Lingo软件在求解数学优化问题的使用技巧

#乙x=5iTOC\o"1-5"\h\z=1x+x=112s.t.1x+x+x>1678x+x+x<2146x+x<18x,x，…,x=0或1128用LINGO编程如下：MODEL:SETS:team/1..8/:a,x;ENDSETSDATA:a=1.92,1.90,1.88,1.86,1.85,1.83,1.80,1.78;!给出身高数据;ENDDATAmax=@sum(team(i):a(i)*x(i))/5.0;@SUM(team(i):x(i))=5;!所选队员为5人;x(1)+x(2)=1;!只能有一名中锋上场;x(6)+x(7)+x(8)>=1;!至少有一名后卫上场;x(1)+x(4)+x(6)<=2;!如果1号和4号上场，则6号不上场;x(2)+x(8)<=1;!2号和8号至少有一个不出场.即出场人数至多为1个;@FOR(team(i):@bin(x(i)));!所有变量为0-1变量;END所得到的解为:x(1)=0,x(2)=1,x(3)=1,x(4)=1,x(5)=1,x(6)=1,x(7)=0,x(8)=0即第2,3,4,5,6名队员被选上。最大平均身高为Z=1.864米5.有五项设计任务可供选择。各项设计任务的预期完成时间分别为3,8,5,4,10(周)设计报酬分别为7,17,11,9,21(万元)。设计任务只能一项一项地进行，总的期限为20周选择任务时必须满足下面要求：至少完成3项设计任务。若选择任务1，必须同时选择任务2。任务3和任务4不能同时选择。应当选择哪些任务，才能使总的设计报酬最大？分析与求解：这是一个0-1整数规划问题。设0-1变量x如下：i~0第i项设计任务未选上x=1i[1第i项设计任务被选上设各项设计任务的完成时间为t(i=1,2,…,5)表示，设计报酬为m(i=1,2,…,5)表示。则

容易得到目标函数：maxZ=Xmxiii二1根据题目要求分别列出约束条件如下：总期限为避免20周，则约束条件为Xtx<20iii二1至少完成3项设计任务，则Xx>3ii二1若选择任务1,必须同时选择任务2,则x>x。21任务3和任务4不能同时选择，则x+x<1，该约束表达式表明任务3和任务4至多只34能选择1个。因此对该问题建立的数学模型如下：maxZ=Xmxiii=1Xtx<20iiXx>3Xx>3iS.t・vi=1x>x21x+x<134x,x,x,x=0或11234LINGO程序如下：MODEL:SETS:mat/1..5/:m,t,x;ENDSETSDATA:m=7,17,11,9,21;!定义报酬数组;t=3,8,5,4,10;!定义完成时间;ENDDATAmax=@SUM(mat(i):m(i)*x(i));!定义目标函数;@SUM(mat(i):t(i)*x(i))<=20;!期限约束;@SUM(mat(i):x(i))>=3;!至少完成3项任务;x(2)>=x(1);!若选择任务1，必须同时选择任务2x(3)+x(4)<=1;!任务3和任务4不能同时选择。;@FOR(mat(i):@BIN(x(i)));!使各变量为0-1变量;END得到的解为x(1)=1,x(2)=1,x(3)=1,x(4)=0,x(5)=0。最大报酬为35万元。即在满足各种约束条件下，选择设计任务1,2,3，可使总报酬达到最大为35万元。固定费用有四种资源被用于生产三种产品，资源量、产品单件可变费用、单件售价、资源单耗量及组织三种商品生产的固定费用见下表。现要求制定一个生产计划，使总收益最大。^源^量品IIIIII资源量A248500B234300C123100D357700单件可变费用4612固定费用100150200单件售价71020分析与求解：总收益等于销售收入减去生产产品的固定费用与可变费用之和。问题的困难之处在于事先不知道某种产品是否生产，因而不能确定是否有相应的固定费用。可引入用0-1变量来解决是否需要固定费用问题。设Xj是第j种产品的产量，j=1,2,3；再设1若生产第j种产品(x>0)y=2jj=123j0若不生产第j种产品(X=0)J，'j第I种产品销售一件可收入7-4=3元，第II种产品销售一件可收入10-6=4元，第III种产品销售一件可收入20-12=8元。则问题的整数规划模型为：maxZ=3x+4x+8x-100y-150y-200y123123x+4x+8x<500123x+3x+4x<300123x+2x+3x<100123x+5x+7x<700123s.t.s.t.111x<My222x<My33x>0且为整数，j=1,2,3y=0或1,j=1,2,3j其中M为x的某个上界。如根据第2个约束条件，可取m=150,M=100，jj12M=75。也可统一取其最大值M=150。3如果生产第j种产品，则起产量x>0。由约束条件x<My知y=1，此时相应jjjjj的生产第j种产品的固定费用在目标函数被考虑。如果不生产第j种产品，则起产量x=0。j由约束条件x<My知y可为0也可为1。但显然只有y=0有利于目标函数最大，从而jjjjj相应的生产第j种产品的固定费用在目标函数将不被考虑。因此引入y是合理的。j下面是LINGO程序。MODEL:DATA:M=150;ENDDATAmax=3*x1+4*x2+8*x3-100*y1-150*y2-200*y3;!目标函数;2*x1+4*x2+8*x3<=500;2*x1+3*x2+4*x3<=300;x1+2*x2+3*x3<=100;3*x1+5*x2+7*x3<=700;x1<=M*y1;x2<=M*y2;x3<=M*y3;@GIN(x1);@GIN(x2);@GIN(x3);!指定产品件数为整数;@BIN(y1);@BIN(y2);@BIN(y3);!指定0-1变量;end得到的解为xl=100,x2=0,x3=0,yl=l,y2=0,y3=0。最大值为Z=200元。某公司生产A,B和C3种产品，售价分别是12元、7元和6元。生产每件A产品需要1小时技术服务、10小时直接劳动、3千克材料；生产每件B产品需要2小时技术服务、4小时直接劳动、2千克材料；生产每件C产品需要1小时技术服务、5小时直接劳动、1千克材料。现在最多能提供100小时技术服务、700小时直接劳动、400千克材料。生产成本是非线性函数，如下表。要求建立一个总利润最大的数学模型。产品A成本产品B成本产品C成本(产量件)(元/件)(产量件)(元/件)(产量件)(元/件)0〜40100〜5060〜100541〜100951〜1004100以上4101〜1508100以上3150以上7分析与求解：

设生产产品Ax件，生产产品Bx件，生产产品Cx件。问题的难点是产品的成本是一个分123段函数，难以用线性函数表达，因此可采用动态库编写一个专门的函数来计算成本。设产品A每件的成本为a元，产品B每件的成本为b元，产品C每件的成本为c元，a、b、c随x、x、x而改变。123目标函数为：maxZ=目标函数为：maxZ=12x+7x12+6x-(ax+bx+cx)3123x+2x+x<10012310x+4x+5x<700s.t.{123x+2x+x<400123x,x,x>0且为整数12310其中a0<x10其中a0<x<40141<x<1001101<x<1502150以上0<x<50251<x<100，2100以上5c=140<x3<100100以上由于目标函数是非线性的，且难以用一个式子表达，因此采用自己编写用户函数的方式来实现。这里先介绍@USER函数该函数允许用户自己编写函数，该函数应当用C或FORTRAN语言编写，返回值为用户计算的结果。从编程角度来看，@USER函数包含两个参数：第一个用于指定参数的个数，第二个用于指定参数向量(类似于C语言中的main(argc,argv)的编写格式)。在LINGO中调用@USER时则直接指定对应的参数(类似C语言中的main(argc,argv)的执行格式)。该函数采用动态库编写。这里的例子采用VC编写动态库。注意动态库中该函数名固定为MYUSER，在LINGO中调用时则固定外部函数名为USER。下面是VC中该动态库的编写过程：启动VC6.0，选择File->New。启动New属性单，选择Projects页面。再选择WIN32Dynamic-LinkLibrary。在右边Projectname标签下的编辑框中任意输入一个工程名。如CALC。点击OK命令按钮后就建立了一个新的空的工程。选择Project->AddtoProject->New。在New属性单中选择File页面。在下面空白框中选择C++SourceFile。在右边File标签下的编辑框中输入一个文件名。^口CB。编辑C++程序CB.CPP如下：#include<windows.h>#include<string.h>#include<stdio.h>#include<stdlib.h>#include<math.h>#defineN3#defineDllExportextern"C"__declspec(dllexport)//该函数计算成本DllExportvoidMYUSER(int*NumArgs,double*x,double*dResult){doublesum;if(*NumArgs<N){MessageBox(NULL,输入变量不足”，”输入错误”,MB_OK);*dResult=-1;exit(0);}sum=0;〃产品A的成本计算if(x[0]>=0&&x[0]<=40)sum+=10*x[0];elseif(x[0]>=41&&x[1]<=100)sum+=9*x[0];elseif(x[0]>=101&&x[1]<=150)sum+=8*x[0];elsesum+=7*x[0];〃产品B的成本计算if(x[1]>=0&&x[1]<=50)sum+=6*x[1];elseif(x[1]>=51&&x[1]<=100)sum+=4*x[1];elsesum+=3*x[1];〃产品C的成本计算if(x[2]>=0&&x[2]<=100)sum+=5*x[2];elsesum+=4*x[2];*dResult=sum;//返回成本总值}注意在程序中MYUSER函数的第一个整型变量NumArgs代表输入的变量个数。根据LINGO调用时输入的变量个数，可以在C++程序内部得到输入变量的总数。第二个输入为向量x，就是外部输入的变量。第三个变量dResult用于返回最后的计算结果。用LINGO调用时只需要输入各变量就行了，自然会返回C++程序计算的结果dResult。变好程序后，按F7运行后生成动态库CALC.DLL。将其拷贝到LINGO目录下，并将文件名改名为MYUSER.DLLo启动LINGO,就可以通过外部函数@USER调用动态库中自己编写的函数。LINGO程序：!采用动态库编写自己的函数;MODEL:max=12*x1+7*x2+6*x3-@USER(x1,x2,x3);!目标函数;x1+2*x2+x3<=100;!技术服务的约束;10*x1+4*x2+5*x3<=700;!直接劳动的约束;3*x1+2*x2+x3<=400;!材料的约束;@GIN(x1);@GIN(x2);@GIN(x3);end迭代6步得到局部最优解为xl=70,x2=0,x3=0o总利润最大为210元。容易验证，该局部最优解也是全局最优解。8.某企业和用户签定了设备交货合同，已知该企业各季度的生产能力、每台设备的生产成本和每季度末的交货量见下表，若生产出的设备当季度不交货，每台设备每季度需要支付保管费0.1万元，试问在遵守合同的条件下，企业应如何安排生产计划，才能使年消耗费用最低？季度工厂生产能力（台）交货量（台）每台设备生产成本（台）1251512.02352011.03302511.54202012.5分析与求解：方法1：设第i季度生产X台，库存y台，i=1,2,3,4。第i季度生产能力用p表示，交货量用diiii表示，每台设备生产成本用c表示。则建立目标函数为：iminZ=Y(cx+0.1y)iiii二1x<pi=1,2,3,4iiy=y+x—di=2,3,4TOC\o"1-5"\h\zS.tii-1iiy=x—d111x>0,y>0iiLINGO程序如下：MODEL:SETS:QUART/1..4/:x,y,p,d,c;ENDSETSDATA:!指定数据；p=25,35,30,20;d=15,20,25,20;c=12.0,11.0,11.5,12.5;ENDDATAmin=@sum(QUART(i):c(i)*x(i)+0.1*y(i));!目标函数;@FOR(QUART(i):x(i)<=p(i));!生产能力限制;@FOR(QUART(i)|i#GT#1:y(i)=y(i-1)+x(i)-d(i));y(1)=x(1)-d(1);end得到的结果如下：x1=15，x2=35，x3=30，x4=0；y1=0，y2=15，y3=20，y4=0。年消耗最小费用为913.5万元。方法1：设x.•第i季度生产第j季度交货的台数，第i季度生产能力用p表示，交货量用d表示,ijii每台设备生产成本用c表示。由于生产能力的限制，需要满足下面条件：i工x<pi=1,2,3,4ijij二i根据交货量的规定，应满足如下条件£x=dj=1,2,3,4ijji二i第i季度生产第j季度交货的每台设备所消耗的费用Cj，应等于生产成本加上保管维护费用之和，其值如下表：、产交、、季货、^i季j\1234112.012.112.212.3211.011.111.2311.511.6412.5则该模型表示如下：cxijxjmincxijxjx<pi=1,2,3,4TOC\o"1-5"\h\zijij=iS.t・<£jx=dj=1,2,3,4ijji=1x>0、ijLINGO程序如下：MODEL:SETS:QUART/1..4/:p,d;LINK(QUART,QUART)|&1#LE#&2:x,c;!只取上三角阵;ENDSETSDATA:!指定数据；p=25,35,30,20;d=15,20,25,20;c=12.012.112.212.311.011.111.211.511.612.5;

ENDDATAMIN=@SUM(LINK:c*x);!目标函数;@FOR(QUART(i):@SUM(QUART(j)|j#GE#i:x(i,j))<=p(i));!生产能力限制;@FOR(QUART(j):@SUM(QUART(i)|i#LE#j:x(i,j))=d(j));!交货合同限制;end得到的结果如下：X(1,1)=15，X(1,2)=0，X(1,3)=0，X(1,4)=0；X(2,2)=20，X(2,3)=0，X(2,4)=15。X(3,3)=25,X(3,4)=5；X(4,4)=0。年消耗最小费用为913.5万元。可以看出，第1季度生产量为15台，第2季度生产量为35台，第3季度生产量为30台，第4季度生产量为0台，与前面方法得到的结果一样。其最小费用也一样。9(TSP问题)设有一个售货员从10个城市中的某一个城市出发，去其它9个城市推销产品。10个城市相互距离如下表。要求每个城市到达一次仅一次后，回到原出发城市。问他应如何选择旅行路线，使总路程最短。城市1234567891010745861213111827031091451417173430591021827124510501491092316589914078720196614109701352513712521108130232118813148975230181291117272320252118016101817121619131812160问题分析与建模：设城市之间距离用矩阵d来表示，其中d为下三角矩阵，d..表示城市i与城市j之间的ij距离。设0--1矩阵s用来表示经过的各城市之间的路线。设‘0若不从城市i到城市js..=<[1若从城市i到城市j则该TSP问题转化为如下线性模型：sdijij工s=2j1sdijij工s=2j1£1sij工s=2jij>i-0或1s+iki-2,3,,nLINGO程序如下:!TSPquesion;MODEL:SETS:city/1..10/;link(city,city)|&1#GT#&2:d,s;ENDSETSDATA:d=73105899146141097125211081313148975231117272320252118181712161913181216;ENDDATAMIN=@SUM(link:d*s);@SUM(city(j)|j#GT#1:S(j,1))=2;!与第1个城市相连的有两个城市;!与第i个城市相连有两个城市；@FOR(city(i)|i#GT#1:@SUM(city(j)|j#GT#i:s(j,i))+@SUM(city(k)|k#LT#i:s(i,k))=2);@FOR(link:@BIN(s));得到的结果如下:S(3,2)=1,S(4,1)=1,S(4,3)=1,S(6,5)=1,S(7,2)=1,S(7,5)=1,S(8,6)=1,S(9,1)=1,S(10,8)=1,S(10,9)=1其它全为0。其最短路线为1—4—3—2—7—5—6—8—10—9—1，最短距离为77公里。10.某公司有资金4万元，可向A,B,C三个项目投资。已知各项目不同投资额的相应效益如下表。问如何分配资金可使总效益最大。项目投资额（万元）01234A041486066B042506066C064687876模型分析与建立:设项目有m个'每个项目有n种投资方式。第i个项目的第j种投资方式效益为Cj万元。则投资可有效益矩阵为C来表示。每个项目的投资方式的资金分配用向量A来表示。本mxn题A=(0,1,2,3,4)。设s..=!0jI第i个项目不采用第j种投资方式第.个项目采用第j种投资方式则可建立如下模型：mnmaxZ=乙乙SCijiji=1j=1mn乙乙SA=4ijji=1j=1n乙S<1ijj=1S=0或1ijLINGO程序如下：MODEL:SETS:item/1..3/;kind/1..5/:A;link(item,kind):S,C;ENDSETSDATA:A=0,1,2,3,4;!投资钱的情况;C=0,41,48,60,66,0,42,50,60,66,0,64,68,78,76;!投资矩阵;ENDDATAMAX=@SUM(link:S*C);@SUM(item(i):@SUM(kind(j):S(i,j)*A(j)))=4;!总共投资的钱为4万元;@FOR(item(i):@SUM(kind(j):S(i,j))<=1);!每个项目最多投资一次;@FOR(LINK:@BIN(S));!限制S(i,j)只能取0,1；END结果如下：S(1,2)=1,S(2,3)=1,S(3,2)=1。即项目A投资1万元，项目B投资2万元，项目C投资1万元。总收益最大为Z=41+50+64=155万元。

11.疏散问题甲市一家大公司由5个部门（A、B、C、D、E）组成。现要将它的几个部门迁出甲市，迁至乙市或丙市。除去因政府鼓励这样做以外，还有用房便宜，招工方便等好处。对这些好处已作出数量估价，所值每年万元数如下表：部门迁市ABCDE乙101510205丙1020151515然而，疏散之后各部门间的通讯费用将增加。部门间每年通讯量如下表：部门BCDEA0100015000B140012000C02000D700不同城市之间单位通讯量的费用如下表（单位：元）市甲乙丙甲10013090乙50140丙50试求各部门应该置于何市，使年费用最少？初、八「0第i个部门不迁往第j个城市解：设X..=\ij[1第i个部门迁往第j个城市其中各部门依次为A、B、C、D、E,各城市依次为甲、乙丙。TOC\o"1-5"\h\z令A..代表第i个部门迁往第j个城市的新增价值（元），T代表第i个部门与第j个部ijij门的通讯量，C代表第i个城市与第j个城市的单位通讯量的费用ij_0100000100000—_00100015000015000020000000140012000则A=0100000150000,T=000020000200000150000000070005000015000000000TOC\o"1-5"\h\z10013090C=130501409014050则可建立如下模型：iji=1jiji=1j=i+1乙厶XXC—iljmlml=1m=1丿i=1j=1AXijijs.tC=0或1lmLingo程序如下：MODEL:SETS:part/1..5/;city/1..3/;part_city(part,city):x,a;part_part(part,part):t;city_city(city,city):c;ENDSETSDATA:a=0,100000,100000,0,150000,200000,0,100000,150000,0,200000,150000,0,50000,150000;t=0,0,1000,1500,0,0,0,1400,1200,0,0,0,0,0,2000,0,0,0,0,700,0,0,0,0,0;c=100,130,90,130,50,140,90,140,50;ENDDATAMIN=@SUM(part_part(i,j)|i#LE#4#AND#j#GE#(i+1):t(i,j)*@SUM(city_city(l,m):x(i,l)*x(j,m)*c(l,m)))-@SUM(part_city:a*x);@FOR(part(i):@SUM(city(j):x(i,j))=1);!每个部门只能迁往一个城市@FOR(part_city(i,j):@BIN(x(i,j)));END所求解为：x(1,3)=1,x(2,3)=1,x(3,3)=x,x(4,3)=1,x(5,3)=1，其它为0，即各部门迁往丙市最少费用为-360000元。即这样迁市获利最多，为360000元。12．曲线拟合问题已知一个量y依赖于