数字信号处理-离散时间信号与系统

第二章

离散时间信号与系统

2.1.1时域表示－序列1.信号及其分类(1).信号信号是传递信息的函数,它可表示成一个或几个独立变量的函数。如，f(x);f(t);f(x,y)等。(2).连续时间信号与模拟信号在连续时间范围内定义的信号,幅值为连续的信号称为模拟信号,连续时间信号与模拟信号常常通用。

2.1离散时间信号(3).离散时间信号与数字信号时间为离散变量的信号称作离散时间信号；而时间和幅值都离散化的信号称作为数字信号。x(t)tx(n)nx(tn)tn采样保持模数转换Amplitude数字信号Amplitude抽样信号Time,tTime,t2.序列

离散时间信号又称作序列。通常，离散时间信号的间隔为T，且是均匀的，故应该用x[nT]表示在nT的值,由于x[nT]存在存储器中,加之非实时处理,可以用x[n]表示x[nT],即第n个离散时间点的值,这样x[n]就表示一序列数,即序列：﹛x[n]﹜。

为了方便，通常用x[n]表示序列﹛x[n]﹜。{x[n]}={…,-0.2,2.17,1.1,0.2,-3.67,2.9,…}

FT=1/T对于所有的n，x[n]为实数，则﹛x[n]﹜是一个实序列realsequence如果有一个或多个n，其对应的x[n]为复数，则﹛x[n]﹜是复序列complexsequence

。记为：{x[n]}={xre[n]}+j{xim[n]}{x*[n]}={xre[n]}-j{xim

[n]}其共轭序列complexconjugatesequence用表示{x*[n]}

，记为：例：{x[n]}={cos0.25n}是实序列，{y[n]}={ej0.3n}是复序列则{y[n]}={cos0.3n+jsin0.3n}={cos0.3n}+j{sin0.3n}其中{yre[n]}={cos0.3n}{yim[n]}={sin0.3n}有限长序列：N1<=n<=N2，其宽度为N=N2-N1+1右边序列Aright-sidedsequence无限长序列：右边序列、左边序列、双边序列2.1.2序列的运算x[n]y[n]InputsequenceOutputsequence离散时间系统x[n]y[n]w[n]y[n]=x[n].w[n]一、积运算Product(调制

modulation)operation应用:加窗windowing两序列的积是指同序号(n)的序列值逐项对应相乘得一新序列两序列的和是指同序号(n)的序列值逐项对应相加得一新序列。二、和运算Additionoperationx[n]y[n]w[n]y[n]=x[n]+w[n]xi=s+di三、标量乘法MultiplicationoperationAx[n]y[n]y[n]=A.x[n]

四、时移Time-shifting

当N为正时，

x(n-N)表示依次右移N位－延时运算

x(n+N)表示依次左移N位－超前运算y[n]x[n]y[n]=x[n-1]y[n]x[n]y[n]=x[n+1]-1012x(n)11/21/41/8...-2n例：左移1/21/41/81x(n+1)n0-1-21-1012x(n)11/21/41/8...-2n五、时间反转(折叠)Time-reversal

如果有x(n),则x(-n)是以n=0为对称轴将x(n)加以翻褶的序列。y[n]=x[-n]例：...-2-10121/81/41/21x(-n)n-1012x(n)11/21/41/8...-2n六、复制Branchingx[n]x[n]x[n]{c[n]}={a[n].b[n]}={6–424–450}{d[n]}={a[n]+b[n]}={5310–4-3}{e[n]}=(3/2){a[n]}={4.569–13.50}0n4:{a[n]}={346–90}{b[n]}={2–145–3}例：设求{a[n].b[n]}、{a[n]+b[n]}、(3/2){a[n]}。例：求y(n)y[n]=

1x[n]+

2x[n-1]+

3[n-2]+

4x[n-3]例：设0n2:{f[n]}={-2,1,-3}，与序列{a[n]}={346–90}(0<=n<=4)进行和与积运算b[n]a[n]例：求x[n]与y[n]的关系⊕x[n]

y[n]1/4⊕a[n]=1/4b[n]+x[n]y[n]=a[n]+b[n]b[n]=a[n]x(n)

y(n)⊕⊕aβγw[n]Z-1w[n]P862.7(a)七、抽样率变换抽样率变化比：R=F’T/FT1、上抽样interpolation

：x[n]x[n/L],L为正整数。-101x[n]121/2n-2-1012x[n/2]121/2n。。例如，

L=2，

x[n/2]，相当于两个点之间插一个点；以此类推。通常，插值用

L倍表示，即插入（L-1）个值。2、

下抽样decimation

：x[n]x[nM],M为正整数。x[2n]131/4-101nx[n]1231/21/4-2-1012n例如，

M=2，

x[2n]，相当于两个点取一点；以此类推。2.1.3序列的分类一、基于对称性的分类(1)共轭对称(序列)和共轭反对称(序列)序列x[n]=x*[-n]称为共轭对称序列.实共轭对称序列为偶序列.序列x[n]=-x*[-n]

称为共轭反对称序列.实共轭反对称序列为奇序列.共轭对称序列:满足条件的序列。n-3-2-10123X[n]3-j22+j31-j741+j72-j33+j2X*[n]3+j22-j31+j741-j72+j33-j2X*[-n]3-j22+j31-j741+j72-j33+j2对实信号而言，其为偶对称序列共轭反对称序列:满足条件的序列。n-3-2-10123X[n]-3+j2-2-j3-1+j74j1+j72-j33+j2X*[n]-3-j2-2+j3-1-j7-4j1-j72+j33-j2X*[-n]3-j22+j31-j7-4j-1-j7-2+j3-3-j2-X*[-n]-3+j2-2-j3-1+j74j1+j72-j33+j2对实信号而言，其为奇对称序列0n为偶序列0xo(n)n为奇序列(2)共轭对称部分和共轭反对称部分

x[n]能表示成共轭对称部分

xcs[n]和共轭反对称部分xca[n]之和,即x[n]=xcs[n]+xca[n].

其中,xca[n]又称为x[n]的共轭反对称部分;

xcs[n]又称为x[n]的共轭对称部分.例：设在－3<=n<=3上且长度为7的有限长序列：{g[n]}={0,1＋j4,－2＋j3,4－j2,－5－j6,－j2,3}求gcs[n]和gca[n].(3)奇部和偶部X[n]为任一序列(实或纯虚序列),x[n]总能表示成一个奇部

xod[n]和一个偶部xev[n]之和,即x[n]=xod[n]+xev[n](4)周期共轭对称部分和周期共轭反对称部分

x[n]是长度为N的有限长序列,可表示成一周期共轭对称部分xpcs[n]和一周期共轭反对称部分xpca[n]之和，即

x[n]=xpcs[n]+xpca[n]，0<=n<=N-1例：设在0<=n<=3上且长度为4的有限长序列：{u[n]}={1＋j4,－2＋j3,4－j2,－5－j6}求upcs[n]和upca[n].二、周期和非周期信号对于所有n成立三、能量和功率信号EnergyandPowerSignals能量的定义：非周期序列x[n]的平均功率：则该序列在－K<=n<=K内的能量为:功率信号powersignal

：信号的平均功率有限而能量无限。能量信号energysignal

：信号的能量有限而平均功率为零。四、其他类型的分类序列的有界bounded

：

例：

序列x[n]=cos(0.3n)

有界序列的绝对可和absolutelysummable

：例：序列绝对可和序列的平方可和square-summable

：例：序列平方可和2.2典型序列和序列表示1.单位抽样序列(单位冲激)Unitsamplesequence

1-2-1012n1-2-101mn2.单位阶跃序列Unitstepsequence

u[n]...0123-1nu[n]3.矩形序列...012N-1-1nRN(n)N4.实正弦序列sinusoidalsequence

5.实指数序列Exponentialsequence

α为实数，当当A和α都是实数时则为实指数序列

=1.2

=0.96.复指数序列如果则其中实部虚部复指数序列当ω0N是2π的整数倍时，即ω0N＝2πr，并且N和r是正数，则正弦序列和当σ0＝0时的复指数序列是周期为N的周期序列，N则称为基本周期fundamentalperiod

。

当角频率为0.14π时，求x[n]=Acos(ω0n)的基本周期。2.2.2

用单位抽样序列表示任意序列任意序列可表示成单位抽样序列的位移加权和.

例:-3-2-1012345x(n)n位移加权和n0n0n0δ(n+3)δ(n-2)δ(n-6)2.3抽样过程TheSamplingProcessx[n]=xa(t)|t=nT=xa(nT),n=…,-2,-1,0,1,2,…tn=nT=n/FT=2pn/

T设则例：以10HZ的抽样频率分别对频率为3、7、13Hz的三个余弦函数均匀抽样则混叠aliasing2.4离散时间系统Discrete-TimeSystemsx[n]y[n]输入序列Inputsequence输出序列Outputsequence离散时间系统累加器：即M点滑动平均滤波器例：x[n]y[n]离散时间系统↑Lxu[n]线性内插器例：2.4.2离散时间系统的分类一.线性系统LinearSystem

系统实际上表示对输入信号的一种运算，所以离散时间系统就表示对输入序列的运算，即x[n]离散时间系统

T{x[n]}y[n]y[n]=T{x[n]}

设系统具有：

那么该系统就是线性系统，即线性系统具有均匀性和迭加性。*加权信号和的响应=响应的加权和。*先运算后系统操作=先系统操作后运算。故不是线性系统。例：二.移不变系统Shift-InvariantSystem

如T(x[n])=y[n],则T(x[n-m])=y[n-m],

满足这样性质的系统称作移不变系统。即系统参数不随时间变化的系统，亦即输出波形不随输入加入的时间而变化的系统。*移（时）不变例：分析y[n]=4x[n]+6是不是移不变系统.解：因为T(x[n])=y[n]=4x[n]+6

所以

T(x[n-m])=4x[n-m]+6

又

y[n-m]=4x[n-m]+6

所以

T(x[n-m])=y[n-m]

因此，y[n]=4x[n]+6是移不变系统.

*系统操作=函数操作三、因果系统CausalSystem某时刻的输出只取决于此刻以及以前时刻的输入的系统称作因果系统。

n=n0的输出y[n0]只取决于n〈=n0的输入x[n]

对于因果系统，如果n〈N时，输入信号u1[n]=u2[n]则n〈N时，输出信号y1[n]=y2[n]

*实际系统一般是因果系统；*对图象、已记录数据处理以及平均处理的系统不是因果系统；*y[n]=x[-n]是非因果系统,因n<0的输出决定时n>0的输入;序列x[n]在时刻n的二阶导数y[n]通常近似为y[n]=x[n+1]-2x[n]+x[n-1]。若y[n]和x[n]分别表示一个离散时间系统的输入和输出，那么这个系统是线性的？时不变的？因果的？四、稳定系统StableSystem

有界的输入产生有界的输出系统。

例：讨论下式所表示的系统是否是稳定的五、无源和无损系统PassiveandLosslessSystems如果输入序列x[n]为有限能量序列，则输出序列y[n]的能量不超过输入的能量，则该系统为无源系统，即若上式的等号成立，则该系统是无损的。例：下面的离散时间系统是否是无源的或无损的？y[n]=ax[n-N]，其中N是正整数。试判断以下每一系统是否是(1)线性,(2)移不变的,(3)因果,(4)稳定的？

冲激和阶跃响应ImpulseandStepResponses单位抽样响应{h(n)}-线性移不变系统可用单位抽样响应来表征

当线性移不变系统的输入为{δ(n)}，其输出{h(n)}称为单位抽样响应，即

h(n)=T[δ(n)]单位阶跃响应{s(n)}：当线性移不变系统的输入为{u(n)}，其输出{s(n)}称为单位阶跃响应，即

s(n)=T[u(n)]例：对于下图的系统，令x[n]=δ[n]，求h[n].y[n]=a1x[n]+a2x[n-1]+a3x[n-2]+a4x[n-3]因为h[n]=a1δ[n]+a2δ[n-1]+a3δ[n-2]+a4δ[n-3]所以即{h[n]={a1,a2,a3,a4}例：对于一个累加器，令x[n]=δ[n]，求h[n]。因为则线性内插器2.5线性时不变LTI离散时间系统的时域描述2.5.1输入输出关系Input-OutputRelationship

线性时不变系统可用单位抽样响应来表征。设则输入——输出因此：设则y[n]=x[n]h[n]*因此卷积和：卷积和的性质1.交换率Commutativeproperty

x[n]h[n]=h[n]x[n]**(x[n]h[n])y[n]=x[n](h[n]y[n])****x[n](h[n]+y[n])=x[n]h[n]+x[n]y[n]***2.结合率Associativeproperty

3.分配率Distributiveproperty

卷积和计算过程：x[k]h[k]x[k]h[-k]y[0]x[k]h[1-k]y[1]x[k]h[2-k]y[2]x[k]h[3-k]y[3]x[k]h[4-k]y[4]y[n]=δ[n]+2δ[n-1]+3δ[n-2]+2δ[n-3]+δ[n-4]

x[n]=h[n]=δ[n]+δ[n-1]+δ[n-2]求设*

设求x[n]和h[n]的卷积和。通常，一个长度为M的序列和一个长度为N的序列做卷积，其结果为一个长度为M+N-1的序列。在MATLAB中，有限长序列的卷积用conv来进行运算。2.5.3用冲激响应表示的稳定条件线性移不变系统是稳定系统的充要条件是有界的输入产生有界的输出系统。

证充分条件：若如果输入信号x[n]有界，即对于所有的n皆有即输出信号y[n]有界，故原条件是充分条件。必要条件：已知为稳定系统，假设可以找到一个有界输入故假设不成立所以是稳定的必要条件有界的输入产生有界的输出两个稳定的线性时不变系统的级联仍然是稳定的吗？证明你的结论。2.5.4用冲激响应表示的因果条件线性移不变系统是因果系统的充要条件为

h[k]=0，k<0。证充分条件：若n〈0时h[n]=0，则故该系统为因果系统必要条件：已知为因果系统，如果n〈0时第二个式子至少有一项不为0，不符合因果条件，所以假设不成立。故n〈0时h[n]=0是必要条件。例设某线性移不变系统的单位抽样响应为讨论因果性：n>0时，h（n）=0，

故此系统为非因果系统讨论稳定性：2.6简单的互联方式*一、级联CascadeConnection*逆系统：*二、并联ParallelConnectionh[n]=h2[n]+h1[n]

例：求该系统的冲激响应，其中h1[n]=δ[n]+0.5δ[n-1]h2[n]=0.5δ[n]+0.25δ[n-1]h3[n]=2δ[n]h4[n]=2(0.5)n

[n]**h1[n]+简化为下面的线性移不变系统*******2.7有限维线性时不变离散时间系统线性常系数差