)=f(a)+艺—(h-grad)kf(a)+ (h-grad)m+1f(a+Oh).(*)k! (m+1)!k——1如果把一元函数f的导数f(k)(a)用另一种记号Dkf(a),则f的Taylor公式是f(a+h)=f⑷+刀］(hD)kf(a)+ + (hD)m+1f(a+Oh).k——1容易看出(*)与它的相似性.△计算(1.1)1.02.法一.用微分:f(a+h,b+k)af(a,b)+hf^(a,b)+k/(a,b),f(x,y)=xy,a=b=1,h=0.1,k=0.02,(1.1)1.02心11+0.1Xyxy-1I(11)+0.02XxyInxI(11)=1.1.(1,1)(1,1)fxy+k2fyy)(a,b),fxx(x,y)=y(y-1)xy-2,fxy(x,y)=xy-1+yxy-1fxy+k2fyy)(a,b),fxx(x,y)=y(y-1)xy-2,fxy(x,y)=xy-1+yxy-1lnx,fyy(x,y)=xyln2x,(1.1)1.02心1+0.1+0+力(0.12X0+2X0.1X0.02X1+(0.02)2X0)=1.102.△设IxI,IyI充分小，求f(x,y)=arctan 的到二次项的近似公式.1-x+y解f(x,y)"f(0,0)+x£(0,0)+yfy(0,0)+2(xf”(0,0)+2xyfy(0,0)+y2fy(0,0)兀= +x—xy4九.(局部)极值与最大最小值极大、极小、严格极大、严格极小、最大、最小值.极值点只限于定义域的内点.极值必要条件若f在a处有极值，且各个偏导数都存在，则gradf(a)=0.

证f在a=(%•：化)处有极值巳(t)=f(a，：«._1,t，%①在%处有极值二gi(a.)=0nfx(a)=0(i=1,…，n).驻点=稳定点=梯度为0的点.鞍点=非极值点的驻点.如(0,0)是z=xy的鞍点(图见p.91).例f(x,y)*x2+y2在(0,0)极小，偏导数不存在.对多元函数，不能从偏导数的符号变化判断极值，如z=xy.以下对二元函数考虑极值充分条件.设有二元函数z=f(x,y),(a,b)是其驻点.显然,f(a,b)是否极值，由Az=f(a+h,b+k)-f(a,b)当IhI,IkI充分小时的符号确定.设在(a,b)的某邻域内fuC⑵(这是为了用Peano余项)，则有△z=力(h2f(a,b)+2hkf(a,b)+k2f(a,b))+o(p2)(p=\''h2+k2),xx xy yy当厶z$0时f(a,b)极小，W0时极大，不定时不是极值.为记号简单，设A=f(a,b),B=fxx xy(a,b),C=fyy(a,b),Q(h,k)=Ah2+2Bhk+Ck2,则△z=力(Ah2+2Bhk+Ck2)+o(p2)=力Q(h,k)+o(p2).1°若Vh,k,Q(h,k)>0(即二次型Q正定)，则f(a,b)极小.事实上,△乙=2p2(Q(p,p)+a(p)),其中a(p)=2°pQ-0(p-0).Q(p,p)关2pp p2 pp于h,k连续且(鲁)2+(p)2=1,故在单位圆周上达到最小值，设为m,则Vh,k,Q(p,I)三m>0.因为a(p)-0(p-0),故p充分小时Ia(p)I<m,从而p充分小时厶z$0,即在(a,b)附近&三0.2°若Vh,k,Q(h,k)<0(即二次型Q负定)，则f(a,b)极大.3°在其它情形(即Q不定时),f(a,b)不是极值.(反证法)设f(a,b)极小，则Q(h,k)三0.事实上，设％h0,k0)使Q(h0,k0)<0.(下面证明f(a,b)不是极小值，即在(a,b)的任何邻域内有点，其对应的函数值<f(a,b).这样的点在由(a,血和(a+h0,b+k0)确定的直线上就有•)记p02=h02+k02,则对f(a+th0,b+tk0)hk hk1-f(a,b)=212p02(Q(po 0)+a(tp0))有Q(p0 0)=一Q(h0,k0)<0.因为t-0时0 p0hp0k0 p0p0 p02 00tp0—0,故t充分小时Q(-p^,p-)+a(tp0)<0,从而f(a+th0,b+tk0)<f(a,b),与f(a,b)极小矛盾.类似地,f(a,b)极大时Q(h,k)W0.注以上证明了f(a,b)是极值nQ半定.极值充分条件设在(a,b)极值充分条件设在(a,b)的某邻域内fUC⑵且(a,b)是f的驻点,A=f^，⑵，"=fy(a，b),C=fy(a,b),则当二次型Ah2+2Bhk+Ck2(h,kuR)(等价地，矩阵'AIBC丿Hessia矩阵)正定时f(a,b)极小，负定时极大，不定时不是极值.(又,f(a,b)极小时上述二次型正半定,极大时负半定.)Ab推论设A= 若A：>0,A>0,则f(a,b)极小;若A>0,A<0,则f(a,b)极大;BC若A<0,则f(a,b)若A<0,则f(a,b)是鞍点；若A=0,则不能确定.>0,A>0,A>0,<0,A>0,A<0.证Q(h,k)=A((h+Bk)2+AC厂B2k2)<AA2JB若A<0,则Q(h,k)不定.若A=0,则Q(h,k)=A(h+ k)21A0,A>0,<0,A<0,不能确定.例如设f(x,y)=x2-y4,贝l」(0,0)是驻点,A=0,但(0,0)是鞍点:yM0时f(0,y)<0,xM0时f(x,0)>0;设g(x,y)=(x2+y2)5/2,贝则(0,0)是驻点,A=0,但f(0,0)极小.注1.对一元函数,A=A,成为一元函数极值的二阶导数判别法.(久f(a)…DJ(a)]对n元函数，类似的结论成立.Hessia矩阵为 ，二次型IDn1f(a)…Dnnf(")丿Q现在是Q(h],…,h)=£D.f(a)hh..Hessia矩阵的n个顺序主子式均〉0时极小，负1 n IJ IJi,J=1正相间时极大.当只有一个驻点(设为a)时，如果能从所论函数本身判明它确有极值，则a就是极值点.这时只要计算D11f(a),>0时极小,<0时极大.p.138例6.△(p.138例8)讨论f(x,y)=(y-x2)(y-2x2)在原点是否取得极值.解f(x,y)=y2-3x2y+2x4.由fx(x,y)=-6xy+8x3=0,fy(x,y)=2y-3x2=0得驻点(0,0).(f”(0,0)=fy(0,0)=0,△=0,不能用推论.)因为x2<y<2x/时f(x,y)<0,y<x2或y>2x2时f(x,y)>0,故在(0,0)的邻域内f总能取得正值与负值(如f(x,3x2)<0,f(x,2x2)>0),从而f(0,0)=0不是极值.*注但在通过原点的任一直线上f(0,0)极小.事实上，设g(x)=f(x,kx)=k2x2-3kx2+2x4,则g'(0)=0,g"(0)=2k2>0(kM0),故g(0)极小.当k=0时g(x)=2x4,g(0)也极小.因此本例说明函数沿直线极小时它不一定极小.f(x,y)=xy-x3y-xy3.由fx(x,y)=y-3x2y-y3=0,fy(x,y)=x-x3-3xy2=0得9个驻点:P1(0,0),P2(1,0),P3(-1,0),P4(0,1),P5(0,-1),P6(力,力),P7(-%,-%),P8(%,-%),P9(-%,%)•fxx(x，y)=-6xy,fxx(x，y)fy(x，y)一fy2(x，y)=(-6xy)2-(1-3x2-3y2)2.对p1,^=-1<0；对P2,P3,P4,P5,△=-4<0,都是鞍点.对P6,P7,P8,P9,△=2>0,P6,P7极大(1/8),P8,P9极小(-1/8).△考察函数f(x,y)=(1+ey)cosx-yey的极值.解fx(x,y)=-sinx(1+ey),fy(x,y)=(cosx-1-y)ey,驻点P“(n兀，(-1)n-1)(n=Z).仁(x,y)=-cosx(1+ey),fy(x,y)=-eysinx,fy(x,y)=(cosx-2-y)ey.对P2n,A=-2<0,△=-2X(-1)-02=2>0,极大(2);对P2n一],A=1+e-2>0,B=0,C=-e-2,△<0,不是极值点.*△考察函数f(x,y,z)=x2-2xy+2y2+z2-yz+x+3y-z的极值.驻点(-¥驻点(-¥，-3,-2),6 3 3/2Hessia矩阵-2、0-24-10、-1,极小.求函数的最大最小值.步骤:1.确定是否有最大、最小值(从连续函数性质或问题的实际意义确定);求驻点及定义域内部有一个偏导数不存在的点(即梯度不存在的点);比较函数在这些点及在边界上的值,最大(小)者即为最大(小)值.△求函数f(x,y)=xy-x3y-xy3在正方形[0,1]2上的最大、最小值.解驻点为(力,力).在驻点处的函数值为1/8,在边界上的函数值为f(0,y)=f(x,0)=0,f(1,y)=-y3(0WyW1),f(x,1)=-x3(0<x<1),故最大值为1/8,最小值为-1.△求函数f(x,y)=ax2+2bxy+ay2(b>a>0)在x2+y2W1上的最大、最小值.解驻点(0,0).在边界上,f(x,±.'1-x2)=a±2bx\1-x2=g(x)(IxIW1).由g'(x)=0得x=± /2.因为g(1)=g(-1)=a,g(J2/2)=a土b,g("2/2)=a+b,f(0,0)=0,故有

最大值a+b,最小值a-b.注1.因为以-x,-y代x,y时f及区域不变，故考察边界时可只考虑f(x,d-x2).2.本题也可用初等方法解决:—(x2+y2)W2xyWx2+y2,两个等号依次当且仅当x=—y和x=y时成立，故a-bW(a—b)(x2+y2)Wf(x,y)=a(x2+y2)+2bxyW(a+b)(x2+y2)Wa+b且x=y时右边两不等式成立,x=-y时左边两不等式成立.用初等方法有时会更简便,但它通常依赖于技巧,而高等数学方法有普适性.△证明:圆内接三角形中,正三角形的面积最大.证设圆内接三角形三边所对的圆心角为x,y,2兀-x-y,圆半径为r,则三角形面积为％r2(sinx+siny-sin(x+y))(x20,y三0,x+yW2兀).设f(x,y)=sinx+siny-sin(x+y),D{(x,y)Ix20,y{(x,y)Ix20,y三0,x+yW2兀}.令fx(x,y)=fy(x,y)=220,得D内有唯一的驻点(§^,—兀).在D的边界上,f(0,y)=f(x,0)=f(x,2兀-x)=0,故面积最大值为34—r2,此时三角形三内角为兀/3,即为正三角形.△证明：xyWxInx—x+ey(x21,y三0).证即证f(x,y)=xInx-x+ey-xy在D={(x,y)Ix^1,y^0}上有最小值0.由£(x,y)=