【冀教版】九年级数学下册《全册课件+全册习题课件》(68套可修改)

冀教版九年级数学下册全册课件合集+全册习题讲评课件68套课件均可修改，便于分解使用1-1018页—授课课件1019—1308页—习题讲评课件第二十九章直线与圆的位置关系29.1点和圆的位置关系1课堂讲解点与圆的位置关系的判定点与圆的位置关系的性质2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升我国射击运动员在奥运会上屡获金牌，为祖国赢得

荣誉．你知道运动员的成绩是如何计算的吗？1知识点点与圆的位置关系的判定思考：

足球运动员踢出的足球在球场上滚动，在足球穿越中圈区（中间圆形区域）的过程中，可将足球看成一个点，这个点与圆具有怎样的位置关系？知1－导知1－导在同一个平面内,点与圆有三种位置关系:点在圆外、点在圆上和点在圆内.点P与☉O的位置关系如图所示.知1－导设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：点P在圆外d＞r；点P在圆上d=r；点P在圆内d＜r.符号“

”读作“等价于”，它表示从符号“

”的左端可以推出右端，从右端也可以推出左端.如图，在△ABC

中，∠C=90°，AB=5cm，BC=4cm，以点A为圆心、3cm为半径画圆，并判断：(1)点C与⊙A的位置关系.(2)点B与⊙A的位置关系.(3)AB的中点D与⊙A的

位置关系.知1－讲例1

（来自《教材》）知1－讲解：已知⊙A的半径r=3cm.(1)因为所以点C在⊙A上(2)因为AB=5cm>3cm=r，所以点B在⊙A外.(3)因为DA=AB=2.5cm＜3cm=r，

所以点

D在⊙A

内.例2

已知⊙O的半径r＝5cm，圆心O到直线l的距离d＝

OD＝3cm，在直线l上有P，Q，R三点，且有PD＝

4cm，QD＝5cm，RD＝3cm，那么P，Q，R三

点与⊙O的位置关系各是怎样的？

要判断点和圆的位置关系，实质上是要比较点到圆

心的距离与半径的大小，而半径为已知量，即需求

出相关点到圆心的距离．

知1－讲导引：解：如图，连接OR，OP，OQ.∵PD＝4cm，OD＝3cm，且OD⊥l，∴点P在⊙O上；∵QD＝5cm，∴点Q在⊙O外；∵RD＝3cm，∴点R在⊙O内．知1－讲总

结知1－讲判断点和圆的位置关系，关键是计算出点到圆心的距离，再与圆的半径比较大小，由数量关系决定位置关系；构造直角三角形并运用勾股定理是求距离的常用辅助方法．在直角坐标系中，以原点为圆心的⊙O的半径为5.判断以下各点与⊙O的位置关系：A(4,2)，B(－3,4)，C(4，－4)，D(1，5).知1－练（来自《教材》）1解：已知⊙O的半径r＝5，过点A向x轴作垂线，交x轴于点M，连接OA，易得OM＝4，AM＝2，所以所以点A在⊙O内．同理可得，OB＝5＝r，所以点B在⊙O上．OC＝

＞5＝r，所以点C在⊙O外．OD＝

＞5＝r，所以点D在⊙O外．【中考·湘西州】⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA＝3cm，则点A与⊙O的位置关系为(

)A．点A在圆上

B．点A在圆内C．点A在圆外

D．无法确定知1－练2B若⊙O的面积为25π，在同一平面内有一个点P，且点P到圆心O的距离为4.9，则点P与⊙O的位置关系是(

)A．点P在⊙O外

B．点P在⊙O上C．点P在⊙O内

D．无法确定知1－练3C【中考·宜昌】在公园的O处附近有E，F，G，H四棵树，位置如图所示(图中小正方形的边长均相等)．现计划修建一座以O为圆心，OA为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E，F，G，H四棵树中需要被移除的为(

)A．E，F，G

B．F，G，HC．G，H，E

D．H，E，F知1－练4A在平面直角坐标系中，⊙P、⊙Q的位置如图所示，下列四个点中，在⊙P外部且在⊙Q内部的是(

)A．(1，2)

B．(2，1)

C．(2，－1)

D．(3，1)知1－练5C如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点D是AB的中点，以B为圆心，BC的长为半径作⊙B，则点D和⊙B的位置关系是(

)A．点D在⊙B内B．点D在⊙B上C．点D在⊙B外D．不能确定知1－练6A如图所示.∵点B在⊙A内部，∴|a－1|＜2.∴－1＜a＜3.知2－讲导引：例3若点B(a，0)在以点A(1，0)为圆心，2为半径的圆内，则a的取值范围为(

)A．－1＜a＜3B．a＜3C．a＞－1D．a＞3或a＜－1A2知识点点与圆的位置关系的性质总

结知2－讲解答本题运用了转化思想，关键是将条件转化成点到圆心的距离与圆的半径之间的大小关系，即列出方程或不等式来解答．知2－讲例4如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON＝30°，公路PQ上A处距离O点240米，如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路MN上沿MN方向以72千米/时的速度行驶时，A处受到噪音影响的时间是多长？过点A作AC⊥ON于C，求出AC的长，以点A为圆心，200米为半径作圆，与MN交于点B，D，则当火车到B点时开始对A处产生噪音影响，直到火车到D点时噪音才消失．知2－讲导引：如图，过点A作AC⊥ON于C，以点A为圆心，200米为半径作圆，与MN交于点B，D，连接AB，AD，则AB＝AD＝200米，解：∵∠QON＝30°，OA＝240米，∴AC＝120米．当火车到B点时对A处产生噪音影响，∵AB＝200米，AC＝120米，∴由勾股定理得BC＝160米，同理可得CD＝160米，∴BD＝320米．∵72千米/时＝20米/秒，∴A处受到噪音影响的时间应是320÷20＝16(秒)．知2－讲总

结知2－讲本题考查的是点与圆的位置关系，根据火车行驶的方向，速度，以及它在以A为圆心，200米为半径的圆内行驶的弦BD的长，求出A处受到噪音影响的时间．如图，某海域以点A为圆心、3km为半径的圆形区域为多暗礁的危险区，但渔业资源丰富.渔船要从点B

处前往点A处进行捕鱼，B，A两点之间的距离是10km.如果渔船始终保持10km/h的航速行驶，那么在什么时段内，渔船是安全的？渔船何时进入危险区域？知2－练（来自《教材》）1渔船在圆形区域外是安全的，＝0.7(h)，0.7h＝42min，所以渔船从点B出发，在42min以内是安全的，从42min后进入危险区域．知2－练解：已知点A在半径为r的⊙O内，点A与点O的距离为6，则r的取值范围是(

)A．r＞6B．r≥6C．r＜6D．r≤6知2－练2A已知矩形ABCD的边AB＝6，AD＝8，如果以点A为圆心作⊙A，使B，C，D三点中在圆内和圆外都至少有一个点，那么⊙A的半径r的取值范围是(

)A．6<r<10B．8<r<10C．6<r≤8D．8<r≤10知2－练3A采石厂工人爆破时，为了安全，点燃炸药导火线后，要在炸药爆炸前转移到400m以外的安全区域，导火线燃烧的速度是1cm/s，工人离开的速度是5m/s，至少需要导火线的长度是(

)A．70cmB．75cmC．79cmD．80cm知2－练4D如图，王大伯家屋后有一块长12m，宽8m的矩形空地，他在以长BC为直径的半圆内种菜，他家养的一只羊平时拴在A处的一棵树上，为了不让羊吃到菜，拴羊的绳长可以选用(

)A．3mB．5mC．7mD．9m知2－练5A点和圆的三种位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则1知识小结若⊙O所在平面内一点P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b(a>b)，则此圆的半径为(

)A.B.C.或D．a＋b或a－b2易错小结C易错点：考虑问题不全面而致错第二十九章

直线与圆的位置关系29.2直线与圆的位置关系1课堂讲解直线与圆的位置关系与直线与圆的公共点个数间的关系直线与圆的位置关系的判定直线与圆的位置关系的性质2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升点和圆的位置关系有哪几种？

（1）d<r（2）d=r（3）d>rABCd点A在圆内点B在圆上点C在圆外三种位置关系O点到圆心距离为d⊙O半径为r回顾：1知识点直线与圆的位置关系与直线与圆的公共点个数间的关系知1－导清晨,一轮红日从东方冉冉升起,太阳的轮廓就像一个运动的圆,从地平线下渐渐升到空中.在此过程中,太阳轮廓与地平线有几种不同的位置关系呢?知1－导●O●O

把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线，注意观察直线与圆的公共点的个数.a(地平线)a(地平线)●O●O●O三你发现这个自然现象反映出直线和圆的公共点个数有________种情况.●●●●知1－导如图（2），在纸上画一条直线l，把钥匙环看作一个圆.在纸上移动钥匙环，你能发现在移动钥匙环的过程中，它与直线l的公共点个数的变化情况吗？lO知1－讲

直线和圆只有一个公共点，这时我们就说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点.

直线和圆有两个公共点，这时我们就说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线.

直线和圆没有公共点，这时我们就说这条直线和圆相离.知1－讲例1若直线l与⊙O有公共交点，则直线l与⊙O

的位置关系是()A．相交B．相切C．相离D．相切或相交直线l与⊙O有公共交点有两种情况：(1)有惟一公共交点，此时直线l与⊙O相切；(2)有两个交点，此时直线l与⊙O相交，故应选D．D导引：若直线m与⊙O的公共点个数不小于1，则直线m与⊙O的位置关系是(

)A．相交

B．相切C．相交或相切

D．相离知1－练1C下列命题：①如果一条直线与圆没有公共点，那么这条直线与圆相离；②如果一条射线与圆没有公共点，那么这条射线所在的直线与圆相离；③如果一条线段与圆没有公共点，那么这条线段所在的直线与圆相离．其中为真命题的是(

)A．①

B．②C．③

D．①②③知1－练2A2知识点直线与圆的位置关系的判定知2－导思考：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，在直线和圆的不同位置关系中，你能根据d与r的大小关系确定直线和圆的位置关系吗？知2－导如图，圆心O到直线的距离d与⊙O的半径r的大小有什么关系?●O●O相交●O相切相离rrr┐dd┐d┐1)直线和圆相交d______r;2)直线和圆相切3)直线和圆相离＜d______r;＝d______r;＞如图，在Rt△ABC

中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm.以点C为圆心，2cm，2.4cm，3cm分别为半径画⊙C，斜边AB分别与⊙C有怎样的位置关系？为什么？知2－讲例2

（来自《教材》）如图，过点C作CD丄AB，垂足为D.在Rt△ABC中，由三角形的面积公式，并整理，得AC

•

BC=AB

•

CD.从而即圆心C到斜边AB的距离d=2.4cm.当r=2cm时，d＞r，斜边AB与⊙C相离.当r=2.4cm时，d＝r，斜边AB与⊙C相切.当r=3cm时，d＜r，斜边AB与⊙C相交.知2－讲解：（来自《教材》）已知一个圆的直径为10.如果这个圆的圆心到一条直线的距离分别等于3,5,6，那么这条直线与这个圆的位置关系分别是怎样的？知2－练（来自《教材》）1因为圆的直径为10，所以圆的半径为5.当直线与圆心的距离等于3时，因为3＜5，所以直线与圆相交；当直线与圆心的距离等于5时，因为5＝5，所以直线与圆相切；当直线与圆心的距离等于6时，因为6＞5，所以直线与圆相离．解：如图，∠AOB=30°，M为OB

上一点，且OM=6cm.以点M为圆心画圆，当其半径r分别等于2cm，3cm，4cm时，直线OA与⊙M分别有怎样的位置关系？为什么？知2－练（来自《教材》）2知2－练（来自《教材》）过点M作OA的垂线，垂足为N.因为∠AOB＝30°，∠ONM＝90°，OM＝6cm，所以MN＝12OM＝3cm.当r＝2cm时，MN＞r，所以⊙M与直线OA相离；当r＝3cm时，MN＝r，所以⊙M与直线OA相切；当r＝4cm时，MN＜r，所以⊙M与直线OA相交解：【中考·湘西州】在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3cm，AC＝4cm，以点C为圆心，以2.5cm为半径画圆，则⊙C与直线AB的位置关系是(

)A．相交

B．相切C．相离

D．不能确定知2－练3A已知⊙O的半径为3，M为直线AB上一点，若MO＝3，则直线AB与⊙O的位置关系为(

)A．相切

B．相交C．相切或相离

D．相切或相交知2－练4D如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，D，E分别是AC，AB的中点，则以DE为直径的圆与BC的位置关系是(

)A．相交B．相切C．相离D．无法确定知2－练5A如图，在直角坐标系中，⊙O的半径为1，则直线y＝－x＋

与⊙O的位置关系是(

)A．相离B．相交C．相切D．以上三种情形都有可能知2－练6C3知识点

直线与圆的位置关系的性质知3－讲

例3在Rt△ABC中，AC＝3cm，BC＝4cm，∠ACB＝

90°.若以点C为圆心，r为半径的圆与直线AB不相离，求r的取值范围．⊙C与直线AB不相离，即⊙C与直线AB相交或相切，因此只需点C到直线AB的距离小于或等于r.

导引：知3－讲如图，过点C作CD⊥AB于点D.

在Rt△ABC中，

AC＝3cm，BC＝4cm，∠ACB＝90°，

∴AB＝又∵S△ABC＝AB•CD=AC•BC,∴CD＝2.4cm.∴r≥2.4cm.解：总

结知3－讲(1)直线和圆的位置关系的应用过程实质是一种数形

结合思想的转化过程，它始终是“数”：圆心到

直线的距离与圆的半径大小，与“形”：直线和

圆的位置关系之间的相互转化．(2)圆心到直线的距离通常用勾股定理与面积相等法

求出．【中考·永州】如图，给定一个半径长为2的圆，圆心O到水平直线l的距离为d，即OM＝d.我们把圆上到直线l的距离等于1的点的个数记为m.如d＝0时，l为经过圆心O的一条直线，此时圆上有四个到直线l的距离等于1的点，即m＝4，由此可知：(1)当d＝3时，m＝________；(2)当m＝2时，d的取值范围

是___________．知3－练111＜d＜3【中考·百色】以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆，若直线y＝－x＋b与⊙O相交，则b的取值范围是(

)A．0≤b＜2B．－2≤b≤2C．－2＜b＜2D．－2＜b＜2知3－练2D【中考·益阳】如图所示，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为(－3，0)，将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为(

)A．1

B．1或5

C．3

D．5知3－练3B【中考·台州】如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P，Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最大值与最小值的和是(

)A．6

B．

C．9

D.知3－练4C1.直线和圆的位置关系：相交、相切、相离.（1）从公共点数来判断；（2）从d与r间的数量关系来判断.2.直线和圆的位置关系的性质与判定：（1）直线和圆相离d＞r；（2）直线和圆相切d=r；（3）直线和圆相交d＜r.1知识小结如图，在平面直角坐标系第一象限内有一矩形OABC，B(4，2)，现有一圆同时和这个矩形的三边都相切，则此圆的圆心P的坐标为______________________________．易错点：判断圆和各边相切时考虑不全而漏解.(1，1)或(3，1)或(2，0)或(2，2)2易错小结第二十九章直线与圆的位置关系29.3切线的性质与判定第1课时切线的性质1课堂讲解切线的性质定理切线性质定理的应用2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升前一节课已经学到点和圆的位置关系．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：点P在圆外⇔

d>r，如图（a）所示；点P在圆上⇔d=r，如图（b）所示；点P在圆内⇔d<r，如图（c）所示．1知识点切线的性质定理知1－导前面我们已学过的切线的性质有哪些？答：①切线和圆有且只有一个公共点；②切线和圆心的距离等于半径.切线还有什么性质？知1－导切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.例1

[中考·梅州]如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切

线，A为切点，BC经过圆心．若∠B＝20°，则

∠C的大小为(

)A．20°

B．25°C．40°D．50°知1－讲D如图，连接OA，根据切线的性质，先求出∠OAC＝90°，再根据等腰三角形的性质和∠B＝20°，可以求出∠AOC＝40°，最后根据直角三角形中两锐角互余就可以求出∠C＝50°.答案：D知1－讲（来自教材）导引:总

结知1－讲(1)半径处处相等可得等腰三角形，从而底角相等；(2)切线垂直于过切点的半径得直角三角形，从而

两锐角互余．如图，PA为⊙O的切线，切点为A，OP=2，∠APO=30°求⊙O的半径.知1－练（来自教材）1连接OA，则OA为⊙O的半径，因为PA是⊙O的切线，所以OA⊥AP，又∠APO＝30°，OP＝2，所以OA＝

OP＝1，即⊙O的半径为1.解:如图，CD为⊙O的直径，点A在DC的延长线上，直线AE与⊙O相切于点B，∠A=28°.求∠DBE的度数.知1－练（来自教材）2知1－练（来自教材）连接OB，则OB＝OD，因为AE与⊙O相切于点B，所以OB⊥AE，即∠ABO＝90°，又因为∠A＝28°，所以∠AOB＝180°－28°－90°＝62°.所以∠OBD＝∠ODB＝12∠AOB＝31°.所以∠DBE＝90°－∠OBD＝90°－31°＝59°.解:下列说法正确的是(

)A．圆的切线垂直于半径B．垂直于切线的直线经过圆心C．经过圆心且垂直于切线的直线经过切点D．经过切点的直线经过圆心知1－练3C【中考·吉林】如图，直线l是⊙O的切线，A为切点，B为直线l上一点，连接OB交⊙O于点C.若AB＝12，OA＝5，则BC的长为(

)A．5B．6C．7D．8知1－练4D【中考·无锡】如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，BC交⊙O于点D，若∠C＝70°，则∠AOD的度数为(

)A．70°B．35°C．20°D．40°知1－练5D【中考·湖州】如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB＝90°，∠A＝25°，过点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点D，则∠D的度数是(

)A．25°B．40°C．50°D．65°知1－练6B【中考·邵阳】如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O外一点，CA，CD是⊙O的切线，A，D为切点，连接BD，AD.若∠ACD＝30°，则∠DBA的大小是(

)A．15°B．30°C．60°D．75°知1－练7B【中考·泰安】如图，圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O，过点C的切线与边AD所在直线垂直于点M，若∠ABC＝55°，则∠ACD等于(

)A．20°B．35°C．40°D．55°知1－练8A2知识点切线性质定理的应用知2－讲例2如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠BAC＝2∠B，⊙O的切线AP与OC的延长线相交于点P，若PA＝6cm，求AC的长．知2－讲根据AB是⊙O的直径求出∠ACB＝90°，再根据∠BAC＝2∠B求出∠B＝30°，∠BAC＝60°，得出△AOC是等边三角形，得出∠AOC＝60°，OA＝AC，在Rt△OAP中，求出OA，即可求出AC的长．导引：知2－讲∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.又∵∠BAC＝2∠B，∴∠B＝30°，∠BAC＝60°.又∵OA＝OC，∴△AOC是等边三角形，∴∠AOC＝60°，AC＝OA.∵PA是⊙O的切线，∴∠OAP＝90°.在Rt△OAP中，∵PA＝6cm，∠AOP＝60°，∴OA＝＝6(cm)，∴AC＝OA＝6cm.解：总

结知2－讲圆的切线垂直于过切点的半径，这个性质为解题提供了隐含条件．当已知直线为圆的切线时，可以连接过切点的半径，由切线的性质得出直角三角形，再根据锐角三角函数求解．如图，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，OA交小圆于点D，若OD＝2，tan∠OAB＝

，则AB的长是(

)A．4B．2C．8D．4知2－练1C【中考·无锡】如图，菱形ABCD的边AB＝20，面积为320，∠BAD＜90°，⊙O与边AB，AD都相切，AO＝10，则⊙O的半径长等于(

)A．5B．6C．2D．3知2－练2C如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限内，x轴与⊙P相切于点Q，y轴与⊙P相交于M(0，2)，N(0，8)两点，则点P的坐标是(

)A．(5，3)B．(3，5)C．(5，4)D．(4，5)知2－练3D【中考·宜昌】如图，圆形薄铁片与直角三角尺、直尺紧靠在一起平放在桌面上．已知铁片的圆心为O，三角尺的直角顶点C落在直尺的10cm处，铁片与直尺的唯一公共点A落在直尺的14cm处，铁片与三角尺的唯一公共点为B.下列说法错误的是(

)A．圆形铁片的半径是4cmB．四边形AOBC为正方形C．弧AB的长度为4πcmD．扇形OAB的面积是4πcm2知2－练4C圆的切线垂直于过切点的半径.已知直线满足：(1)过圆心；(2)过切点；(3)垂直于直线任意两个，就可得到第三个.1知识小结【中考·嘉兴】如图，△ABC中，AB＝5，BC＝3，AC＝4，以点C为圆心的圆与AB相切，则⊙C的半径为(

)A．2.3B．2.4C．2.5D．2.6易错点：忽视“过切点”这一条件而致错.B2易错小结第二十九章

直线与圆的位置关系29.3切线的性质与判定第2课时

切线的判定1课堂讲解切线的判定定理切线的性质和判定的应用2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升1.直线和圆有哪些位置关系？

相交、相切、相离2.切线的性质是什么？性质:圆的切线垂直于过切点的半径.

几何语言：如图所示，∵直线l切☉O于T，∴OT⊥l.回顾旧知1知识点切线的判定定理知1－导如图，在⊙O中，经过半径OA的外端点A

作直线

l⊥OA，则圆心O到直线l的距离是多少？直线l和⊙O

有什么位置关系？经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．lOA

例1如图，已知AB为⊙O的直径，点D在AB的延长线上，

BD＝OB，点C在圆上，∠CAB＝30°.

求证：DC是⊙O的切线．

因为点C在圆上，所以连接OC，

证明OC⊥CD，而要证OC⊥CD，

只需证△OCD为直角三角形．知1－讲导引：知1－讲证明：如图，连接OC，BC.∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∵∠CAB＝30°，∴BC＝AB＝OB.又∵BD＝OB，∴BC＝BD＝OB＝OD，∴∠OCD＝90°.∴DC是⊙O的切线．知1－讲切线的判定方法有三种：①直线与圆有唯一公共点；②直线到圆心的距离等于该圆的半径；③切线的判定定理．即

经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的

切线.如图，直线AB经过⊙O上一点C，并且OA=OB，CA=CB.直线AB与⊙O具有怎样的位置关系？请说明理由.知1－练（来自《教材》）1AB与⊙O相切，理由如下：连接OC，因为OA＝OB，CA＝CB，所以△AOB是等腰三角形，且OC是△AOB底边上的中线，所以OC⊥AB.又因为直线AB经过半径OC的外端，所以AB与⊙O相切．解：下列四个命题：①与圆有公共点的直线是圆的切线；②垂直于圆的半径的直线是圆的切线；③到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；④过直径端点，且垂直于此直径的直线是圆的切线．其中是真命题的是(

)A．①②B．②③C．③④D．①④知1－练2C如图，△ABC是⊙O的内接三角形，下列选项中，能使过点A的直线EF与⊙O相切于点A的条件是(

)A．∠EAB＝∠C

B．∠EAB＝∠BACC．EF⊥AC

D．AC是⊙O的直径知1－练3A如图所示，PA与⊙O相切于点A，PO交⊙O于点C，点B是优弧CA上一点，若∠P＝26°，则∠ABC的度数为(

)A．26°B．64°C．32°D．90°知1－练4C如图，点P在⊙O的直径BA延长线上，PC与⊙O相切，切点为C，点D在⊙O上，连接PD、BD，已知PC＝PD＝BC.下列结论：①PD与⊙O相切；②四边形PCBD是菱形；③PO＝AB；④∠PDB＝120°.其中，正确的有(

)A．4个B．3个C．2个D．1个知1－练5A如图，AB是⊙O的直径，线段BC与⊙O的交点D是BC的中点，DE⊥AC于点E，连接AD，则下列结论中正确的个数是(

)①AD⊥BC；②∠EDA＝∠B；③OA＝AC；④DE是⊙O的切线．A．1B．2C．3D．4知1－练6D2知识点切线的性质和判定的应用知2－导[中考·湖州]如图，已知BC是⊙O的直径，AC切⊙O于点C，AB交⊙O于点D，E为AC的中点，连接DE.(1)若AD＝DB，OC＝5，

求切线AC的长；(2)求证：DE是⊙O的切线．

例2(1)已知BC是⊙O的直径，可连接CD，构造直径

所对的圆周角，结合AD＝DB，可得AC＝BC；(2)要证DE是⊙O的切线，而点D在圆上，可联想

到连接OD，设法证DE⊥OD即可．知2－讲导引：(1)连接CD，如图.∵BC是⊙O的直径，

∴∠BDC＝90°，即CD⊥AB，∵AD＝DB，

∴AC＝BC＝2OC＝10.知2－讲解：(2)连接OD，如图.∵∠ADC＝90°，E为AC的中点，∴DE＝EC＝

AC，∴∠1＝∠2，∵OD＝OC，∴∠3＝∠4，∵AC切⊙O于点C，∴AC⊥OC，∴∠1＋∠3＝∠2＋∠4＝90°，即DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线．知2－讲证明：总

结知2－讲看到切线，就想到作过切点的半径，看到直径就想到直径所对的圆周角是直角；看到切线的判定，就想到：①有切点，连半径，证垂直；②无切点，作垂线，证相等．如图，P是⊙O外一点，OP交⊙O于点A，OA＝AP.甲、乙两人想作一条过点P且与⊙O相切的直线，其作法如下：甲：以点A为圆心，AP长为半径画弧，

交⊙O于B点，则直线BP即为所求．乙：过点A作直线MN⊥OP，以点O为圆心，OP为半径画弧，交射线AM于点B，连接OB，交⊙O于点C，直线CP即为所求．对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是(

)A．甲正确，乙错误B．甲错误，乙正确C．两人都正确D．两人都错误知2－练1C如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是(

)A．点(0，3)

B．点(2，3)

C．点(5，1)

D．点(6，1)知2－练2C如图，已知在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，作∠ABC的角平分线交AC于D，以D为圆心，DA为半径作圆，与射线BD交于点E，F.有下列结论：①△ABC是直角三角形；②⊙D与直线BC相切；③点E是线段BF的黄金分割点；④tan∠CDF＝2.其中正确的结论有(

)A．4个B．3个C．2个D．1个知2－练3A圆的切线切线的判定切线的性质定义法数量法d=r判定定理切线和圆只有一个公共点圆心到切线的距离等于半径圆的切线垂直于过切点的半径↗↗↗↘↘↘→→1知识小结如图，点O为∠MPN的平分线上一点，以点O为圆心的⊙O与PN相切于点A.求证：PM为⊙O的切线．2易错小结易错点：判定直线与圆相切时理由不充分.如图，连接OA，过点O作OB⊥PM于点B.∵PN与⊙O相切于点A，∴OA⊥PN.∵点O在∠MPN的平分线上，

OB⊥PM，∴OB＝OA.∴点O到直线PM的距离等于⊙O的半径．∴PM为⊙O的切线．证明：易错总结：利用切线的判定定理需满足两个条件：(1)经过半径外端，(2)与这条半径垂直，这两个条件缺一不可．证明一

条直线是圆的切线时，当直线和圆未明确是否有

公共点时，应“作垂线，证半径”，而本题易错

解为“连半径，证垂直”．第二十九章

直线与圆的位置关系29.4切线长定理第1课时

切线长定理1课堂讲解切线长定理切线长定理的应用2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升前面我们已经学习了切线的判定和性质，已知⊙O和⊙O外一点P，你能够过点P画出⊙O的切线吗？1.猜想：图中的线段PA与PB有什么关系？2.图中还有哪些量？猜想它们之间有什么关系？1知识点切线长定理知1－讲PBCO切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长.思考：切线长和切线的区别和联系？归纳知1－讲切线是直线，不可以度量；切线长是指切线上的一条线段的长，可以度量.知1－讲切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.PABO请你们结合图形用数学语言表达定理PA、PB分别切⊙O于A、B,连结POPA=PB∠OPA=∠OPB已知：如图，过点P的两条直线分别与⊙O相切于点A，B，Q为劣弧AB上异于点A，B的任意一点，过点Q的切线分别与切线PA，PB相交于点C，D.求证：△PCD的周长等于2PA.知1－讲⌒

例1（来自《教材》）（来自《教材》）知1－讲∵PA，PB，CD都是⊙O的切线，∴PA=PB

，

CQ=CA，DQ=DB.△PCD的周长=PC+PD+CD

=PC+PD+CQ+DQ=PC+PD+CA+DB

=PA+PB=2PA.证明：总

结知1－讲利用切线长定理，可以进行线段的替换，从而求线段的和或差的长度.1下列说法正确的是(

)A．过任意一点总可以作圆的两条切线

B．圆的切线长就是圆的切线的长度

C．过圆外一点所画的圆的两条切线长相等

D．过圆外一点所画的圆的切线长一定大于圆的半径知1－练C如图，PA切⊙O于A，PB切⊙O于B，连接OP，AB.下列结论不一定正确的是(

)A．PA＝PB

B．OP垂直平分AB

C．∠OPA＝∠OPB

D．PA＝AB知1－练2D【中考·南充】如图，PA和PB是⊙O的切线，点A和B是切点，AC是⊙O的直径，已知∠P＝40°，则∠ACB的大小是(

)A．60°

B．65°C．70°

D．75°知1－练3C如图，PA，PB是⊙O的切线，且∠APB＝50°，下列结论不正确的是(

)A．PA＝PB

B．∠APO＝25°C．∠OBP＝65°D．∠AOP＝65°知1－练4C2知识点切线长定理的应用知2－讲如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别为A，B，BC为⊙O的直径，连接AB，AC，OP.求证：(1)∠APB＝2∠ABC；(2)AC∥OP.例2知2－讲(1)由切线长定理知∠BPO＝∠APO＝∠APB，

而要证∠APB＝2∠ABC，即证明∠ABC＝

∠APB＝∠BPO，利用同角的余角相等可证；(2)证明AC∥OP，可用AC⊥AB，OP⊥AB，也

可用同位角相等来证．（来自教材）导引：知2－讲(1)∵PA，PB分别切⊙O于点A，B，

∴由切线长定理知∠BPO＝∠APO＝∠APB，

PA＝PB，∴PO⊥AB，∴∠ABP＋∠BPO＝90°.又∵PB是⊙O的切线，∴OB⊥PB.∴∠ABP＋∠ABC＝90°.∴∠ABC＝∠BPO＝∠APB，即∠APB＝2∠ABC.证明：知2－讲(2)∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，即AC⊥AB.由(1)知OP⊥AB，∴AC∥OP.知2－讲总结切线长定理的内容揭示两个方面，一是切线长相等，揭示线段之间的数量关系；二是与圆心的连线平分两切线的夹角．

这两个方面的内容为证明线段之间的关系或者角之间的关系提供了大量的条件．为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用如下方法：将铁环平放在水平桌面上，用一个含有30°角的三角尺和一把刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径．若P为切点，测得PA＝5cm，则铁环的半径是________．知2－练1【中考·南京】如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为(

)B.

C.

D．知2－练2A【中考·荆州】如图，过⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA，PB，切点分别是A，B，OP交⊙O于点C，点D是优弧AC上不与点A、点C重合的一个动点，连接AD，CD.若∠APB＝80°，则∠ADC的度数是(

)A．15°B．20°C．25°D．30°知2－练3C如图，从⊙O外一点P引圆的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，点C是劣弧AB上一点，过点C的切线分别交PA，PB于点M，N，若⊙O的半径为2，∠P＝60°，则△PMN的周长为(

)A．4B．6C．4D．6知2－练4C如图，AB为半圆O的直径，AD，BC分别切⊙O于A，B两点，CD切⊙O于点E，AD与CD相交于点D，BC与CD相交于点C，连接OD，OC，对于下列结论：①OD2＝DE·CD；②AD＋BC＝CD；③OD＝OC；④S梯形ABCD＝

CD·OA；⑤∠DOC＝90°.其中正确的结论是(

)A．①②⑤B．②③④C．③④⑤D．①④⑤知2－练5A切线长定理

从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.1知识小结既有外接圆，又有内切圆的平行四边形是(

)A．矩形B．菱形C．正方形D．矩形或菱形2易错小结C易错点：变式应用切线长定理时因考虑不全而致错.第二十九章

直线与圆的位置关系29.4切线长定理第2课时

三角形的内切圆1课堂讲解三角形内切圆及相关概念三角形内切圆的性质2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升复习回顾什么是切线长定理？1知识点三角形内切圆及相关概念知1－讲从一块三角形的材料上截下一块圆形的用料，怎样才能使圆的面积尽可能最大呢？知1－讲作圆：使它和已知三角形的各边都相切已知：△ABC求作：和△ABC的各边都相切的圆作法：1、作∠B,∠C的平分线BM和CN，交点为O2、过点O作OD

⊥BC.垂足为D.3、以O为圆心，OD为半径作圆O.如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC＝80°，则∠BOC的度数为(

)A．130°

B．100°

C．50°

D．65°知1－讲由题意知BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线，∴∠OBC＋∠OCB＝(∠ABC＋∠ACB)

＝×(180°－80°)＝50°，∴∠BOC＝180°－50°＝130°.例1导引：A总

结知1－讲根据内心的确定方法可知，内心就是三角形三条内角平分线的交点．解决此类问题可以转化为三角形中求两条角平分线的夹角问题．如图，⊙O为△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F.(1)图中有几对相等的线段？(2) 若AD=2，BE=3，CF=1，求△ABC的周长.知1－练（来自《教材》）1知1－讲(1)因为⊙O为△ABC的内切圆，切点分别为D，

E，F，

所以AD＝AF，BD＝BE，CE＝CF，

所以图中有3对相等的线段．(2)因为AD＝AF，BD＝BE，CE＝CF，

所以△ABC的周长＝AB＋BC＋AC

＝2(AD＋BE＋CF)

＝2×(2＋3＋1)＝12.解：如图，在△ABC中，∠A=50°，它的内心为I.求∠BIC的度数.知1－练（来自《教材》）2因为I是△ABC的内心，所以⊙I是△ABC的内切圆，所以BI，CI分别是∠ABC，∠ACB的平分线．又因为∠A＝50°，所以∠ABC＋∠ACB＝130°，所以∠IBC＋∠ICB＝65°，所以∠BIC＝180°－65°＝115°.解：下列说法错误的是(

)A．三角形的内切圆与三角形的三边都相切B．一个三角形一定有唯一一个内切圆C．一个圆一定有唯一一个外切三角形D．等边三角形的内切圆与外接圆是同心圆知1－练3C【中考·广州】如图，⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的(

)A．三条边的垂直平分线的交点B．三条角平分线的交点C．三条中线的交点D．三条高的交点知1－练4B【中考·河北】如图为4×4的网格图，A，B，C，D，O均在格点上，点O是(

)A．△ACD的外心B．△ABC的外心C．△ACD的内心D．△ABC的内心知1－练5B下列说法：①三角形的内心不一定在三角形的内部；②若点I是△ABC的内心，则AI平分∠BAC；③三角形有唯一的内切圆，圆有唯一的外切三角形．其中正确的有(

)A．0个B．1个C．2个D．3个知1－练6B【中考·眉山】如图，在△ABC中，∠A＝66°，点I是内心，则∠BIC的大小为(

)A．114°B．122°C．123°D．132°知1－练7C知2－讲2知识点三角形内切圆的性质如图所示，⊙O是Rt△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，求⊙O的半径r.例2知2－讲连接OA，OB，OC，OD，OE，OF，利用S△ABC＝S△COB＋S△BOA＋S△AOC求解，还可以发现四边形OECD为正方形，则可利用切线长定理，用含r的代数式表示AB的长再求解．导引：知2－讲方法一：如图，连接OA，OB，OC，OD，OE，OF，则OD＝OE＝OF＝r，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB.在Rt△ABC中，AB＝

＝5.∵S△ABC＝

S△COB＋

S△BOA＋

S△AOC，∴AC·BC＝BC·r＋AB·r＋AC·r

＝(BC＋AB＋AC)·r.∴r＝

＝1.解：知2－讲方法二：如图，连接OD，OE，则OE⊥AC，OD⊥BC，又∵EC⊥CD，且OE＝OD＝r，∴四边形OECD是正方形．∴EC＝CD＝r.∴AB＝AF＋BF＝AE＋BD

＝(AC－EC)＋(BC－CD)

＝3－r＋4－r＝7－2r.又易知AB＝＝5，∴7－2r＝5，即r＝1.【中考·德州】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有下列问题“今有勾八步，股十五步．问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，勾(短直角边)长为8步，股(长直角边)长为15步(如图)，问该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)直径是多少？”(

)A．3步B．5步C．6步D．8步知2－练1C在△ABC中，已知∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，则它的内切圆半径是(

)A.B．1C．2D.知2－练2B如图，正三角形ABC的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为(

)A．2B．3C.D．2知2－练3D【中考·武汉】已知一个三角形的三边长分别为5，7，8，则其内切圆的半径为(

)A.B.C.D．知2－练4C【中考·遵义】如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，连接AC，⊙P和⊙Q分别是△ABC和△ADC的内切圆，则PQ的长是(

)A.B.C.D．知2－练5B如图，O是△ABC的内心，过点O作EF∥AB，与AC，BC分别相交于点E，F，则(

)A．EF＞AE＋BFB．EF＜AE＋BFC．EF＝AE＋BFD．EF≤AE＋BF知2－练6C内切圆：与三角形的三边都相切的圆有且只有一个,我们称这个圆为三角形的内切圆.内心：内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的内心.1知识小结如图，在△ABC中，点I是△ABC的内心，∠BAC的平分线和△ABC的外接圆相交于点D和BC交于点E.求证：DI＝DB.2易错小结易错点：混淆外心与内心的概念.如图，连接BI.∵点I是△ABC的内心，∴BI平分∠ABC.∴∠ABI＝∠CBI.∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC.∵∠DAC与∠DBC均为DC所对的圆周角，∴∠DAC＝∠DBC.∴∠ABI＋∠BAD＝∠CBI＋∠DBC，∴∠BID＝∠IBD.∴DI＝DB.证明：︵三角形的内心是三角形内切圆的圆心，即三角形三条角平分线的交点；三角形的外心是三角形外接圆的圆心，即三角形三边垂直平分线的交点．本题中既出现了三角形的外接圆，又出现了三角形的内切圆，易混淆三角形的内心与外心的概念，造成证明错误．易错总结：第二十九章

直线与圆的位置关系29.5正多边形与圆第1课时圆内接正多边形1课堂讲解圆内接正多边形及相关定义圆内接正多边形的画法2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升1.观察下面的三幅图片，说说图片中各包含哪些多边形.2.日常生活中我们经常看到哪些多边形形状的物体?1知识点圆内接正多边形及相关定义

顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形.这个圆叫做该正多边形的外接圆.知1－导知1－讲正n边形的各角相等，且每个内角为：每个外角为：知1－讲下列说法不正确的是(

)A．等边三角形是正多边形B．各边相等，各角也相等的多边形是正多边形C．菱形不一定是正多边形D．各角相等的多边形是正多边形例1导引：等边三角形是正三角形；各边相等，各角也相等的多边形是正多边形；当菱形的四个角相等时才是正多边形(正方形)，所以菱形不一定是正多边形；D说法不正确.答案：DD总

结知1－讲正多边形的识别要从两个角度去看，一是边都相等；二是内角都相等．知1－讲如图，五边形ABCDE内接于⊙O，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E.求证：五边形ABCDE是正五边形．例2导引：根据同圆中相等的圆周角所对的弧相等，得出

利用等式的性质，两边同时减去

，即可得到

，根据等弧所对的弦相等，得出BC＝AE.知1－讲解：∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E，圆周角∠A对

，

圆周角∠B对

，∴.∴，即.∴BC＝AE.同理可证其余各边都相等．∴五边形ABCDE是正五边形．总

结知1－讲(1)证正多边形和圆的关系，在图形中找到圆的弧、弦等，利用同(等)弧所对的圆周角相等、所对的弦相等解答．其证明思路如下：角相等⇒弧相等⇒弦相等⇒⇒正多边形．(2)证明一个多边形是正多边形的方法：①利用定义，证出各边相等，各角相等；②利用圆内接多边形，证明各边所对的弧相等，即把圆n等分，依次连接各等分点，所得多边形即为正多边形．知1－练（来自《教材》）对于三角形，如果三边相等，那么它的三个角一定相等.反过来，如果三个角相等，那么它的三边也一定相等.对于其他多边形，如果去掉“各边相等”和“各角相等”两个条件中的任意一个，还能保证这个多边形是正多边形吗？请举例说明.1解：不能．例如：菱形的各边都相等，但不是正多边形．知1－练（来自《教材》）一个正多边形的边心距与边长的比为

，求这个正多边形的边数.2解：连接OA，OB，如图．设OC＝a，则AB＝2a.∴AC＝BC＝a.∴∠AOC＝∠BOC＝45°，∴∠AOB＝90°.∵360°÷90°＝4.∴这个正多边形的边数为4.知1－练【中考·株洲】下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是(

)A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形正多边形的一边所对的中心角与该多边形的一个内角的关系为(

)A．两角互余B．两角互补C．两角互余或互补D．不能确定34AB知1－练【中考·滨州】若正方形的外接圆半径为2，则其内切圆半径为(

)A．B.C．D．15A知1－练【中考·沈阳】正六边形ABCDEF内接于⊙O，正六边形的周