但电容电流电感电压及电阻电压课件

第七章动态电路的时域分析法第一节动态电路及其研究方法第二节换路定律及初始值的计算第三节一阶电路的零输入响应第四节一阶电路的零状态响应第五节一阶电路的全响应第六节一阶电路的三要素分析第七章动态电路的时域分析法第一节动态电路及其研究方法1在图7-1a所示电路中，开关s闭合前电容两端的端电压uc=0，电路处于一种稳定状态。在t=0瞬间将s闭合时，结果发现微安表的指针先摆动到某个刻度，随后便逐渐回到零值。这时电路过渡到另一种新的稳定状态，其电压uc和电流i的变化规律如图7-1b所示。一般地，把电路从一种稳定状态变化到另一种稳定状态的中间过程叫做电路的过渡过程。

第一节动态电路及其研究方法一、电路的过渡过程a)b)图7-1在图7-1a所示电路中，开关s闭合前电容两端的端电压uc=02二、研究动态电路的一般方法含有动态元件的电路称为动态电路。研究动态电路的方法有很多，这里只能介绍经典的时域分析法，其主要步骤是：1）根据电路的两类约束，对换路后的电路建立所求响应为变量的微分方程。电路方程的建立要满足两个条件：其一为电路KCL、KVL定律，即电路的结构约束；其二为元件自身的电压、电流关系的约束。2）确定出所求响应在换路后的初始值。3）根据初始值确定出积分常数，从而得到电路所求响应的时间函数。二、研究动态电路的一般方法含有动态元件的电路称为动态电路。研3现以图7-1所示的RC电路为例，建立uc的微分方程式。

根据KVL有

(t≥0)(7-1)在关联参考方向下，电阻、电容元件的电压、电流关系为代入式（7-1），整理后得出此电路方程是以电容电压为变量的一阶线性常系数微分方程。（7-2）现以图7-1所示的RC电路为例，建立uc的微分方程式。根4第二节换路定律及初始值的计算

一、换路定律含有储能元件的电路在换路后，一般都要经历一段过渡过程。对于电感元件，在换路时电感中的电流不能跃变；对于电容元件，在换路时电容上的电压不能跃变。因此无论产生过渡过程的原因是什么，只要换路瞬间电容中的电压或电感上的电流为有限值，则在换路后的一瞬间，电感中的电流和电容上的电压都应当保持换路前一瞬间的数值而不能跃变，换路后就以此为起始值而连续变化直到新的稳态值。这个规律称为换路定律。这是过渡过程中确定电路初始值的主要依据。

第二节换路定律及初始值的计算一、换路定律含有储能元件的电5设----表示换路的瞬间----表示换路前的瞬间----表示换路后的瞬间电路换路在到的瞬间完成，则换路定律可表示如下：由换路定律可以确定电路中电感上的电流、电容上的电压的初始值；电路中其它电压、电流的初始值，将根据时的等效电路求得。(7-3)设----表示换路的瞬间----表示6二、确定初始值的方法和步骤根据换路定律，只有电容电压和电感电流在换路瞬间不能突变。其它各量均不受换路定律的约束。为叙述方便，把遵循换路定律的和称为独立初始值，而把其余的初始值如、、、等称为相关初始值。1、独立初始值，可通过作换路前等效电路求得。具体步骤为：1）作出时的等效电路，求出和2）根据换路定律确定出和的值二、确定初始值的方法和步骤根据换路定律，只有电容电压和电感72、相关初始值，可通过作出换路后的等效电路来计算。具体步骤为：1）用电压为的电压源和电流的电流源取代原电路中和的位置，可得等效电路2）由等效电路求出电路中相关初始值2、相关初始值，可通过作出换路后的等效电路来计算。具体步骤为8例7-2图7-3（a）所示电路中，已知Us=18V，R1=1Ω，R2=2Ω，R3=3Ω，L=0.5H，C=4.7μF，开关S在t=0时合上，设S合上前电路已进入稳态。试求i1(0+)、i2(0+)、i2(0+)、uL(0+)、uC(0+)。解第一步，作t=0-等效电路如图7-3（b）所示，这时电感相当于短路，电容相当于开路。第二步，根据t=0-等效电路，计算换路前的电感电流和电容电压：例7-2图7-3（a）所示电路中，已知Us=18V，R19根据换路定律，可得第三步，作出t=0+等效电路如图7-3（c）所示，这时电感L相当于一个12V的电流源，电容C相当于一个12V的电压源。第四步，根据t=0+等效电路，计算其它的相关初始值根据换路定律，可得第三步，作出t=0+等效电路如图7-3（c10例7-3电路如图7-4所示，开关S闭合前电路已稳定，已知时开关S闭合，试求及。

解（1）首先求和解（1）首先求S闭合前电路已处于直流稳态，故电容相当于开路，电感相当于短路，据此可画出t=0-时的等效电路，如图7-5a所示。（2）根据换路定律，有例7-3电路如图7-4所示，开关S闭合前电路已稳定，已解11（3）将电感用0.2A电流源替代，电容用4V电压源替代，可得t=0+时刻的等效电路，如图7-5b所示。故（3）将电感用0.2A电流源替代，电容用4V电压源替代，可得121）换路定律仅指出和在换路瞬间不能跃变，但电容电流、电感电压及电阻电压、电流都有可能发生跃变。通过上面的例题，可以看出：2）电路初始值应根据时的等效电路进行计算，但在求和时，需先求出和的值。而它们的值要根据换路前的电路计算。3）时的等效电路只在换路后一瞬间有效。1）换路定律仅指出和在换路瞬间不能跃变，13(a)(b)(c)图7-3b)图7-5a)b)图7-5图7-4(a)(b)(c)图7-3b)图7-5a)b)图7-5图7-14第三节一阶电路的零输入响应所谓一阶电路是指电路中仅有一个储能元件（电容或电感），储能元件的初始值uC(0+)和iL(0+)表征了电路在换路瞬间的初始储能。所谓零输入响应，就是动态电路在没有外加激励的条件下，仅由电路初始储能产生的响应。

第三节一阶电路的零输入响应所谓一阶电路是指电路中仅有一个15一、RC电路的零输入响应1、RC电路的放电过程在图7-6所示的RC电路中，开关S闭合前，电容C已经充电，电容上电压uC(0-)=U0，其方向如图所示。当t=0时刻开关S闭合，根据换路定律，有图7-6uC(0+)=uC(0-)=U0，电路在uC(0+)作用下产生电流i(0+)=U0/R，电容C将通过R放电。随着时间的增加，电容电压将逐渐下降，放电电流也将逐渐减小；直到电容的初始储能逐渐被电阻耗尽，这时uC衰减到零，uR和i也衰减到零，放电过程结束，电路达到新的稳态。一、RC电路的零输入响应1、RC电路的放电过程在图7-16对于图7-6换路后的电路，根据基尔霍夫电压定律，可得（t≥0）将与（式中负号是因为与参考方向不一致），代入上式，整理得（t≥0）（7-4）这是一个常系数一阶线性齐次微分方程，由数学知识可知，其通解形式为其中，为特性方程的根，A为待定的积分常数。式（7-4）的特征方程可将代入而得

对于图7-6换路后的电路，根据基尔霍夫电压定律，可得（t≥017其特征根为于是，式（7-4）的通解为（t≥0）积分常数A可由电路的初始值来确定。将代入上式，得令τ=RC，则电容放电过程中电容电压随时间变化规律的表达式为(t≥0)（7-5）其特征根为于是，式（7-4）的通解为（t≥0）积分常数A可由18电路中的放电电流和电阻电压分别为（t≥0）（7-6）（t≥0）（7-7）从式（7-5）、（7-6）和式（7-7）中可以看出，电容电压换路后从初始值开始按指数规律随时间增长而逐渐趋近于零。见图7-7a所示，而与不同的是和在t=0时发生跃变，即由零跃变到最大值和之后按指数规律随时间逐渐衰减到零，见图7-7b所示。电路中的放电电流和电阻电压分别为19a)b)图7-7图7-8a)b)图7-7图7-8202、时间常数τ因为τ=RC具有时间的量纲，即[RC]=欧•法=秒τ是一个很重要的物理量，它表征了电路过渡过程的快慢。在RC电路中，时间常数τ仅决定于电路参数。当U0一定时，R越大，放电电流越小，而C越大储存的电场能量就越多，这些都使得放电过程缓慢，放电时间加长。2、时间常数τ因为τ=RC具有时间的量纲，即[RC]=欧21例7-4在图7-8所示电路中，已知R1=5KΩ，R2=1.5KΩ，C=1μF，Us=8V。开关S长期闭合在位置1上，如在t=0时把它合到位置2，试求电容上电压及放电电流。

解（1）确定所求响应的初始值在时，由换路定律得（2）换路后的时间常数根据式（7-5）可得例7-4在图7-8所示电路中，已知R1=5KΩ，R2=122例7-5如图7-9a)所示的电路，开关S闭合前电路已处于稳态。在t=0时将开关S闭合，试求t≥0时的电容电压和电流、及。

解：（1）确定电容电压的初值，作等效电路，如图7-9b)所示，则有（2）电路的时间常数换路后的等效电路如图7-9c）所示。放电的等效电阻为∥所以例7-5如图7-9a)所示的电路，开关S闭合前电路已处23根据式（7-5）可得（t≥0）（t≥0）（t≥0）（t≥0）通过以上两例可见，求解RC电路的零输入响应时，只要计算出电容电压的初始值与电路的时间常数，就可以根据式（7-5）直接写出结果。但应注意，电路时间常数中的R是从电容元件两端看进去的等效电阻根据式（7-5）可得（t≥0）（t≥0）（t≥0）（t≥024a)b)c)图7-9图7-10a)b)c)图7-9图7-1025二、RL电路的零输入响应RL电路的零输入响应与RC电路的零输入响应相似。电路如图7-10所示，开关S闭合前电路已稳定，则电感L相当于短路，此时电感电流为时将开关S闭合，根据换路定律有此时，电感元件储有能量，随着时间推移，磁场能量被电阻R消耗，电流也逐渐衰减到零。电路到达新的稳态。二、RL电路的零输入响应RL电路的零输入响应与RC电路的零输26下面通过数学分析，找出电感电流和电压随时间的变化规律。对图7-10换路后的电路，根据基尔霍夫电压定律，可得（t≥0）将与代入上式，可得（t≥0）(7-8)这也是一个常系数一阶线性齐次微分方程，其通解形式为相应的特征方程其特征根为则微分方程的通解（t≥0）下面通过数学分析，找出电感电流和电压随时间的变化规律。对图727代入初始条件，可得故电路的零输入响应为（t≥0）电路的时间常数，具有时间量纲，其大小反映了过渡过程的快慢。于是电路放电电流和电感电压分别为（t≥0）（7-9）（7-11）（t≥0）（7-10）从式（7-9）、（7-10）和式（7-11）中可以看出，电感电流在换路后从初始值开始按指数规律变化，而电阻电压、电感电压在换路后由RI0和-RI0按指数规律随时间逐渐衰减到零，如图7-11所示代入初始条件，可得28a)b)图7-11图7-12a)b)图7-11图7-1229例7-6电路如图7-12所示，已知R0=1Ω，R1=R2=2Ω，L=2H，Us=2V，开关S长时间合在1的位置。当在t=0时把它合到位置2，试求电感元件中的电流及其两端电压解（1）确定所求响应的初始值在时，由换路定律得（2）列写换路后的微分方程在图示的参考方向下，根据KVL可得因为所以（3）解方程求出其响应的时间函数根据式（7-9）可得（t≥0）例7-6电路如图7-12所示，已知R0=1Ω，R1=R230换路后的电路的时间常数电感中电流的初始值为所以（t≥0）（t≥0）从上例分析可见，电感线圈的直流电源断开时，线圈两端会产生高电压，从而出现火花甚至电弧，常会损坏开关设备。因此工程上常采用在线圈两端并联续流二极管或接入阻容吸收电路，如图7-13a）、b）。换路后的电路的时间常数电感中电流的初始值为所以（31a)b)图7-13图7-14a)b)图7-15a)b)图7-13图7-14a)b)图7-1532第四节一阶电路的零状态响应零状态响应就是在电路储能元件初始储能为零的条件下，仅由外加激励所引起的响应。一、RC电路的零状态响应研究RC电路的零状态响应，实际上就是研究它的充电过程，如图7-14所示电路。根据KVL，图7-14中S闭合后的电路有将,代入上式可得（t≥0）（t≥0）（7-12）第四节一阶电路的零状态响应零状态响应就是在电路储能元件初33（7-12）式是一个常系数一阶线性非齐次微分方程，由数学可知，它的解由其特解和相应齐次微分方程的通解两部分组成，即：非齐次微分方程的特解，正常取换路后电容电压的稳态值，所以特解又称为电路的稳态解或稳态分量。其特解为：而一阶线性齐次微分方程的通解，由本章第3节可知，其通解为：这是一个随时间增长而衰减的指数函数，它是电路在过渡过程期间才存在的一个分量，所以常把称为电路的在暂态解或暂态分量（7-12）式是一个常系数一阶线性非齐次微分方程，由数学可知34于是式（7-12）的解为将初始条件代入上式，可得因此，电容电压的零状态响应的全解为：（t≥0）（7-13）充电电流和电阻电压为：（t≥0）（7-14）（t≥0）（7-15）式中是充电电路的时间常数，它表征了充电的快慢程度。、和随时间变化的曲线如图7-15a）、b）所示于是式（7-12）的解为将初始条件35例7-7在如图7-19所示的电路中，已知，，。求S闭合后，电容电压、电流及电阻电压uR。解：时间常数为：将及电源电压代入式（7-13）得根据式（7-14）和式（7-15）可得出：例7-7在如图7-19所示的电路中，已知36图7-19a)b)图7-20图7-21图7-19a)b)图7-20图7-2137例7-8图7-20a所示电路，已知：，，，，求开关S闭合后的。解：⑴求等效电源的电压和电阻∥于是，电路可等效为图7-20b⑵计算电路的时间常数：⑶将所得参数代入式(7-13)得：（t≥0）例7-8图7-20a所示电路，已知：38二、RL电路的零状态响应在图7-21所示的RL串联电路中，开关S闭合前，电感初始储能为零，即，电路处于零状态。当t=0时，开关S闭合，根据换路定律有：,电感相当于开路，电源电压加于电感两端，即电路换路后，根据KVL，列出电路的微分方程为（t≥0）（7-16）这也是一个常系数一阶线性非齐次微分方程，它的解同样由其特解和相应的齐次方程的通解组成，即显然，特解仍是稳态值：而通解仍为暂态分量：二、RL电路的零状态响应在图7-21所示的RL串联电路中，39因此，式（7-16）的解为:（t≥0）将初始值代入上式，可确定出积分常数为令，则电路的零状态相应为：（t≥0）（7-17）电感电压和电阻电压分别为（t≥0）（7-18）（t≥0）（7-19）因此，式（7-16）的解为:（t≥0）将初始值40、和随时间变化的波形曲线如图7-22所示从式（7-13）和式（7-18）可知，RC和RL电路零状态响应都包含两项，一项是方程的特解，是电路换路后进入稳态的解，称为稳态分量。因稳态分量受电路输入激励的制约，故又称为强制分量。另一项是相应的齐次方程的通解，它按指数规律衰减，衰减的快慢由时间常数来确定；当t→∞时，它趋于零，故称其为暂态分量。因暂态分量的变化规律不受输入激励的制约，因此，相对于强制分量，又称其为自由分量。当暂态分量衰减为零时，电路过渡过程就结束而进入稳态。、和随时间变化的波41图7-22a)b)图7-23图7-24图7-22a)b)图7-23图7-2442例7-9在图7-23所示电路中，已知，，当开关S闭合后，求：⑴电路的稳态电流及电流到达稳态值的63.2%所需的时间；⑵当、及时，线圈两端的电压各是多少？解⑴当电路达到稳态时，L相当于短路，稳态电流电流上升到稳态值的63.2%所需要的时间等于电路的时间常数，故⑵由式（7-18）得电感两端电压:当t=0时当t=0.2s时当t=∞时例7-9在图7-23所示电路中，已知43例7-10图7-24所示电路，换路前电路已达稳态，在t=0时开关S打开，求≥0时的和。解因为，故换路后电路的响应为零状态。因此电感电流表达式可套用式（7-19）。又因为电路稳定后，电感相当于短路，所以时间常数根据式（7-19）得（t≥0）则（t≥0）例7-10图7-24所示电路，换路前电路已达稳态，在t44第五节一阶电路的全响应一、全响应当一阶电路中既有初始储能又有外加激励时，电路所产生的响应称为全响应。对于线性电路，全响应为零输入响应和零状态响应的叠加，图7-28a）所示电路中，电容的初始电压为，开关S在t=0时闭合而接通直流电压。不难看出，换路后该电路可看成零输入条件下的放电过程和零初始条件下的充电过程的叠加，如图7-28所示。第五节一阶电路的全响应一、全响应当一阶电路中既有初始储能45a)b）c）图7-28a)b)c)图7-29a)b）c）图7-28a)b)c)图7-2946换路后，电容电压uc的零输入响应uc1和零状态响应uc2分别为:而电路的全响应为(t≥0)（7-20）即全响应=零输入响应+零状态响应换路后，电容电压uc的零输入响应uc1和零状态响应uc2分别47例7-11如图7-29a所示电路，，,,开关S闭合前电路已处于稳态，S在t=0时闭合。求S闭合后uc的变化规律。

解在图7-29b中，由于开关S闭合前电路已处稳态，故时间常数所以，零输入响应为在图7-29C中，电路的零状态响应为将以上两部分叠加得的全响应为例7-11如图7-29a所示电路，48二、全响应的分解以上分析是把全响应看作是零输入响应和零状态响应之和。显然，零输入响应和零状态响应均为全响应的一种特殊情况。图7-28a）所示电路，根据KVL，有(t≥0)其方程的解由特解和相应齐次方程的通解组成，即代入初始条件，可得则全响应(t≥0)（7-21）二、全响应的分解以上分析是把全响应看作是零输入响应和零状态响49(7-21)式中稳态分量和暂态分量是根据微分方程解的物理意义对全响应的又一分解方式。实际上，将式（7-20）稍加变换，即可看出两种分解，结果相同。即++=由此可见，全响应即可分解为零输入响应与零状态响应之和，也可分解为稳态分量与暂态分量之和，但应注意的是，这只是分析问题的着眼点不同，其本质还是同一响应。(7-21)式中稳态分量和暂态分量50例7-12如图7-30所示电路，已知，，，开关S在t=0时闭合，试求：⑴开关S闭合后的变化规律；⑵开关S闭合后要经过多长时间电流才能上升到15A？

解⑴在开关S闭合前电路已处于稳态，电感相当于短路，故S闭合后，R1被短路，电路变为RL串联电路，时间常数为电路到达新稳态时，电感仍相当于短路，故直流稳态响应暂态响应全响应例7-12如图7-30所示电路，已知51图7-30图7-3052积分常数A可由的初始值确定如下：时，根据换路定律⑵电流达到所需的时间为积分常数A可由的初始值确定如下：时，根据换路53第六节一阶电路的三要素分析对较复杂的一阶电路，若通过列微分方程逐步求解是比较麻烦的，因此需要掌握一种实用、快捷的方法。由上节对全响应的分解可知，电路的响应是由稳态分量和暂态分量叠加的结果，见式（7-21），如写成一般式则为式中，代表电流或电压响应，是稳态分量，是暂态分量。如初始值为，则得。于是：（7-22）由上式可知，对一阶电路的分析，只要求得初始值、稳态值和时间常数这三个“要素”，就能直接写出电路的响应。第六节一阶电路的三要素分析对较复杂的一阶电路，若通过列微54初始值、稳态值和时间常数三个要素的计算：⑴初始值：第一步作等效电路，确定独立初始值；第二步作等效电路，计算相关初始值。⑵稳态值：可通过作换路后时的稳态等效电路来求取。注意作等效电路时，电容相当与开路；电感相当与短路。⑶时间常数：RC电路,RL电路