2023学年完整公开课版二次根式

湘教版数学八年级上册二次根式1.平方根的定义:复习旧知:

如果有一个数r，使得r2=a，那么我们把r叫作a的一个平方根，也叫作二次方根.符号表示为：若r2=a

；r=.2.平方根的性质:(1)一个正数有2个平方根，它们互为相反数；(2)0的平方根与算术平方根都是0；(3)负数没有平方根。-代数式的意义

代数式的表达a的算术平方根a的负平方根a的平方根3.平方根的表示方法:（设a≥0）求一个非负数的平方根的运算，叫作开平方.4.开平方的定义:开平方平方互逆说一说正实数a的平方根是.运用运载火箭发射航天飞船时，火箭必须达到一定的速度（称为第一宇宙速度），才能克服地球的引力，从而将飞船送入环地球运行的轨道.而第一宇宙速度v与地球半径R之间存在如下关系：，其中重力加速度常数若已知地球半径R，则第一宇宙速度v是多少？（2）（1）

5的平方根是，0的平方根是，正实数a的平方根是.（1）

5的平方根是，0的平方根是，正实数a的平方根是.0的平方根是，

我们把形如的式子叫作二次根式，根号下的数a叫作被开方数.

我们已经知道：每一个正实数a有且只有两个平方根，一个记作，称为a的算术平方根；另一个是√√√√√××练习：下列各式，哪些是二次根式？×

由于在实数范围内，负实数没有平方根，因此只有当被开方数是非负实数时，二次根式才在实数范围内有意义．（一个非负数的算术平方根是非负数.）（双重非负性）举例例1当x是怎样的实数时，二次根式在实数范围内有意义？

解由x-1≥0，解得x≥1.因此，当x≥1时，

在实数范围内有意义.注意

在本套教材中，我们都是在实数范围内讨论二次根式有没有意义，今后不再每次写出“在实数范围内”这几个字.1.当x是怎样的实数时，下列二次根式有意义？

练习(1)=

；(2)=

；(3)=

；(4)=_____.你有什么发现？探究先填空，再观察：一个非负数的算术平方根的平方，等于这个数本身。结论

对于非负实数a，由于

是a的一个平方根，因此:一个非负数的算术平方根的平方，等于这个数本身。算术平方根的性质1：举例例2计算：

解2.计算：

练习填空：做一做…=

；=

；=

；21.2

根据上述结果猜想，当a≥0时，.结论由于a的平方等于a2

，因此a是a2的一个平方根.

当a≥0时，根据算术平方根的意义，有，由此得出：举例例3计算：

解议一议议一议议一议议一议议一议议一议一般地，当a≤0时，因此，我们可以得到：

当a<0时，是否仍然成立？为什么？≤-)0(aa≥)0(aa==2aa即一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。算术平方根的性质2：3.计算：

做一做结论

区别表达式取值范围不同运算顺序不同结果不同

联系a为全体实数a为非负数先开方后平方先平方后开方与均为非负数，且当a≥0时，拓展2.在△ABC中，a,b,c是三角形三边的长，化简：3.已知实数a、b在数轴上的位置如图所示：01a-1b动脑筋

计算下列各式，观察计算结果，你发现了什么？

661212一般地，当a≥0，b≥0时，由于结论由此得出：

上述公式从左到右看，是积的算术平方根的性质.

利用这一性质，可以化简二次根式．积的算术平方根的性质两个非负数乘积的算术平方根等于这两个非负数的算术平方根的乘积。例4化简下列二次根式．举例

化简二次根式时，最后结果要求被开方数中不含开得尽方的因数.解：运用“短除法”分解质因数

今后在化简二次根式时，可以直接把根号下的每一个平方因子去掉平方号以后移到根号外（注意：从根号下直接移到根号外的数必须是非负数）.二次根式化简的步骤：一分：将被开方数(式)因式分解成质因数(式)的幂的形式，找到平方因子；二移：将因数(式)中的平方因子去掉平方号以后，移到根号的外面，其余的因数(式)留在根号内。结论练习

化简下列二次根式．举例补充例题化简下列二次根式．结论≤-)0(aa≥)0(aa==2aa化简含字母的二次根式的方法：平方因子a是非负数平方因子a是非正数平方因子a的取值范围不确定练习举例例5化简下列二次根式．

化简二次根式时，最后结果要求被开方数不含分母或小数.

化简下列二次根式．练习二次根式化简的步骤：一分：将被开方数(式)因式分解成质因数(式)的幂的形式，找到平方因子；二移：将因数(式)中的平方因子去掉平方号以后，移到根号的外面，其余的因数(式)留在根号内。三化：被开方数是分数的把分母化成平方式后移到根号外作分母；注意：2.若分子无平方因子，则可用“1”来代替；1.被开方数是带分数时应先化为假分数；3.分子开方之后作分子，分母开方之后作分母。

从例4、例5可以看出，这些式子的最后结果，具有以下特点：（1）被开方数中不含开得